Решение задач с помощью квадратных и рациональных уравнений (PISA)

Тема: «Решение задач с помощью квадратных и рациональных уравнений».

Цель: Развитие у учащихся навыков к решению задач с помощью квадратных и рациональных уравнений через внедрение заданий PISA, тренировка способности к их практическому использованию.

• Задачи:

Дидактическая:

• Повторить определение квадратного уравнения, различные формулы для решения квадратных уравнений.

• Рассмотреть различные типы задач, связанных с реальной жизнью (PISA), решаемые с помощью квадратных или рациональных уравнений, а также их систем.

• Формировать навыки к практическому использованию данных задач.

• Развивать критическое мышление, навыки групповой самоорганизации, умение вести диалог

Воспитательная:

• Развивать интерес учащихся к предмету: алгебра.

• Стимулировать ребят к поиску различных способов решения задач.

• Воспитывать коллективизм, взаимопомощь.

• Воспитывать в учениках средствами урока уверенность в своих силах;

Тип урока : Урок обобщения и практического применения

Оборудование: интерактивная доска, презентация, бумага А3, фломастеры, стикеры

Формы и методы работы: индивидуальная, групповая, парная, коллективная

ОЖИДАЕМЫЙ РЕЗУЛЬТАТ

• Все учащиеся вспомнят определение квадратного уравнения и способы его решения, познакомятся и рассмотрят задачи практического содержания и задачи PISA;

• Большинство смогут решить, а значит, и применить данные решения в жизни;

• Некоторые смогут вывести формулы и применить их для решения данных задач.

План урока

1. Вызов

1. Психологический настрой - 1мин

2. Мотивационный этап стратегия «Собери картинку» /для создания коллаборативной среды/ - 2мин

3. Пригласительный билет в «Дом актера».Стратегия «Мозговой штурм» задание №1. Самооценка по критериям 4мин

2. Осмысление

Задача №1 (год создания группы), коллективная работа у доски - 3 мин

Задача №2 (Степень популярности), коллективная работа у доски- 3мин

Задача №3 (Поездка) Стратегия «Думай - объединяйся -делись». /работа в группах/ - 6 мин

Задача №4 (Увлечения) коллективная работа у доски - 3 мин

Задание №2 Входной билет на встречу со зрителями сериала «Ранетки» (стратегия «Мозговой штурм») 3 мин

Задача №5 (Путешествия), индивидуальная работа 4 мин

Задача №6 (Минута славы), коллективная работа 3 мин

Задача №7 (Я - поэт…), в парах 4 мин

Задача № 8 (Музыка, футбол, математика), в группах 4 мин

3. Рефлексия 5 мин

4. Выводы

5. Домашнее задание.

Ход урока

1. Стадия вызова.

1. Психологический настрой:

Здравствуйте, дорогие ребята!

Посмотрите, друг другу в глаза,

Улыбнитесь друг другу,

Пожелайте друг другу удачи.

2. Мотивационный этап.

Сегодня мы с вами - репортеры.

Наша задача - взять интервью у участников группы «Ранетки».

Сейчас мы с вами разобьемся на группы. Стратегия «Собери картинку». На столах у вас лежат кусочки от картинок. Выберите себе понравившийся кусочек. Ваша задача с помощью данных кусочков собрать 3 целых картинки./саморегуляция/

/картинки - это фото трех участниц группы «Ранетки»/

2. Мотивационный этап.

Нам необходимо попасть в «Дом актера», где сегодня праздничный вечер.

Для того, чтобы получить пригласительный билет, придется потрудиться и вспомнить ранее изученный материал.

3. Повторение /самостоятельная работа/

стратегия «Мозговой штурм»

1 группа

1. Сформулируйте определение квадратного уравнения.

2. Запишите пример неполного квадратного уравнения.

3. Запишите, чему равен второй коэффициент в уравнении: 2х²+х-3=0.

4. Запишите, чему равны: а, в и с в уравнении -3х²+5х=0.

5. Сколько корней имеет неполное квадратное уравнение вида

6. Сколько корней имеет квадратное уравнение, если дискриминант положительный?

7. В каком случае квадратное уравнение имеет два равных корня?

8. Напишите формулу дискриминанта квадратного уравнения.

9. Напишите формулу корней квадратного уравнения со вторым четным коэффициентом.

10. Сформулируйте теорему Виета.

11. Чему равна сумма корней квадратного уравнения

12. Приведите пример целого рационального уравнения.

