Геометрические утверждения (в помощь сдающим ОГЭ по математике)

Сборник заданий

по подготовке к ГИА

«Геометрические утверждения»

Тема «Треугольник». Определите, верное или неверное утверждение.

1. Внешний угол треугольника равен сумме двух его внутренних углов.

2. Сумма углов прямоугольного треугольника равна 90 ⁰.

3. Сумма углов равнобедренного треугольника равна 180⁰.

4. Если два угла треугольника равны 36⁰ и 64⁰, то третий угол равен 100⁰.

5. Если один из углов равнобедренного треугольника равен 30⁰, то другой его угол равен 120⁰.

6. Если в треугольнике АВС углы А и В соответственно равны 40⁰ и 70⁰, то внешний угол этого треугольника при вершине С равен 70⁰.

7. Если две стороны и угол одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу другого треугольника, то такие треугольники равны.

8. Если три угла одного треугольника соответственно равны трем углам другого треугольника, то такие треугольники равны.

9. Если две стороны и угол между ними одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники подобны.

10. Если три стороны одного треугольника соответственно равны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники подобны.

11. Если катет и острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны катету и углу другого треугольника, то такие треугольники равны.

12. Если острый угол одного прямоугольного треугольника равен углу другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны.

13. Любые два равносторонних треугольника подобны.

14. Любые два равнобедренных треугольника подобны.

15. Любые два прямоугольных треугольника подобны.

16. Любые два равнобедренных прямоугольных треугольника подобны.

17. Каждая сторона треугольника равна сумме двух других сторон.

18. Каждая сторона треугольника меньше разности двух других сторон.

19. Треугольник со сторонами 3, 4, 5 существует.

20. В треугольнике против меньшей стороны лежит меньший угол.

21. В треугольнике против большего угла лежит меньшая сторона.

22. В треугольнике АВС, для которого А = 45⁰, В = 55⁰, С= 80⁰, сторона АВ - наибольшая.

23. В треугольнике АВС, для которого АВ= 6, ВС = 7, АС= 8, угол С - наибольший.

24. Квадрат любой стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон без произведения этих сторон на косинус угла между ними.

25. Треугольник АВС, у которого АВ= 20, ВС = 21, АС = 29, является прямоугольным.

26. Площадь треугольника равна произведению его стороны на высоту, проведенную к этой стороне.

27. Площадь прямоугольного треугольника равна произведению его катета на гипотенузу.

28. В треугольнике , для которого , , , сторона - наименьшая.

29. В треугольнике , для которого , , , угол - наибольший.

30. Внешний угол треугольника больше каждого внутреннего угла.

31. Треугольник со сторонами 1, 2, 3 не существует.

32. В тупоугольном треугольнике сумма углов больше 180⁰.

33. Площадь прямоугольного треугольника равна удвоенному произведению его катетов.

34. В прямоугольном треугольнике квадрат катета равен разности квадратов гипотенузы и другого катета.

35. Стороны треугольника пропорциональны градусным величинам противолежащих углов.

36. Треугольник ABC, у которого , , , является остроугольным.

Тема «Площадь». Определите, верное или неверное утверждение.

1. Если площади фигур равны, то равны и сами фигуры.

2. Площадь трапеции равна произведению суммы оснований на высоту.

3. Если две стороны треугольника равны 4 и 5, а угол между ними равен , то площадь этого треугольника равна 10.

4. Если две смежные стороны параллелограмма равны 4 и 5, а угол между ними равен 30⁰, то площадь этого параллелограмма равна 10.

5. Площадь трапеции не превосходит произведения средней линии на высоту.

6. Площадь треугольника равна половине произведения его стороны на высоту, проведенную к этой стороне.

7. Площадь многоугольника, описанного около окружности, равна произведению его периметра на радиус вписанной окружности.

8.Если диагонали ромба равна 3и 4, то его площадь равна 6.

9. Площадь трапеции меньше произведения суммы оснований на высоту.

10. Площадь прямоугольного треугольника меньше произведения его катетов.

11. Площадь треугольника не превосходит половины произведения двух его сторон на синус угла между ними.

