Комплекс задач по ГИА (планиметрия)

Комплекс задач по ГИА (планиметрия)

Задача 1.
Дан треугольник со сторонами 5, 12 , 13. Точка О лежит на большей стороне треугольника и является центром окружности, касающейся двух других сторон, найдите радиус окружности.
Решение:
Нарисуем рисунок: AC=5, AB=12, CB=13.

Заметим, что этот треугольник является прямоугольным, по обратной теореме Пифагора, т.к. выполняется равенство:
169 = 144 + 25
На CB находится точка О, которая является центром окружности. Эта окружность касается AC и AB в точках E и D соответственно. Проведем радиусы OE и OD. Эти отрезки будут перпендикулярны соответствующим сторонам треугольника, т.к. перпендикуляры к касательной проходящие через точку касания, проходят через цент окружности. Обозначим радиус окружности за x.

Далее, заметим, что ADOE - квадрат, т.к. три угла в нем = 90^o и две смежные стороны радиусы, т.е. равны. Значит,
OE = OD = AE = AD = x.
CE = 5 - x
DB = 12 - x
Обозначим CO = a.
OB = 13 - a.

По теореме Пифагора у треугольника CEO:
CO² = CE² + EO²
a² = (5-x)² + x²

По теореме Пифагора у треугольника DOB:
OB² = OD² + DB²
(13 - a)² = x² + (12 - x)²

a² = 25 - 10x + 2x² (Выражение №1)
169 - 26a + a² = 144 - 24x + 2x² (Вырадение №2)

Подставим во второе выражение вместо a², первое выражение.

25 - 26a + (25 - 10x + 2x²) = -24x + 2x²
50 - 26a -10x = -24x
-26a = -14x - 50 (умножим на -0,5)
13a = 7x + 25
a = (7x+25)/13

Подставим полученное a в первое выражение и умножим все выражение на 169.
(7x+25)² = 4225 - 1690x + 338x²
49x² + 350x + 625 = 4225 - 1690x + 338x²
289x² - 2040x - 3600 = 0
D = 4141600 - 4141600 = 0
x = 2040/578 = 1020/289 = 60/17 = 3 целых 9/17
За х мы обозначали радиус окружности, значит, ответ будет 3 целых 9/17

Ответ: 3 целых 9/17

Задача 2.

В прямоугольном треугольнике биссектриса, проведенная из вершины прямого угла, делит гипотенузу в отношении 3 : 2, а высота делит гипотенузу на отрезки, один из которых на 20 больше другого. Найти площадь треугольника.

Решение.
Рассмотрим треугольник АВС - прямоугольный (рис. 1).
1) СL - биссектриса прямого угла C. По условию LB : AL = 3 : 2, тогда по теореме о биссектрисе угла треугольника имеет место равенство CB/AC = LB/AL.

Имеем CB/AC = 3/2, т.е. CB = 3y; AC = 2y.
2) Пусть AH = x, тогда НВ = х + 20. Так как треугольник АВС - прямоугольный, то имеют место равенства
АС2 = АН · АВ и ВС2 = НВ · АВ.
Таким образом, можно записать:
(2у)² = х(2х + 20) и (3у)² = (х + 20)(2х + 20).

Из первого уравнения имеем
у² = х(2х + 20)/4, из второго у² = (х + 20)(2х + 20)/9.

Можно приравнять правые части полученных выражений, получим:
х(2х + 20)/4 = (х + 20)(2х + 20)/9.

После упрощения будем иметь:
х/4 = (х + 20)/9; 9х = 4х + 80; 5х = 80; х = 16.

Таким образом, у² = 16 · (2 · 16 + 20)/4 = 4 · 52 = 208.

3) Площадь треугольника АВС можно найти по формуле S_ABC = (AC · CB)/2.

S_ABC = 2у · 3у/2 = 3у².
S_ABC = 3 · 208 = 624.

Ответ: 624.

Задача 3.

Стороны прямоугольного треугольника образуют геометрическую прогрессию. Найти значение выражения (6 + 2√5)1/2 · sin α, где α - меньший угол треугольника.

Решение.
1) Пусть в прямоугольном треугольнике АВС меньшая сторона СВ = а, тогда АС = аq и AB = aq², где q > 1.
Кроме того, угол А = α - меньший угол треугольника АВС, так как лежит напротив меньшей из сторон этого треугольника (рис. 2).