2. группа

1. Какое уравнение называют неполным квадратным уравнением?

2. Запишите пример квадратного уравнения.

3. Запишите, чему равен первый коэффициент в уравнении: .

4. Запишите, чему равны: а, в, с в уравнении ?

5. Сколько корней может иметь неполное квадратное уравнение вида ?

6. Сколько корней имеет квадратное уравнение, если дискриминант отрицательный?

7. Какое уравнение называют приведенным квадратным уравнением?

8. Напишите формулу дискриминанта квадратного уравнения со вторым четным коэффициентом.

Напишите формулу корней квадратного уравнения.

9. Чему равно произведение корней квадратного уравнения ?

10. Сформулируйте теорему, обратную теореме Виета.

11. Приведите пример дробного рационального уравнения.

Ответы / высвечиваются на доске/

Вариант 1

Вариант 2

1.Квадратным уравнением называется уравнение видагде х- переменная, а, в, с-некоторые числа, причем а≠0

1.Если в квадратном уравнении хотя бы один из коэффициентов в или с равен 0, то такое уравнение называют неполным квадратным уравнением.

2.-3х²+5х=0

2.Х²+4х-7=0

3.в=1

3.а=1

4.а=-3,в=5,с=0

4.а=5,в=0,с=-8

5.Два или ни одного корня.

5.Два корня

6.Два корня

6.Ни одного корня.

7.Если дискриминант равен 0

7.Если а=-1

8.

8.

9.

9.

10.Сумма корней приведенного квадратного уравнения равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, а произведение корней равно свободному члену.

10.Если числа m , n таковы, что их сумма равна - р, а призведение равно q , то эти числа являются корнями уравнения

11.

11

12.

12.

Задания выполнены. Друзья, вы получаете пригласительные билеты и отправляетесь за интервью. Проверьте себя по критериям:

0-6 заданий «2»,

7-8 заданий «3»,

9-10 заданий «4»,

11-12 заданий «5».

II. Основная часть

4.Решение задач.

«Ранетки» создают интригу. На вопросы репортеров они отвечают нестандартно - задачами.

Первые 2 задачи решаем подробно вместе с доской.

Задача №1 Найдите год создания группы «Ранетки», если цифра единиц на 5 больше цифры десятков, количество десятков равно количеству сотен, количество тысяч на 3 меньше количества единиц, а произведение данного числа и суммы его цифр равно 14035 .

Решение: Х-десятков и сотен, (х+5)-единиц, (х+2)-тысяч, (1000(х+2)+100х+10х+х+5)

-данное число, (х+2+х+х+х+5)-сумма цифр, произведение числа и суммы цифр-

(1000(х+2)+100х+10х+х+5)(4х+7) или14035.

Уравнение: (1000(х+2)+100х+10х+х+5)(4х+7)=14035,

(4444х+15797)х=0

х=0 или х=-15797:4444.

Ответ: 0-десятков, сотен, 5-единиц, 2-тысяч . 2005 год.

Задача №2. В один из грустных осенних дней группу «Ранетки»

слушали старшеклассники на переменах и 10 сотен студентов,

ехавших в автобусах и метро на лекции. Затем к ним

присоединились 20 сотен студентов, подрабатывающих на разгрузке

вагонов. В результате, количество старшеклассников в общей массе слушателей уменьшилось на 25%. Какое наибольшее количество

старшеклассников могли в данный момент слушать «Ранеток»?

Решение: х(сот.чел.)-старшеклассников и студентов слушали «Ранеток» вначале, (х-10)(сот.чел).- старшеклассников, (х+20) сот.чел.-всего. ((х-10)/х)100 % составляют старшеклассники от первоначального количества людей,((х-10)/(х+20))100 %-составили старшеклассники от всего количества людей.

((х-10)/х)100 - ((х-10)/(х+20))100 (%) или 25%.

Уравнение: -

х(х+20)≠0
х=40 или х=20.

40-10=30 тыс. чел. старшеклассников слушали группу «Ранетки»

Ответ: 30 тыс. чел.

Задачу №3 решаем в группах.

Стратегия «Думай - объединяйся -делись».

Спикеры групп представляют чертеж и предлагает идею решения другой группе. Учащиеся доводят решение до конца самостоятельно. Первые 5 человек, выполнивших задание, показывают решение учителю. Получают оценки. Остальные учащиеся проверяют решение с помощью компьютера.

