- Преподавателю
- Математика
- Разработка урока по теме Общие методы решения уравнений
Разработка урока по теме Общие методы решения уравнений
| Раздел | Математика |
| Класс | 11 класс |
| Тип | Конспекты |
| Автор | Андрюхина М.И. |
| Дата | 08.02.2016 |
| Формат | docx |
| Изображения | Есть |
Государственное автономное профессиональное образовательное
учреждение Краснодарского края
Краснодарский гуманитарно-технологический колледж
РАЗРАБОТКА УРОКА
по дисциплине «Математика: алгебра и начала математического анализа »
по теме «Общие методы решения уравнений»
Краснодар, 2016 г.
Содержание урока
Цели урока:
Обучающие:
-
систематизировать и обобщить знания о методах решения уравнений;
-
формировать умение обучающихся классифицировать уравнения по методам решения;
-
закрепить навыки решения уравнений различными методами;
-
оценить результаты учебной деятельности студентов через рефлексию полученных знаний путем самопроверки и взаимопроверки.
Развивающие:
-
развивать: аналитическое мышление, грамотную математическую речь;
-
произвольное внимание, память через постоянное обращение к уже имеющимся знаниям;
-
умение сравнивать математические объекты, находить сходства и различия между ними, обобщать полученные знания.
Воспитательные:
-
воспитывать у учащихся: сознательную дисциплину, умение объективно оценивать свою работу и работу других;
-
умение взаимодействовать в группе, представлять свою работу по заданной теме, пояснять и аргументировать все этапы решения задачи;
-
умение отстаивать своё мнение, воспитывать чувство сопереживания и формировать у учащихся здоровое соперничество;
-
настойчивость, умение доводить начатое дело до конца;
-
формировать интерес к математике.
Тип урока: комбинированный
Образовательные технологии: проблемное обучение, групповое обучение, ИКТ.
Оборудование:
-
учебная доска;
-
презентации;
-
компьютер, проектор;
-
раздаточный материал.
Межпредметная связь: история, информатика.
Технологическая карта урока.
Этапы урока
Ход урока
Деятельность студентов
1. Организационный момент (3 мин)
Преподаватель определяет готовность студентов к уроку
Подготовка к уроку
2. Целеполагание
(2 мин)
Ставятся цели занятия. Студенты знакомятся с ходом урока
Ознакомление
3. Устная работа (15 мин)
Проверка знания определений и понятий по изучаемой теме
Отвечают на вопросы, выполняют устную работу и проверку
4. Презентация метода решения уравнений разложением на множители (10 мин)
Группа студентов представляют презентацию метода, рассматривают примеры решения уравнений.
Знакомятся с презентацией, задают вопросы, конспектируют теоретический и практический материал
5. Самостоятельная работа по теме «Решение уравнением методом разложения на множители» (15 мин)
Группа студентов предлагает задания для самостоятельного решения
Выполняют задания, группа студентов проводит консультации и контролирует выполнение заданий. Проводится устная и письменная проверки
6. Презентация метода решения уравнений путем введения новой переменной (10 мин)
Группа студентов представляют презентацию метода, рассматривают примеры решения уравнений
Знакомятся с презентацией, задают вопросы, конспектируют теоретический и практический материал
7. Самостоятельная работа по теме «Решение уравнением методом введения новой переменной» (15 мин)
Группа студентов предлагает задания для самостоятельного решения
Выполняют задания, группа студентов проводит консультации и контролирует выполнение заданий. Проводится устная и письменная проверки
8. Презентация графического метода решения уравнений (10 мин)
Группа студентов представляют презентацию метода, рассматривают примеры графического решения уравнений, предлагают домашнее задание для самостоятельного решения
Знакомятся с презентацией, задают вопросы, конспектируют теоретический и практический материал
9. Заключение (5 мин)
В заключении преподаватель представляет метод решения уравнений путем оценки области определения, подчеркивая тот факт, что наряду с основными методами решения уравнений существуют и другие методы
Знакомятся с методом, задают вопросы, конспектируют теоретический и практический материал
10. Итог урока (5 мин)
Дается оценка деятельности групп, заполняются индивидуальные карты учета баллов, объявляются оценки
Обсуждают деятельность групп, осуществляют рефлексию полученных знаний и собственной деятельности
1.Организационный момент.
Приветствие.
Тема «Уравнения» − одна из важнейших тем курса алгебры. Мы изучили различные виды уравнений, а также методы их решения.
Цель урока - повторить и обобщить сведения о методах решения уравнений. Но прежде вспомним основные определения и правила.
2. Актуализация знаний по теме «Общие методы решения уравнений».
2.1. Уравнение. Решение уравнения. ОДЗ уравнения.
На экране отображаются вопросы и задания для устной работы.
-
Что называется уравнением? (Равенство, содержащее переменную).
