Методическая разработка, 2011, по УДЕ

Государственное образовательное учреждение среднего профессионального образования

«Зюкайский аграрный техникум»

Методическая разработка

«Преподавание математики в системе СПО через укрупнение дидактической единицы»

Разработку выполнила

Курилова Любовь Афанасьевна,

высшая квалификационная категория

Зюкайка, 2011

ПЛАН

*Целевое назначение методической разработки

* Введение

*Глава 1. Основы методики обучения математике через УДЕ (укрупнение дидактических единиц) с 6

*Глава 2. Описание работы по применению методики УДЕ на уроках математики автора работы на примерах тем: с 22

«Перпендикуляр и наклонная. Теорема о трех перпендикулярах», «Дифференциальные уравнения с разделенными и разделяющимися переменными», «Свойства показательной и логарифмической функции», «Решение показательных и логарифмических неравенств», «Производная степенной функции», «Интеграл степенной функции», «Графики гармонических колебаний», «Геометрический и физический смысл производной»

*Заключение с 40

*Библиографический список с 42

*Приложение 1. Методическая разработка урока по теме: «Дифференциальное и интегральное исчисление»

*Приложение 2. Методическая разработка урока по теме: «Параллельное и ортогональное проектирование. Изображение фигур в стереометрии»

*Приложение 3. Визуальные тесты к разработке урока 1

Цель выполняемой работы: обобщение опыта работы преподавателя по применению методики укрупнения дидактических единиц на уроках математики.

Гипотеза: решение проблемы - несоответствие объема знаний количеству времени, предусмотренному для их усвоения, - частично можно решить, используя приемы УДЕ, активизирующие работу правого полушария мозга, образного, интуитивного.

Задача: последовательное формирование системы подхода к обучению математике с позиций развития как аналитического, так и синтетического мышления.

Реализовать подход к знаниям с системных позиций в технологии предъявления информации в виде УДЕ, приводящей к методическому усовершенствованию и дидактическому реконструированию учебного материала.

Объект: процесс обучения математике в системе СПО.

Предмет: традиционные методы предъявления математической информации не позволяют достаточным образом активизировать познавательную деятельность студентов, так как у большинства поступающих в техникум студентов низкий уровень математических знаний; математика не является средством формирования личности: у студентов перед ней «смысловой барьер» еще со школы, как перед трудной наукой.

Введение

Сегодня специалисту недостаточно владеть только теоретической, практической базой знаний, умений, навыков. Новое время требует и нового специалиста. Развитое мышление, способность решать проблемы, быть предприимчивым, творческим, инициативным, уметь быстро адаптироваться к изменяющимся условиям жизни, владеть информацией - вот такой должен быть современный специалист.

Объем информации постоянно растет, поэтому одна из главных задач современной педагогики состоит в том, чтобы человек за меньшее, чем прежде, время овладел объемом основательных и действенных знаний.

« Процветание страны в будущем» может определить «эффективное развитие возможностей мозга в масштабах всей страны». Человек, проникнув в макрокосмос, очень мало еще знает о резервах своего микрокосмоса - о 15 миллиардах нервных клеток, образующих человеческий мозг. Словесное мышление осуществляется в коре головного мозга, составляющей не более 3% всей массы мозга. Остальная часть мозга занята переработкой подсознательной информации. В обычных условиях, по словам академика Н. П. Дубинина, являются активными лишь 10% нейронов головного мозга. Задача - увеличить долю активных нейронов в переработке информации служит решению проблемы интенсификации обучения. Не перегружать уже работающие части, а включать запасные механизмы мозга, которыми нас снабдила природа…

Общеизвестны проявления феноменальных способностей человеческого мозга: существуют вычислители, способные соревноваться с ЭВМ, полиглоты, знающие несколько десятков языков.

Однако получены выдающиеся результаты и в экспериментальном обучении не гениев, а обычных «рядовых» людей.

В 1981 году было совершено фундаментальное открытие в физиологии мозга: американский ученый - невролог Роджер Сперри - « два мозга, два сознания». Это открытие оценено Нобелевской премией (г. Педвестник. - 1998 - №9).

Статья о новой технологии директора 180 - ой Новосибирской школы А. С. Потапова. Восемь лет эксперимента. Каждый второй поступает в вуз. Два класса полным составом поступили в педагогический университет. Основой для успешного обучения детей директора и его единомышленников было деление детей на « физиков» и « лириков» и переработка всех программ с учетом доминирующего полушария мозга у ребенка.

В педагогике известен эффект концентрированного обучения наукам школьников старших классов ( В. Ф. Шаталов ), развивающего обучения ( Л. В. Занков ), раннего обобщения ( Д. Б. Эльконин, В. В. Давыдов ), поэтапного формирования умственных действий ( П. Я. Гальперин, Н. Ф. Талызина ), проблемного обучения ( М. И. Махмутов ) и др.

Всем известно, что в математику нет «царского пути». Однако финикийская царица Дидона нашла этот путь, благодаря своей хитрости и невероятной интуиции. В обмен на ничтожные безделушки Дидона выторговала у вождей племен, населявших север Африки, право владеть «клочком земли, который покроет воловья шкура». Коварная финикийская царица и не думала класть шкуру на землю - нет, она разрезала ее на тонкие ремни, связала их вместе и этой длинной веревкой вознамерилась огородить свое будущее владение. И тут перед ней - впервые за всю человеческую историю - встала задача, которую много веков спустя назовут изопериметрической: какую форму должна иметь замкнутая линия, чтобы площадь, заключенная внутри ее, получилась наибольшей. Она блестяще решила эту задачу в свою пользу, выбрав участок на берегу моря, так что вся морская граница досталась ей даром. В общем виде задача строго была решена лишь в прошлом веке, а вариант задачи (решенный царицей) - и того позже.

Вот так во времена седой древности решалась задача без применения формул, только посредством интуиции, только визуальным мышлением, которое совершает правое полушарие мозга.

Глава 1

Основы методики обучения математике через УДЕ

«Следует отметить, что современная педагогика лишь приближается к комплексному использованию всех наук о мышлении для решения насущных задач обучения и воспитания» (П. М.Эрдниев).

