- Преподавателю
- Математика
- Методические рекомендации по выполнению внеаудиторной самостоятельной работы по дисциплине Математика для специальности 38. 02. 01 Экономика и бухгалтерский учет (по отраслям)
Методические рекомендации по выполнению внеаудиторной самостоятельной работы по дисциплине Математика для специальности 38. 02. 01 Экономика и бухгалтерский учет (по отраслям)
Раздел | Математика |
Класс | - |
Тип | Другие методич. материалы |
Автор | Мулдашева А.Р. |
Дата | 10.12.2014 |
Формат | doc |
Изображения | Есть |
Министерство образования Оренбургской области
ГАПОУ «Торгово-технологический техникум»
г. Орска Оренбургской области
МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ
ПО ВЫПОЛНЕНИЮ
ВНЕАУДИТОРНОЙ САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЫ ПО ДИСЦИПЛИНЕ
МАТЕМАТИКА
Орск, 2014
СОДЕРЖАНИЕ
Стр.
-
Пояснительная записка 3-4
-
План выполнения самостоятельной работы 5-10
-
Задания по самостоятельной работе 11-27
Развитие понятие о числе 12
Корни, степени, логарифмы 12-13
Прямые и плоскости в пространстве 13
Элементы комбинаторики 14
Координаты и векторы 14-15
Основы тригонометрии 15-16
Многогранники 16-17
Тела и поверхности вращения 17-19
Начала математического анализа 19-22
Измерения в геометрии 22-24
Элементы теории вероятностей 24-26
и математической статистики
Уравнения и неравенства 26-27
-
Заключение 28
ПОЯСНИТЕЛЬНАЯ ЗАПИСКА
Уважаемые студенты!
Дисциплина «Математика» для специальности Экономика и бухгалтерский учет (по отраслям) изучается в течение одного учебного года. Итоговой формой контроля является экзамен.
Для получения допуска к экзамену вам необходимо в установленные сроки выполнить все задания по внеаудиторной самостоятельной работе.
На внеаудиторную самостоятельную работу учебным планом отводится 145 часов. Самостоятельная работа может осуществляться индивидуально или группами студентов в зависимости от цели, объема, уровня сложности, конкретной тематики.
Внимание! Каждому заданию соответствует определенное количество баллов. Полученные баллы суммируются. Студенты, набравшие менее 60 баллов, к экзамену не допускаются. Результаты самостоятельной работы студентов учитываются преподавателем при осуществлении итогового контроля по дисциплине.
Шкала оценки Таблица 1
Оценка
Количество баллов
Зачет (отлично)
86 - 100
Зачет (хорошо)
71 - 85
Зачет (удовлетворительно)
60 - 70
Незачет (неудовлетворительно)
Менее 60
Контроль результатов внеаудиторной самостоятельной работы студентов может проходить в письменной, устной или смешанной форме.
Список основной литературы:
-
-
Баврин И.И. Математический анализ: учебник.- М.: Высш.шк., 2006
-
-
Богомолов, Н. В. Математика : учеб. Для ссузов. - М. : Дрофа, 2008.
-
Григорьев В.П. Элементы высшей математики: учебник. - М.: Высш.шк., 2007.
-
Григорьев С.Г. Математика: учебник для студ. Сред. Проф. учреждений. - М.: Издательский центр «Академия», 2005.
-
Партыка Т.Л., Попов И.И. Математические методы.- М.: Форум, 2005.
Список дополнительной литературы:
-
Алимов Ш.А. и др. Алгебра и начала анализа. 10 (11) кл. - М., 2012.
-
Атанасян Л.С. и др. Геометрия. 10 (11) кл. - М., 2010.
-
Башмаков М.И. Алгебра и начала математического анализа (базовый уровень). 11кл. - М., 2012.
-
Башмаков М.И. Математика: 10 кл. Сборник задач: учеб.пособие. - М., 2012.
-
Башмаков М.И. Математика: учебник для 10 кл. - М., 2012.
-
Колмогоров А.Н. и др. Алгебра и начала анализа. 10 (11) кл. - М., 2010.
Интернет- ресурсы:
-
exponenta.ru/educat/links/l_educ.asp#0 - Полезные ссылки на сайты математической и образовательной направленности: Учебные материалы, тесты
-
fxyz.ru/ - Интерактивный справочник формул и сведения по алгебре, тригонометрии, геометрии, физике.
-
maths.yfa1.ru - Справочник содержит материал по математике (арифметика, алгебра, геометрия, тригонометрия).
-
allmatematika.ru - Основные формулы по алгебре и геометрии: тождественные преобразования, прогрессии, производная, стереометрия и проч.
-
mathsun.ru/ - История математики. Биографии великих математиков.
ПЛАН САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЫ
Наименование тем уроков по КТП
№ урока
Тема для самостоятельного изучения
Часы
Форма
отчетности
Баллы
1.1 Натуральные и целые числа. Рациональные и действительные числа.
2
Понятие множества. Операции над множествами.
2
Составление конспекта
1
1.2 Обыкновенные дроби. Десятичные дроби.
3
Иррациональные числа
1
Решение задач и упражнений письменно в тетради
1
1.4 Пропорции.
5
Непрерывные дроби
1
Решение задач и упражнений письменно в тетради
1
1.5 Приближенное значение величины. Погрешности приближений.
6
Прогрессии
1
Решение задач и упражнений письменно в тетради
1
1.7 Контрольная работа по теме
8
Применение сложных процентов в экономических расчетах
2
Составление доклада
2
2.1 Корни натуральной степени из числа. Их свойства.
9
История развития понятия «Корня»
2
Презентация Microsoft
Office
PowerPoint
1
2.2 Функции , их свойства и график. Построение графиков.
