- Преподавателю
- Математика
- Методические рекомендации Три метода решения геометрических задач
Методические рекомендации Три метода решения геометрических задач
Раздел | Математика |
Класс | - |
Тип | Конспекты |
Автор | Храмушкина Г.Г. |
Дата | 17.01.2015 |
Формат | docx |
Изображения | Есть |
Тема: Три основных метода решения геометрических задач.
-
Основные этапы решения задач:
а) построение чертежа;
б) выявления особенностей полученной конфигурации;
в) выбор пути и метода решения;
г) анализ полученного решения
2.Методы решения задач
При решении геометрических задач обычно используется три основных метода:
а) геометрический, когда требуемые утверждения выводятся с помощью логических рассуждений из ряда известных теорий;
б) алгебраический, когда искомая геометрическая величина вычисляется на основании различных зависимостей между элементами геометрических фигур непосредственно или с помощью уравнения;
в) комбинированный, когда один из этапов решения ведется геометрическим, а другой - алгебраическим методом.
Две разновидности алгебраического метода:
-
метод поэтапного решения;
-
метод составления уравнений.
Сущность первого метода: величины, заданные в условии и те, которые нужно найти, мы связываем цепочкой промежуточных величин, каждая из которых определяется через предыдущие.
Задача: В параллелограмме со сторонами а и в, и углом проведены биссектрисы четырех углов. Найти площадь четырехугольника, ограниченного биссектрисами.
Решение.
SMNPQ - ?
-
MNPQ - параллелограмм ( биссектрисы противолежащих углов параллельны)
-
ВМА=MNPQ - прямоугольник
-
SMNPQ=MN
MN=AN-AM; AM= в; AN=а
MQ=BQ-BM; BM= в; BQ= а
MN= (а- в); MQ= (а- в)
SMNPQ=(а- в)2
Ответ: SMNPQ=(а- в)2
Мы рассмотрели алгебраический метод решения, решали поэтапно, т.е. составляли план решения, а затем его реализовали.
Рассмотрим задачи, решаемые при помощи составления уравнений:
Один и тот же элемент (сторона которого, угол, радиус и т.д.) выражается через известные и неизвестные величины двумя различными способами, полученные выражения приравниваются (опорный элемент)
Задача: Стороны треугольника равны а, в, с. Вычислите высоту hc.
Решение.
-
Выберем опорный элемент.
hc - общий катет двух прямоугольных треугольников.
-
∆ АDС
∆СDВ
hc2в2 - х2
а2 - (с - х)2= в2 - х2,
а2 - с2 + 2сх - х2 - в2+х2= 0,
2сх = с2 + в2 - а2,
hc2 = а2 - (с - х)2
а2 - (с-х) 2 = в2- х2,
а2 - с2 + 2cos - x2 - в2 +х2 = 0,
2сх = с2 +в2 -а2,
х =
hc =
Можно было за опорный элемент выбрать площадь треугольника.
Доказать самостоятельноS∆= ; S∆=
=hc = ?
В этом случае говорят, задача решена методом площадей.
Задача: В прямоугольном треугольнике точка касания вписанной окружности делит гипотенузу на отрезки 5 см. и 12см. Найти катеты треугольника.
Решение.
По свойству касательных к окружности, проведенных из одной точки
АС - ? СВ - ?
AF = AD =5см
CF=CE
BD=BE=12 см
Пусть CF=x? тогда
AC = x + 5
BC = X + 12
AB = 17
∆ACD, C = 90
по теореме
Пифагора
(x2+5)2 + (x+12)2 = 172,
x2 + 10x + 25 +x2 + 24x + 144 - 289 = 0,
2x2 + 34x - 120 = 0,
x2 + 17 - 60 = 0,
Д > 0, x1= -20 - не удовлетворяет условию задачи
x2= 3
AC = 8см, BC = 15 см.
Ответ: AC = 8см, BC = 15 см.
Задача: Найти длину основания равнобедренного треугольника, если S∆ = 25см2, а углы при основании таковы, что tg = 4.
