Методическое пособие по теме: Решение задач к зачету №12

Раздел Математика
Класс 11 класс
Тип Другие методич. материалы
Автор
Дата
Формат docx
Изображения Есть
For-Teacher.ru - все для учителя
Поделитесь с коллегами:

Решение зачета 12 Применение производной к исследованию функций

1.Степенная функция

1. Найдите наибольшее значение функции на отрезке .

Решение.

Найдем производную заданной функции:

Найдем нули производной:

Определим знаки производной функции и изобразим на рисунке поведение функции:

В точке заданная функция имеет максимум, являющийся ее наибольшим значением на заданном отрезке. Найдем это наибольшее значение:

Ответ: 3.

2.Найдите точку минимума функции

Решение.

Найдем производную заданной функции:

Найдем нули производной:

Определим знаки производной функции и изобразим на рисунке поведение функции:

Искомая точка минимума Ответ: −1.


3. Найдите точку максимума функции

Решение.

Найдем производную заданной функции:

Найдем нули производной:

Определим знаки производной функции и изобразим на рисунке поведение функции:

В точке 3 производная меняет знак с плюса на минус, поэтому эта точка является точкой максимума. Ответ: 3.


2.Иррациональные функции

1.Найдите точку максимума функции

Решение.

Найдем производную заданной функции:

Найдем нули производной:

Определим знаки производной функции и изобразим на рисунке поведение функции:

Искомая точка максимума

2.Найдите наибольшее значение функции на отрезке

Решение.

Найдем производную заданной функции:

Найдем нули производной:

Определим знаки производной функции и изобразим на рисунке поведение функции:

Найденная производная неотрицательна на заданном отрезке, заданная функция возрастает на нем, поэтому наибольшим значением функции на отрезке является:

.

3.Найдите точку минимума функции .

Решение.

Квадратный трехчлен с положительным старшим коэффициентом достигает минимума в точке в нашем случае - в точке −3. Поскольку функция возрастающая, а заданная функция определена при найденном значении переменной, она достигает минимума в той же точке, в которой достигает минимума подкоренное выражение.

Ответ: −3.

3. Частные двух функций

1.Найдите точку минимума функции .

Решение.

Найдем производную заданной функции:

.

Найдем нули производной:

Определим знаки производной функции и изобразим на рисунке поведение функции:

Искомая точка минимума .

Ответ: −1.


2.Найдите наибольшее значение функции на отрезке .

Решение.

Найдем производную заданной функции:

.

Найденная производная обращается в нуль в точках 3 и −3, из них на отрезке [−4; −1] лежит только точка −3.

Определим знаки производной функции и изобразим на рисунке поведение функции:

В точке заданная функция имеет максимум, являющийся ее наибольшим значением на заданном отрезке. Найдем это наибольшее значение:

3.Найдите точку минимума функции .

Решение.

Найдем производную заданной функции:

.

Найдем нули производной:

Определим знаки производной функции и изобразим на рисунке поведение функции:

Искомая точка минимума . Ответ: 26.

4.Произведение двух функций

1. Найдите наименьшее значение функции на отрезке .

Решение.

Найдем производную заданной функции:

Найдем нули производной:

Определим знаки производной функции и изобразим на рисунке поведение функции:

В точке заданная функция имеет минимум, являющийся ее наименьшим значением на заданном отрезке. Найдем это наименьшее значение: .

Ответ: 0.

2. Найдите точку максимума функции .

Решение.

Найдем производную заданной функции:

Найдем нули производной:

Определим знаки производной функции и изобразим на рисунке поведение функции:

Искомая точка максимума .

Ответ: 10.

3.Найдите точку максимума функции .

Решение.

Найдем производную заданной функции:

Найдем нули производной:

Определим знаки производной функции и изобразим на рисунке поведение функции:

Искомая точка максимума

4. Найдите наибольшее значение функции на отрезке .

Решение.

Найдем производную заданной функции:

Найдем нули производной на заданном отрезке:

Определим знаки производной функции на заданном отрезке и изобразим на рисунке поведение функции:

В точке заданная функция имеет максимум, являющийся ее наибольшим значением на заданном отрезке. Найдем это наибольшее значение:

.