-
Какие виды уравнений вы знаете?
-
линейные;
-
квадратные;
-
дробно-рациональные;
-
иррациональные;
-
тригонометрические;
-
показательные;
-
логарифмические.
-
Что называют решением уравнения? (Решением уравнения называют то значение переменной, при котором данное уравнение обращается в верное равенство).
-
Что значит - решить уравнение? (Решить уравнение - это значит найти все его корни или доказать, что корней нет).
-
Что называют областью допустимых значений переменной (ОДЗ)? (ОДЗ переменной уравнения f(x) = g(x) называют множество тех значений переменной х, при которых одновременно имеют смысл выражения f(x) и g(x)).
-
Сформулируйте правила нахождения ОДЗ для уравнений:
-
f(x) + g(x) = 0, где f(x) и g(x) - многочлены, (x - любое число);
-
= c, (g(x) ≠ 0); -
= g(x), (f(x) ≥ 0, g(x) ≥ 0); -
= c, (f(x) ∙ g(x) ≥ 0, g(x) ≠ 0); -
= 
, где a > 0, a ≠ 1, (f(x) > 0, g(x) > 0).
Задание 1. Укажите ОДЗ уравнения:
1) 
= 
, (х - любое число); 6) 
= 0,5, (х - любое число);
2) 
= 4, (х ≠ 15); 7) 
= 81, (х - любое число);
3) 
= 
, (х ≠ 
2,4); 8) 
, (х > − 8);
4) 
(х > 3,5); 9) 
= 3, (х ≠ 1, − 2 < х < 2);
5) 
= 2; (х ≠ 
n, n 
Z); 10) 
= 
, (− 2< x <5).
2.2. Равносильность уравнений.
-
При каком условии одно из уравнений является следствием другого уравнения? (Если множество корней данного уравнения содержит корни другого уравнения, то данное уравнение является следствием другого уравнения).
-
Какие уравнения называются равносильными? (Уравнения равносильны, если каждое из них является следствием другого, т. е. множества их корней совпадают).
-
Какие преобразования приводят к равносильным уравнениям? (Прибавление к обеим частям уравнения одного и того же числа, умножение обеих частей уравнения на одно и то же число, деление обеих частей уравнения на одно и то же число не равное нулю.)
-
Какие действия при преобразовании уравнений можно назвать «опасными» и почему? (При делении уравнения на выражение, содержащее переменную, может произойти потеря корней, при умножении уравнения на выражение, содержащее переменную, или возведении обеих частей уравнения в квадрат могут появиться посторонние корни).
Задание 2. Выясните, какое из уравнений является следствием другого уравнения:
-
(1)
+ 16 = 0 (2) 2х − 5 = 3, ((2) 
(1)); -
(1) 2х = х - 1 (2)
= 
, ((1) (2)); -
(1)
= 9 (2) х + 1 = 3, ((2) (1)); -
(1)
= 
(2) 
= 
, ((1) (2)); -
(1) |x - 6| = |2x| (2) х - 6 = 2х, ((2)
(1)); -
(1) 2
= 3 (2) = 64, ((1) (2));
Задание 3. Добавьте дополнительные условия так, чтобы были равносильны уравнения:
-
= 1 
= 
; … ( ≠ 0) - ∙ = ♦ ∙ = ♦; … ( ≠ 0)
-
= =
; … ( ≥ 0) - =
= ; … ( ≥ 0, ≥ 0) -
2
= 1 
= 10; … ( > 0) - =
= 
; … (− 
< < , − < < ) -
= 1 = 0; … ( ≠ 1, ≠ 0) -
= 
= ♦; … ( ≠ 0, ≠ 1) -
|
| = = ; … ( = − , ≥ 0).
По итогам работы проводится взаимопроверка. Обсуждаются результаты.
Заполняются индивидуальные карты учета баллов.
3. Презентация методов решения уравнений, подготовленные группами студентов.
Вопрос студентам. Какие основные методы решения уравнений вы знаете?
После ответов студентов на экране отображаются перечисленные методы:
-
метод решения уравнений h(f(x)) = h(g(x)) путем замены уравнением f(x) = g(x);
-
метод разложения на множители;
-
метод введения новой переменной;
-
графический метод.
3.1. Презентация метода разложения на множители.
Первая группа студентов представляет презентацию метода решения уравнений путем разложения на множители.
Решить равнение f(x) ∙ g(x) = 0. В основе метода лежит правило умножения − произведение тогда равно нулю, когда один из множителей равен нулю:
f(x) ∙ g(x) = 0 
Способы разложения на множители:
-
вынесением множителя за скобку;
-
способом группировки;
-
с помощью формул сокращенного умножения.
Рассмотрим примеры решения уравнений данным способом:
Пример 1. Решить уравнение 
+ 
= 0.