О необходимости наложения психологии на «физиологическую канву» говорил еще И. П. Павлов. Процесс учения - это, прежде всего работа нервной ткани, деятельности живого мозга. Поэтому так важно строить процесс обучения с учетом представлений о мышлении в психологии, физиологии и в философии. Однако это человек для удобства создал разные науки, а «природа не знает деления на науки». Согласно представлениям физиологов и психологов (П. К. Анохин, А. Н. Леонтьев), центральным явлением психической жизни человека выступает образование функциональных систем, т. е ансамблей нейронов, «специализирующихся» на решении сходных в чем - либо познавательных задач.

Функциональные системы обретают способность непосредственного схватывания пространственных, количественных и логических отношений. Переработка информации мозгом человека осуществляется параллельно на низших и высших кодах (на кодах знаков, звуков, слов, фраз и смысла), т. е. на подсознательном и сознательном уровнях одновременно. Как считает академик А. Н. Колмогоров, сознание человека опирается на «огромный резервуар подсознательной информации. Там идет активная работа по созданию новых комбинаций, идей, образов. Человеческий мозг, по - видимому, унаследовал механизмы ускоренной переработки информации, которые мы называем подсознательными, от «предшественников на эволюционной лестнице органического мира».

Известно, что именно сегодня, на рубеже веков и тысячелетий, происходят существенные изменения человечества, как вида: отмечается сдвиг функциональной асимметрии мозга в сторону большей активности правого полушария. По некоторым оценкам у 87% детей школьного возраста доминирует правое полушарие, что « крайне важно и необходимо учитывать при организации образовательного процесса». Кроме того, игнорирование «правополушарных» качеств непосредственно связано с ростом бездуховности - дефицитом любви, уважения, понимания, добра, красоты.

Важно подчеркнуть, что акцент только на развитие интеллекта приводит к следующему: « ум становится блестящим как алмаз, но при этом холодным, жестким и жестоким». Традиционное образование приучило педагога активизировать главным образом левое полушарие, поэтому «правополушарные» дети оказываются в школе, как правило, неуспешными.

Образовательный процесс необходимо строить с учетом целостности природы человека: на основе не только интеллектуальных возможностей, но и на основе образного мышления, интуиции, творческого воображения, эмоций, чувств и прочих проявлений правого полушария мозга. Развитие «правополушарных» качеств - экзистенциальность образования - обогащает мировосприятие человека, делает процесс усвоения учебного материала целостным, природосообразным.

Модернизация системы образования в России, опирающаяся на принципы: гуманизации, гуманитаризации, информатизации - достигается средствами:

- субъектность (гуманизация);

- диалогичность (совместный поиск истины);

- развивающая направленность;

- экзистенциальность;

- интегрированность;

- фундаментальность.

Фундаментальность означает естественное сочетание методологии, технологии, методики преподавания учебного предмета.

Выпускник, который будет жить, трудиться в XXI веке, должен адаптироваться в меняющихся жизненных ситуациях, самостоятельно критически мыслить, быть коммуникабельным, контактным в различных социальных группах. То есть речь идет о формировании современных ключевых компетенций:

- общенаучной;

- информационной;

- познавательной;

- коммуникативной;

- ценностно - смысловой;

- социальной;

- компетенции личностного самосовершенствования.

Учебное заведение, готовящее кадры, должно создавать условия для формирования личности, обладающей такими компетенциями.

Одной из основных целей учебной дисциплины « математика» является формирование и развитие мышления человека, прежде всего абстрактного мышления. Обучение математике ориентировано не столько на собственно математическое образование, в узком смысле слова, сколько на формирование личности посредством математики. Н. Е. Жуковский имел основания считать, что методы обучения математике можно сделать столь совершенными, что ее будет понимать «всякий желающий из публики».

В настоящее время состояние знаний учащихся школ и студентов по математике нельзя считать вполне удовлетворительными: знание математики зачастую остается формальным, мыслительная активность развита недостаточно.

Выпускники школ не умеют самостоятельно рассуждать, они демонстрируют в основном свою память, а не умение активно мыслить. В работе со студентами отмечается недоразвитие у них синтетического мышления.

Недостаточное использование символики, записи рассуждений в виде граф - схем (т. е. оформление знаний в единственном коде, словесно), рассогласованность и дробность знаний и мыслительных операций (анализ и синтез) в традиционной практике школьного обучения приводят к несформированности глубоких, осознанных и действенных знаний по математике.

Проблеме интенсификации методов обучения математике служит метод укрупнения дидактических единиц. Автором педагогической технологии на основе методического усовершенствования и дидактического реконструирования учебного материала - УДЕ - является Эрдниев Пюрвя Мучкаевич - академик РАО, заслуженный деятель науки РСФСР.

Г. К. Селевко «Педагогические технологии на основе дидактического и методического усовершенствования УВП», Москва, НИИ школьных технологий, 2005 г.

В этой энциклопедии автор описывает обоснование эффективности укрупненного введения новых знаний, позволяющего:

- применять обобщения в текущей учебной работе на каждом уроке;

- устанавливать больше логических связей в материале;

- выделять главное и существенное в большой дозе материала;

- понимать значение материала в общей системе ЗУН;

- выявить больше межпредметных связей;

- более эмоционально подать материал;

- сделать более эффективным закрепление материала.

Г. Н. Селевко констатирует, что «разработанный на математическом материале метод укрупнения дидактических единиц ныне приобрел общедидактический статус. Укрупнение, сжатие содержания образования может производиться с помощью различных моделей (логических, продуктивных, фреймовых, семантических и т. д.)».

Исследования УДЕ включены в Международный справочник «выдающихся научных достижений» (США). Работы переведены с русского в Германии, США, Японии, Франции, Венгрии, Болгарии и др.

Целью метода укрупнения дидактической единицы является усиление роли в освоении знаний первой сигнальной системы человеческого мозга (доречевой) на уровне подсознания. Морис Клайн считает: «Знание достигается интуитивно и логическое изложение в лучшем случае является подчиненной и дополнительной помощью при обучении…» Интуиция означает буквально «пристальное всматривание». Она непосредственно связана с образным мышлением и в известной мере противостоит строгой логике.

Проявление интуиции, то есть озарения, непосредственного усмотрения результата, связано с работой подсознательных механизмов, с влиянием на ход мышления всего многогранного опыта, с эмоциями человека, наконец.