Решение.
AC - ?
∆ABC : BDAC,
AB=BC? AD=DC
tg =
BD=h, AD=a tg = ;
= 4
S∆ABC = = ah: ah=25
- не имеет смысла
а = 2,5
Ответ: AC=5см
Задача: Один из катетов прямоугольного треугольника равен 15см, а проекция этого катета на гипотенузу равна 16см. найти радиус окружности, вписанной в треугольник.
Решение.
r - ?
r = (для произвольного треугольника)
r = (для прямоугольного треугольника)
BC - ?, AB - ?
-
Пусть = AD=x, BC=y ; ÐC=90 в ∆ACBпо теореме Пифагора 152+y2=(x=16)2
-
-
∆ABC: DC2=152- x2
y2-162=152-x2
-
∆BDC: DC2= y2-162
-
+
450+y2-x2=x2+32x+256+y2-256
2x2+32x-450=0
x2+16x-225=0
x1=9, x2= - 25 - посторонний корень
y=20, BC=20см, АВ=25см, АС=15см
r == 5
Ответ: r=5см.
Задача: В ∆АВС на стороне АС взята точка М такая, что АМ=АС, а на стороне ВС взята точка К такая, что ВК=ВС. В каком отношении отрезок ИЬ делит Отрезок АК?
Дано: ∆АВС,
АМ=АС; ВК=ВС
Найти:
Решение:
Пусть ВК=а, ВС=3а. В каких объектах содержатся AN и NK?
Д.П. AL॥BC, AL∩BM=L
Метод подобия
1) ∆BNK∆LNA (Ð1=Ð2; Ð3=Ð4)
=; AL=?
2) ∆AML∆CMB (Ð5=Ð6, Ð3=Ð4)
; ; ; AL=2a,
=
Ответ: =2
Эту задачу можно решить векторным способом (домашние задание).
Выводы: В качестве основных методов решения геометрических задач рассматривали: а) геометрический (метод подобия, векторный, поэтапное решение) и алгебраический метод.
Недостатки геометрического метода можно отметить следующие: нет алгоритма решения, при решении нужны хорошие чертежи, трудно выбрать из множества теорем нужную.
Преимущества алгебраического метода заключаются в том, что основные его модификации могут быть в достаточной степени алгоритмированы, (метод по этапного решения - аналогия - текстовые арифметические задачи), метод составления уравнений (аналогия - текстовые задачи на составление уравнений).
-
Не нужно бояться числа неизвестных.
-
Неизвестные должны полностью определять рассматриваемую в задаче геометрическую фигуру.
-
Величину какого-либо элемента выражают дважды различными способами через введенные неизвестные.
-
Возможно, случай составления уравнения является частью общего решения уравнения.
Однако, следует заметить, что, ставя во главу алгебраический метод решения геометрических задач, необходимо избегать чрезмерного увлечения алгеброй и счетам, не забывать - речь идет о геометрических задачах. Поэтому, работая над задачей, нужно искать ее геометрические особенности, учится видеть геометрию.
В алгебраических решениях встречаются различные дополнительные построения, элементы геометрических методов, когда один из этапов решения ведется геометрическим, а другой алгебраическим метом.
Комбинированный метод.
Таким методом мы уже решали задачи, но рассмотрим еще одну задачу.
Задача. На сторонах АD и CD квадрата ABCD со стороной 3см, взяты две точки M и N так, что MD+DN=3см, прямые BM и CD пересекаются в точка Е. найти длину отрезка NЕ, если MЕ=4см.
Решение.
1) ∆DAM∆EMD
NE=ND+DE=3-x+y
(y-x)=?
2) ∆MDE по теореме Пифагора x2+y2+16
Пусть y-x=z, (1) -3z + xy = 0,
xy = 3z
(2) уравнение: (y-x)2+2xy=16,
z = 2; z = - 8 - не подходит
NE=3+2=5(см)
Ответ: NE=5см