Задача №3 В августе после репетиции песни «Стрела» Аня Руднева и Женя Огурцова отправились на машине на север Москвы со скоростью 50 км/ч, а Аня Байдовлетова и Лера Козлова - на восток со скоростью 60 км/ч.

Вопрос1. Через какое время расстояние между дуэтами будет 20 √61 км?

Вопрос 2. Постройте график движения дуэтов, показав расстояние которое будет между ними через 1ч, 2ч,3ч; 4 ч; 5 ч?

Вопрос 3. Используя свойство пропорции, рассчитать количество бензина, которое будет затрачено на дорогу каждым дуэтом , если известно, что на 100 км. требуется 8 литров. /пользуясь калькулятором, ответ округлите до десятых/

Вопрос 4. Сколько денег потратит каждый дуэт на дорогу туда и обратно если 1л бензина в июле АИ-95 стоил 36рублей, 1л АИ-92 - 32 рубля, с августа бензин подорожал на 30%.?

Через х часов расстояние будет 20 √61(км), 50х (км)-

Проехали Аня и Женя, 60х(км) - проехали Аня и Лера.

• Уравнение:

• (50х)²+(60х)²= (20 √61)²

• х=±2

• Ответ: через 2 часа.

Задачу №4 решаем вместе у доски.

Задача№4 Во время отдыха Лена Третьякова и Наташа Щелкова играют иногда в теннис на корте, длина которого вдвое больше ширины, а площадь равна 800 м² Найдите расстояние между девушками, если они встанут по диагонали прямоугольной площадки

Решение

• х(м)-ширина, 2х(м)-длина, х(2х)(м²) или800м².

• Уравнение:

• 2х²=800, х=20.

• 20м-ширина, 40м-длина,

• =20√5м

• Ответ: 20√5 м.

5. «Разминка для ума»

Но, что это, друзья, наши любимые актрисы и певицы уезжают!!! Понятно, они отправляются на встречу со зрителями. Что же делать, ведь у нас осталось еще много вопросов. Придется ехать следом.

Встреча должна состояться около здания кинотеатра. Однако, попасть туда не так-то просто - все билеты проданы.

Нам повезло - устроители встречи принимают неординарное решение. На встречу попадет тот, кто устно сумеет решить следующие уравнения.

/Работа в классе осуществляется следующим образом. На экране появляются уравнения: по три для каждого варианта. Ребята должны устно решить их и ответы записать в тетради рядом с соответствующим номером задания. Затем, под руководством учителя учащиеся осуществляют самопроверку и ставят себе оценку/.

1 группа

1) 3х²-х-2=0 корни 1 и -2/3

2) 2х²+3х+1=0 корни -1и -1/2

3) -2х²+5х-2=0 корни 2 и 1/2

4) 19х²-362х+19=0 корни 19 и 1/19

5) -13х²+168х+13=0 корни 13и -1/13

6) 31х²-960х-31=0 корни 31 и -1/31

2 группа

1) -6х²+4х+2=0 корни 1 и -1/3

2) 3х²+5х+2=0 корни -1 и -2/3

3) 5х²+26х+5=0 корни -5 и -1/5

4) -21х²-442х-21=0 корни -21 и -1/21

5) 15х²+224х-15=0 корни -15 и 1/15

6) 25х²-624х-25=0 корни 25 и -1/25

Ребята, какие формулы вы использовали. Обсудите в группах и на листах предоставьте ответ.

Ребята используют формулы для решения 1 и 2 уравнения

.1) если а+в+с=0, то

2) если а+с=в, то

Для решения третьего уравнения применяется формула:

если уравнение имеет вид , то

Четвертое уравнение решается по формуле:

если .

Для решения пятого уравнения применяется формула:

если .

Шестое уравнение решается, если

.

Справившиеся на «4» и «5»-получают входной билет и попадают в кинотеатр.

6.Решение задач.

Задача №5 решается самостоятельно на основе задачи №3.

Первые 5 человек показывают решение учителю. Они получают оценки.

Один из решивших устно объясняет решение.

Задача№5 С аэродрома на двух различных самолетах вылетели на гастроли группа «Ранетки» и группа « ГДР». Первый самолет летел на запад, второй - на юг. Через 2 часа расстояние между самолетами было 360√41 км. Найдите скорости самолетов, если скорость второго составила 80 % скорости первого.

Решение

• Уравнение:

• (2х)²+(2·0,8х)²=(360√41)²,

• х=±900,

• 900 км/ч-скорость 1 самолета,

• 900·0,8=720 км/ч-скорость 2 самолета.

