Добавить в избранное
  • Преподавателю
  • Математика
  • Методическая разработка Применение тригонометрических формул при решении планиметрических задач в ЕГЭ

Методическая разработка Применение тригонометрических формул при решении планиметрических задач в ЕГЭ

Раздел Математика
Класс 10 класс
Тип Другие методич. материалы
Автор
Дата
Формат doc
Изображения Есть
For-Teacher.ru - все для учителя
Поделитесь с коллегами:


Государственное бюджетное общеобразовательное учреждение

Средняя общеобразовательная школа №531 Красногвардейского района

Санкт-Петербурга












МЕТОДИЧЕСКАЯ РАЗРАБОТКА

Применение тригонометрических формул при решении планиметрических задач в ЕГЭ





Подготовила

учитель математики

Смирнова Галина Васильевна










г. Санкт-Петербург
2015



Применение тригонометрических формул при решении планиметрических задач в ЕГЭ


Тригонометрические функции острого угла в прямоугольном треугольнике

и их значения от некоторых углов

В прямоугольном треугольнике отношение катета, противолежащего углу, к гипотенузе равно синусу этого угла;

В прямоугольном треугольнике отношение катета, прилежащего к углу, к гипотенузе равно косинусу этого угла;

В прямоугольном треугольнике отношение катета, противолежащего углу, к прилежащему к нему катету, равно тангенсу этого угла

В прямоугольном треугольнике отношение катета, прилежащего углу, к противолежащему к нему катету, равно котангенсу этого угла

Значения тригонометрических функций некоторых углов

Методическая разработка Применение тригонометрических формул при решении планиметрических задач в ЕГЭ

300

450

600

Методическая разработка Применение тригонометрических формул при решении планиметрических задач в ЕГЭ

Методическая разработка Применение тригонометрических формул при решении планиметрических задач в ЕГЭ

Методическая разработка Применение тригонометрических формул при решении планиметрических задач в ЕГЭ

Методическая разработка Применение тригонометрических формул при решении планиметрических задач в ЕГЭ

Методическая разработка Применение тригонометрических формул при решении планиметрических задач в ЕГЭ

Методическая разработка Применение тригонометрических формул при решении планиметрических задач в ЕГЭ

Методическая разработка Применение тригонометрических формул при решении планиметрических задач в ЕГЭ

Методическая разработка Применение тригонометрических формул при решении планиметрических задач в ЕГЭ

Методическая разработка Применение тригонометрических формул при решении планиметрических задач в ЕГЭ

Методическая разработка Применение тригонометрических формул при решении планиметрических задач в ЕГЭ

1

Методическая разработка Применение тригонометрических формул при решении планиметрических задач в ЕГЭ

Задания с решением

1.В треугольнике ABC Методическая разработка Применение тригонометрических формул при решении планиметрических задач в ЕГЭ . Найдите AC.

Решение

Методическая разработка Применение тригонометрических формул при решении планиметрических задач в ЕГЭ

Построим Методическая разработка Применение тригонометрических формул при решении планиметрических задач в ЕГЭ . По свойству равнобедренного треугольника СН будет медианой, а значит АН=4,8. В прямоугольном треугольнике АСН Методическая разработка Применение тригонометрических формул при решении планиметрических задач в ЕГЭ . Значит Методическая разработка Применение тригонометрических формул при решении планиметрических задач в ЕГЭ

Найдем Методическая разработка Применение тригонометрических формул при решении планиметрических задач в ЕГЭ . Рассмотрим основное тригонометрическое тождество для угла А

sin 2Методическая разработка Применение тригонометрических формул при решении планиметрических задач в ЕГЭ+ cos 2Методическая разработка Применение тригонометрических формул при решении планиметрических задач в ЕГЭ = 1 и подставим в него вместо Методическая разработка Применение тригонометрических формул при решении планиметрических задач в ЕГЭ его значениеМетодическая разработка Применение тригонометрических формул при решении планиметрических задач в ЕГЭ Методическая разработка Применение тригонометрических формул при решении планиметрических задач в ЕГЭ .

Получим соs 2A+ Методическая разработка Применение тригонометрических формул при решении планиметрических задач в ЕГЭ = 1

Тогда соs 2A = 1-Методическая разработка Применение тригонометрических формул при решении планиметрических задач в ЕГЭ; соs 2A =1 Методическая разработка Применение тригонометрических формул при решении планиметрических задач в ЕГЭ ; соs 2A =Методическая разработка Применение тригонометрических формул при решении планиметрических задач в ЕГЭ

Будем извлекать квадратный корень с учетом того, что A - острый угол и его косинус положителен Получаем Методическая разработка Применение тригонометрических формул при решении планиметрических задач в ЕГЭ

Тогда Методическая разработка Применение тригонометрических формул при решении планиметрических задач в ЕГЭ

Ответ 5

2. В тупоугольном треугольнике ABC Методическая разработка Применение тригонометрических формул при решении планиметрических задач в ЕГЭ , высота AH равна 20. Найдите Методическая разработка Применение тригонометрических формул при решении планиметрических задач в ЕГЭ .

Решение

Методическая разработка Применение тригонометрических формул при решении планиметрических задач в ЕГЭ

Рассмотрим прямоугольный треугольник Методическая разработка Применение тригонометрических формул при решении планиметрических задач в ЕГЭ . В нем Методическая разработка Применение тригонометрических формул при решении планиметрических задач в ЕГЭ .По теореме Пифагора Методическая разработка Применение тригонометрических формул при решении планиметрических задач в ЕГЭ

Тогда Методическая разработка Применение тригонометрических формул при решении планиметрических задач в ЕГЭ

НоМетодическая разработка Применение тригонометрических формул при решении планиметрических задач в ЕГЭ, так как эти углы смежные. Тогда Методическая разработка Применение тригонометрических формул при решении планиметрических задач в ЕГЭ

По формулам приведения получаемМетодическая разработка Применение тригонометрических формул при решении планиметрических задач в ЕГЭ

Ответ -0,6

3.В треугольнике ABC Методическая разработка Применение тригонометрических формул при решении планиметрических задач в ЕГЭ , Методическая разработка Применение тригонометрических формул при решении планиметрических задач в ЕГЭ , тангенс внешнего угла при вершине A равен Методическая разработка Применение тригонометрических формул при решении планиметрических задач в ЕГЭ . Найдите AC.