Вот почему в современной дидактике столь распространенной стала методика опроса - тестирование. Психологический тренинг выбора ответа помогает развитию предприимчивости, инициативы, интуиции.

Весьма ценным для развития интуиции представляется раннее ознакомление с интересными математическими фактами, намеренно без доказательства.

Работа над созданием УДЕ по предмету - это работа над приемами и методами развития интуиции.

Полезно помнить афоризм Ньютона: примеры учат больше, чем теория. Тем более важно подать задачу в таком виде, в такой обработке, чтобы она вызвала недоумение, переходящее в устойчивый интерес.

К решению любой задачи необходимо подключать совершенно иные дологические неречевые (правополушарные) механизмы мышления. Рисунок, схема, чертеж, график разгружают аппарат логики, так как они являются двумерным носителем информации, в то время, как логическое доказательство, состоящее из последовательности написанных или произнесенных слов, одномерно, линейно. Значительный объем информации перерабатывается и усваивается на нижних этажах кодовой системы, независимо от словесных уровней. Кодовая система: К звуков -> К знаков ->К слов - >К фраз - >К смысла. Необходимо знать, что зрительные каналы в 100 раз мощнее слуховых. Визуальное мышление практически автономно.

Вот почему, встретившись со случаем непонимания учащимся изучаемого материала, опытный учитель всячески упрощает объяснение, опускаясь на нижние уровни информационной лестницы и подбирая все более понятные толкования изучаемого вопроса. Например, поясняя свойство пропорции на примере так называемой «золотой», «божественной» пропорции

, можно основное свойство пропорции - «произведение крайних равно произведению средних членов» - изобразить руками дважды «крест». Поясняя свойства степени: ∙ = = указать, что складываются числа на верхней линии, свойство пропорции вспомнить при напоминании правила деления обыкновенных дробей:

: =

Если учащемуся толкуется какое-то правило, состоящее из определенных слов, то можно сформулировать тут же какое-либо предложение, состоящее из тех же слов, но не имеющее логическую завершенность. Например, в отношении у некоторых учащихся возникает желание сократить «x». Говоришь им: « s - не есть произведение четырех сомножителей, поэтому сократить нельзя». (Этим приемом развивается интуиция)

Ещё пример:

sin A = , а отношение не есть sin A .

В предыдущем примере две мысли обретают внутреннее единство, коль они составлены из одних и тех же букв, знаков и цифр.

А эти теоретические мысли содержат общие слова:

«Постоянный множитель можно выносить за знак - предела

- производной

- интеграла».

Наши ученики знают, что три числа: 2, 5, 32 можно связать несколькими способами: =32, =2, но при неожиданном вопросе две последних операции учащиеся вспоминают с затруднением, так как в их сознании они не соединены взаимно-обратными связями. Здесь необходимо различать обратную связь и обратимую.

«Обратная связь» употребляется при обсуждении логики вопроса, то есть безотносительно ко времени образования связи мыслей.

В предыдущем примере учащиеся знают порознь каждую операцию, но в обратимые (двусторонние) ассоциации (когда представление, мысль, осознание первого члена ассоциации вызывает представление, мысль, осознание второго члена ассоциации, а затем наоборот: представление, мысль, осознание второго члена ассоциации вызывает представление, мысль, осознание первого члена) эти связи не превратились.

«Обратимая связь» имеет отношение к психологической характеристике процесса обучения и, как мы поняли, связана с проявлением ассоциации во времени.

Если принятая система обучения такова, что прямая связь (4 ∙ 2 =8) незамедлительно превращается в обратную связь (8 : 2=4) и наоборот, то говорят, что она опирается на обратимые связи (на обратимые ассоциации).

Прямая связь мыслей (а -> b)и обратная (a < - b) связь мыслей - это разные процессы; прямая связь самопроизвольно не переходит в обратную связь; при методике раздельного обучения такие знания могут годами сосуществовать без взаимодействия, без перехода в новое высшее целостное качество, в обратимую связь (а b), представляющую некоторое укрупненное знание.

Основной закон диалектики - единство и борьба противоположностей - является основой человеческого познания.

В восточной философии существует эмблема двойственности «инь-ян». Она изображается «совершенной фигурой» - кругом, символизирующим исходную целостность. Круг разделен плавной линией на белую и черную центрально-симметричные половинки, представляющие единство всех противоположностей мира. К ним относим: добро и зло, истину и ложь, землю и небо, темноту и свет, дочь и сына, папу и маму, положительное и отрицательное и т. п.

Внутри каждой половинки имеется кружок другого цвета: противоположное начало возникает в недрах каждого из членов пары, противоположности проникают друг в друга.

Так же и в приобретении знаний: необходимо уловить эту точку роста, этот момент перехода одного из членов пары понятий в сопряженный ему. Задача учителя при изложении материала использовать эту характерную особенность человеческого мышления, особую склонность его как бы к «раздвоению единого», поиск во всем обратной стороны медали, склонность к парным или даже четверным мыслительным конструкциям (4 времени года, 4 стихии: земля, вода, воздух, огонь,4 типа темперамента…).

Центры противоположных чувств находятся в мозгу очень близко, лишь в нескольких мм друг от друга.

5 < 7 -> 7 > 5 (моментально возникает другая ассоциация)

Приемом сознательной концентрации учебной информации являются матрицы взаимно-обратных задач, матрицы графиков, матрицы чертежей.

Эффективность приема объясняется тем, что в них удачно используется способность зрительного анализатора различать четко и очень быстро направления (влево-вправо, вниз-вверх, на себя-от себя, выше-ниже), а также способность специализированных нейронов мозга быстро дифференцировать контрастные раздражители, как-то: дуги и отрезки, толщину и цвет линий и т. д.

Умелое использование комплекса графических образов в качестве единого задания увеличивает пропускную способность мозга.

Итак, познавательным принципом является матричность мышления.

В свое время толчком к открытию периодической системы элементов Д. И. Менделеева послужила привычка великого химика раскладывать пасьянс.

Решение задач, расположенных в виде матрицы, даже двумерной, ускоряется в силу того, что происходит подключение специфических механизмов визуального (неречевого) мышления.

Например, задачи на нахождение процента от числа и числа по проценту:

прямая задача обратная задача

100 % - 300 руб. 100 % - у руб.

7% - x руб. 7% - 21 руб.