12. Площадь ромба равна произведению двух его смежных сторон на синус угла между ними.

13. Площадь ромба равна произведению его стороны на высоту, проведенную к этой стороне.

14. Если площадь круга равна 4, то его радиус равен 2.

15. Если сторона треугольника равна 5, а высота, проведенная к этой стороне, равна 4, то площадь этого треугольника равна 20.

16. Если катеты прямоугольного треугольника равны 3 и 4, то его площадь равна 12.

17. Если средняя линия трапеции равна 5, а высота равна 3, то площадь этой трапеции равна 15.

18. Площадь многоугольника, описанного около окружности, равна четверти произведения его периметра на диаметр вписанной окружности.

19. Отношение площадей подобных фигур равно коэффициенту подобия.

20. Если стороны правильного шестиугольника увеличить в три раза, то его площадь увеличится в 9 раз.

21. Площадь круга равна четверти произведения длины его окружности на диаметр.

22. Если периметр многоугольника, описанного около окружности радиуса 2, равен 20, то его площадь равна 20.

23. Площадь параллелограмма равна произведению двух его сторон на косинус угла между ними.

24. Если радиус круга равен 4, то его площадь равна 8.

25. Площадь прямоугольника равна произведению двух его сторон.

26. Площадь круга равна квадрату его радиуса.

27. Площадь прямоугольника равна произведению двух его смежных сторон.

28. Площадь треугольника равна половине произведения его стороны на высоту.

Тема «Окружность». Определите, верное или неверное утверждение.

1. Если расстояние между центрами двух окружностей равно сумме их диаметров, то эти окружности касаются.

2. Вписанные углы окружности равны.

3. Если вписанный угол равен 30⁰, то дуга окружности, на которую опирается этот угол, равна 60⁰ .

4. Через любые четыре точки, не принадлежащие одной прямой, проходит единственная окружность.

5. Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же хорду окружности, равны.

6. Если радиусы двух окружностей равны 5 и 7, а расстояние между их центрами равно 3, то эти окружности не имеют общих точек.

7. Если радиус окружности равен 3, а расстояние от центра окружности до прямой равно 2, то эти прямая и окружность пересекаются.

8. Через любые три точки проходит не более одной окружности.

9. Если расстояние между центрами двух окружностей больше суммы их диаметров, то эти окружности не имеют общих точек.

10. Если радиусы двух окружностей равны 3 и 5, а расстояние между их центрами равно 1, то эти окружности пересекаются.

11. Если дуга окружности составляет 80⁰ , то вписанный угол, опирающийся на эту дугу окружности, равен 40⁰.

12. Около любого ромба можно описать окружность.

13. В любой треугольник можно вписать не менее одной окружности.

14. Центром окружности, описанной около треугольника, является точка пересечения биссектрис.

15. Центром окружности, вписанной в треугольник, является точка пересечения серединных перпендикуляров к его сторонам.

16. Около любого правильного многоугольника можно описать не более одной окружности.

17. Центр окружности, описанной около треугольника со сторонами, равными 3, 4, 5, находится на стороне этого треугольника.

18. Центром окружности, описанной около квадрата, является точка пересечения его диагоналей.

19. В любой ромб можно вписать окружность.

20. Центром окружности, вписанной в треугольник, является точка пересечения биссектрис.

21. Окружность имеет бесконечно много центров симметрии.

22. Центр окружности, описанной около остроугольного треугольника, находится внутри этого треугольника.

23. Центр окружности, вписанной в тупоугольный треугольник, находится вне этого треугольника.

24. Около любой трапеции можно описать окружность.

25. Центр окружности, описанной около тупоугольного треугольника, находится вне этого треугольника

26. Если расстояние от центра окружности до прямой равно диаметру окружности, то эти прямая и окружность касаются.

Тема «Четырехугольники». Определите, верное или неверное утверждение.

1. Диагонали любого прямоугольника делят его на 4 равных треугольника.

2. Не существует прямоугольника, диагонали которого взаимно перпендикулярны.

3. Диагонали ромба точкой пересечения делятся пополам.

4. В любом прямоугольнике диагонали взаимно перпендикулярны.