Решение

Методическая разработка Применение тригонометрических формул при решении планиметрических задач в ЕГЭ

Углы МАС и САH - смежные. Их сумма равна 180º.Тогда по формулам приведения Методическая разработка Применение тригонометрических формул при решении планиметрических задач в ЕГЭ

Построим CH - высоту. Тогда она и медиана и потому AH=4.Из треугольника ACH Методическая разработка Применение тригонометрических формул при решении планиметрических задач в ЕГЭ Откуда Методическая разработка Применение тригонометрических формул при решении планиметрических задач в ЕГЭ Найдем Методическая разработка Применение тригонометрических формул при решении планиметрических задач в ЕГЭ .

Методическая разработка Применение тригонометрических формул при решении планиметрических задач в ЕГЭПодставим в это тождество найденное значение тангенса.

Методическая разработка Применение тригонометрических формул при решении планиметрических задач в ЕГЭМетодическая разработка Применение тригонометрических формул при решении планиметрических задач в ЕГЭМетодическая разработка Применение тригонометрических формул при решении планиметрических задач в ЕГЭ

Методическая разработка Применение тригонометрических формул при решении планиметрических задач в ЕГЭМетодическая разработка Применение тригонометрических формул при решении планиметрических задач в ЕГЭПолучаем Методическая разработка Применение тригонометрических формул при решении планиметрических задач в ЕГЭ

Ответ 7

4.В треугольнике АВС угол А равен 45º, угол В равен 30º, ВС = 8. Найти АВ

Решение

Методическая разработка Применение тригонометрических формул при решении планиметрических задач в ЕГЭ

Так как сумма углов в треугольнике 180º, то угол С=180º- 30º-45º=105º,

Применим теорему синусов Методическая разработка Применение тригонометрических формул при решении планиметрических задач в ЕГЭ , то есть Методическая разработка Применение тригонометрических формул при решении планиметрических задач в ЕГЭ

Найдем Методическая разработка Применение тригонометрических формул при решении планиметрических задач в ЕГЭ . Применим формулы сложения

Методическая разработка Применение тригонометрических формул при решении планиметрических задач в ЕГЭ

Имеем Методическая разработка Применение тригонометрических формул при решении планиметрических задач в ЕГЭ

ОтветМетодическая разработка Применение тригонометрических формул при решении планиметрических задач в ЕГЭ

5. Трапеция вписана в окружность радиуса 12. Её большее основание образует с боковой стороной угол, синус которого равен 5/8, а с диагональю - угол, косинус которого равен 4/5. Найти площадь трапеции.

Решение

Методическая разработка Применение тригонометрических формул при решении планиметрических задач в ЕГЭ

Так как трапеция вписана в окружность, то она равнобедренная

Методическая разработка Применение тригонометрических формул при решении планиметрических задач в ЕГЭ

Так как окружность описана около трапеции, то она описана и около треугольника ACD.Применим к этому треугольнику теорему синусовМетодическая разработка Применение тригонометрических формул при решении планиметрических задач в ЕГЭ

получаемМетодическая разработка Применение тригонометрических формул при решении планиметрических задач в ЕГЭ Отсюда имеем Методическая разработка Применение тригонометрических формул при решении планиметрических задач в ЕГЭ ; Методическая разработка Применение тригонометрических формул при решении планиметрических задач в ЕГЭ

пусть СМ=h - высота. Из треугольника CMА получаемМетодическая разработка Применение тригонометрических формул при решении планиметрических задач в ЕГЭ, то есть Методическая разработка Применение тригонометрических формул при решении планиметрических задач в ЕГЭ .Тогда Методическая разработка Применение тригонометрических формул при решении планиметрических задач в ЕГЭ По теореме Пифагора Методическая разработка Применение тригонометрических формул при решении планиметрических задач в ЕГЭ

Из треугольника CMD получаем по теореме Пифагора Методическая разработка Применение тригонометрических формул при решении планиметрических задач в ЕГЭ Так как трапеция равнобедренная, то Методическая разработка Применение тригонометрических формул при решении планиметрических задач в ЕГЭ

Методическая разработка Применение тригонометрических формул при решении планиметрических задач в ЕГЭ

Тогда площадь трапеции равна S=Методическая разработка Применение тригонометрических формул при решении планиметрических задач в ЕГЭ

Задания для самостоятельного решения

  1. В треугольнике ABC угол C равен Методическая разработка Применение тригонометрических формул при решении планиметрических задач в ЕГЭ , Методическая разработка Применение тригонометрических формул при решении планиметрических задач в ЕГЭ . Найдите Методическая разработка Применение тригонометрических формул при решении планиметрических задач в ЕГЭ .

  2. В треугольнике ABC угол C равен Методическая разработка Применение тригонометрических формул при решении планиметрических задач в ЕГЭ , Методическая разработка Применение тригонометрических формул при решении планиметрических задач в ЕГЭ . Найдите Методическая разработка Применение тригонометрических формул при решении планиметрических задач в ЕГЭ .

  3. В треугольнике ABC угол C равен Методическая разработка Применение тригонометрических формул при решении планиметрических задач в ЕГЭ , Методическая разработка Применение тригонометрических формул при решении планиметрических задач в ЕГЭ , Методическая разработка Применение тригонометрических формул при решении планиметрических задач в ЕГЭ . Найдите BC.

  4. В треугольнике ABC угол C равен Методическая разработка Применение тригонометрических формул при решении планиметрических задач в ЕГЭ , Методическая разработка Применение тригонометрических формул при решении планиметрических задач в ЕГЭ , Методическая разработка Применение тригонометрических формул при решении планиметрических задач в ЕГЭ . Найдите AB.

  5. В треугольнике ABC угол C равен Методическая разработка Применение тригонометрических формул при решении планиметрических задач в ЕГЭ , Методическая разработка Применение тригонометрических формул при решении планиметрических задач в ЕГЭ , Методическая разработка Применение тригонометрических формул при решении планиметрических задач в ЕГЭ . Найдите BC.