Ответ: 5.

5.Показательная функция

1.Найдите наименьшее значение функции на отрезке .

Решение.

Найдем производную заданной функции:

Найдем нули производной:

Отметим на рисунке нули производной и поведение функции на заданном отрезке:

Следовательно, наименьшим значением функции на заданном отрезке является ее значение в точке минимума. Найдем его:


6.Логарифмическая функция

1.Найдите наибольшее значение функции на отрезке

Решение.

Найдем производную заданной функции:

Найдем нули производной на заданном отрезке:

Определим знаки производной функции на заданном отрезке и изобразим на рисунке поведение функции:

В точке заданная функция имеет максимум, являющийся ее наибольшим значением на заданном отрезке. Найдем это наибольшее значение:

Ответ: 20.

2.Найдите наибольшее значение функции на отрезке .

Решение.

Найдем производную заданной функции:

Найдем нули производной на заданном отрезке:

Определим знаки производной функции на заданном отрезке и изобразим на рисунке поведение функции:

В точке заданная функция имеет максимум, являющийся ее наибольшим значением на заданном отрезке. Найдем это наибольшее значение:

. Ответ: −3.

3.

Найдите точку максимума функции

Решение.

Квадратный трехчлен с отрицательным старшим коэффициентом достигает наибольшего значения в точке , в нашем случае - в точке Функция в этой точке определена. Поскольку логарифмическая функция с основанием, большим единицы, возрастает, то - точка максимума функции.

Ответ:2.


7.Тригонометрические функции

1.Найдите наибольшее значение функции на отрезке .

Решение.

Найдем производную заданной функции:

Найдем нули производной на заданном отрезке:

Определим знаки производной функции на заданном отрезке и изобразим на рисунке поведение функции:

В точке заданная функция имеет максимум, являющийся ее наибольшим значением на заданном отрезке. Найдем это наибольшее значение:

.

Ответ: 12.

2.Найдите наименьшее значение функции на отрезке .

Решение.

Найдем производную заданной функции: Найденная производная отрицательна при всех значениях переменной, поэтому заданная функция является убывающей.

Следовательно, наименьшим значением функции на заданном отрезке является

Ответ: 9.

3.Найдите наибольшее значение функции на отрезке .

Решение.

Найдем производную заданной функции:

Найденная производная неположительна на заданном отрезке, заданная функция убывает на нем, поэтому наибольшим значением функции на отрезке является

Ответ: −5.


4. Найдите точку максимума функции , принадлежащую промежутку .

Решение.

Найдем производную заданной функции:

.

На заданном промежутке (первая четверть без граничных точек) синус не обращается в нуль и принимает только положительные значения. Поэтому единственный нуль производной - число 1,5.

Определим знаки производной функции: она положительна при x < 1,5 и отрицательна при x > 1,5. Поэтому искомая точка максимума - число 1,5.

8. Исследование без производной

1.Найдите точку максимума функции .

Решение.

Квадратный трехчлен с отрицательным старшим коэффициентом достигает максимума в точке , в нашем случае - в точке −9. Поскольку функция возрастающая, а заданная функция определена при найденном значении переменной, она достигает максимума в той же точке, в которой достигает максимума подкоренное выражение.

Ответ: −9.

2.Найдите точку минимума функции .

Решение.

Квадратный трехчлен с положительным старшим коэффициентом достигает минимума в точке , в нашем случае - в точке 15. Поскольку функция возрастает, и заданная функция определена в точке 15, она также достигает в ней минимума.

Ответ: 15.

3.Найдите точку минимума функции .

Решение.

Поскольку функция возрастающая, заданная функция достигает минимума в той же точке, в которой достигает минимума выражение . Квадратный трехчлен с положительным старшим коэффициентом достигает минимума в точке , в нашем случае - в точке 4.

Ответ: 4.

4.Найдите наименьшее значение функции .

Решение.

Квадратный трехчлен с положительным старшим коэффициентом достигает наименьшего значения в точке , в нашем случае - в точке -7. Функция в этой точке определена и принимает значение . Поскольку логарифмическая функция с основанием, большим 1, возрастает, найденное значение является искомым наименьшим значением заданной функции.

Ответ: 13.


© 2010-2022