Отборочный и финальный туры олимпиады по математике для обучающихся НПО 1, 2 курсы

МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ И ТРЕБОВАНИЯ

Группы, для которых проводится внутритехникумовский этап Олимпиады - ПК-15-1-К, С-15-9-К, С-14-8-К, А-14-7-К, ПК-14-5-К

1. Цель проведения Олимпиады - воспитание в будущих специалистах таких качеств как творческий подход, нетривиальное мышление и умение изучить проблему с разных сторон. Некоторые задачи можно решить несколькими разными методами или комбинацией методов. Характерная особенность олимпиадных задач в том, что решение с виду несложной проблемы может потребовать применения методов, использующихся в серьёзных математических исследованиях.

2. Продолжительность Олимпиады - 3 астрономических часа.

3. Требования к проверке работ:

1) Олимпиада не является контрольной работой и недопустимо снижение оценок по задачам за неаккуратно записанные решения, исправления в работе. В то же время обязательным является снижение оценок за математические, особенно логические ошибки;

2) для объективности проведения Олимпиады обязательной является шифровка работ, проводимая членами оргкомитета олимпиады;

3) решение каждой задачи оценивается Жюри в соответствии с критериями и методикой оценки, разработанной предметно-методической комиссией:

Баллы

Правильность (ошибочность) решения.

7

Полное верное решение.

6-7

Верное решение, но имеются небольшие недочеты, в целом не влияющие на решение.

5-6

Решение в целом верное. Однако решение содержит ошибки, либо пропущены случаи, не влияющие на логику рассуждений.

3-4

Верно рассмотрен один из существенных случаев.

2

Доказаны вспомогательные утверждения, помогающие в решении задачи.

0-1

Рассмотрены отдельные случаи при отсутствии правильного решения.

0

Решение неверное, продвижения отсутствуют.

0

Решение отсутствует.

Дополнение: максимальная оценка за каждую задачу - 7 баллов, независимо от количества пунктов в ней (таким образом, общая максимальная оценка участника за 5 задач может быть 35 баллов). Если в задаче два пункта, то максимальная оценка за решение лишь одного пункта - 4 балла.

4) Жюри рассматривает записи решений, приведенные в чистовике. Черновик рассматривается только в случае ошибочного переноса записей из черновика в чистовик;

5) каждая работа должна быть оценена двумя членами Жюри. В случае расхождения их оценок вопрос об окончательном определении баллов, выставляемых за решение указанной задачи, определяется председателем Жюри;

6) результаты проверки всех работ участников Олимпиады члены Жюри заносят в итоговую таблицу.

4. Требования к порядку проведения Олимпиады:

1) задания каждой возрастной параллели составляются в одном варианте, поэтому участники должны сидеть по одному;

2) участники выполняют задания в тетрадях в клетку, каждый лист имеет угловой штамп техникума;

3) во время туров участникам запрещается пользоваться справочной литературой, электронными вычислительными средствами или средствами связи;

4) задания Олимпиады тиражируются в количестве, соответствующем количеству участников Олимпиады;

5) перед началом тура участник заполняет титульный лист угловой штамп, указывая на нём свои данные. Категорически запрещается делать какие-либо записи, указывающие на авторство работы, во внутренней части работы.

6) участники выполняют работы ручками с синими или фиолетовыми чернилами. Запрещается использование для записи решений ручек с красными или зелеными чернилами.

Задачи отборочного тура олимпиады по математике

НПО 1 КУРС: ПК-15-1-К, С-15-9-К

1.Сократите дробь:

2.Найдите такие и , при которых для всех допустимых значений x верно

3.Поставьте знак между некоторыми цифрами числа 987 654 321, чтобы в сумме получилось 99. Сколько решений имеет задача?

4.Собака, находясь в точке , погналась за лисицей, которая была на расстоянии 30м от собаки. Скачок собаки равен 2м, скачок лисицы - 1м. Собака делает два скачка в то время когда лисица делает 3 скачка. На каком расстоянии от точки собака догонит лисицу?

5.Два человека, у которых есть один велосипед, должны попасть из пункта в пункт , находящийся на расстоянии от . Первый передвигается пешком со скоростью , на велосипеде - . Второй - пешком со скоростью , на велосипеде - . За какое наименьшее время они могут добраться в пункт (велосипед можно оставлять без присмотра)?

6.(Альтернативное задание). В равнобедренный прямоугольный треугольник вписан прямоугольник так, что две его вершины находятся на гипотенузе, а две другие - на катетах. Чему равны стороны прямоугольника, если известно, что они относятся как 5:2, а гипотенуза треугольника равна 45см?

Решение:

1. Указание.

2. Указание.

Допустимыми значениями x являются все числа, кроме x=1.

Из последнего равенства следует, что , .

3. Указание.

1. 9+8+7+65+4+3+2+1=99;

2. 9+8+7+6+5+43+21=99.