  6. В треугольнике ABC угол C равен Методическая разработка Применение тригонометрических формул при решении планиметрических задач в ЕГЭ , Методическая разработка Применение тригонометрических формул при решении планиметрических задач в ЕГЭ , Методическая разработка Применение тригонометрических формул при решении планиметрических задач в ЕГЭ . Найдите AB.

  7. В треугольнике ABC угол C равен Методическая разработка Применение тригонометрических формул при решении планиметрических задач в ЕГЭ , Методическая разработка Применение тригонометрических формул при решении планиметрических задач в ЕГЭ , Методическая разработка Применение тригонометрических формул при решении планиметрических задач в ЕГЭ . Найдите AB.

  8. В треугольнике ABC угол C равен Методическая разработка Применение тригонометрических формул при решении планиметрических задач в ЕГЭ , Методическая разработка Применение тригонометрических формул при решении планиметрических задач в ЕГЭ , Методическая разработка Применение тригонометрических формул при решении планиметрических задач в ЕГЭ . Найдите Методическая разработка Применение тригонометрических формул при решении планиметрических задач в ЕГЭ .

  9. В треугольнике ABC угол C равен Методическая разработка Применение тригонометрических формул при решении планиметрических задач в ЕГЭ , Методическая разработка Применение тригонометрических формул при решении планиметрических задач в ЕГЭ , Методическая разработка Применение тригонометрических формул при решении планиметрических задач в ЕГЭ . Найдите Методическая разработка Применение тригонометрических формул при решении планиметрических задач в ЕГЭ .

  10. В треугольнике ABC угол C равен Методическая разработка Применение тригонометрических формул при решении планиметрических задач в ЕГЭ , Методическая разработка Применение тригонометрических формул при решении планиметрических задач в ЕГЭ , Методическая разработка Применение тригонометрических формул при решении планиметрических задач в ЕГЭ . Найдите Методическая разработка Применение тригонометрических формул при решении планиметрических задач в ЕГЭ .

  11. В треугольнике ABC угол C равен Методическая разработка Применение тригонометрических формул при решении планиметрических задач в ЕГЭ , CH - высота, Методическая разработка Применение тригонометрических формул при решении планиметрических задач в ЕГЭ , Методическая разработка Применение тригонометрических формул при решении планиметрических задач в ЕГЭ . Найдите BH.

  12. В треугольнике ABC угол C равен Методическая разработка Применение тригонометрических формул при решении планиметрических задач в ЕГЭ , CH - высота, Методическая разработка Применение тригонометрических формул при решении планиметрических задач в ЕГЭ , Методическая разработка Применение тригонометрических формул при решении планиметрических задач в ЕГЭ . Найдите AH.

  13. В треугольнике ABC Методическая разработка Применение тригонометрических формул при решении планиметрических задач в ЕГЭ , Методическая разработка Применение тригонометрических формул при решении планиметрических задач в ЕГЭ . Найдите AB.

  14. В треугольнике ABC Методическая разработка Применение тригонометрических формул при решении планиметрических задач в ЕГЭ , Методическая разработка Применение тригонометрических формул при решении планиметрических задач в ЕГЭ , Методическая разработка Применение тригонометрических формул при решении планиметрических задач в ЕГЭ . Найдите AC.

  15. В треугольнике ABC Методическая разработка Применение тригонометрических формул при решении планиметрических задач в ЕГЭ , Методическая разработка Применение тригонометрических формул при решении планиметрических задач в ЕГЭ . Найдите Методическая разработка Применение тригонометрических формул при решении планиметрических задач в ЕГЭ .

  16. В треугольнике ABC Методическая разработка Применение тригонометрических формул при решении планиметрических задач в ЕГЭ , Методическая разработка Применение тригонометрических формул при решении планиметрических задач в ЕГЭ . Найдите Методическая разработка Применение тригонометрических формул при решении планиметрических задач в ЕГЭ .

  17. В треугольнике ABC Методическая разработка Применение тригонометрических формул при решении планиметрических задач в ЕГЭ , Методическая разработка Применение тригонометрических формул при решении планиметрических задач в ЕГЭ . Найдите Методическая разработка Применение тригонометрических формул при решении планиметрических задач в ЕГЭ .

  18. В треугольнике ABC Методическая разработка Применение тригонометрических формул при решении планиметрических задач в ЕГЭ , Методическая разработка Применение тригонометрических формул при решении планиметрических задач в ЕГЭ . Найдите высоту CH.

  19. В треугольнике ABC Методическая разработка Применение тригонометрических формул при решении планиметрических задач в ЕГЭ , Методическая разработка Применение тригонометрических формул при решении планиметрических задач в ЕГЭ , Методическая разработка Применение тригонометрических формул при решении планиметрических задач в ЕГЭ . Найдите высоту CH.

  20. В треугольнике ABC Методическая разработка Применение тригонометрических формул при решении планиметрических задач в ЕГЭ , высота CH равна 20. Найдите Методическая разработка Применение тригонометрических формул при решении планиметрических задач в ЕГЭ .

  21. В треугольнике ABC Методическая разработка Применение тригонометрических формул при решении планиметрических задач в ЕГЭ , высота AH равна 4, Методическая разработка Применение тригонометрических формул при решении планиметрических задач в ЕГЭ . Найдите Методическая разработка Применение тригонометрических формул при решении планиметрических задач в ЕГЭ .

  22. В треугольнике ABC Методическая разработка Применение тригонометрических формул при решении планиметрических задач в ЕГЭ , высота AH равна 20, Методическая разработка Применение тригонометрических формул при решении планиметрических задач в ЕГЭ . Найдите Методическая разработка Применение тригонометрических формул при решении планиметрических задач в ЕГЭ .

  23. В треугольнике ABC Методическая разработка Применение тригонометрических формул при решении планиметрических задач в ЕГЭ , AH - высота, Методическая разработка Применение тригонометрических формул при решении планиметрических задач в ЕГЭ , Методическая разработка Применение тригонометрических формул при решении планиметрических задач в ЕГЭ . Найдите Методическая разработка Применение тригонометрических формул при решении планиметрических задач в ЕГЭ .