10
Свойства корня n-ой степени
1
Решение задач и упражнений письменно в тетради
1
2.3 Иррациональные уравнения.
11
Понятие корня n-ой степени из действительного числа
2
Реферат
2
2.6 Обобщение понятия о показателе степени. Степенные функции. Их свойства и графики.
14
История развития понятия «Степени»
2
Презентация Microsoft
Office
PowerPoint
1
2.7. Степени с рациональными показателями. Показательная функция.
15
Алгоритм построение графиков
2
Решение задач и упражнений письменно в тетради
2
2.10 Понятие логарифма. Логарифм числа.
18
История развития понятия «Логарифмы»
2
Презентация Microsoft
Office
PowerPoint
1
2.12 Логарифмическая функция. Её свойства и график. Построение графиков.
20
Алгоритм построение графиков
2
Конспект
1
2.17 Системы логарифмических неравенств.
25
Решение систем
2
Решение задач и упражнений письменно в тетради
1
3.1 Аксиомы стереометрии. Пересечение прямой с плоскостью.
27
История развития понятия «Аксиома», «Теорема»
2
Презентация Microsoft
Office
PowerPoint
2
3.2 Замечание к аксиоме 1. Разбиение пространства плоскостью на два полупространства.
28
Существование плоскости, проходящей через данную прямую и данную точку.
2
Презентация Microsoft
Office
PowerPoint
1
3.3 Параллельные прямые в пространстве. Признак параллельности прямых.
29
Существование плоскости, параллельной.
2
Презентация Microsoft
Office
PowerPoint
1
3.5 Свойства параллельных плоскостей.
31
Параллельное проектирование
2
Презентация Microsoft
Office
PowerPoint
1
3.9 Признак перпендикулярности плоскостей. Расстояние между скрещивающимися прямыми.
35
Применение ортогонального проектирования.
4
Презентация Microsoft
Office
PowerPoint
2
4.1 Основные понятия комбинаторики.
37
История развития раздела «Комбинаторики»
2
Презентация Microsoft
Office
PowerPoint
1
4.2 Задачи на подсчет размещений, перестановок, сочетаний.
38
Решение задач
4
Решение задач и упражнений письменно в тетради
2
4.3 Решение задач на перебор вариантов.
39
Формула бинома Ньютона.
2
Письменно в тетради
1
4.4 Свойства биноминальных коэффициентов.
40
Треугольник Паскаля.
2
Презентация Microsoft
Office
PowerPoint
2
5.1 Прямоугольная (декартова) система координат в пространстве. Формула расстояния между двумя точками.
41
История развития системы координат и основных понятий «Вектора»
2
Презентация Microsoft
Office
PowerPoint
1
5.4 Сложение векторов. Умножение вектора на число.
44
Угловой коэффициент в уравнении прямой
2
Решение задач и упражнений письменно в тетради
2
5.6 Угол между двумя векторами. Проекция вектора на ось.
46
Абсолютные величины
2
Конспект
1
5.10 Использование координат и векторов при решении математических и прикладных задач.
50
Решение задач
2
Решение задач и упражнений письменно в тетради
2
6.1 Введение. Числовая окружность.
52
История развития раздела «Тригонометрии»
2
Презентация Microsoft
Office
PowerPoint
1
6.11 Преобразования простейших тригонометрических выражений.
62
Решение задач
2
Решение задач и упражнений письменно в тетради
2
6.12 Функция y=sin x . Её свойства и график.
63
Построение графиков
2
Презентация Microsoft
Office
PowerPoint
2
6.13 Функция y=cos x. Её свойства и график.
64
Построение графиков
2
Решение задач и упражнений письменно в тетради
1
6.15 Простейшие тригонометрические уравнения.
66
Сложение гармонических колебаний
2
Решение задач и упражнений письменно в тетради
1
6.18 Решение тригонометрических уравнений.
69
Графическое решение уравнений
2
Решение задач и упражнений письменно в тетради
1
6.19 Решение тригонометрических неравенств.
70
Графическое решение неравенств
2
Решение задач и упражнений письменно в тетради
1
7.2 Построение графиков функций, заданных различными способами.
73
Алгоритм исследования функций
2
Решение задач и упражнений письменно в тетради
1
7.4 Промежутки возрастания и убывания.
75
Примеры четных функций
2
Презентация Microsoft
Office
PowerPoint
2
7.7 Графическая интерпретация.
78
Построение графиков
2
Решение задач и упражнений письменно в тетради
1
7.9 Обратные функции.
80
Свойства обратной функции
2
Реферат
1
7.10. Области определения и значений обратной функции.
81
Примеры периодических функций
2
Решение задач и упражнений письменно в тетради
2
7.11 График обратной функции.
82
Построение графиков
2
Конспект
1
7.12 Арифметические операции над функциями.
83
Решение задач
2
Решение задач и упражнений письменно в тетради
1
8.3 Многогранные углы. Выпуклые многогранники. Теорема Эйлера.
88
Правильные многогранники
3
Презентация Microsoft
Office
PowerPoint
1
8.4 Призма прямая, наклонная, правильная.
89
Решение задач
2
Решение задач и упражнений письменно в тетради
1
8.6 Пирамида. Правильная пирамида. Усеченная пирамида.
91
Решение задач
2
Решение задач и упражнений письменно в тетради
1
8.8 Симметрия в кубе, параллелепипеде, призме, пирамиде.
93
Полуправильные многогранники
3
Презентация Microsoft
Office
PowerPoint
2
8.9 Сечения куба, призмы, пирамиды.
94
Построение сечений
2
Презентация Microsoft
Office
PowerPoint
1
9.2 Конус. Усеченный конус. Развертка.
99
Решение задач
2
Письменно в тетради
2
9.3 Осевые сечения. Сечения параллельные основанию.