• Ответ: 900км/ч, 720км/ч.

Задача №6 решается на доске одним из учеников.

Задача №6 На тренировке по фигурному катанию Наташа Щелкова отрабатывала движение по окружности. Рядом тренировалась ее подруга. Две фигуристки движутся по двум окружностям, радиусы которых относятся как 1:6. Найдите скорость движения каждой девушки, если за 10 секунд подруга Наташи, двигаясь по большей окружности, прошла на 2 метра больше и совершила при этом в 5 раз меньше оборотов, чем Наташа.

Решение V₁(м/с) -скорость Наташи,v₂ м/с-скорость подруги , пусть 1-радиус 1 окружности ,тогда 6-радиус второй. За 10 сек Наташа проехала 10v₁(м), подруга-10v₂(м) или 10v₁+2. (10 V₁)/(2п) - количество вращений Наташи или, (10v₂)/(12п) -количество вращений подруги,

Система: 5·5v₂/(6п)=(5v₁)/п,

10v₁+2=10v₂.

v₂=1,2 (м/с),

v₁=1(м/с).

Задачу №7 ребята решают в парах. Один из решивших учеников устно рассказывает «шапку». Затем пишет на доске уравнение и решает его.

Зкадача № 7 Аня Руднева - романтическая натура, вместе с тем, обладает упорством и настойчивостью в достижении цели. Сочиняя свой первый трек, она каждый час уничтожала по 4 из всех исписанных листов бумаги. В течение дня Аня работала столько часов, сколько листов бумаги тратила за час.За день было написано 45 листов. Сколько часов работала Аня?

Решение

• Х листов Аня писала каждый час,(х-4) листов

• оставалось после каждого часа работы,

• х(х-4)листов всего за день или 45.

• Уравнение: х(х-4)=45.

• х₁=9,х₂=-5.

Ответ: 9 часов.

Задачу №8 предлагается решить двумя способами.

Задача №8. Во время игры в футбол в команде «Чертаново» мяч от игрока к игроку передавался в среднем со скоростью 17 м/с. Во время удара по воротам Лена Третьякова увеличила скорость движения мяча на несколько метров в секунду и забила гол, находясь в 40 м от ворот противника. Пропустившая гол соперница, выбросила мяч из ворот со скоростью на столько же метров в секунду меньше, видно сильно расстроившись. Мяч пролетел 42м. но на одну секунду медленнее предыдущего полета. Определите, как увеличилась скорость мяча во время гола.

Решение

Х (сек)-время, за которое мяч пролетел 40м. (х+1)(сек)- время, за которое мяч пролетел 42 м. (м/с)-скорость, с которой мяч летел в ворота.

(м/с)-скорость, с которой мяч летел из ворот.

Составим уравнение:

+

40(х+1)+42х-34х(х+1)=0, х(х+1)≠0.

17х²-24х-20=0,

не удовлетворяет условию задачи.

2 (с)- мяч летел в ворота, тогда его скорость была (м/с),

тогда изменение скорости 20-17=3 (м/с).

Второй способ решения задачи

• Х (м/с)-на столько увеличена скорость, (17+х)(м/с)-скорость мяча, летящего в ворота, (17-х)(м/с)- скорость мяча, летящего

• из ворот,42/(17-х)-40/(17+х) (с) или 1с.

• Уравнение: 42:(17-х)-40:(17+х)=1.

• х₁=-85, х₂=3.

• Ответ: 3(м/с) .

Итак, уважаемые репортеры, будущие журналисты, поздравляю вас с окончанием работы.

Оцените работу групп с помощью смайликов

7. Рефлексия

- Скажите, что нового вы сегодня узнали на уроке?

- Поднимите руки, кто получил сегодня положительную оценку?

На стикерах напишите и наклейте на доску слева

- Что у вас получилось

А справа

- Над чем ещё надо поработать

8. Запишите домашнее задание:

1. Составьте задачу с практическим применением и решите её с помощь; 2.Решите задачу: туристы проплыли на лодке против течения реки 6 км и по озеру 15 км, затратив на путь по озеру на 1 час больше, чем на путь по реке. Зная, что скорость течения реки равна 2 км\ч, найдите скорость лодки при движении по озеру.

Литература.

Алгебра: математические диктанты. 7-9 классы/ авт.- сост. А.С.Конте.

Волгоград: Учитель, 2007.