Урок алгебры и начал математического анализа, 11 класс Тема: «Наибольшее и наименьшее значения функции»

Урок алгебры и начал математического анализа, 11 класс

Тема : «Наибольшее и наименьшее значения функции»

Цели урока: установить межпредметные связи математика - физика, научиться применять производную при нахождении наибольшего и наименьшего значения функции на отрезке, решать задачи на наибольшее и наименьшее; развивать логическое мышление учащихся, интерес к математике.

Оборудование: карточки для самостоятельной работы, карточки с условиями задач.

Тип урока: интегрированный урок изучения новых знаний.

. . Ход урока

1. Проверка домашнего задания путем проведения самостоятельной работы.( 10мин.)

Вариант 1.

1. Записать алгоритм исследования функции на монотонность.

2. у = х³ - 3х² а) найти промежутки возрастания и убывания функции; б) найти точки экстремума и значения функции в этих точках.

Вариант 2.

1. Записать алгоритм исследования функции на экстремумы.

2. у = х⁴ - 8х² +3 а) найти промежутки возрастания функции; б) найти точки экстремума и значения функции в этих точках.

Вариант 1. 1.1. Найти производную функции. 1.2. Решить неравенства fʹ(x}0 и fʹ(x). 1.3.Записать найденные промежутки 2. уʹ = 3х² -6х = 3х(х - 2). Стационарные точки х = 0 и х = 2. уʹ 0 при хϵ ( - ; 0) ( 2; + ); уʹ при хϵ( 0;2). х = 0 точка максимума, у(0) = 0. х = 2 - точка минимума, у(2) = -4. Ответ: функция у = х³ - 3х² возрастает при х ϵ( ;0) (2;+), убывает при хϵ(0;2).

Вариант 2. 1.1. Найти производную функции. 1.2. Найти стационарные точки. 1.3. С помощью метода интервалов определить знак производной на каждом промежутке. 1.4. Определить точки максимума и минимума. 1.5. Найти значения функции в этих точках. 2. у = 4х³ - 16х = 4х( х ² - 4) = 4х( х-2)(х+2). Стационарные точки х = 0; х = -2; х = 2. уʹ0 при хϵ(-2;0)(2; +; уʹ0 при хϵ( -;-2)(0;2). х = -2 и х = 2 - точки минимума; у(-2)=у(2) =-13; х = 0 - точка максимума, у(0) =3. Ответ: функция у х⁴ - 8х² +3 взрастает при хϵ(-2; 0) (2;+), убывает при хϵ( -; -2) ( 0;2).

2.Актуализация опорных знаний учащихся.

Назовите алгоритмы нахождения промежутков возрастания и убывания, точек экстремума.

3.Изучение нового материала

На практике часто приходится решать задачи . в которых требуется найти наибольшее или наименьшее значение из всех тех значений, которые функция принимает на отрезке.

Пусть функция f (х) непрерывна на отрезке [a;b] и имеет несколько критических точек на этом отрезке.

Для нахождения наибольшего и наименьшего значения функции на отрезке [a;b] нужно: 1) найти значения функции на концах отрезка, т.е. f(a) и f(b); 2) найти ее значения в тех критических точках, которые принадлежат интервалу (a;b); 3) из всех найденных значений выбрать наибольшее и наименьшее.

Найти наибольшее и наименьшее значение функции у = 2х³ + 3х² - 36х на отрезке [-4;3] ( №937)- решает учитель

у(-4) = 2 (-4)³+ 3(-4)² - 36(-4) = -128+ 48+144 = 64; у(3) = 2*3³+3*3²-36*3 = 54+27-108 = -27. Находим критические точки уʹ=6х²+6х-36; 6х²+6х-36 = 0; х²+х-6 = 0; х₁=-3; х₂=2. Эти точки принадлежат данному отрезку. у(-3) = 2(-3)³ +3(-3)²-36(-3) = -54+27+108 = 81; у(2) = 2*2³+3*2²-36*2 = 16+12-72 = -44. Ответ: Наибольшее значение функции равно 81, наименьшее значение равно -44

4.Решение упражнений №938 -решает ученик на доске. у = х⁴-8х²+5 на отрезке{-3;2] Решение у(-3) = 14; у(2) = -11; уʹ = 4х³-16х = 4х(х²-4) = 4х(х-2)(х+2). Критические точки х₁=0; х₂ = -2;х₃=2. Данные точки принадлежат данному отрезку. у(0) = 5; у(-2) = у(2) =-11. Ответ: Наибольшее значение функции равно 14, наименьшее значение равно -11.

5. Интеграция математики и физики.

Выученный сегодня материал поможет нам решить физические задачи.

№1.Закон прямолинейного движения задан уравнением s = -t³+ 9t²- 24t-8. Найти максимальную скорость движения.

Решение

Скорость движения тела есть первая производная от пути по времени. v = sʹ = -3t² + 18t -24. Найдем vʹ = -6t + 18; -6t +18 = 0; t = 3. При t3 vʹ0; при t3 vʹ0. Значит, t=3 - точка максимума. v(3) = -3*3²+18*3 -24 = -27+54-24 = 3(м/с). Ответ: 3м/с

№2 Закон прямолинейного движения задан уравнением s = -t³ + 3t² + 9t +3. Найти максимальную скорость движения тела.

Решение

v = sʹ = -3t² + 6t +9; vʹ = -6t + 6; -6t + 6= 0; t = 1. При t1 vʹ 0; при t 1 vʹ 0. Значит. t = 1 -точка максимума.v (1) =12(м/с) Ответ: 12м/с

6. Подведение итогов урока.

Сегодня на уроке мы научились находить наибольшее и наименьшее значение функции на данном отрезке, увидели, как знания по математике помогают решать физические задачи.

Учитель собирает тетради для проверки самостоятельной работы.

7. Домашнее задание:п.52,пыучить алгоритм нахождения наибольшего и наименьшего значения функции на отрезке. №939,946.