100
Конические сечения
4
Презентация Microsoft
Office
PowerPoint
1
9.4 Шар и сфера. Их сечения.
101
Применение конических сечений в технике
3
Презентация Microsoft
Office
PowerPoint
2
10.2 Понятие о пределе последовательности. Существование предела монотонной ограниченной последовательности.
104
Примеры различных способов заданий последовательностей
2
Решение задач и упражнений письменно в тетради
1
10.3 Суммирование последовательностей. Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия и ее сумма.
105
Геометрические прогрессии
2
Решение задач и упражнений письменно в тетради
2
10.5 Производная. Понятие о производной функции, её геометрический и физический смысл.
107
Теоремы о бесконечно малых величинах
2
Решение задач и упражнений письменно в тетради
1
10.6 Уравнение касательной к графику функции.
108
Запись уравнения касательных
2
Решение задач и упражнений письменно в тетради
2
10.9 Применение производной к исследованию функций и построению графиков.
111
Построение графиков
2
Решение задач и упражнений письменно в тетради
1
10.14 Первообразная и интеграл.
116
Понятие дифференциала
2
Решение задач и упражнений письменно в тетради
1
10.15 Применение определенного интеграла для нахождения площади криволинейной трапеции.
117
Основные приложения дифференциала
2
Конспект
2
10.17 Примеры применения интеграла в физике и геометрии.
119
Примеры применения интеграла в решении прикладных задач
2
Решение задач и упражнений письменно в тетради
1
11.1 Объем и его измерение
121
Интегральная формула объема
2
Доклад
1
11.2 Формулы объема куба, прямоугольного параллелепипеда, призмы, цилиндра, пирамиды, конуса, шара
122
Задачи на вычисление площади поверхностей
2
Решение задач и упражнений письменно в тетради
2
11.3 Отношение площадей поверхностей
123
Подобие тел
2
Презентация Microsoft
Office
PowerPoint
1
11.4 Отношение объемов подобных тел
124
Задачи на вычисление объёмов
2
Решение задач и упражнений письменно в тетради
1
11.5 Контрольная работа по теме
125
Задачи на составление отношений
2
Решение задач и упражнений письменно в тетради
1
12.1 Событие. Вероятность события.
126
Вычисление частости событий
1
Решение задач и упражнений письменно в тетради
2
12.2 Сложение и умножение вероятностей.
127
Понятие о независимости событий.
1
Доклад
1
12.3 Дискретная случайная величина. Закон ее распределения.
128
Числовые характеристики дискретной случайной величины
1
Презентация Microsoft
Office
PowerPoint
2
12.4 Представление данных (таблицы, диаграммы, графики).
129
Понятие о законе больших чисел.
1
Презентация Microsoft
Office
PowerPoint
1
12.5 Генеральная совокупность, выборка. Среднее арифметическое, медиана.
130
Схемы Бернулли повторных испытаний. Понятие о задачах математической статистики. Решение практических задач с применением вероятностных методов.
2
Презентация Microsoft
Office
PowerPoint
2
13.4Тригонометрические уравнения и системы.
134
Основные приемы решения уравнений (подстановка, графический метод).
2
Конспект
1
13.5 Основные приемы их решения (разложение на множители, введение новых неизвестных)
135
Основные приемы решения систем уравнений.
2
Презентация Microsoft
Office
PowerPoint
2
13.6 Основные приемы решения рациональных и иррациональных, показательных неравенств
136
Исследование неравенств с параметрами
2
Презентация Microsoft
Office
PowerPoint
1
13.7 Основные приемы решения тригонометрических неравенств
137
Исследование уравнений с параметрами
2
Конспект
2
13.8 Использование свойств и графиков функций при решении уравнений.
138
Изображение на координатной плоскости множества решений уравнений с двумя переменными.
2
Презентация Microsoft
Office
PowerPoint
1
13.11 Изображение на координатной плоскости множества решений неравенств с двумя переменными и их систем.
141
Изображение на координатной плоскости множества решений систем с двумя переменными.
2
Презентация Microsoft
Office
PowerPoint
2
Итого
145
100
ЗАДАНИЯ ПО САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЕ
РАЗВИТИЕ ПОНЯТИЯ О ЧИСЛЕ
Требования к знаниям и умениям
Студент должен:
Иметь представление:
- о роли и месте математики в современном мире, общности её представлений.
Знать:
- определение действительных и комплексных чисел;
- определение абсолютной и относительной погрешности;
- формулы разложения квадратного трехчлена на множители;
тригонометрической формах;
- формулы сокращенного умножения;
- способы решения систем линейных уравнений.
Уметь:
- выполнять арифметические действия над числами, сочетания устные и письменные приемы;
- находить приближенные значения величин и погрешности
вычислений (абсолютная и относительная); сравнивать числовые выражения;
- применять понятия, связанные с делимостью целых чисел при решении математических задач;
- находить корни многочленов с одной переменной. раскладывать многочлены на множители;
- использовать при необходимости вычислительные устройства;
- пользоваться оценкой и прикладной при практических расчетах
Виды самостоятельной работы студентов.
-
Работа над учебным материалом: составление конспекта, решение задач и упражнений.
-
Решение задач и упражнений.
-
Выполнить действия:
-
-
Выполнить действия. Полученный результат записать в виде десятичной дроби с точностью до сотых долей.
-
-
Округлите число 27,0915 до сотых долей и найдите абсолютную и относительную погрешность приближения.
-
По известной относительной погрешности приближенного числа найти его абсолютную погрешность и границы, в которых заключено само число: х = 100; ω = 0,5%
-
При измерении длины одного отрезка с точностью до 0,004 м, было найдено значение 4,36 м , а при измерении длины другого отрезка с точностью до 0,05 см получено 10,5 см. Какое измерение по своему качеству лучше?