2) По теореме Пифагора АВ² = АС² + ВС², тогда (аq²)² = (aq)² + а².
Упростим полученное выражение:
а²q⁴ = a²q² + а² или q⁴ - q² - 1 = 0 после сокращения на q ≠ 0.
Рассмотрим полученное уравнение как квадратное относительно q², тогда
D = 1 - 4 · 1 · (-1) = 5;
q² = (1 ± √5)/2. Так как q² > 1, то q² = (1 + √5)/2.

3) По определению синуса sin α = CB/AB. Таким образом, sin α = а/аq² = 1/q², поэтому sin α = 2/(1 + √5).

4) Найдем значение необходимого по условию задачи выражения:
(6 + 2√5)1/2 · sin α = (6 + 2√5)^1/2 · 2/(1 + √5).
В числовом выражении 6 + 2√5 можно выделить полный квадрат, получим
6 + 2√5 = (1 + √5)².
Подставим в искомое выражение:
(6 + 2√5)^1/2 · sin α = (6 + 2√5)^1/2 · 2/(1 + √5) = ((1 + √5)²)^1/2 · 2/(1 + √5) = (1 + √5) · 2/(1 + √5) = 2.

Ответ: 2.

Задача 4.

В прямоугольном треугольнике катеты равны 24√2 и 7√2. Найти расстояние от вершины прямого угла до центра вписанной в этот треугольник окружности.

Решение.

Рассмотрим треугольник АВС - прямоугольный.

1) СМОN - квадрат, СО - диагональ этого квадрата и искомое расстояние (рис. 3), тогда СО = а√2. Так как а = r, то СО = r√2.

2) По теореме Пифагора АВ² = АС² + ВС², тогда АВ² = (24√2)² + (7√2)².
Вычисляем: АВ² = 576 · 2 + 49 · 2 = 2 · 625; АВ = 22√2.

3) Радиус вписанной в прямоугольный треугольник окружности найдем по формуле r = (a + b - c)/2:

r = (24√2 + 7√2 - 25√2)/2 = 3√2, тогда СО = 3√2 · √2 = 6.

Ответ: 6

Задача 5.

Площадь прямоугольного треугольника равна 6√3. Найти его высоту, проведенную к гипотенузе, если она делит прямой угол в отношении 1 : 2.

Решение.

1) В прямоугольном треугольнике АВС угол АСН относится к углу ВСН как 1 к 2, поэтому обозначим угол АСН = х, угол ВСН = 2х.
Их сумма равна углу С и равна 90°, поэтому АСН + ВСН = 90°,
а значит х + 2х = 90°, х = 30°.
Имеем: угол АСН = 30°, угол ВСН = 60° (рис. 4).

2) Пусть СН = у.
Из прямоугольного треугольника АСН по определению тангенса:
tg ACH = AH/CH; AH = y · tg 30° = y√3/3.
Из прямоугольного треугольника СBН по определению тангенса:
tg BCH = HB/CH; HB = y · tg 60° = y√3.
SABC = (CH · AB)/2; AB = AH + HB = y√3/3 + y√3 = 4y√3/3;
SABC = 6√3 (по условию), тогда 6√3 = (у · 4y√3/3)/2;
6 = 4у²/6;
у² = 9; у = 3, то есть СН = 3.
Ответ: 3.

Задача 6.
Стороны треугольника равны √5; 2; 3. Найти квадрат расстояния от вершины меньшего угла треугольника до точки пересечения его биссектрис.

Решение.

1) Пусть в треугольнике АВС сторона СВ = 2, АС = √5 и АВ = 3.
Так как 32 = √52 + 22, то треугольник АВС - прямоугольный с гипотенузой АВ (по теореме, обратной теореме Пифагора) (рис. 5).
2) Точка пересечения биссектрис треугольника является центром вписанной в этот треугольник окружности.
По формуле r = (a + b - c)/2 найдем r = (2 + √5 - 3)/2 = (√5 - 1)/2.
3) Так как СМОN - квадрат, то МС = r = (√5 - 1)/2, тогда
АМ = АС - МС; АМ = √5 - (√5 - 1)/2 = (√5 + 1)/2.
4) Так как СВ - меньший катет, то угол А - меньший угол, значит, АО - и есть искомое расстояние.
5) Из треугольника АОМ по теореме Пифагора АО² = АМ² + МО², тогда
АО² = ((√5 + 1)/2)² + ((√5 - 1)/2)²;
АО² = (5 + 2√5 + 1)/4 + (5 - 2√5 + 1)/4 = 12/4 = 3.