Решение: Решение:

1. 300 : 100 = 3 (руб.) 1. 21 : 7 = 3 (руб.)

2. 3 ∙ 7=21 (руб.) 2. 3 ∙ 100 = 300 (руб.)

Первая задача решается с помощью 18 отдельных символов низшего кода (букв, цифр).

Условие же обратной задачи, составляемой и решаемой на основе решения прямой задачи, воспринимается качественно иначе, а именно: 15 символов, общих для исходной и преобразованной задач, образуют некое единство, «сверхсимвол» А.

Итак, обратная задача, возникшая из прямой задачи, представлена лишь 4 символами (один «сверхсимвол» А, да три новых символа: y, 2, 1). Далее проявляется парадоксальный «эффект сверхсимвола»: на восприятие одного сверхсимвола тратится времени почти столько же, сколько на обычный символ, который является элементом сверхсимвола.

В рассматриваемом случае на изображение условия исходной задачи «тратится» 18 символов, на восприятие этой же задачи в паре с обратной задачей, в сущности, тратится не 18 ∙ 2 = 36 символов (что бывает при раздельном изучении задач), а всего лишь 18 + 4 = 22 символа.

Экономия в расходе носителей информации разительная. И так бывает всегда при сознательном укрупнении порции знаний. Благодаря образованию укрупненной единицы исходная задача обретает иное качество. «Сверхсимвол А», связывая прямую и обратную, порождает двуединство данных задач, выступающих тем самым в психике не изолированно друг от друга, а в живом единстве, в превращении одной в другую.

Одновременное изучение взаимно обратных действий в младших классах в свое время осуществил Л. Н. Толстой в организованной им школе в Ясной Поляне, который писал, что учителю кажется легким простое и элементарное, в то время как для детей только сложное и живое кажется легким.

Методическая система УДЕ основана на том, что ученик многократно совершает выбор между двумя или больше возможностями: положительное или отрицательное число, прямая или обратная теорема, придаточное предложение условия или причины, тепловой эквивалент работы или механический эквивалент теплоты и т. д.

При этой системе учеником извлекается дополнительная информация. Действительно, существующая система семейств упражнений (вместо единичных, изолированных при обычной системе) вынуждает ученика непроизвольно выполнять в большом количестве выборы действий, знаков, понятий, суждений, ходов мыслей из нескольких возможных (тестирование!). Природа информации такова, что она извлекается там, где есть выбор, и извлекается тем больше, чем чаще делается этот выбор.

Изучая на малом интервале времени, чаще всего в пределах одного урока, группы взаимосвязанных понятий, преобразований, теорем, определений, связанных друг с другом формально и по содержанию, мы осуществляем - на языке кибернетики! - передачу информации как бы законченными фразами или более длинными последовательностями символов, что должно повышать надежность передаваемой информации.

Предельно упрощая суть дела, можно сказать так: при обучении надо возможно больше составлять взаимосвязанных упражнений из небольшого числа носителей информации (букв, цифр, слов, линий, знаков), меняя разве лишь комбинацию или пространственное положение их, иногда вводя минимум новых элементов.

Данный вывод подтверждается на практике: при рассматриваемой системе учащиеся меньше допускают ошибок, быстрее продвигаются в учении, прочнее запоминают материал, развивается самостоятельность их мышления.

Весь арсенал дидактических приемов укрупнения единицы усвоения должен быть использован именно в начале изучения той или иной темы. Психологами описано явление импринтинга, а именно: запечатление в мозгу первой встречи иногда бывает особенно прочным, неизгладимым,

УДЕ также благоприятствует расположение записей структурно связанных упражнений в двух параллельных столбцах, друг против друга. То, что зрительно воспринимается рядом, легче противопоставить и связать логически, словесно (не на отдельных страницах, не друг за другом, а в параллельных столбцах!).

В результате применения методики УДЕ достигается прочное и основательное знание. Центром изучения становится основное понятие, а остальные понятия, окружающие основное, составляют его смысловое окружение, его топологию. То есть, если на уроке изучать какое-то понятие , то вовсе не обязательно проводит комбинированный урок, где присутствует поток разнородных понятий, непосредственно с основным не связанных. Тогда новый материал не становится логическим центром, вокруг которого следовало бы развертывать весь урок.

Идея УДЕ заключается в следующем: изучать не всего понемногу, а многое об одном, о главном, постигая многообразие в едином, в целом!

Не скольжение по поверхности, по верхушкам знаний, а углубление, выращивание куста ассоциаций, древа знаний.

УДЕ может послужить основой для создания логических модулей внутри предмета, преследующей цель добиться концентрированного, полного изучения понятия, объекта, но с учетом психофизиологических возможностей человека.

Преимущества одновременного изучения логически разнородных операций (умножения и деления комплексных чисел, дифференцирования и интегрирования) заключаются в том, что ученик как бы опережает ход мысли учителя, догадываясь о новых соотношениях помимо его объяснений.

В обучении важно использовать внутренние информационные связи между началом и концом мысли (так фразу можно начать и просить закончить учащихся…).

Вот почему человек при быстром чтении лишь схватывает начала слов и даже фраз; остальное домысливается на подсознательном уровне за счет предыдущего опыта многолетней учебы, за счет ранее накопленной информации.

Успех учителя - мастера обеспечивается «филигранной отработкой им мелочей», деталей урока, интонации речи, расположения рисунка, записи решения (одни записи читает один ученик, вторые - другой, если записи в двух колонках).

При одновременном изучении прямых и обратных операций целесообразно допускать обратных по количеству больше (деформированных, например, с пропусками вместо цифр, букв слов), так как обратная операция как бы включает в себя прямую, становясь тем самым информативно богаче ее.

Целесообразно противопоставлять примеры и контрпримеры, нередко используя примеры, не имеющие отношение к предмету.

Например: из одной части уравнения перенос члена в другую - менять знак. Тебе холодно - ты что делаешь? Мерзну.

А в уравнении x+1=0 x = -1!

Термин «одновременное изучение» подчеркивает ту мысль, что между решениями взаимосвязанных примеров или задач должно пройти не более, чем несколько минут или даже секунд, а не сутки; причем этот промежуток времени невыгодно заполнять какой - либо другой работой мысли.