  24. В треугольнике ABC Методическая разработка Применение тригонометрических формул при решении планиметрических задач в ЕГЭ , AH - высота, Методическая разработка Применение тригонометрических формул при решении планиметрических задач в ЕГЭ , Методическая разработка Применение тригонометрических формул при решении планиметрических задач в ЕГЭ . Найдите Методическая разработка Применение тригонометрических формул при решении планиметрических задач в ЕГЭ .

  25. В треугольнике ABC угол C равен Методическая разработка Применение тригонометрических формул при решении планиметрических задач в ЕГЭ , CH - высота, Методическая разработка Применение тригонометрических формул при решении планиметрических задач в ЕГЭ , Методическая разработка Применение тригонометрических формул при решении планиметрических задач в ЕГЭ . Найдите Методическая разработка Применение тригонометрических формул при решении планиметрических задач в ЕГЭ .

  26. В треугольнике ABC угол C равен Методическая разработка Применение тригонометрических формул при решении планиметрических задач в ЕГЭ , высота CH равна 20, Методическая разработка Применение тригонометрических формул при решении планиметрических задач в ЕГЭ . Найдите Методическая разработка Применение тригонометрических формул при решении планиметрических задач в ЕГЭ .

  27. В тупоугольном треугольнике ABC Методическая разработка Применение тригонометрических формул при решении планиметрических задач в ЕГЭ , высота AH равна 20. Найдите Методическая разработка Применение тригонометрических формул при решении планиметрических задач в ЕГЭ .

  28. В тупоугольном треугольнике ABC Методическая разработка Применение тригонометрических формул при решении планиметрических задач в ЕГЭ , AH - высота, Методическая разработка Применение тригонометрических формул при решении планиметрических задач в ЕГЭ . Найдите Методическая разработка Применение тригонометрических формул при решении планиметрических задач в ЕГЭ .

  29. В тупоугольном треугольнике ABC Методическая разработка Применение тригонометрических формул при решении планиметрических задач в ЕГЭ , высота AH равна 24, Методическая разработка Применение тригонометрических формул при решении планиметрических задач в ЕГЭ . Найдите Методическая разработка Применение тригонометрических формул при решении планиметрических задач в ЕГЭ .

  30. В тупоугольном треугольнике ABC Методическая разработка Применение тригонометрических формул при решении планиметрических задач в ЕГЭ , высота AH равна 4, Методическая разработка Применение тригонометрических формул при решении планиметрических задач в ЕГЭ . Найдите Методическая разработка Применение тригонометрических формул при решении планиметрических задач в ЕГЭ .

  31. В треугольнике ABC Методическая разработка Применение тригонометрических формул при решении планиметрических задач в ЕГЭ , высота AH равна 7, Методическая разработка Применение тригонометрических формул при решении планиметрических задач в ЕГЭ . Найдите Методическая разработка Применение тригонометрических формул при решении планиметрических задач в ЕГЭ .

  32. В треугольнике ABC Методическая разработка Применение тригонометрических формул при решении планиметрических задач в ЕГЭ , высота AH равна 24, Методическая разработка Применение тригонометрических формул при решении планиметрических задач в ЕГЭ . Найдите Методическая разработка Применение тригонометрических формул при решении планиметрических задач в ЕГЭ .

  33. В треугольнике ABC Методическая разработка Применение тригонометрических формул при решении планиметрических задач в ЕГЭ , высота AH равна 4, Методическая разработка Применение тригонометрических формул при решении планиметрических задач в ЕГЭ . Найдите Методическая разработка Применение тригонометрических формул при решении планиметрических задач в ЕГЭ .

  34. В треугольнике ABC угол C равен Методическая разработка Применение тригонометрических формул при решении планиметрических задач в ЕГЭ , CH - высота, Методическая разработка Применение тригонометрических формул при решении планиметрических задач в ЕГЭ , Методическая разработка Применение тригонометрических формул при решении планиметрических задач в ЕГЭ . Найдите BH.

  35. В треугольнике ABC угол C равен Методическая разработка Применение тригонометрических формул при решении планиметрических задач в ЕГЭ , CH - высота, Методическая разработка Применение тригонометрических формул при решении планиметрических задач в ЕГЭ , Методическая разработка Применение тригонометрических формул при решении планиметрических задач в ЕГЭ . Найдите AH.

  36. В треугольнике ABC угол C равен Методическая разработка Применение тригонометрических формул при решении планиметрических задач в ЕГЭ , Методическая разработка Применение тригонометрических формул при решении планиметрических задач в ЕГЭ . Найдите синус внешнего угла при вершине A.

  37. В треугольнике ABC угол C равен Методическая разработка Применение тригонометрических формул при решении планиметрических задач в ЕГЭ , Методическая разработка Применение тригонометрических формул при решении планиметрических задач в ЕГЭ . Найдите косинус внешнего угла при вершине A.

  38. В треугольнике ABC угол C равен Методическая разработка Применение тригонометрических формул при решении планиметрических задач в ЕГЭ , Методическая разработка Применение тригонометрических формул при решении планиметрических задач в ЕГЭ . Найдите тангенс внешнего угла при вершине A.

  39. В треугольнике ABC угол C равен Методическая разработка Применение тригонометрических формул при решении планиметрических задач в ЕГЭ , Методическая разработка Применение тригонометрических формул при решении планиметрических задач в ЕГЭ . Найдите синус внешнего угла при вершине B.

  40. В треугольнике ABC угол C равен Методическая разработка Применение тригонометрических формул при решении планиметрических задач в ЕГЭ , Методическая разработка Применение тригонометрических формул при решении планиметрических задач в ЕГЭ . Найдите косинус внешнего угла при вершине B.

  41. В треугольнике ABC угол C равен Методическая разработка Применение тригонометрических формул при решении планиметрических задач в ЕГЭ , Методическая разработка Применение тригонометрических формул при решении планиметрических задач в ЕГЭ . Найдите синус внешнего угла при вершине A.

  42. В треугольнике ABC угол C равен Методическая разработка Применение тригонометрических формул при решении планиметрических задач в ЕГЭ , Методическая разработка Применение тригонометрических формул при решении планиметрических задач в ЕГЭ . Найдите тангенс внешнего угла при вершине B.