5. Сумма углов выпуклого четырехугольника равна 180⁰.

6. Если один из углов параллелограмма равен 60⁰, то противоположный ему угол равен 120⁰.

7. Диагонали квадрата делят его углы пополам.

8. Если в четырехугольнике две противоположные стороны равны, то этот четырехугольник - параллелограмм.

9. Если противоположные углы выпуклого четырехугольника равны, то этот четырехугольник - параллелограмм.

10. Если сумма трех углов выпуклого четырехугольника равна 200⁰ , то его четвертый угол равен 160⁰.

11. Сумма двух противоположных углов четырехугольника не превосходит 180⁰.

12. Если основания трапеции равны 4 и 6, то средняя линия этой трапеции равна 10.

13. Если в параллелограмме диагонали равны, то этот параллелограмм - прямоугольник.

14. Если диагонали параллелограмма делят его углы пополам, то этот параллелограмм - ромб.

15. Если один из углов, прилежащих к стороне параллелограмма, равен 50⁰, то другой угол, прилежащий к той же стороне, равен 50⁰.

16. В равнобедренной трапеции боковые стороны равны.

17. Если в четырехугольнике две стороны параллельны, то этот четырехугольник - параллелограмм.

18. Диагонали параллелограмма равны.

19. Если один из углов, прилежащих к стороне параллелограмма, равен 50⁰, то другой угол, прилежащий к той же стороне, равен 130⁰.

20. Сумма двух противоположных углов четырехугольника не превосходит 180⁰.

21. Если у параллелограмма есть один прямой угол, то этот параллелограмм - прямоугольник.

22. Сумма углов ромба равна 360⁰.

23. Диагонали параллелограмма делят его углы пополам.

24. Если в четырехугольнике две стороны равны и параллельны, то этот четырехугольник - параллелограмм.

25. Диагонали параллелограмма перпендикулярны.

26. Если средняя линия трапеции равна 5, то сумма ее оснований равна 10.

27. Если в параллелограмме диагонали перпендикулярны, то этот параллелограмм - ромб.

28. Диагонали прямоугольника равны.

29. Сумма углов выпуклого четырехугольника на 360⁰.

30. Диагонали квадрата равны.

31. Сумма двух противоположных углов равнобедренной трапеции равна 180⁰.

32. Диагонали параллелограмма параллельны.

33. Если в параллелограмме диагонали равны и перпендикулярны, то этот параллелограмм - квадрат.

34. Если в четырехугольнике два угла - прямые, то этот четырехугольник - параллелограмм.

35. Если в четырехугольнике три угла - прямые, то этот четырехугольник - параллелограмм.

36. Если в параллелограмме один из углов равен 90⁰, то такой параллелограмм - квадрат.

37. Сумма углов выпуклого четырехугольника больше 270⁰

38. Диагонали ромба равны.

39. Ромб, диагонали которого равны, является квадратом.

40. Противоположные углы параллелограмма равны между собой.

41. Соседние углы параллелограмма равны между собой.

42. Существует прямоугольник, диагонали которого перпендикулярны.

43. Существует параллелограмм, диагонали которого равны.

44. Средняя линия трапеции равна полуразности оснований.

45. Трапеция равнобедренная, если ее боковые стороны параллельны.

46. В трапеции сумма углов при боковой стороне равна 90⁰.

47. Ромбом называется параллелограмм, у которого все стороны равны.

48. Если один из углов параллелограмма равен 60⁰, то противоположный ему угол равен 120⁰

49. В ромбе все углы равны.

50. В равнобедренной трапеции АВСД с боковыми сторонами АВ и СД угол А равен углу В.

Какие из данных утверждений верны? Из открытого банка заданий ФИПИ.

1. Вокруг любого треугольника можно описать окружность.

2. Если в параллелограмме диагонали равны и перпендикулярны, то этот параллелограмм - квадрат.

3. Площадь трапеции равна произведению средней линии на высоту.

4. В тупоугольном треугольнике все углы тупые.

5. В любом параллелограмме диагонали точкой пересечения делятся пополам.

6. Точка, лежащая на серединном перпендикуляре к отрезку, равноудалена от концов этого отрезка.