Только в этих условиях проявляется эффект оперативной памяти: информация, связанная с прямой операцией, лишь непродолжительное время (30-40 минут) находится в активной фазе, в оперативной памяти, благоприятной для ее «вторичного включения» в состав обратных или сходных операций.

Выработка навыков применения обратной операции лучше всего осуществляется в процессе одновременной работы над обеими операциями.

Любопытные проявления двойственности обнаружены в психологии восприятия и мышления.

Поистине, не может быть понятия «голода» без понятия «сытость». Не существует «мы» без «они», «способный» без «неспособный». А вот несложный психологический опыт:

Кора головного мозга работает как бы по принципу контраста, периодически «освещая» объект то в одном, то в другом логическом плане, извлекая каждый раз взаимодополнительную информацию.

Итак, УДЕ (укрупненная дидактическая единица) - это клеточка учебного процесса, состоящая из логически различных элементов, обладающих в то же время информационной общностью.

УДЕ создает условия для проявления фундаментальных закономерностей мышления (оптимизирующие познавательный процесс), а именно:

- закона единства и борьбы противоположностей;

- перемежающегося противопоставления контрастных раздражителей (И. П. Павлов);

-принципа обратных связей и цикличности процессов (П. К. Анохин), обратимости операций (Ж. Пиаже);

- перехода к сверхсимволам, то есть оперирования более длинными последовательностями символов (кибернетический аспект).

Внедрение УДЕ в учебный процесс

- обеспечивает психическую самореализацию личности учащегося;

- развивает творческий потенциал учащегося;

- служит решению проблемы гуманитаризации образования.

Ценность выводов теоретического анализа позволяет видеть и выгоды переноса указанной методической системы с математики на другие учебные предметы. Особенно в тех учебных заведениях, где проблема времени стоит на первом плане, рассмотренные приемы и методы обучения могут найти более широкое применение и развитие.

Глава 2

.Описание опыта работы по применению методики УДЕ на уроках математики

«Чем больше сохраняется некоторый материал в кратковременной памяти, тем более прочным оказывается долговременный след» ( Б. М. Величковский, Современная когнитивная психология, М, с. 78).

В этом выражении находится ключ к познанию «тайны» успешности применения приемов УДЕ для оптимизации познавательного процесса.

Смысл концепции укрупнения дидактической единицы состоит в том, что знания усваиваются системно, прочно и быстро, так как они предъявляются студенту сразу крупным блоком с учетом существующих между ними информационных и других внутренних и внешних связей. УДЕ определяется при этом не объемом одновременно выдаваемой информации, а именно наличием этих связей.

Нарушение философского принципа целостности познания приводит к тому, что студент перегружен новой информацией. Цель применения методики УДЕ - облегчить процесс восприятия учебного материала.

Большой по объему материал «геометрический смысл операций дифференцирования и интегрирования» с использованием арсенала приемов, создающих УДЕ, был мною показан на открытом уроке по теме: «Геометрический смысл производной. Уравнение касательной к графику функции».

Приемы УДЕ на уроке:

- комплекс графических образов в качестве единого задания;

- противопоставление математического моделирования (графического) зависимости между S, V, t (S - путь, V - скорость, t - время);

- используются информационные матрицы - графики S и V одновременно и однолинейно с использованием эффекта «обратимой связи» и «сверхсимвола»;

- используется метод противопоставления в случае

- прямолинейное равномерное движение - один график

- прямолинейное неравномерное движение - другой график;

-используется деформированное упражнение;

- осуществляется раннее знакомство с математическими фактами бездоказательно (интегрирование, его геометрический смысл);

- активизируется правополушарное (образное) мышление.

Пример комплекса графических образов в качестве единого задания:

Есть два пути практического укрупнения дидактической единицы:

1) применение методической системы УДЕ при объяснении нового материала;

2) применение конкретных способов укрупнения уже известных знаний при повторении.

Демонстрация первого пути была осуществлена на уроке: «Геометрический смысл производной. Уравнение касательной к графику функции» (см. выше).

Активному повторению через преобразование, изменение, обобщение знаний по теме: «Дифференциальное и интегральное исчисление» был посвящен другой открытый урок математики, проведенный мною.

Цель открытого урока: совершенствовать методы обучения математике. добиваясь понимания ее «всяким желающим из публики».

Учебная цель: обобщить, углубить, систематизировать знания учащихся по теме: «Дифференциальное и интегральное исчисление».

Воспитательные задачи:

- воспитывать интерес к математическим знаниям посредством решения простейших задач элементарной математики с помощью высшей математики;

- воспитывать творческую личность с развитым логическим, визуальным аппаратом мышления;

Развивающие задачи: развивать потребности применять обобщения с умственным экспериментированием, развивать уверенность в своих возможностях, развивать самостоятельность мышления.

Основные знания и умения:

а) иметь представление о выборе метода математической модели изучаемого объекта, явления, процесса в поле изучаемой темы;

б) уметь строить такую логическую цепочку знаний, которая зиждется на интуитивном, образном мышлении

Вид урока: урок-беседа

Тип урока: урок обобщения и систематизации знаний

Методы обучения: объяснительно-иллюстративный, частично-поисковый, информационно-развивающий, продуктивный

Оборудование и наглядные пособия: аудиотехника, аудиозаписи, мультимедийный проектор, ноутбук, демоэкран, презентация по материалу урока, раздаточный материал к уроку, учебники, контрольно-измерительные материалы

Формы обучения: групповая, фронтальная, индивидуальная.

Разработаны структурные элементы учебного занятия, включающие: этапы урока, дидактические задачи для педагога и студентов, показатели реального результата решения задач. На этапе: «Контроль и самопроверка знаний» дидактической задачей для педагога и студентов была поставлена задача: способствовать развитию образного, интуитивного мышления в процессе решения визуальных тестов. Средний балл решенных тестов: ≈ 4,67.

«Постижение предмета происходит на базе разговора двух кодов в пределах одной головы» (левого и правого полушарий мозга).

Целью используемого метода ведения урока ставится усиление роли правого полушария головного мозга (образного, интуитивного)

«Очевидно то, что очам видно!»

Повторение известных правил, формул, графиков функций рассматривается одновременно на аналитическом, графическом языке, языке матриц.

Изучение древа знаний по данной теме приводит к возникновению обобщенного знания, крупной единицы усвоения, приводящей к экономному обучению, повышающей сохранность памяти и действенность знаний, выявлению в нем новых связей.