-
Все ли числа из данной последовательности являются сравнимыми по модулю 6:
-
-27; -9; 0; 9; 69; 669; 430. Почему?
9. Как записать условие в виде равенства с параметром?
-
Подготовить конспект на тему «Понятие множества. Операции над множествами», «Применение сложных процентов в экономических расчетах».
КОРНИ, СТЕПЕНИ И ЛОГАРИФМЫ
Требования к знаниям и умениям
Студент должен:
Иметь представление:
- о показателе степени;
- о равносильности уравнений и неравенств;
- о десятичных и натуральных логарифмах;
- об основных методах решения показательных уравнений и неравенств;
- о способах решения логарифмических уравнений и неравенств.
Знать:
- определение степени с действительным показатели и её свойства;
- определение логарифма числа, свойства логарифмов, основного логарифмического тождества;
- формулу перехода к другому основанию логарифма;
- способы решения простейших показательных и логарифмических уравнений, показательных и логарифмических неравенств.
Уметь:
- выполнять действия со степенями;
- находить значение корня натуральной степени;
- находить степень с рациональным показателем;
- логарифмы;
- преобразовывать показательные и логарифмические выражения с помощью основных тождеств;
- вычислять значения показательных и логарифмических выражений;
- решать несложные уравнения, приводимые к видам:
- решать несложные неравенства, приводимые к видам:
><<
Виды самостоятельной работы студентов.
Работа над учебным материалом: составление реферата и Презентация Microsoft Office PowerPoint, написание конспекта.
-
Решение задач.
1. Вычислить
а) б)
2. Упростить выражение.
а) б)
в) г)
3. Выполнить указанные действия.
а) б)
в) г)
4. Найти , если известно, что
а)
б)
5. Вычислить: а); б).
6. Упростить выражение.
а) б)
ПРЯМЫЕ И ПЛОСКОСТИ В ПРОСТРАНСТВЕ
Требования к знаниям и умениям
Студент должен:
иметь представление:
- о логической структуре геометрии, аксиомах, теоремах планиметрии;
- о скрещивающихся, параллельных и пересекающихся прямых;
- о параллельной проекции точки, прямой, фигуры;
Знать:
- основные понятия стереометрии;
- аксиомы стереометрии и следствия из них;
- взаимное расположение прямых, прямой и плоскости, плоскостей в пространстве;
- основные теоремы о параллельности прямой и плоскости, параллельности плоскостей;
- основные теоремы о перпендикулярности прямой и плоскости, перпендикулярности двух плоскостей;
Уметь:
- устанавливать в пространстве параллельность прямых, прямой и плоскости, двух плоскостей, используя признаки и основные теоремы параллельности;
- применять признак перпендикулярности прямой и плоскости, теорему о трёх перпендикулярах, признак перпендикулярности плоскостей для вычисления углов и расстояний в пространстве;
Виды самостоятельной работы студентов.
Работа над учебным материалом: составление презентации Microsoft Office PowerPoint
-
Подготовка презентаций на тему:
-
«История развития понятия «Аксиома», «Теорема»»
-
«Существование плоскости, проходящей через данную прямую и данную точку.»
-
«Параллельное проектирование»
-
«Применение ортогонального проектирования»
ЭЛЕМЕНТЫ КОМБИНАТОРИКИ
Требования к знаниям и умениям
Студент должен:
иметь представление:
- о правилах комбинаторики;
- о методе перебора и конструировании вариантов при решении комбинаторных задач.
Знать:
- формулы числа перестановок, сочетаний, размещений;
- формулу бинома Ньютона и свойства биноминальных коэффициентов.
Уметь:
- решать простейшие комбинаторные задачи методом перебора, а также с использованием известных формул треугольника Паскаля;
- вычислять коэффициента бинома Ньютона по формуле и с использованием треугольника Паскаля.
Виды самостоятельной работы студентов.
-
Решение комбинаторных задач.
-
У мамы 2 яблока и 3 груши. Каждый день в течение 5 дней подряд она выдает по одному фрукту. Сколькими способами это может быть сделано?
-
Предприятие может предоставить работу по одной специальности 4 женщинами, по другой - 6 мужчинам, по третьей - 3 работникам независимо от пола. Сколькими способами можно заполнить вакантные места, если имеются 14 претендентов: 6 женщин и 8 мужчин?
-
В пассажирском поезде 9 вагонов. Сколькими способами можно рассадить в поезде 4 человека, при условии, что все они должны ехать в различных вагонах?
-
В группе 9 человек. Сколько можно образовать разных подгрупп при условии, что в подгруппу входит не менее 2 человек?
-
Группу из 20 студентов нужно разделить на 3 бригады, причем в первую бригаду должны входить 3 человека, во вторую - 5 и в третью - 12. Сколькими способами это можно сделать.
-
Для участия в команде тренер отбирает 5 мальчиков из 10. Сколькими способами он может сформировать команду, если 2 определенных мальчика должны войти в команду?
-
В шахматном турнире принимали участие 15 шахматистов, причем каждый из них сыграл только одну партию с каждым из остальных. Сколько всего партий было сыграно в этом турнире?
-
Сколько различных дробей можно составить из чисел 3, 5, 7, 11, 13, 17 так, чтобы в каждую дробь входили 2 различных числа? Сколько среди них будет правильных дробей?
-
Сколько слов можно получить, переставляя буквы в слове Гора и Институт?
-
Каких чисел от 1 до 1 000 000 больше: тех, в записи которых встречается единица, или тех, в которых она не встречается?
-
Вычислить сумму .