7. Если при пересечении двух прямых третьей прямой накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны.

8. Диагональ трапеции делит её на два равных треугольника.

9. Квадрат диагонали прямоугольника равен сумме квадратов двух его смежных сторон.

10. Каждая из биссектрис равнобедренного треугольника является его медианой.

11. Диагонали прямоугольника равны.

12. У любой трапеции боковые стороны равны.

13. Существует квадрат, который не является прямоугольником.

14. Если два угла треугольника равны, то равны и противолежащие им стороны.

15. Внутренние накрест лежащие углы, образованные двумя параллельными прямыми и секущей, равны.

16. Если три стороны одного треугольника пропорциональны трём сторонам другого треугольника, то треугольники подобны.

17. Сумма смежных углов равна 180°

18. Любая высота равнобедренного треугольника является его биссектрисой.

19. Центры вписанной и описанной окружностей равнобедренного треугольника совпадают.

20. Существует параллелограмм, который не является прямоугольником.

21. Сумма углов тупоугольного треугольника равна 180°

22. Каждая из биссектрис равнобедренного треугольника является его высотой.

23. Диагонали прямоугольника равны.

24. У любой трапеции основания параллельны.

25. Две окружности пересекаются, если радиус одной окружности больше радиуса другой окружности.

26. Через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести прямую, перпендикулярную этой прямой.

27. Треугольник со сторонами 1, 2, 4 не существует.

28. Сумма квадратов диагоналей прямоугольника равна сумме квадратов всех его сторон.

29. Диагональ трапеции делит её на два равных треугольника.

30. Если в ромбе один из углов равен 90°, то такой ромб - квадрат.

31. Вокруг любого треугольника можно описать окружность.

32. Если при пересечении двух прямых третьей прямой сумма внутренних односторонних углов равна 180°, то эти прямые параллельны.

33. Площадь треугольника не превышает произведения двух его сторон.

34. Против большей стороны треугольника лежит меньший угол.

35. Любой квадрат можно вписать в окружность.

36. Площадь трапеции равна произведению средней линии на высоту.

37. У равнобедренного треугольника есть ось симметрии.

38. Если в параллелограмме диагонали равны и перпендикулярны, то этот параллелограмм - квадрат.

39. Две окружности пересекаются, если радиус одной окружности больше радиуса другой окружности.

40. Через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести прямую, параллельную этой прямой.

41. Треугольник со сторонами 1, 2, 4 существует.

42. Против большей стороны треугольника лежит больший угол.

43. Любой прямоугольник можно вписать в окружность.

44. Площадь треугольника меньше произведения двух его сторон.

45. Если три угла одного треугольника соответственно равны трём углам другого треугольника, то такие треугольники подобны.

46. В любом прямоугольнике диагонали взаимно перпендикулярны.

47. У равностороннего треугольника есть центр симметрии.

48. На плоскости существует единственная точка, равноудалённая от концов отрезка.

49. В любой треугольник можно вписать окружность.

50. Если в параллелограмме две смежные стороны равны, то такой параллелограмм является ромбом.

51. Через две различные точки на плоскости проходит единственная прямая.

52. Центром вписанной в треугольник окружности является точка пересечения его биссектрис.

53. Если гипотенуза и острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны гипотенузе и углу другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны.

54. Если две стороны одного треугольника соответственно равны двум сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны.

55. Если в четырёхугольнике диагонали перпендикулярны, то этот четырёхугольник- ромб.

56. Площадь круга меньше квадрата длины его диаметра.

57. В любой четырёхугольник можно вписать окружность.

58. Центром описанной окружности треугольника является точка пересечения серединных перпендикуляров к его сторонам.

59. Площадь квадрата равна произведению его диагоналей.

60. Если две различные прямые на плоскости перпендикулярны третьей прямой, то эти две прямые параллельны.

61. Вокруг любого параллелограмма можно описать окружность.

62. Если при пересечении двух прямых третьей прямой внутренние накрест лежащие углы равны 90°, то эти две прямые параллельны.

63. В любом прямоугольнике диагонали взаимно перпендикулярны.