На уроке демонстрируется связь изучаемого материала с производственной сферой приложения математических знаний, дисциплинами: физикой, геометрией, биологией, экономикой, агрономией, электротехникой.

В процессе урока учитывались особенности студентов по каналам восприятия:

аудиалы - слушали запись голоса учителя, стихи, изречения математиков, высокопарный, необычный, стиль изложения учебного материала;

визуалы- для них яркие моменты урока: лимон (эллипсоид из рода цитрусовых), слайды с чертежами, портретами ученых;

кинестеты- воспринимали информацию, связанную с действием радиоящика, то есть транзистора, на языке радиотехники и математики.

Вывод по уроку:

при использовании технологии плотной «упаковки» знаний студенты меньше допускают ошибок, прочнее запоминают материал, происходит углубленное осмысление студентами уже известного материала.

Применение технологии УДЕ приводит к осуществлению целей гуманизации и гуманитаризации процесса обучения математике.

Гуманизация требует как бы упрощения предметного содержания обучения и его изложения, обеспечения максимальной доступности для учащихся учебного материала, гуманитаризация образования указывает грань, ниже которой всякие упрощения запрещены.

Полновесное образование возможно лишь в условиях гуманизации и гуманитаризации. Как известно, основная цель образования заключается в становлении человека - творца, что предполагает формирование знаний и способов деятельности, а также создание учителем среды, благоприятной для развития способностей учащихся, обеспечивающей самореализацию его личностного потенциала и побуждающей к поиску собственных результатов в обучении.

«Гуманизация имеет место сформировать у учащихся личностно значимые для него знания и способы деятельности, а гуманитаризация образования вооружить ученика основами творческой деятельности» (ж. Математика в школе, № 6-99 г.).

Осуществить вышеперечисленные направления в обучении, используя приемы УДЕ, мне удалось на открытом уроке по теме: «Параллельное и ортогональное проектирование. Изображение фигур в стереометрии».

Идее гуманизации познавательного процесса послужило разноуровневое - «3», «4», «5» -обучение математике на уроке с учетом индивидуальных особенностей студентов, которое повлекло за собой усиление мотивации и дифференциации в обучении.

Идее гуманитаризации послужили приемы УДЕ, побуждающие студента к активной творческой деятельности и обеспечивающие его участие в ней.

На уроке изучаемая тема прозвучала единым логическим модулем, объединяющем различные вопросы учебной программы, имеющие информационную общность - УДЕ. Дополнительно к приемам УДЕ, активизирующим работу визуального мышления и развивающим интуицию, на уроке были применены другие формы и методы активизации мыслительной деятельности:

- связь изучаемой темы с явлениями живой и неживой природы - (правильные многогранники в природе, архитектурный шедевр - церковь Покрова Богородицы на Нерли, древнеегипетская живопись и др.)

- опережающие вопросы в качестве приемаУДЕ, являющиеся формой диалогового обучения и элементом проблемно - поискового обучения на уроке.

Большой силой Добра обладает лирическая методика, которая является хорошим дополнением в любой педагогической технологии. На данном уроке прозвучала проза Л. Любимова и отрывок из стихов Н. Рубцова о церкви Покрова на Нерли.

Красота языка, эмоциональность, эстетично, со вкусом оформленный кабинет, в котором проводится урок, позволяют осуществить один из принципов тезауруса - экзистенциальность.

Проследим моменты из сценария урока, позволяющие оценить степень Добра лирической методики:

(Звучит запись голоса преподавателя с одновременной демонстрацией слайдов с изображениями правильных многогранников)

«Правильные многогранники существовали на Земле до появления на ней человека - кубы поваренной соли, тетраэдры сурьмянистого сернокислого натрия, октаэдры хромовых квасцов, икосаэдры бора и додекаэдры радиолярий, микроскопических морских организмов. Но только человек, изучающий геометрию, усмотрел в них порядок и систему задолго до того, как физик проник в тайну строения вещества. Геометрия с ее прозрачной логикой, с четкостью ее построений позволяет увидеть первоосновы вещей.

Именно увидеть!

«Радость видеть и понимать есть самый прекрасный дар природы», - говорил Эйнштейн… ибо «Природа говорит языком математики; буквы этого языка - круги, треугольники и иные математические фигуры» - Галилео Галилей.

Все, чем богат мир, доступно нашему глазу. А все, что видит глаз, рука наша умеет сохранить на века. Но вот вопрос: а умеем ли мы видеть всю красоту и мудрость мира?

…Боюсь, что нет. Мир сияет вокруг нас тысячами красок, он готов раскрыть нам тысячи тайн. А мы - слепы. Если смотреть в масштабе вечности, мы только что вылупились из яйца и еще не научились как следует видеть. А уж изобразить увиденное - тем более.

А я строитель, архитектор, зодчий - назовите, как хотите, но только научите, как мне нарисовать на бумаге то, что я хочу построить! Как, я вас спрашиваю? Как мне изобразить объемный трехмерный дом на плоском месте?»

И после того, как была таким лирическим приемом сформулирована проблема, объявляется тема урока, цели, задачи, план урока: «Параллельное и ортогональное проектирование. Изображение фигур в стереометрии».

Выдержки из сценария урока:

Раздел геометрии, в которой изучаются различные методы изображения пространственных форм на плоскости, называется начертательной геометрией.

В основе начертательной геометрии лежит метод проекций, сущность которого такова.

В пространстве выбирают фиксированную точку S - центр проектирования и плоскость проекций - К (картинную плоскость), не проходящую через S. Для получения изображения - проекции объекта на плоскости К через центр проекций S и каждую точку A, B, C… объекта проводят проектирующие лучи до пересечения с плоскостью К. Совокупность точек пересечения проектирующих лучей с картинной плоскостью и даст изображение (проекцию) объекта, которое называют центральной проекцией.

Представим теперь, что центр проектирования S уходит в бесконечность. Тогда проектирующие лучи становятся параллельными между собой. Считая центр проектирования расположенным в бесконечно удаленной точке S, мы, таким образом, приходим к важному частному случаю центрального проектирования - параллельному проектированию.

Наконец, важным случаем параллельных проекций являются ортогональные (прямоугольные) проекции, когда проектирующие лучи перпендикулярны К.