Ответ: 3.

Задача 7.

В прямоугольном треугольнике длины медиан, проведенных из вершин острых углов, равны √34 и √11. Найти длину гипотенузы.

Решение.

Рассмотрим треугольник АВС - прямоугольный.
1) АМ = √34; ВN = √11 (рис. 6). Пусть ВС = а; АС = b, тогда СМ = 1/2; ВС = а/2; СN = 1/2 АС = b/2.
2) В треугольнике АСМ - прямоугольном по теореме Пифагора
АМ² = СМ² + АС², тогда (√34)² = (а/2)² + b²; а²/4 + b² = 34.
3) Из треугольника CNB - прямоугольного по теореме Пифагора
NB² = CB² + CN², тогда (√11)² = (b/2)² + a²; b²/4 + a² = 11.
4) Сложим равенства а²/4 + b² = 34 и b²/4 + a² = 11 и получим:
а²/4 + b² + b²/4 + a² = 11 + 34;
5а²/4 + 5b²/4 = 45;
а² + b² = 36.
5) В треугольнике АВС по теореме Пифагора
АВ² = АС² + ВС², тогда АВ² = а² + b²;
АВ² = 36, АВ = 6.

Ответ: 6.

Задача 8. В прямоугольном треугольнике точка касания вписанной окружности делит гипотенузу на отрезки 5 см и 12 см. Найти катеты треугольника.

Решение:

АМ = 5; ВМ = 12. Пусть радиус вписанной окружности равен см.

По свойствам отрезков касательных, проведенных к окружности из внешней точки: BM = BN, AM = AP.

Тогда BC = BN + NC = 12 + ,

AC = AP + PC = 5 + , AB = BM + MA = 12 + 5 = 17.

По теореме Пифагора АВ = АС + ВС.

( + 12) + ( + 5) = 17.

Упростив уравнение, получим + 17 - 6 = .

Его корни = - 2 (посторонний) и = 3.

Тогда АС = 5 + 3 = 8; ВС = 12 + 3 = 15.

Ответ: 8 см, 15 см.

Задача 9. В параллелограмме ABCD со стороной AD = 25 проведена биссектриса угла А, проходящая через точку Р на стороне ВС. Найдите периметр трапеции APCD, если ее средняя линия равна 15, а диагональ .

Решение:

1) , так как АР - биссектриса; тогда АВР - равнобедренный (АВ = ВР);

2) MN - средняя линия трапеции APCD: 2MN = AD + PC; AD + PC = 30; PC = 5; BP = 20; AB = 20.

По теореме косинусов:

3) В АВР: AP = AB+BP- 2ABBPcosAВР.

4) В АВC: AC = AB+ BC- 2ABBCcosAВР.

Из 4) находим cosAВР = ; подставив найденное значение в 3), получим АР = 900, АР = 30.

5) = AP + РС + CD + DА = 30 + 5 + 20 + 25 = 80.

Ответ: 80.

Задача 10. Сторона правильного шестиугольника ABCDEF равна . Найдите радиус окружности, вписанной в треугольник МРК, где точки М, Р, К - середины сторон шестиугольника ABCDEF соответственно.

Решение: Для наглядности изобразим правильный шестиугольник как вписанный в окружность.

1) По свойствам правильного шестиугольника BE = 2 AF = .

2) ABEF - равнобедренная трапеция, в которой МК - средняя линия: МК = .

3) РК - равносторонний. Радиус искомой вписанной окружности PN, PN = МК.

PN = = 72, следовательно, = 24.

Ответ: 24.

Задача 11. Углы при одном из оснований трапеции равны и , а разность квадратов длин ее оснований равна 8. Найти площадь трапеции.

Решение:

В трапеции , .

Продолжим боковые стороны AD и ВС до пресечения их в точке Р. CРD - прямоугольный, так как .

S = S - S

Пусть AB = , CD = ; по условию - = 8, AB CD.

S CP DP; S = PB PA.

; ; ; .

.

.

S - = - 8 = 1.

Ответ: 1.

Задача на параметры

При каких значениях а уравнение имеет равные корни?

Уравнение имеет равные корни в том случае, если дискриминант равен нулю. Найдем дискриминант данного уравнения и приравняем его к нулю:

Ответ: при а=2 и а=2/35.