64. У равностороннего треугольника три оси симметрии.

65. В любой четырёхугольник можно вписать окружность.

66. Центром окружности, описанной около треугольника, является точка пересечения серединных перпендикуляров к сторонам треугольника.

67. Любой параллелограмм можно вписать в окружность.

68. Точка пересечения двух окружностей равноудалена от центров этих окружностей.

69. Если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника и углы, образованные этими сторонами, равны, то треугольники подобны.

70. Смежные углы равны.

71. Медиана равнобедренного треугольника, проведённая к его основанию, является его высотой.

72. Биссектриса равнобедренного треугольника, проведённая из вершины, противолежащей основанию, делит основание на две равные части.

73. В любом прямоугольнике диагонали взаимно перпендикулярны.

74. Для точки, лежащей на окружности, расстояние до центра окружности равно радиусу.

75. Биссектриса равнобедренного треугольника, проведённая из вершины, противолежащей основанию, перпендикулярна основанию.

76. Диагонали ромба точкой пересечения делятся пополам.

77. Из двух хорд окружности больше та, середина которой находится дальше от центра окружности.

78. Медиана равнобедренного треугольника, проведённая из вершины, противолежащей основанию, перпендикулярна основанию.

79. Диагонали любого прямоугольника делят его на 4 равных треугольника.

80. Для точки, лежащей внутри круга, расстояние до центра круга меньше его радиуса.

81. Центр описанной окружности равнобедренного треугольника лежит на высоте, проведённой к основанию треугольника.

82. Квадрат является прямоугольником.

83. Сумма углов любого треугольника равна 180⁰.

84. Если угол острый, то смежный с ним угол также является острым.

85. Диагонали квадрата взаимно перпендикулярны.

86. В плоскости все точки, равноудалённые от заданной точки, лежат на одной окружности.

87. Медиана равнобедренного треугольника, проведённая из вершины угла, противолежащего основанию, делит этот угол пополам.

88. Не существует прямоугольника, диагонали которого взаимно перпендикулярны.

89. В плоскости для точки, лежащей вне круга, расстояние до центра круга больше его радиуса.

90. Если три угла одного треугольника равны трем углам другого треугольника, то такие треугольники подобны.

91. Любая медиана равнобедренного треугольника является его биссектрисой.

92. Любой квадрат является ромбом.

93. Против равных сторон треугольника лежат равные углы.

94. Через любую точку, лежащую вне окружности, можно провести две касательные к этой окружности.

95. Существует прямоугольник, который не является параллелограммом.

96. Треугольник с углами 40°,70°,70°- равнобедренный.

97. Если из точки M проведены две касательные к окружности и А и В -точки касания, то отрезки MA и MB равны.

98. Если два угла одного треугольника равны двум углам другого треугольника, то такие треугольники подобны.

99. Вертикальные углы равны.

100. Любая биссектриса равнобедренного треугольника является его медианой.

101. Центр вписанной окружности равнобедренного треугольника лежит на высоте, проведённой к основанию треугольника.

102. Ромб не является параллелограммом.

103. Сумма острых углов прямоугольного треугольника равна 90°

104. Центры вписанной и описанной окружностей равностороннего треугольника совпадают.

105. Существует квадрат, который не является ромбом.

106. Сумма углов остроугольного треугольника равна 180°

107. Существует ромб, который не является квадратом.

108. Если две стороны треугольника равны, то равны и противолежащие им углы.

109. Касательная к окружности параллельна радиусу, проведённому в точку касания.

110. Если один из углов треугольника прямой, то треугольник прямоугольный.

111. Диагонали квадрата точкой пересечения делятся пополам.

112. Точка, равноудалённая от концов отрезка, лежит на серединном перпендикуляре к этому отрезку.

Использованы материалы Открытого банка заданий

Сайт 79.174.69.4/os/xmodules/qprint/afrms.php?proj=

И задания из книги:

Семенов, А.Л. ГИА: 3000 задач с ответами по математике. Все задания 1 части /А.Л. Семенов, И.В. Ященко, Л.О. Рослова и др.- М.: Издательство «Экзамен», 2013. - 399