Тема: Три основных метода решения геометрических задач.

1. Основные этапы решения задач:

а) построение чертежа;

б) выявления особенностей полученной конфигурации;

в) выбор пути и метода решения;

г) анализ полученного решения

2.Методы решения задач

При решении геометрических задач обычно используется три основных метода:

а) геометрический, когда требуемые утверждения выводятся с помощью логических рассуждений из ряда известных теорий;

б) алгебраический, когда искомая геометрическая величина вычисляется на основании различных зависимостей между элементами геометрических фигур непосредственно или с помощью уравнения;

в) комбинированный, когда один из этапов решения ведется геометрическим, а другой - алгебраическим методом.

Две разновидности алгебраического метода:

1. метод поэтапного решения;

2. метод составления уравнений.

Сущность первого метода: величины, заданные в условии и те, которые нужно найти, мы связываем цепочкой промежуточных величин, каждая из которых определяется через предыдущие.

Задача: В параллелограмме со сторонами а и в, и углом  проведены биссектрисы четырех углов. Найти площадь четырехугольника, ограниченного биссектрисами.

Решение.

S_MNPQ - ?

1. MNPQ - параллелограмм ( биссектрисы противолежащих углов параллельны)

2. ВМА=MNPQ - прямоугольник

3. S_MNPQ=MN

MN=AN-AM; AM= в; AN=а

MQ=BQ-BM; BM= в; BQ= а

MN= (а- в); MQ= (а- в)

S_MNPQ=(а- в)²

Ответ: S_MNPQ=(а- в)²

Мы рассмотрели алгебраический метод решения, решали поэтапно, т.е. составляли план решения, а затем его реализовали.

Рассмотрим задачи, решаемые при помощи составления уравнений:

Один и тот же элемент (сторона которого, угол, радиус и т.д.) выражается через известные и неизвестные величины двумя различными способами, полученные выражения приравниваются (опорный элемент)

Задача: Стороны треугольника равны а, в, с. Вычислите высоту h_c.

Решение.

1. Выберем опорный элемент.

h_c - общий катет двух прямоугольных треугольников.

2. ∆ АDС

∆СDВ

h_c²в² - х²

а² - (с - х)²= в² - х^2,

а² - с² + 2сх - х² - в²+х²= 0,

2сх = с² + в² - а²,

h_c² = а² - (с - х)²

а² - (с-х) ² = в²- х²,

а² - с² + 2cos - x² - в² +х² = 0,

2сх = с² +в² -а²,

х =

h_c =

Можно было за опорный элемент выбрать площадь треугольника.

Доказать самостоятельноS_∆= ; S_∆=

=h_c = ?

В этом случае говорят, задача решена методом площадей.

Задача: В прямоугольном треугольнике точка касания вписанной окружности делит гипотенузу на отрезки 5 см. и 12см. Найти катеты треугольника.

Решение.

По свойству касательных к окружности, проведенных из одной точки

АС - ? СВ - ?

AF = AD =5см

CF=CE

BD=BE=12 см

Пусть CF=x? тогда

AC = x + 5

BC = X + 12

AB = 17

∆ACD, C = 90

по теореме

Пифагора

(x2+5)² + (x+12)² = 17²,

x² + 10x + 25 +x² + 24x + 144 - 289 = 0,

2x² + 34x - 120 = 0,

x² + 17 - 60 = 0,

Д > 0, x₁= -20 - не удовлетворяет условию задачи

x₂= 3

AC = 8см, BC = 15 см.

Ответ: AC = 8см, BC = 15 см.

Задача: Найти длину основания равнобедренного треугольника, если S_∆ = 25см², а углы  при основании таковы, что tg  = 4.

Решение.

AC - ?

∆ABC : BDAC,

AB=BC? AD=DC

tg =

BD=h, AD=a tg = ;

= 4

S_∆ABC = = ah: ah=25

- не имеет смысла

а = 2,5

Ответ: AC=5см

Задача: Один из катетов прямоугольного треугольника равен 15см, а проекция этого катета на гипотенузу равна 16см. найти радиус окружности, вписанной в треугольник.

Решение.

r - ?

r = (для произвольного треугольника)

r = (для прямоугольного треугольника)

BC - ?, AB - ?

1. Пусть = AD=x, BC=y ; ÐC=90 в ∆ACBпо теореме Пифагора 15²+y²=(x=16)²

2. ∆ABC: DC2=15²- x²

y²-16²=15²-x²

3. ∆BDC: DC2= y2-16²

+

450+y2-x2=x2+32x+256+y2-256

2x2+32x-450=0

x2+16x-225=0

x1=9, x2= - 25 - посторонний корень

y=20, BC=20см, АВ=25см, АС=15см

r == 5

Ответ: r=5см.

Задача: В ∆АВС на стороне АС взята точка М такая, что АМ=АС, а на стороне ВС взята точка К такая, что ВК=ВС. В каком отношении отрезок ИЬ делит Отрезок АК?

Дано: ∆АВС,

АМ=АС; ВК=ВС

Найти:

Решение:

Пусть ВК=а, ВС=3а. В каких объектах содержатся AN и NK?

Д.П. AL॥BC, AL∩BM=L

Метод подобия

1) ∆BNK∆LNA (Ð1=Ð2; Ð3=Ð4)

=; AL=?

2) ∆AML∆CMB (Ð5=Ð6, Ð3=Ð4)

; ; ; AL=2a,

=

Ответ: =2

Эту задачу можно решить векторным способом (домашние задание).

Выводы: В качестве основных методов решения геометрических задач рассматривали: а) геометрический (метод подобия, векторный, поэтапное решение) и алгебраический метод.

Недостатки геометрического метода можно отметить следующие: нет алгоритма решения, при решении нужны хорошие чертежи, трудно выбрать из множества теорем нужную.

Преимущества алгебраического метода заключаются в том, что основные его модификации могут быть в достаточной степени алгоритмированы, (метод по этапного решения - аналогия - текстовые арифметические задачи), метод составления уравнений (аналогия - текстовые задачи на составление уравнений).

1. Не нужно бояться числа неизвестных.

2. Неизвестные должны полностью определять рассматриваемую в задаче геометрическую фигуру.

3. Величину какого-либо элемента выражают дважды различными способами через введенные неизвестные.

4. Возможно, случай составления уравнения является частью общего решения уравнения.

Однако, следует заметить, что, ставя во главу алгебраический метод решения геометрических задач, необходимо избегать чрезмерного увлечения алгеброй и счетам, не забывать - речь идет о геометрических задачах. Поэтому, работая над задачей, нужно искать ее геометрические особенности, учится видеть геометрию.

В алгебраических решениях встречаются различные дополнительные построения, элементы геометрических методов, когда один из этапов решения ведется геометрическим, а другой алгебраическим метом.

Комбинированный метод.

Таким методом мы уже решали задачи, но рассмотрим еще одну задачу.

Задача. На сторонах АD и CD квадрата ABCD со стороной 3см, взяты две точки M и N так, что MD+DN=3см, прямые BM и CD пересекаются в точка Е. найти длину отрезка NЕ, если MЕ=4см.

Решение.

1) ∆DAM∆EMD

NE=ND+DE=3-x+y

(y-x)=?

2) ∆MDE по теореме Пифагора x²+y²+16

Пусть y-x=z, (1) -3z + xy = 0,

xy = 3z

(2) уравнение: (y-x)²+2xy=16,

z = 2; z = - 8 - не подходит

NE=3+2=5(см)

Ответ: NE=5см