КООРДИНАТЫ И ВЕКТОРЫ
Требования к знаниям и умениям
Студент должен:
иметь представление:
- о компланарных векторах, базисе, разложении вектора по заданному
- о системах координат - полярной, декартовой, о радиус-векторе точки, о координатах радиуса вектора, о векторе на плоскости и в пространстве;
Знать:
- определение вектора, действия над векторами;
- свойства действий над векторами;
- понятие прямоугольной декартовой системы координат на плоскости,впространстве;
- правила действий над векторами с заданными координатами;
- формулы уравнения прямой, сферы и плоскости.
Уметь:
- выполнять действия над векторами;
- разлагать векторы на составляющие на плоскости и в пространстве;
- вычислять угол между векторами, длину векторами;
-
Виды самостоятельной работы студентов.
-
Самостоятельное решение упражнений.
1. На стороне ВС ромба АВСD лежит точка К так, что ВК=КС, О - точка пересечения диагоналей. Выразите через векторы и .
2. В равнобедренной трапеции высота делит большее основание на отрезки 5 см и 12 см. Найдите среднюю линию трапеции.
3. Начертите два неколлинеарных вектора и . Постройте векторы: ;
4. Какие из данных точек Y( 7; 3; 0), D (2; 0; 0), A(0; 0; -7), L(-1; 0; -32), O( 0; -0,1; 0), S(10; 1; 0); M(0; 2,5; -1),
N(4; 2; 1), K(-9;0;0) принадлежат а) оси абсцисс; б) оси ординат; в) оси аппликат; г) плоскости Oxy; д) плоскости Oyz; е) плоскости Oxz?
5. Даны векторы ; ; . Найдите координаты вектора = (2-)+ (2)
6. Даны точки А(1; 3; 0), В(2; 3; -1), С(1; 2; -1). Вычислите угол между векторами и . Найдите длины этих векторов.
7. В параллелограмме АВСD диагонали пересекаются в точке О. Выразите через векторы и вектор.
8. На стороне DС квадрата АВСD лежит точка Р так, что СР=РD, О - точка пересечения диагоналей. Выразите через векторы и .
9. В равнобедренной трапеции один из углов равен 60о, боковая сторона равна 8 см, а меньшее высота основание 7см. Найдите среднюю линию трапеции.
10. Начертите два неколлинеарных вектора и . Постройте векторы: ;
11. Какие из данных точек A( 0; 3; 0), B (2; 0; 8), C(0; 5; -7), D(-1; 5; -3), E( 5; -3,5; 0), F(10; 0; 0); G(0; 8; -1),
N(4; 2; 1), K(0;0;6) принадлежат а) оси абсцисс; б) оси ординат; в) оси аппликат; г) плоскости Oxy; д) плоскости Oyz; е) плоскости Oxz?
ОСНОВЫ ТРИГОНОМЕТРИИ
Требования к знаниям и умениям
Студент должен:
Иметь представление:
- о радианном измерении углов;
- об обратных тригонометрических функциях;
- о решении тригонометрических неравенств;
знать:
- определение радиана и градуса;
- определение синуса, косинуса, тангенса и котангенса числа;
- основные формулы тригонометрии, перечисленные в содержании материала;
- значения тригонометрических функций (табличных) аргументов;
- формулы соотношений между тригонометрическими функциями одного аргумента;
- формулы суммы и разности двух аргументов;
- формулы теорем сложения;
- формулы приведения, двойного и половинного аргумента;
- формулы преобразования суммы и разности одноимённых тригонометрических функций в произведение и обратно;
- формулы решения простейших тригонометрических уравнений и неравенств;
- способы решения простейших тригонометрических уравнений и неравенств.
Уметь:
- вычислять значения тригонометрических функций по заданному аргументу;
- находить по заданной тригонометрической функции остальные тригонометрические функции;
- преобразовывать тригонометрические выражения, используя тригонометрические формулы;
- применять формулы приведения, формулы двойного и половинного аргумента, формулы преобразования суммы и разности тригонометрических функций в произведение при выполнении преобразований тригонометрических выражений и доказательстве тождеств;
- решать простейшие тригонометрические уравнения и неравенства, а также несложные уравнения, водящиеся к простейшим с помощью тригонометрических формул.
Виды самостоятельной работы студентов.
Решить задачи.
-
Высота Останкинской телевизионной башни - 540 м. Найдите угол в градусах, под которым видна башня с расстояния 2000 м. В ответе укажите целое число градусов.
-
Строение высотой 30 м бросает тень длиной 45 м. Найдите угол наклона солнечных лучей. В ответе укажите целое число градусов.
-
Человек, пройдя вверх по склону холма 1000м, поднялся на 90 м над плоскостью основания холма. Найдите (в среднем) угол наклона холма в градусах. В ответе укажите приближенное значение, выражаемое целым числом градусов.
-
Маятник длиной 50 см отклонили от положения равновесия на расстояние, равное 12 см. Найдите угол, который образует новое положение маятника с положением равновесия. В ответе укажите целое число градусов.
МНОГОГРАННИКИ
Требования к знаниям и умениям
Студент должен:
иметь представление:
- о геометрическом теле и его поверхности;
- о многогранной поверхности;
- о выпуклых и вогнутых многогранниках;
- о правильных многогранниках;
- о площади поверхности тела
Знать:
- понятие многогранника, правильного многогранника, правильной пирамиды и их поверхностей;
- определение призмы, параллелепипеда, пирамиды, а также свойства перечисленных геометрических тел;
- формулы площади поверхности: призмы, пирамиды и из разновидностей;
- свойства планиметрических и стереометрических фигур и отношений между ними.
