Решение задачи на нахождение наибольшего значения функции разными способами по алгебре и началам математического анализа в 10 классе

Корзунова Раиса Ивановна,

муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение «Бехтеевская средняя общеобразовательная школа Корочанского района Белгородской области»

ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ПОНЯТИЯ СЛОЖНОЙ ФУНКЦИИ

ПРИ РЕШЕНИИ ЗАДАЧ ЕГЭ

Сложные функции являются основой некоторых задач ЕГЭ. Для примера рассмотрим одну из таких задач.

Задача: найдите наибольшее значение функции f(x)=18(0,5x-2)²-(0,5x-2)⁴ при |x-5|≤3.

I способ

Стандартное решение задачи с использованием производной.

f(x)=(0,5x-2)²·(18-(0,5x-2)²)=(0,25x²-2x+4)·(18-(0,25x²-2x+4))=(0,25x²-2x+4)·(-0,25x²+2x+14);

f '(x)=(0,5x-2)·(-0,25x²+2x+14)+(0,25x²-2x+4)·(-0,5x+2)=(0,5x-2)(-0,25x²+2x+14-0,25x²+2x-4)=(0,5x-2)·(-0,5x²+4x+10).

f '(x)=0;

0,5x-2=0 или -0,5x²+4x+10=0.

Первое уравнение имеет корень x=4, второе уравнение

x²-8x-20=0 имеет корни x=-2; x=10.

Проверим, удовлетворяют ли полученные корни -2; 4; 10 условию |x-5|≤3, т.е. 2≤x≤8. Из них только x=4 подчиняется заданному условию.

f(2)=17;

f(4)=0;

f(8)=56. Следовательно, наибольшее значение функции равно 56.

II способ

Решение с использованием монотонности функции.

Данная функция является композицией двух квадратичных функций - внутренней функции v(x)=(0,5x-2)² и внешней функции f(v)=18v-v². По условию первая функция рассматривается на отрезке 2≤x≤8. По графику этой квадратичной функции находим множество её значений на отрезке [2;8]. Множество значений функции v(x) - это отрезок 0≤v≤ 4. На этом отрезке теперь рассмотрим функцию f(v). Читая её график, устанавливаем, что на отрезке [0;4] эта функция монотонно возрастает, поэтому множество её значений - это отрезок [f(0); f(4)]= [0;56]. Отсюда получаем ответ: наибольшее значение заданной функции равно 56.

Этот способ вовсе не отменяет стандартное решение с помощью производной.

А теперь сделайте вывод, какой из способов решения является более рациональным.

Список использованной литературы:

1. Саакян, С.М., Гольдманн, А.М., Денисов Д.В. Задачи по алгебре и началам анализа: пособие для учащихся 10-11 классов общеобразовательных учреждений. [Текст] - М.: Просвещение, 2003. - 236 с. - ISBN: 5-08-001340-2

2. Карп, А.П. Сборник задач по алгебре и началам анализа : учебное пособие для 10-11 классов с углубленным изучением математики. [Текст] - М.: Просвещение, 2006. - 284 с. - ISBN:976-4-342-01962-8