  43. В треугольнике ABC угол C равен Методическая разработка Применение тригонометрических формул при решении планиметрических задач в ЕГЭ , Методическая разработка Применение тригонометрических формул при решении планиметрических задач в ЕГЭ . Найдите синус внешнего угла при вершине B.

  44. В треугольнике ABC угол C равен Методическая разработка Применение тригонометрических формул при решении планиметрических задач в ЕГЭ , Методическая разработка Применение тригонометрических формул при решении планиметрических задач в ЕГЭ . Найдите косинус внешнего угла при вершине B.

  45. В треугольнике ABC угол C равен Методическая разработка Применение тригонометрических формул при решении планиметрических задач в ЕГЭ , Методическая разработка Применение тригонометрических формул при решении планиметрических задач в ЕГЭ . Найдите тангенс внешнего угла при вершине B.

  46. В треугольнике ABC угол C равен Методическая разработка Применение тригонометрических формул при решении планиметрических задач в ЕГЭ , Методическая разработка Применение тригонометрических формул при решении планиметрических задач в ЕГЭ . Найдите синус внешнего угла при вершине

  47. В треугольнике ABC угол C равен Методическая разработка Применение тригонометрических формул при решении планиметрических задач в ЕГЭ , Методическая разработка Применение тригонометрических формул при решении планиметрических задач в ЕГЭ . Найдите тангенс внешнего угла при вершине A.

  48. В треугольнике ABC угол C равен Методическая разработка Применение тригонометрических формул при решении планиметрических задач в ЕГЭ , Методическая разработка Применение тригонометрических формул при решении планиметрических задач в ЕГЭ . Найдите тангенс внешнего угла при вершине B.

  49. В треугольнике ABC угол C равен Методическая разработка Применение тригонометрических формул при решении планиметрических задач в ЕГЭ , Методическая разработка Применение тригонометрических формул при решении планиметрических задач в ЕГЭ , Методическая разработка Применение тригонометрических формул при решении планиметрических задач в ЕГЭ . Найдите синус внешнего угла при вершине A.

  50. В треугольнике ABC угол C равен Методическая разработка Применение тригонометрических формул при решении планиметрических задач в ЕГЭ , Методическая разработка Применение тригонометрических формул при решении планиметрических задач в ЕГЭ , Методическая разработка Применение тригонометрических формул при решении планиметрических задач в ЕГЭ . Найдите косинус внешнего угла при вершине A.

  51. В треугольнике ABC угол C равен Методическая разработка Применение тригонометрических формул при решении планиметрических задач в ЕГЭ , Методическая разработка Применение тригонометрических формул при решении планиметрических задач в ЕГЭ , Методическая разработка Применение тригонометрических формул при решении планиметрических задач в ЕГЭ . Найдите тангенс внешнего угла при вершине A.

  52. В треугольнике ABC угол C равен Методическая разработка Применение тригонометрических формул при решении планиметрических задач в ЕГЭ , Методическая разработка Применение тригонометрических формул при решении планиметрических задач в ЕГЭ , Методическая разработка Применение тригонометрических формул при решении планиметрических задач в ЕГЭ . Найдите тангенс внешнего угла при вершине A.

  53. В треугольнике ABC угол C равен Методическая разработка Применение тригонометрических формул при решении планиметрических задач в ЕГЭ , Методическая разработка Применение тригонометрических формул при решении планиметрических задач в ЕГЭ , Методическая разработка Применение тригонометрических формул при решении планиметрических задач в ЕГЭ . Найдите синус внешнего угла при вершине A.

  54. В треугольнике ABC угол C равен Методическая разработка Применение тригонометрических формул при решении планиметрических задач в ЕГЭ , синус внешнего угла при вершине A равен 0,1. Найдите Методическая разработка Применение тригонометрических формул при решении планиметрических задач в ЕГЭ .

  55. В треугольнике ABC угол C равен Методическая разработка Применение тригонометрических формул при решении планиметрических задач в ЕГЭ , синус внешнего угла при вершине A равен Методическая разработка Применение тригонометрических формул при решении планиметрических задач в ЕГЭ . Найдите Методическая разработка Применение тригонометрических формул при решении планиметрических задач в ЕГЭ .

  56. В треугольнике ABC угол C равен Методическая разработка Применение тригонометрических формул при решении планиметрических задач в ЕГЭ , синус внешнего угла при вершине A равен Методическая разработка Применение тригонометрических формул при решении планиметрических задач в ЕГЭ . Найдите Методическая разработка Применение тригонометрических формул при решении планиметрических задач в ЕГЭ .

  57. В треугольнике ABC угол C равен Методическая разработка Применение тригонометрических формул при решении планиметрических задач в ЕГЭ , синус внешнего угла при вершине A равен Методическая разработка Применение тригонометрических формул при решении планиметрических задач в ЕГЭ . Найдите Методическая разработка Применение тригонометрических формул при решении планиметрических задач в ЕГЭ .

  58. В треугольнике ABC угол C равен Методическая разработка Применение тригонометрических формул при решении планиметрических задач в ЕГЭ , синус внешнего угла при вершине A равен Методическая разработка Применение тригонометрических формул при решении планиметрических задач в ЕГЭ . Найдите Методическая разработка Применение тригонометрических формул при решении планиметрических задач в ЕГЭ .

  59. В треугольнике ABC угол C равен Методическая разработка Применение тригонометрических формул при решении планиметрических задач в ЕГЭ , косинус внешнего угла при вершине A равен Методическая разработка Применение тригонометрических формул при решении планиметрических задач в ЕГЭ . Найдите Методическая разработка Применение тригонометрических формул при решении планиметрических задач в ЕГЭ .

  60. В треугольнике ABC угол C равен Методическая разработка Применение тригонометрических формул при решении планиметрических задач в ЕГЭ , косинус внешнего угла при вершине A равен -0,1. Найдите Методическая разработка Применение тригонометрических формул при решении планиметрических задач в ЕГЭ Задание B6 (№ 27394)

  61. В треугольнике ABC угол C равен Методическая разработка Применение тригонометрических формул при решении планиметрических задач в ЕГЭ , косинус внешнего угла при вершине A равен Методическая разработка Применение тригонометрических формул при решении планиметрических задач в ЕГЭ . Найдите Методическая разработка Применение тригонометрических формул при решении планиметрических задач в ЕГЭ .