Решение. Преобразуем данное уравнение, применив формулу синуса удвоенного аргумента:
+ 
= 0,
Вынесем общий множитель за скобку:
(1 + 2
) = 0,
Полученное уравнение равносильно совокупности:
Ответ: 
Пример 2. Решить уравнение 
+ 5 - 9х - 45 = 0.
Решение. Сгруппируем слагаемые и вынесем общий множитель за скобки:
(х + 5) - 9(х + 5) = 0,
Вынесем множитель (х + 5) за скобку:
(х + 5)( - 9) = 0,
Полученное уравнение равносильно совокупности:
Ответ: − 5, 3.
Пример 3. Решить уравнение 
− 8
+ 
- 16 = 0.
Решение. Перепишем уравнение в виде:
− 8
+2 ∙ 
- 16 = 0,
Сгруппируем слагаемые и вынесем общий множитель за скобки:
( - 8) + 2( - 8) = 0,
Вынесем общий множитель ( - 8) за скобку:
( - 8)( + 2) = 0,
Полученное уравнение равносильно системе:
х = 4 
.
х = 3 не удовлетворяет условию ОДЗ: х > 4.
Ответ: 4 .
Группа предлагает другим студентам самостоятельно решить подобные задания:
Вариант 1. Решите уравнения:
-
2
− 
= 0; (k; 
). - − 3 - 4х + 12 = 0; ( 2 и 3).
-
− 3
− 2 ∙ 
+ 6 = 0; (1 и 4).
Вариант 2. Решите уравнения:
-
2
+ 
= 0; (
k; 
). - + 6 - х − 6 = 0; (− 6 и 1).
-
− 2
− 
+ 2 = 0; (1 и 5).
В процессе решения группа консультирует и проводит проверку результатов выполнения заданий, выставляет баллы в учетную карту студента.
3.2. Презентация метода введения новой переменной.
Вторая группа студентов представляет презентацию метода решения уравнений путем введения новой переменной.
Если уравнение f(x) = 0 возможно привести к виду f(g(x)) = 0, то имеет смысл ввести новую переменную t = g(x), решить уравнение f(t) = 0, а затем решить с учетом ОДЗ совокупность уравнений:
Рассмотрим примеры решения уравнений данным способом:
Пример 4. Решить уравнение + 5 + 3 = 0.
Преобразуем уравнение, применив формулу косинуса удвоенного аргумента:
2 − 1+ 5 + 3 = 0,
2 + 5 + 2 = 0.
Введем новую переменную t = , где − 1 < t < 1:
2
+ 5t + 2 = 0,
= − 2 - не удовлетворяет условию − 1 < t < 1,
= − 
.
Перейдем к подстановке:
= − ;
х = 
.
Ответ: .
Пример 5. Решите уравнение 
+ 
= 3.
Решение. Перед тем как применить свойство логарифмов в левой части уравнения введем новую переменную:
t = + 3х.
Получим более простое уравнение относительно переменной t:
+ 
= 3.
Применим свойство логарифмов в левой части уравнения:
= 3.
Перейдем к равносильной системе:
t = 4.
Перейдем к подстановке:
+ 3х = 4, + 3х - 4 = 0, 
= - 4, 
= 1.
Ответ: - 4 и 1.
Пример 6. Решить уравнение 
= 2 − х - 11.
Решение. Если возводить в квадрат левую и правую части уравнения, то в правой части мы получим квадрат трехчлена. Чтобы избежать громоздких преобразований, можно ввести новую переменную:
t = 2 - х.
Получим уравнение относительно переменной t:
= t - 11.
Перейдем к равносильной системе:
t = 15.
Перейдем к подстановке:
2 - х = 15, 2 - х − 15 = 0, = - 2,5, = 3.
Ответ: - 2,5 и 3.
Группа предлагает другим студентам самостоятельно решить подобные задания:
Вариант 1. Решите уравнения:
- −
+ 1 = 0; ( + 2n, n Z) -
+ 
= 1; (− 2 и 3). -
= + 4х - 3; (- 5 и 1).
Вариант 2. Решите уравнения:
- + 2
+ 2 = 0; ( + 2n, n Z). -
+ 
= 1; (− 1,5 и 1). -
= − 2х + 2; (0 и 2).
В процессе решения группа консультирует и проводит проверку результатов выполнения заданий, выставляет баллы в учетную карту студента.
3.3. Презентация графического метода решения уравнений.
Графический метод решения уравнений по сравнению с аналитическим методом имеет свои недостатки и преимущества. Недостаток - это приближенное значение корней, преимущество - наглядность решения. Путь к решению задачи иногда лежит через графическое представление данных.