Уметь:
- изображать на чертежах призму, параллелепипед, пирамиду (всех видов);
- строить простейшие сечения многогранников плоскостью;
- вычислять и изображать основные элементы призмы, параллелепипеда, пирамиды;
- вычислять боковую и полную поверхность призмы, параллелепипеда, пирамиды и их простейших комбинаций;
- решать геометрические задачи, опираясь на изученные свойства планиметрических и стереометрических фигур и отношений между ними, применяя алгебраический и тригонометрический аппарат;
Виды самостоятельной работы студентов.
-
Работа над учебным материалом: чтение текста, составление плана и конспектирование текста.
-
Решение задач и упражнений.
Решите следующие задачи.
1. Основания прямой призмы - ромб с острым углом 60°. Боковое ребро призмы равно 10 см, а площадь боковой поверхности - 240 см². Найдите площадь сечения призмы, проходящего через боковое ребро и меньшую диагональ основания.
2. Основание прямого параллелепипеда - ромб. Найдите площадь боковой поверхности параллелепипеда, если площади его диагональных сечений P и Q.
3. Основания прямой призмы - ромб со стороной 5 см и тупым углом 120°. Боковая поверхность призмы имеет площадь 240 см². Найдите площадь сечения призмы, проходящего через боковое ребро и меньшую диагональ основания.
4. Диагональное сечение правильной четырехугольной призмы имеет площадь Q. Найдите площадь боковой поверхности призмы.
5. Сторона правильной треугольной пирамиды равна 6 см, а высота см. Найдите площадь боковой поверхности пирамиды.
6. Основание пирамиды - прямоугольный треугольник с катетом см и противолежащим углом 60°. Все боковые ребра пирамиды наклонены к плоскости основания под углом 45°. Найдите площадь боковой поверхности пирамиды.
7. Боковое ребро правильной треугольной пирамиды равно 5 см, а высота см. Найдите площадь боковой поверхности пирамиды.
ТЕЛА И ПОВЕРХНОСТИ ВРАЩЕНИЯ
Требования к знаниям и умениям
Студент должен:
иметь представление:
- о телах вращения и их поверхности.
Знать:
- понятие: тело вращения, поверхности вращения;
- определения цилиндра, конуса, усечённого конуса, шара, сферы;
- элементы тел вращения;
- понятия осевых сечений и сечений параллельных основанию;
- понятие касательной к плоскости сфере.
Уметь:
- изображать на чертеже круглые тела;
- строить простейшие сечения круглых тел плоскостью;
- вычислять и изображать основные элементы цилиндра, конуса, шара;
- решать геометрические задачи, опираясь на изученные свойства тел вращения.
Виды самостоятельной работы студентов.
-
Решение задач и упражнений по образцу.
Задача 1. Высота конуса равна 57, а диаметр основания - 152. Найдите образующую конуса.
Решение.
Рассмотрим осевое сечение конуса. По теореме Пифагора:
Ответ: 95
Задача 2. На поверхности шара даны три точки. Прямолинейные расстояния между ними 6 см, 8 см, 10 см. Радиус шара 13 см. Найти расстояние от центра шара до плоскости, проходящей через эти три точки.
Решение
Соединив эти точки между собой и центром шара О, легко заметить, что задача свелась к нахождению высоты (OD) треугольной пирамиды OABC. Основание высоты (D) должно совпадать с центром окружности, описанной около треугольника АВС. Стороны АВ, АС и ВС, равные прямолинейным расстояниям между точками А, В, С, удовлетворяют теореме Пифагора , т.е. треугольник АВС - прямоугольный, и точка D является серединой гипотенузы АВ. Тогда из прямоугольного треугольника BOD находим OD
,OD = 12 (см).
Ответ: 12 см.
Задача 3. Площадь боковой поверхности цилиндра равна 72π, а диаметр основания - 9. Найдите высоту цилиндра.
Решение.
Площадь боковой поверхности цилиндра находится по формуле:
Значит,
Ответ: 8
Задача 4. Радиусы двух шаров равны 6, 8. Найдите радиус шара, площадь поверхности которого равна сумме площадей их поверхностей.
Решение.
Из условия найдем, что радиус шара.
Ответ: 10
Выполнить задания.
-
Высота конуса равна 4, а диаметр основания -6. Найдите образующую конуса.
-
Высота конуса равна 4, а длина образующей -5.Найдите диаметр основания конуса.
-
Площадь боковой поверхности цилиндра равна 2π, а диаметр основания - 1. Найдите высоту цилиндра.
-
Площадь боковой поверхности цилиндра равна 2п, а высота - 1. Найдите диаметр основания.
-
Вычислите площадь сферы, если площадь большого круга 144П см2.
-
Найдите площадь полной поверхности конуса, если его высота равна 4 см, а угол при вершине осевого сечения равен 120°.
-
Найдите площадь поверхности цилиндра, описанного около шара, если площадь поверхности шара равна
330 см². -
Найдите площадь полной поверхности тела вращения, полученного в результате вращения прямоугольного треугольника с катетами 6/√π и 8/√π вокруг меньшего катета.
НАЧАЛА МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА
Требования к знаниям и умениям
Студент должен:
иметь представление:
- о мгновенной скорости неравномерного прямолинейного движения, о
скорости изменения функции;
- о производных высших порядков;
- о дифференциале функции, о применении дифференциала к приближённым вычислениям;
- о наибольшем и наименьшем значении функции на отрезке, о применении экстремумов к решению прикладных задач;
- о пределе последовательности.
Знать:
- определение производной, её геометрический и физический смысл;
- алгоритм нахождения производной в общем виде;
- правила и формулы дифференцирования функций, перечисленных в содержании учебного материала;
- формулу для нахождения производной сложной функции;
- уравнение касательной, углового коэффициента касательной;
- определение дифференциала функции;
- правила нахождения интервалов монотонности, экстремумов функции, промежутков выпуклости и вогнутости графиков функций;
- общую схему построения графиков функций с помощью производной;
- правило нахождения наибольшего и наименьшего значения функций на промежутке;
- определение первообразной функции, неопределённого интеграла, свойства неопределённого интеграла;
- таблицу основных формул интегрирования;
- определение определённого интеграла, его свойства, геометрический смысл определённого интеграла;
- формулу Ньютона-Лейбница.