  62. В треугольнике ABC угол C равен Методическая разработка Применение тригонометрических формул при решении планиметрических задач в ЕГЭ , косинус внешнего угла при вершине A равен Методическая разработка Применение тригонометрических формул при решении планиметрических задач в ЕГЭ . Найдите Методическая разработка Применение тригонометрических формул при решении планиметрических задач в ЕГЭ .

  63. В треугольнике ABC угол C равен Методическая разработка Применение тригонометрических формул при решении планиметрических задач в ЕГЭ , косинус внешнего угла при вершине A равен Методическая разработка Применение тригонометрических формул при решении планиметрических задач в ЕГЭ . Найдите Методическая разработка Применение тригонометрических формул при решении планиметрических задач в ЕГЭ

  64. В треугольнике ABC угол C равен Методическая разработка Применение тригонометрических формул при решении планиметрических задач в ЕГЭ , косинус внешнего угла при вершине A равен Методическая разработка Применение тригонометрических формул при решении планиметрических задач в ЕГЭ , Методическая разработка Применение тригонометрических формул при решении планиметрических задач в ЕГЭ . Найдите BC.

  65. В треугольнике ABC угол C равен Методическая разработка Применение тригонометрических формул при решении планиметрических задач в ЕГЭ , тангенс внешнего угла при вершине A равен Методическая разработка Применение тригонометрических формул при решении планиметрических задач в ЕГЭ , Методическая разработка Применение тригонометрических формул при решении планиметрических задач в ЕГЭ . Найдите AC.

  66. В треугольнике ABC угол C равен Методическая разработка Применение тригонометрических формул при решении планиметрических задач в ЕГЭ , тангенс внешнего угла при вершине A равен Методическая разработка Применение тригонометрических формул при решении планиметрических задач в ЕГЭ , Методическая разработка Применение тригонометрических формул при решении планиметрических задач в ЕГЭ . Найдите BC

  67. В треугольнике ABC угол C равен Методическая разработка Применение тригонометрических формул при решении планиметрических задач в ЕГЭ , синус внешнего угла при вершине A равен Методическая разработка Применение тригонометрических формул при решении планиметрических задач в ЕГЭ , Методическая разработка Применение тригонометрических формул при решении планиметрических задач в ЕГЭ . Найдите AB.

  68. В треугольнике ABC угол C равен Методическая разработка Применение тригонометрических формул при решении планиметрических задач в ЕГЭ , синус внешнего угла при вершине A равен Методическая разработка Применение тригонометрических формул при решении планиметрических задач в ЕГЭ , Методическая разработка Применение тригонометрических формул при решении планиметрических задач в ЕГЭ . Найдите BC.

  69. В треугольнике ABC Методическая разработка Применение тригонометрических формул при решении планиметрических задач в ЕГЭ , Методическая разработка Применение тригонометрических формул при решении планиметрических задач в ЕГЭ . Найдите синус внешнего угла при вершине A.

  70. В треугольнике ABC Методическая разработка Применение тригонометрических формул при решении планиметрических задач в ЕГЭ , Методическая разработка Применение тригонометрических формул при решении планиметрических задач в ЕГЭ , тангенс внешнего угла при вершине A равен Методическая разработка Применение тригонометрических формул при решении планиметрических задач в ЕГЭ . Найдите AC.

  71. В параллелограмме Методическая разработка Применение тригонометрических формул при решении планиметрических задач в ЕГЭ Методическая разработка Применение тригонометрических формул при решении планиметрических задач в ЕГЭ. Найдите Методическая разработка Применение тригонометрических формул при решении планиметрических задач в ЕГЭ .

  72. Методическая разработка Применение тригонометрических формул при решении планиметрических задач в ЕГЭ

  73. В параллелограмме ABCD Методическая разработка Применение тригонометрических формул при решении планиметрических задач в ЕГЭ . Найдите Методическая разработка Применение тригонометрических формул при решении планиметрических задач в ЕГЭ .

  74. Найдите синус угла наклона отрезка, соединяющего точки O(0, 0) и A(6, 8), с осью абсцисс.

Методическая разработка Применение тригонометрических формул при решении планиметрических задач в ЕГЭ

  1. Найдите косинус угла наклона отрезка, соединяющего точки O(0, 0) и A(6, 8), с осью абсцисс.

Методическая разработка Применение тригонометрических формул при решении планиметрических задач в ЕГЭ

Теорема синусов и теорема косинусов


ТЕОРЕМА синусов: Во всяком треугольнике стороны пропорциональны синусам противолежащих углов. Отношение стороны к синусу противолежащего угла равно диаметру описанной около треугольника окружности, то есть:Методическая разработка Применение тригонометрических формул при решении планиметрических задач в ЕГЭ

ТЕОРЕМА косинусов: Во всяком треугольнике квадрат стороны, лежащей против некоторого угла, равен сумме квадратов двух других сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними, то есть: Методическая разработка Применение тригонометрических формул при решении планиметрических задач в ЕГЭ

Следствие.

В треугольнике квадрат большей стороны равен сумме квадратов двух других сторон тогда и только тогда, когда треугольник прямоугольный. В треугольнике квадрат большей стороны меньше суммы квадратов двух других сторон тогда и только тогда, когда треугольник остроугольный.

В треугольнике квадрат большей стороны больше суммы квадратов двух других сторон тогда и только тогда, когда треугольник тупоугольный.

ТЕОРЕМА Биссектриса внутреннего угла треугольника делит противоположную сторону на части, пропорциональные прилежащим сторонам треугольника.

Задания с решениями

1.Найдите большую диагональ ромба, сторона которого равна Методическая разработка Применение тригонометрических формул при решении планиметрических задач в ЕГЭ , а острый угол равен 60º.

Решение

Методическая разработка Применение тригонометрических формул при решении планиметрических задач в ЕГЭМетодическая разработка Применение тригонометрических формул при решении планиметрических задач в ЕГЭ

Так как угол А равен 60º, то угол D равен 120º. Применим теорему косинусов к треугольнику ADC.