Примером параллельного проектирования может служить тень от оригинала (данной фигуры) в солнечный день. Оригинал (каркасная модель или плоская) даст проекцию на полу. Лучи, падающие на землю, вследствие большой удаленности Солнца от Земли можно считать параллельными.

Примером ортогонального проектирования может служить электрическая лампочка и также опыт с фигурами.

И вот « картинка» УДЕ:

«Солнце» «Лампочка»

Формулируется опережающий вопрос:

- «При каком проектировании сохраняются углы?» (ортогональном)

Затем студенты сами формулируют три свойства параллельного проектирования.

Таким образом, на уроке одновременно изучаются два вида проектирования - параллельное и ортогональное. Первое - используется в стереометрии для изображения пространственных фигур, второе - в техническом черчении.

В результате подачи учебного материала в виде укрупненной единицы усвоения студенты легче запоминают правила изображения фигур в стереометрии, как-то: треугольника и в нем - биссектрисы, высоты, медианы, параллелограмма, в частности, квадрата, прямоугольника и пространственных тел: параллелепипеда, пирамиды и др.

Развитию синтетичекого мышления способствует правильно поставленная работа над «клеточкой методики математики», математическим упражнением, в самом широком значении этого слова, как соединяющую деятельность ученика и учителя, как « элементарную целостность двуединого процесса учения - обучения».

В работе над математическим упражнением (задачей) отчетливо выделяются четыре последовательных и взаимосвязанных этапа:

а) составление математического упражнения;

б) выполнение упражнения;

в) проверка ответа (контроль);

г) переход к родственному, но более сложному упражнению.

В традиционной практике обучения ограничиваются большей частью вторым из указанных этапов (то есть лишь одним из четырех этапов работы над упражнением!).

В познавательном отношении не может быть нормальным то, что процесс «возникновения математического упражнения (задачи, уравнения и т. п.) целиком отдан лицу, не обучающемуся». Между тем процесс составления задачи, уравнения, тождества, неравенства и т. п. в психологическом отношении богат «своеобразными, синтетическими ходами мысли». Но процесс выполнения готового задания, «в изоляции» от предшествующего этапа (имеется в виду учащийся), носит преимущественно аналитическую направленность, ибо он «структурно противоположен» этапу составления упражнения. Понятно отсюда, почему так важно ознакомить студента с обоими процессами в их диалектически противоречивых качествах и во взаимосвязях. Решение и составление задачи - взаимодополнительные методы работы над ней.

На производстве, в жизни от человека требуется умение самому сформулировать вопрос и, применяя математические знания, найти ответ на него.

Одним из способов пропедевтики такого качества ума является составление задач студентами на уроках, причем естественно, что вначале образцами для творчества должны служить типичные упражнения из учебников.

Опыт обучения на основе укрупнения единиц усвоения показал, что основной формой упражнения должно стать составное задание, образующееся из нескольких логически разнородных, но психологически «состыкованных» в «некоторую целостность» частей, например:

а) решение обычной «готовой» задачи;

б) составление обратной задачи и ее решение;

в) составление аналогичной задачи по данной формуле (тождеству) или уравнению и решению ее;

г) составление задачи по некоторым элементам, общим с исходной задачей;

д) решение или составление задачи, обобщенной по тем или иным параметрам с исходной задачей и т. п.

Главное в работе над укрупненными упражнениями - чтобы все составные части по возможности были выполнены в указанной последовательности на одном занятии (при нехватке времени хотя бы устно, или обсуждены кратко, в крайнем случае, завершены в домашней работе).

Приведу пример такого укрупненного задания, выполненного мною на уроке, как дидактически единое целое.

Пример УДЕ из геометрии:

«Теорема о трех перпендикулярах», наиболее часто используемая в практике строительства для нахождения расстояния от точки до прямой. В самой формулировке теоремы подразумевается обратная теорема. «Тогда и только тогда» - эти слова указывают на существование прямой и обратной теоремы.

Формулировка теоремы: «Прямая, лежащая в плоскости, перпендикулярна наклонной тогда и только тогда, когда она перпендикулярна проекции наклонной».

Доказательство прямой теоремы можно построить в диалоговой форме - «вопрос- ответ»:

- «можно ли использовать в доказательстве определение перпендикуляра к плоскости?» (да);

- «целесообразно ли применить теорему «Признак перпендикулярности прямой и плоскости» к доказательству этой теоремы?» (да);

- «какова формулировка обратной теоремы?» (студенты ее формулируют);

- «как провести доказательство обратной теоремы?» (студенты ее доказывают)

Непосредственно после доказательства теоремы разобрать на готовом рисунке типовую задачу на нахождение расстояния от точки до прямой и перенести ситуацию в трехмерное «реальное» пространство (то есть с помощью двух треугольников и линейки показать применение теоремы к задаче).

После того, как была решена «прямая» задача, в геометрическом, «перцептивном» пространстве (то есть воспринимаемом нашим сознанием в результате совместной работы глаза и мозга), задача поясняется на треугольниках и линейке в реальном, объективном, пространстве.

Затем студенты, используя формулировку обратной теоремы, составляют обратную задачу с теми же цифровыми данными и обязательным проговариванием ее обратного решения.

Так несколько заданий, благодаря специально предусмотренным внутренним связям между ними, образуют «однокрупное» упражнение.

Как показывает практика моей работы, такой взгляд на понятие «математическое упражнение» как «клеточки» методики математики, обоснован повышением уровня мыслительной деятельности студентов, оценочной результативностью и, наконец, саморефлексией студента и преподавателя.

Фактором, обеспечивающим высокое качество укрупненного знания, может выступить общий графический образ, общность символов для группы формул, наличие одних и тех же слов или словосочетаний в сравниваемых высказываниях и т. п.

На открытом уроке по теме: «Дифференциальные уравнения с разделенными и разделяющимися переменными» приемом УДЕ выступили два дифференциальных уравнения, расположенные в двух параллельных колонках с эффектами: одномоментности, однолинейности, «сверхсимвола», «обратимой» связи.

xy dx=(1+x²) dy

Укрупненной единицей усвоения это уравнение является еще и потому, что здесь можно показать руками основное свойство пропорции - «крест», включающий «дологический», «неречевой» механизм мышления.