Пусть стоит задача решить уравнение f(x) = g(x), которое сложно решить аналитически. В этом случае можно решить уравнение графически. Для этого строим графики функций у = f(x) и у = g(x). Точкам пересечения графиков этих функций соответствуют те значения аргумента х, при которых совпадают значения функций. Эти значения аргумента являются корнями уравнения.
X
У
1
1
4
0
2
у = |x - 2|
у = 
Рис. 1
Пример 7. Решим уравнение 
= |x - 2|.
Решение. Построим графики функций
у = и у = |х - 2| (рис. 1).
Графики функций пересекаются в точках с абсциссами 
= 1 и 
= 4.
Значит, уравнение имеет два корня = 1 и = 4.
Ответ: 1 и 4.
Х
У
2
1
-0,8
1
0
У =
У =
Рис. 2
Пример 8. Решим уравнение = .
Решение. Построим графики функций у = и у = (рис. 2).
Графики функций пересекаются в точках с абсциссами = 
- 0,8 и = 2.
Значит, уравнение имеет два корня:
= - 0,8 и = 2.
Ответ: - 0,8 и 2.
У = 
Х
У
2,6
1
0
1
У = + 1
Рис. 3
Пример 9. Решим уравнение = + 1.
Решение. Построим графики функций у = и у = |х - 2| (рис. 3).
Графики функций пересекаются в точках с абсциссами = 0 и = 2,6.
Значит, уравнение имеет два корня = 0 и = 2,6.
Ответ: 0 и 2,6.
Группа предлагает для домашней самостоятельной работы подобные задания:
Задание. Решите графически уравнения:
-
= х - 4; -
= ; - = 3 - 2х - ;
- = + х - 2.
4. Заключение.
Мы с вами вспомнили понятия и определения, связанные с уравнениями и закрепили основные методы решения уравнений, но многообразие способов решения не ограничиваются рассмотренными методами. Хочу предложить вам на рассмотрение еще один способ решения уравнений f(x) = g(x) через оценку области значений функций у = f(x) и у = g(x).
Пример 10. Решить уравнение 
= - + 2х - 3.
Решение. Рассмотрим функцию у = - + 2х - 3. Ее графиком является парабола, ветви которой направлены вниз. Значит, в вершине парабола функция достигает своего наибольшего значения.
Найдем абсциссу вершины параболы: х = - 
, x = 
= 1.
Найдем значение функции в точке х = 1, у = - 1 + 2 - 3 = - 2.
Для функции у = - + 2х - 3 область значений Е(f) = (- 
; - 2] и следовательно, унаиб = - 2.
Рассмотрим функцию у = . Найдем область значений функции:
- 1 ≤ 
≤ 1, - 2 ≤ ≤ 2, Е(f) = [- 2; 2], унаим = - 2.
Задача сводится к решению системы: 
Из второго уравнения х = 1. Проверим, будет ли значение х = 1 корнем первого уравнения: 
= 
= 2 ∙ (- 1) = - 2.
Итак, значение х = 1 удовлетворяет каждому уравнению системы и, следовательно, является единственным решением заданного уравнения.
Ответ: 1.
Преподаватель предлагает для домашней самостоятельной работы подобное задание:
Задание. Решить уравнение 
= - 2х + 2.
5. Подведение итогов урока.
Во время рассмотрения примера 10 рабочая группа подсчитывает баллы, набранные студентами за выполнение заданий.
Обсуждаются презентации групп. Группы-участники конференции сдают отчеты о деятельности групп. Преподаватель дает рекомендации и качественную оценку подготовке и выступлению групп-участников конференции. Объявляются оценки.
Карта учета баллов.
Фамилия, имя ____________________________________ группа _______
Тема урока _____________________________________________________
В заданиях 1 - 3 каждое правильно выполненное задание оценивается 1 баллом.
Задание 1. Указать ОДЗ уравнения.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Итог
Задание 2. Выяснить, какое из уравнений является следствием другого уравнения.
1
2
3
4
5
6
Итог
Задание 3. Добавить дополнительные условия так, чтобы были равносильны уравнения.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
Итог
Самостоятельная работа.
Задания самостоятельной работы оцениваются «3», «4» и «5» баллами.
«5» - задание выполнено правильно;
«4» - задание выполнено правильно с незначительной помощью консультантов;
«3» - задание выполнено правильно с помощью консультантов.
В случае невыполненного задания баллы не выставляются.
Решение уравнений методом разложения на множители.
1
2
3
Итог
Решение уравнений методом введения новой переменной.
1
2
3
Итог
Подведение итогов.
Устная работа
Самостоятельная работа
Работа в группах
Итог
баллы
оценка
1
2
3
Метод разложения на множители
Метод введения новой переменной
Презентация метода разложения на множители
Презентация метода введения новой переменной
Презентация графического метода
Критерии оценок:
40 - 55 баллов - «5»; 30 - 39 баллов - «4»; 20 - 29 баллов - «3».