Методическая разработка Применение тригонометрических формул при решении планиметрических задач в ЕГЭ, то есть Методическая разработка Применение тригонометрических формул при решении планиметрических задач в ЕГЭ .

Так как Методическая разработка Применение тригонометрических формул при решении планиметрических задач в ЕГЭ , то получаем

Методическая разработка Применение тригонометрических формул при решении планиметрических задач в ЕГЭ

Методическая разработка Применение тригонометрических формул при решении планиметрических задач в ЕГЭ

Методическая разработка Применение тригонометрических формул при решении планиметрических задач в ЕГЭ

Методическая разработка Применение тригонометрических формул при решении планиметрических задач в ЕГЭ

Ответ 15

2.Сторона AB треугольника ABC равна 1. Противолежащий ей угол C равен Методическая разработка Применение тригонометрических формул при решении планиметрических задач в ЕГЭ . Найдите радиус окружности, описанной около этого треугольника.

Решение

Методическая разработка Применение тригонометрических формул при решении планиметрических задач в ЕГЭ

По теореме синусов Методическая разработка Применение тригонометрических формул при решении планиметрических задач в ЕГЭ

Тогда Методическая разработка Применение тригонометрических формул при решении планиметрических задач в ЕГЭ . Откуда получаем Методическая разработка Применение тригонометрических формул при решении планиметрических задач в ЕГЭ , 2R= 2, R=1

Ответ 1

3.Сторона AB тупоугольного треугольника ABC равна радиусу описанной около него окружности. Найдите угол C. Ответ дайте в градусах.

Решение

Методическая разработка Применение тригонометрических формул при решении планиметрических задач в ЕГЭ

По теореме синусов Методическая разработка Применение тригонометрических формул при решении планиметрических задач в ЕГЭ , но Методическая разработка Применение тригонометрических формул при решении планиметрических задач в ЕГЭ .

Тогда получаем Методическая разработка Применение тригонометрических формул при решении планиметрических задач в ЕГЭ . Откуда следует, что Методическая разработка Применение тригонометрических формул при решении планиметрических задач в ЕГЭ .

Так как угол С тупой, то угол С равен 150º

Ответ 150º

4. Площадь треугольника АВС равна 50, АС = 10, угол С равен 30 º.Найти АВ

Решение

Методическая разработка Применение тригонометрических формул при решении планиметрических задач в ЕГЭ

Площадь треугольника АВС можно найти по формуле Методическая разработка Применение тригонометрических формул при решении планиметрических задач в ЕГЭ .С учетом того, что АС = 10, угол С равен 30º,а S=50, получим уравнение Методическая разработка Применение тригонометрических формул при решении планиметрических задач в ЕГЭ .

Тогда Методическая разработка Применение тригонометрических формул при решении планиметрических задач в ЕГЭ , Методическая разработка Применение тригонометрических формул при решении планиметрических задач в ЕГЭ , Методическая разработка Применение тригонометрических формул при решении планиметрических задач в ЕГЭ .

Найдем АВ по теореме косинусов.Методическая разработка Применение тригонометрических формул при решении планиметрических задач в ЕГЭ

Методическая разработка Применение тригонометрических формул при решении планиметрических задач в ЕГЭ

Методическая разработка Применение тригонометрических формул при решении планиметрических задач в ЕГЭ

Методическая разработка Применение тригонометрических формул при решении планиметрических задач в ЕГЭ

Ответ Методическая разработка Применение тригонометрических формул при решении планиметрических задач в ЕГЭ

5. Боковые стороны равнобедренного треугольника равны 40, основание равно 48. Найдите радиус описанной окружности этого треугольника.

Решение

Методическая разработка Применение тригонометрических формул при решении планиметрических задач в ЕГЭ

Проведем высоту СК. Так как треугольник равнобедренный, то СК медиана и АК=КВ=24

Из треугольника АСК найдем по теореме Пифагора СК.Методическая разработка Применение тригонометрических формул при решении планиметрических задач в ЕГЭ

Методическая разработка Применение тригонометрических формул при решении планиметрических задач в ЕГЭ

Из треугольника АСК найдем синус угла А.Методическая разработка Применение тригонометрических формул при решении планиметрических задач в ЕГЭ

По теореме синусов для треугольника АВС имеем Методическая разработка Применение тригонометрических формул при решении планиметрических задач в ЕГЭ .

Тогда Методическая разработка Применение тригонометрических формул при решении планиметрических задач в ЕГЭ , 2R=50, R=25.

Ответ 25.

6. В равнобедренном треугольнике косинус угла при вершине равен Методическая разработка Применение тригонометрических формул при решении планиметрических задач в ЕГЭ , Основание треугольника равно 6 .Найти длину боковой стороны

Решение

Методическая разработка Применение тригонометрических формул при решении планиметрических задач в ЕГЭ

Обозначим Методическая разработка Применение тригонометрических формул при решении планиметрических задач в ЕГЭ Применим теорему косинусов Методическая разработка Применение тригонометрических формул при решении планиметрических задач в ЕГЭ

Подставим значения Методическая разработка Применение тригонометрических формул при решении планиметрических задач в ЕГЭ

Получаем Методическая разработка Применение тригонометрических формул при решении планиметрических задач в ЕГЭ

Методическая разработка Применение тригонометрических формул при решении планиметрических задач в ЕГЭ

Методическая разработка Применение тригонометрических формул при решении планиметрических задач в ЕГЭ

Методическая разработка Применение тригонометрических формул при решении планиметрических задач в ЕГЭ

Ответ Методическая разработка Применение тригонометрических формул при решении планиметрических задач в ЕГЭ

7. Стороны треугольника равны 25 , 39 и 56 .Найти площадь треугольника и косинус большего из углов.

Решение

Методическая разработка Применение тригонометрических формул при решении планиметрических задач в ЕГЭМетодическая разработка Применение тригонометрических формул при решении планиметрических задач в ЕГЭМетодическая разработка Применение тригонометрических формул при решении планиметрических задач в ЕГЭ

Пусть АС=39,ВС=25,АВ=56.Тогда больший из углов -это угол С

Определим вид угла С.Методическая разработка Применение тригонометрических формул при решении планиметрических задач в ЕГЭ, Методическая разработка Применение тригонометрических формул при решении планиметрических задач в ЕГЭ .Так как Методическая разработка Применение тригонометрических формул при решении планиметрических задач в ЕГЭ >Методическая разработка Применение тригонометрических формул при решении планиметрических задач в ЕГЭ, то угол С тупой.