Уметь:
- находить сумму бесконечно-убывающей геометрической прогрессии;
- вычислять производные и первообразные элементарных функций, применяя правила вычисления производных и первообразных, используя справочные материалы;
- использовать производную для изучения свойств функций и построения графиков;
- решать задачи с применением уравнения касательной к графику функции;
- применять производную для проведения приближенных вычислений;
- решать задачи прикладного характера на нахождение наибольшего и наименьшего значения, на нахождения скорости и ускорения;
- вычислять определённый интеграл с помощью основных свойств и по формуле Ньютона-Лейбница;
- решать простейшие прикладные задачи, сводящиеся к нахождению интеграла;
- вычислять в простейших случаях площади и объёмы с использованием определенного интеграла.
Виды самостоятельной работы студентов.
-
Решение задач и упражнений по образцу.
Образец выполнения задания.
Исследовать функцию по предложенной схеме и построить ее график
.
y
Образец выполнения здания.
1.Вычислить площади фигур, ограниченных линиями x - 2y + 4 = 0, y = 0 и x + y - 5 = 0.
Решение. Выполним построение фигуры. Построим прямую x - 2y + 4 = 0: y = 0, x = -4, A( -4; 0); x = 0, y = 2, B(0; 2). Построим прямую x + y - 5 = 0: y = 0, x = 5, C(5; 0); x = 0, y = 5, D(0; 5).
Найдем точку пересечения прямых, решив систему уравнений:
Для вычисления искомой площади разобьем треугольник AMC на два треугольника AMN и NMC, так как при изменении x от A до N площадь ограничена прямой x - 2y + 4 = 0, а при изменении x от N до С - прямой x + y - 5 = 0.
Для треугольника AMN имеем: x - 2y + 4 = 0; y = 0,5x + 2, т.е. f(x) = 0,5x + 2, a = -4, b = 2. Для треугольника NMC имеем: x + y - 5 = 0, y = 5 - x, т.е. f(x) = 5 - x, a = 2, b = 5.
Ответ. S = 13, 5 кв. ед.
-
Вычислить объем тела, образованного вращением вокруг оси Оx фигуры ограниченной осью Ox и полуволной синусоиды y = sin x (0 ≤ x ≤ π).
Решение. Выполним построение. По формуле , получим
Ответ: V = (куб. ед.)
Выполнить задания:
В задачах 1 - 4 найти площадь плоской фигуры, ограниченной линиями:
1) x - y + 2 = 0, y = 0, x = -1, x = 2.
2) x - y + 3 = 0, x + y - 1 = 0, y = 0.
3) y = x2, y = 0, x = 0, x = 3.
4) y = cos x, y = 0, x = 0, x = π/2.
В задачах 5 - 8 найти объемы тел вращения, образованных вращением вокруг оси Оx площадей, ограниченных линиями:
5) y2 - 4x = 0, x - 2 = 0, x - 4 = 0, y = 0.
6) y2 - x + 1 = 0, x - 2 = 0, y = 0.
7) y = - x2 + 2x, y = 0.
8) y2 = 2x, x - 2 = 0.
ИЗМЕРЕНИЯ В ГЕОМЕТРИИ
Требования к знаниям и умениям
Студент должен:
иметь представление:
- об объёме фигур вращения;
- о подобных телах.
Знать:
- формулы для вычисления объёма параллелепипеда, куба, прямой и наклонной призмы, пирамиды, цилиндра, конуса, усечённого конуса, шара;
- формулы для вычисления объёма тел вращения;
- формулы площади поверхности цилиндра, конуса, усечённого конуса и их вывод;
- формулу площади сферы.
Уметь:
- находить объём прямой и наклонной призмы, пирамиды, круглых тел при решении несложных задач;
- вычислять боковую и полную поверхность цилиндра, конуса, шара;
- решать несложные задачи с практическим содержанием;
- находить отношения площадей поверхностей и объёмов подобных тел.
Виды самостоятельной работы студентов.
1.Решение задач и упражнений по образцу.
Задача 1. Образующая прямого конуса равна 4 см и наклонена к плоскости основания под углом 300. Найдите объём конуса.
Решение.
cosАВО= ВО=R=АВ*cos300=
треугольник АВО -прямоугольный, напротив угла в 300 лежит катет, равный половине гипотенузы, отсюда следует, что Н= 2 см
4. см3
Ответ: V=8 см3
Задача 2. Найдите объём конуса, полученного вращением равнобедренного прямоугольного треугольника с гипотенузой см вокруг своего катета.
В
А О С
Решение.
1)
2
) Δ АОВ - прямоугольный , равнобедренный АО=ВО, по т. Пифагора найдем
R=ОА
Пусть АО = а, тогда
а2 + а2 =
2а2=18
а2 =9
а1=3 - радиус и высота
а2 = - 3 п. к.
3)
Ответ:
Задача 3. Объём шара см3. Вычислите площадь поверхности шара.
Решение.
1)
2)
3)
4)
Ответ:
Задача 4. Найдите объём правильной пирамиды, если боковое ребро равно 3см, а сторона основания - 4см.
Решение.
-
-
-
треугольник АВС - прямоугольный, АС= смАО=ОС=
-
Н, высоту найдём из прямоугольного треугольника АОS, см
-
V= см3
Ответ: объём усечённого конуса равен см3
Выполнить задания.