Дидактический эффект от применения такой «единицы» усвоения получился самым замечательным, так как в дальнейшем студенты не испытывали проблем в разделении переменных при решении дифференциальных уравнений.

Прием УДЕ я применяю при изучении свойств показательной и логарифмической функций:

- если функция y = определена, непрерывна и возрастает при а > 1,

то обратная ей функция y = при а > 1 тоже возрастает;

- и наоборот (см. рисунок)

- на рисунке видно, как «меняются местами» область определения (D(x)) и

и область значений (E(x)).

При таком подходе к укрупнению дидактической единицы зрительные анализаторы прочнее «схватывают», быстрее «считывают» информационный материал.

Свойства этих двух функций используются при решении показательных, логарифмических уравнений и неравенств.

Решение показательных (логарифмических) неравенств также можно преподнести в виде УДЕ:

> 1 >1

В 1 столбике знак неравенства Во 2 столбике знак неравенства

сохраняется, так как функция меняется, так как функция

возрастает. убывает.

Аналогично объясняется решение логарифмических неравенств.

Очевидно, объективного основания для того, чтобы отличить простое от сложного не существует. То, что один учащийся считает простым, другому представляется необычайно сложным. Оценка «Это простое, а это сложное» определяется психологическими особенностями учащегося, его предыдущими знаниями и жизненным опытом. Для опытного учителя эти непреложные факты становятся одним из основных мотивов реализации дифференцированного подхода на уроке.

Учащийся как личность ищет во всем простоту. Без учета этого принципа объяснение на уроках неэффективно.

« Язык науки, язык ценностно - информативный, однозначный по своей сути и подчиняющийся жестким правилам логики, труден для восприятия учащимся. Согласно исследованиям лингвистов переход от одного языка к другому психологически подобен переходу от одной геометрической системы отсчета к другой. В условиях процедуры объяснения психологически «мягкий» переход от языка обыденного к языку научному целесообразно использовать также языки исторического повествования, образного мышления, мировоззренческого и отчасти философского обобщений и непременно языки оценочных отношений и синергетического мышления.

Как видим, наглядность в объяснении - это в значительной степени синоним повседневности, привычности» (Р. Н. Щербаков, доктор педагогических наук, Эстония, ж. Специалист , №2 - 2007)

В древнеиндийских книгах применялся предельно простой способ разъяснения математических истин: автор сопровождал, например, рисунок к теореме Пифагора лаконичным обращением: «Смотри!»

Применение двух формул на примерах из таблиц производных и интегралов: «Производная степенной функции», «Интеграл степенной функции» можно рассматривать таким же простым способом, как и пример выше - «Смотри!»:

( + с)' = 3 , dx = + c.

В этом примере две мысли (две операции) обретают внутреннее единство, коль они составлены из одних и тех же букв, знаков, цифр.

В теме: «Графики гармонических колебаний» построение графиков также можно объяснить, используя только визуальное мышление:

y = k f (x), y = f (k x),

OX: 1: k, OY: 1:

Преобразование графиков тригонометрических функций (сжатие или растяжение относительно осей координат) не вызывают затруднений после того, как студенты получат зрительную информацию в виде такого УДЕ с последующей демонстрацией «готовых» графиков - рисунков.

Таким образом, используя технологию УДЕ, можно составить систему учебных заданий, которая учитывает как особенность содержания, так и психологические, физиологические особенности мышления студентов и соблюдает баланс между логикой и интуицией, словом и наглядным образом, осознанным и подсознательным, догадкой и рассуждением.

«Математика отличается новым методическим подходом к изучению математических понятий, свойств и способов действий, в основе которого лежит установление соответствия между предметными, словесными, графическими (схематическими) и символическими моделями, их выбор, преобразование и конструирование, в соответствии с заданными условиями». (Г. К. Селевко, Педагогические технологии на основе дидактического и методического усовершенствования УВП, Москва, НИИ школьных технологий, 2005.

Заключение

Подводя итог вышесказанному, сформулирую принципы применения технологии УДЕ, исходя из ее задач и сущности:

- природосообразность при выборе форм и методов работы: задействование всех каналов восприятия учебного материала - аудиального, визуального, кинестетического;

- системный подход к изучению понятий с реализацией принципа дополнительности в системе упражнений (понимание достигается в результате межкодовых переходов между образным и логическим компонетами мышления);

- целостность синтетического и аналитического мышления в усвоении понятия.

Преимущества применения технологии УДЕ перед традиционной технологией:

- «экономичное» усвоение понятий, методов решения задач, экономия времени - ≈ 30 %;

-результат укрупнения дидактической единицы - системность знаний;

- переработка информации на основе синтетического и аналитического мышления приводит к формированию целостной картины мира;

- применение методики УДЕ способствует ускорению процесса самоактуализации личности студента, ибо уроки проходят в обстановке сотворчества, являющейся высшей формой сотрудничества.

В методологии УДЕ делается акцент на «стратегию» понимания, то есть процесс обучения личностно - ориентированный, соблюдается здоровьесберегающий фактор, так как нет давления со стороны преподавателя в силу того, что при такой методике объяснения учебного материала исключены «жесткие правила логики».

Работая над освоением технологии УДЕ довольно продолжительное время, с 1997 года, я сделала некоторые выводы:

- методика УДЕ направлена на преодоление «смыслового барьера» перед математикой, которая для большинства абитуриентов, поступающих в техникум, является трудной наукой;

- приемы УДЕ активизируют мыслительную деятельность студентов, как - то: улучшается память, повышается внимание к происходящему на уроке «мыслетворчеству».

- значительно повышаются критерии уровней обучаемости и обученности студентов - это видно по оценочным результатам;

- развиваются рефлексивные способности, потребность в самоанализе профессионального «Я», формируется чувство ответственности за качество результатов математической подготовки в стенах техникума.

Библиографический список:

1. Селевко Г. К. Педагогические технологии на основе дидактического и методического усовершенствования УВП

Школьные технологии 2005

2. Эрдниев П. М. Преподавание математики в школе

Москва Просвещение 1978

3. Журнал Специалист - 2007 №2 с. 26 - 28

4. По страницам газет Педвестник, Учительская (с 1996г.)

5. По страницам журналов Математика в школе (с 1996 г.)

6. Из опыта работы Куриловой Л. А.