Найдем площадь по формуле Герона.

Методическая разработка Применение тригонометрических формул при решении планиметрических задач в ЕГЭМетодическая разработка Применение тригонометрических формул при решении планиметрических задач в ЕГЭ

Методическая разработка Применение тригонометрических формул при решении планиметрических задач в ЕГЭ

С другой стороны, Методическая разработка Применение тригонометрических формул при решении планиметрических задач в ЕГЭ

Получаем Методическая разработка Применение тригонометрических формул при решении планиметрических задач в ЕГЭ , откуда Методическая разработка Применение тригонометрических формул при решении планиметрических задач в ЕГЭ Тогда так как угол С тупой, то

Методическая разработка Применение тригонометрических формул при решении планиметрических задач в ЕГЭ

Вторым способом можно найти косинус угла С по теореме косинусов: Методическая разработка Применение тригонометрических формул при решении планиметрических задач в ЕГЭ

Методическая разработка Применение тригонометрических формул при решении планиметрических задач в ЕГЭ

Методическая разработка Применение тригонометрических формул при решении планиметрических задач в ЕГЭ

ОтветМетодическая разработка Применение тригонометрических формул при решении планиметрических задач в ЕГЭ

8. Катеты прямоугольного треугольника равны 6 и 8 .найти отрезки, на которые делит гипотенузу биссектриса прямого угла треугольника.

Решение

Методическая разработка Применение тригонометрических формул при решении планиметрических задач в ЕГЭ

Пусть АС=8, ВС=6

По теореме Пифагора найдем АВ.Методическая разработка Применение тригонометрических формул при решении планиметрических задач в ЕГЭ

Пусть СМ - биссектриса. Обозначим АМ=х, тогда МВ=10-х

По свойству биссектрисы внутреннего угла треугольника имеемМетодическая разработка Применение тригонометрических формул при решении планиметрических задач в ЕГЭ, то есть получаем уравнение Методическая разработка Применение тригонометрических формул при решении планиметрических задач в ЕГЭ . Откуда Методическая разработка Применение тригонометрических формул при решении планиметрических задач в ЕГЭ , Методическая разработка Применение тригонометрических формул при решении планиметрических задач в ЕГЭ

То есть АМ=Методическая разработка Применение тригонометрических формул при решении планиметрических задач в ЕГЭ, тогда МВ=10-Методическая разработка Применение тригонометрических формул при решении планиметрических задач в ЕГЭ=Методическая разработка Применение тригонометрических формул при решении планиметрических задач в ЕГЭ

Ответ Методическая разработка Применение тригонометрических формул при решении планиметрических задач в ЕГЭ ,Методическая разработка Применение тригонометрических формул при решении планиметрических задач в ЕГЭ

Задания для самостоятельного решения


  1. Сторона AB треугольника ABC равна 40. Противолежащий ей угол C равен Методическая разработка Применение тригонометрических формул при решении планиметрических задач в ЕГЭ . Найдите радиус окружности, описанной около этого треугольника.

Методическая разработка Применение тригонометрических формул при решении планиметрических задач в ЕГЭ

  1. Угол C треугольника ABC, вписанного в окружность радиуса 36, равен Методическая разработка Применение тригонометрических формул при решении планиметрических задач в ЕГЭ . Найдите сторону AB этого треугольника.

Методическая разработка Применение тригонометрических формул при решении планиметрических задач в ЕГЭ


  1. Угол C треугольника ABC, вписанного в окружность радиуса 3, равен Методическая разработка Применение тригонометрических формул при решении планиметрических задач в ЕГЭ . Найдите сторону AB этого треугольника.

Методическая разработка Применение тригонометрических формул при решении планиметрических задач в ЕГЭ

  1. Сторона AB треугольника ABC равна 1. Противолежащий ей угол C равен Методическая разработка Применение тригонометрических формул при решении планиметрических задач в ЕГЭ . Найдите радиус окружности, описанной около этого треугольника.

Методическая разработка Применение тригонометрических формул при решении планиметрических задач в ЕГЭ


  1. Найти площадь треугольника АВС и длину стороны ВС , если АВ=10 , АС = 4, угол А равен 45º

  2. Найти площадь треугольника АВС и длину стороны ВС , если АВ=8 , АС = 14, угол А равен 60º

  3. Площадь треугольника АВС равна 60, АС = 15, угол С равен 30º.Найти ВС .

  4. В треугольнике АВС угол А равен 60º, угол В равен 45º, АС = 10. Найти ВС.

  5. В параллелограмме стороны равны 4 и 8 , а один из углов равен 135º . Найти площадь параллелограмма и его диагонали

  6. В параллелограмме стороны равны 7 и 4 , а один из углов равен 150 º . Найти площадь параллелограмма и его диагонали

  7. В параллелограмме стороны равны 10 и 5 , а один из углов равен 120 º . Найти площадь параллелограмма и его диагонали

  8. В равнобедренном треугольнике косинус угла при вершине равен 4\5 , Основание треугольника равно 10 .Найти длину боковой стороны.

  9. В равнобедренном треугольнике косинус угла при вершине равен 3\5 , Основание треугольника равно 8 .Найти длину боковой стороны

  10. Стороны треугольника равны 25 , 29 и 36 .Найти площадь треугольника и косинус большего из углов

  11. Стороны треугольника равны 29, 25 и 6 .Найти площадь треугольника и косинус меньшего из углов

  12. Стороны треугольника равны 29, 25 и 6 .Найти медиану треугольника, проведенную к меньшей стороне.

  13. В равнобедренном треугольнике боковая сторона равна 13, а основание 10.Найти длину отрезков, на которые биссектриса угла при основании делит биссектрису угла при вершине треугольника.

  14. В прямоугольном треугольнике биссектриса острого угла делит противолежащий катет на отрезки длиной 4 и 5. Найти площадь треугольника.


загрузить
Пользовательское соглашениеО проектеОбратная связьАрхивные статьи
© 2010-2022