1. В прямоугольном параллелепипеде стороны основания равны 12см и 5см. Диагональ параллелепипеда образует с плоскостью основания угол в 450. Найти боковое ребро параллелепипеда.
2. Основанием пирамиды DABC является треугольник ABC, у которого AB=AC=13см, BC=10см; ребро AD перпендикулярно к плоскости основания и равно 9см. Найти площадь боковой поверхности пирамиды.
3. Основание пирамиды - равнобедренный треугольник ABC, в котором . Ребро DB перпендикулярно плоскости основания и равно 20. Найти тангенс двугранного угла при ребре AC.
4. Боковое ребро наклонной четырехугольной призмы равно 12см, а перпендикулярным сечением является ромб со стороной 5см. Найти площадь боковой поверхности призмы.
5. Высота цилиндра равна 12см, а радиус основания - 10см. Цилиндр пересечен плоскостью, параллельной его оси так, что в сечении получился квадрат. Найти расстояние от оси цилиндра до секущей плоскости.
ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ.
ЭЛЕМЕНТЫ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ СТАТИСТИКИ
Требования к знаниям и умениям
Студент должен:
иметь представление:
- о событиях и их видах;
- о вероятности события;
- о реальных числовых данных, представленных в виде диаграмм и графиков;
- о задачах математической статистики.
Знать:
- определение вероятности события;
- теоремы сложения и умножения вероятностей;
- законы распределения случайной величины;
- формулу Бернулли;
- элементы математической статистики;
- понятие о законе больших чисел.
Уметь:
- находить вероятность события, сложение и умножение вероятностей;
- находить числовые характеристики дискретной случайной величины;
- представлять данные в виде таблиц, диаграмм, графиков;
- решать практические задачи с применением вероятностных методов.
Виды самостоятельной работы студентов.
-
Решение задач и упражнений по образцу
Задача 1. На входной двери имеется замок c 10 цифрами на кнопках. Для того, чтобы открыть замок, необходимо нажать три кнопки так, чтобы цифры на них составили определенное число. Найти вероятность того, что замок откроют с первой попытки.
Решение. Найдем вероятность этого события по классическому определению вероятности: , где m - число исходов, благоприятствующих осуществлению события, а n - число всех возможных исходов.
- число различных кодовых комбинаций (первая цифра любая от 0 до 9, вторая цифра любая от 0 до 9 и третья цифра любая от 0 до 9).
- только одна комбинация (число) верная.
Тогда вероятность открыть замок равна: .
Задача 2. В урне 10 пронумерованных бочонков с номерами от 1 до 10. Вынули один шар. Какова вероятность того, что номер вынутого бочонка не превосходит 2?
Решение. Пусть событие А = (Номер вынутого бочонка не превосходит 2). Число случаев благоприятствующих появлению события А равно числу бочонков с номерами не более 2 (то есть 1 и 2), поэтому m=2. Общее число исходов n=10. Следовательно, .
Задача 3. В классе 7 мальчиков и 14 девочек. 1 сентября случайным образом определяют двух дежурных на 2 сентября. Найдите вероятность того, что будут дежурить 2 мальчика.
Решение
Событие A - будут дежурить 2 мальчика.
В классе всего 21 чел. , выбрать двоих можно
способами.
Мальчиков 7, двоих из них можно выбрать
способами.
Тогда вероятность того, что будут дежурить 2 мальчика равна
Выполнить задания.
1.В ящике находятся 3 белых, 5 черных и 6 красных шаров. Наугад вынимают один шар. Какова вероятность того, что вынутый шар: а) белый и черный; б) желтый; в) не белый?
2. Брошены 2 игральные кости. Какова вероятность того, что на одной кости выпало 3 очка, а на другой - четное число очков?
3. В урне 6 белых шаров, 11 - черных. Одновременно наугад вынимают два шара. Найти вероятность того, что оба шара будут:
1) белыми, 2) одного цвета, 3) разных цветов.
-
Подготовка докладов на тему:
-
«Из истории развития теории вероятностей»
-
«Задачи математической статистики».
УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА
Требования к знаниям и умениям
Студент должен:
иметь представление:
- о рациональных, показательных, логарифмических и тригонометрических уравнениях;
- об изображении на координатной плоскости множества решений уравнений и неравенств с двумя переменными.
Знать:
- алгоритм решения иррациональных уравнений и неравенств;
- способы решения рациональных, показательных, логарифмических и тригонометрических уравнений и неравенств;
- формулы решения простейших тригонометрических уравнений и неравенств.
Уметь:
- решать рациональные, показательные и логарифмические уравнения и неравенства, иррациональные и тригонометрические уравнения, их системы;
- доказывать несложные неравенства;
- решать текстовые задачи с помощью составления уравнений и неравенств, интерпретируя результат с учётом ограничений условия задачи;
Виды самостоятельной работы студентов.
-
Решение задач.
Выполнить задания.
-
Решите уравнение .
-
Решите уравнение .
-
Решите уравнение .
-
Решите уравнение .
-
Решите уравнение .
-
Решите уравнение .
-
Решите уравнение .
-
Решите уравнение .
-
Решите уравнение .
-
Решите уравнение .
-
Решите уравнение .
-
Решите уравнение .
-
Найдите наибольший корень уравнения .
-
Решите уравнение .
-
Решите уравнение .
Заключение
Самостоятельная работа всегда завершается какими-либо результатами. Это выполненные задания, упражнения, решенные задачи, написанные сочинения, заполненные таблицы, построенные графики, подготовленные ответы на вопросы.
Таким образом, широкое использование методов самостоятельной работы, побуждающих к мыслительной и практической деятельности, развивает столь важные интеллектуальные качества человека, обеспечивающие в дальнейшем его стремление к постоянному овладению знаниями и применению их на практике.