4. Указание.

Обозначим за м, тогда м - прошла собака до точки , где -момент, когда собака догнала лисицу, м - прошла лисица до точки .

За единицу времени собака проходит 4м, а лисица - 3м, время движения у них одно и то же. Значит, возможно составить уравнение:

а отсюда . Следовательно, расстояние , равное это

Ответ: 120м.

5. Указание.

Пусть первый человек пешком пройдет километров, а на велосипеде проедет километров. Тогда второй человек пешком пройдет километров, а на велосипеде проедет километров. Учитывая, что наименьшее время они затратят, если придут в пункт одновременно, составим уравнение

откуда .

Искомое время

Ответ: 4 ч 48 мин.

6. Указание.

∆ABC - равнобедренный, отсюда

равнобедренные, так как и аналогично . Поэтому и .

К тому же (стороны прямоугольника), так что .

Пусть . Тогда, . Получим

; откуда

. Далее, ; .

Ответ: 10 см; 25см.

Задачи отборочного тура олимпиады по математике

НПО 2 КУРС: ПК -14-5-К, С-14-8-К, А-14-7-К.

1.Две машины едут по трассе скоростью 80 км/ч и с интервалом 10 м. У знака ограничения скорости машины мгновенно снижают скорость до 60 км/ч. С каким интервалом они будут двигаться после знака ограничения?

2.В шестизначном числе зачеркнули одну цифру и получили пятизначное. Из исходного числа вычли это пятизначное число и получили 654321. Найдите исходное число.

3.Дан треугольник ABC. Точка M лежит на стороне BC. Известно, что AB = BM и AM = MC, угол B равен 100. Найдите остальные углы треугольника ABC.

4.Какое наибольшее число ладей можно разместить на шахматной доске так, чтобы для каждой ладьи либо её горизонталь, либо её вертикаль (либо и та, и другая) были свободны от других ладей?

5.а) Даны натуральные числа a и b. Обязательно ли они имеют одинаковые остатки при делении на 10, если известно, что числа и имеют одинаковые остатки при делении на 10?

б) Даны натуральные числа a, b и с. Известно, что у чисел 2a + b, 2b + c и 2c + a остатки при делении на 10 одинаковые. Докажите, что у чисел a, b и с остатки при делении на 10 тоже одинаковые.

Решение:

1.Ответ. 7,5 м..

Указание: . Пусть v (м/час) - скорость машин до знака, u (м/час) - скорость машин после знака. Вторая машина проедет знак позже первой на 10/v (час). За это время первая машина проедет 10u/v (метров) =106/8 =7.5 метров. Этот интервал и будет сохраняться после знака.

2.Ответ. 727 023.

Указание. Заметим, что зачёркнута была последняя цифра, т.к. в противном случае после вычитания последняя цифра числа была бы нулевой. Пусть y - последняя цифра исходного числа, x - пятизначное число после зачёркивания. Тогда полученное число равно 10x+y-x = 9x+y =654 321. Деля это число на 9 с остатком (и учитывая, что y не превосходит 9), получим остаток y=3 и частное x=727 02.

3. Ответ. угол А=60, угол В= 20.

Указание. Треугольники ABM и AMC - равнобедренные, поэтому углы при их основаниях равны. Обозначим эти углы x и y соответственно. Тогда по свойству внешнего угла AMB для треугольника AMC, имеем x=2y. Отсюда сумма углов A и C равна 4y=180-100, значит у=20.

4. Ответ. 14..

Указание. Ладью на шахматной доске назовём вертикальной, если на её вертикали нет других ладей. Аналогично, определим горизонтальные ладьи (в принципе, ладья может оказаться одновременно горизонтальной и вертикальной). Если имеется 8 вертикальных ладей, то больше на доске ладей нет (иначе новая ладья попала бы на чью-нибудь вертикаль из данных восьми ладей). Аналогично, если есть 8 горизонтальных ладей, то больше ладей нет. Покажем, что можно поставить 7 горизонтальных и 7 вертикальных ладей, что даст максимальное количество - 14 ладей. Действительно, их можно расположить на первой горизонтали и первой вертикали, кроме угловой клетки a1 (т.е. ладьи занимают клетки a2, a3,…,a8, b1, c1,…, h1).

5. Ответ. а) Да, обязательно. б) нет

Указание.

а) Вычитая эти два числа и , получаем, что разность a- b делится на 10, т.е. a и b оканчиваются на одну и ту же цифру.

б) Пусть s=a+b+c. Уменьшая каждое из чисел 2a + b, 2b + c и 2c + a на s, получим числа a-с, b-a, c-b (некоторые из них могут быть отрицательными), причём у этих чисел одинаковый остаток, скажем x, при делении на 10. Заметим, что сумма чисел a-b, b-c, c-a равна нулю, а с другой стороны, сумма их остатков при делении на 10 равна 3x. Значит, x=0.