«Сечение куба плоскостью и практическое их применение в задачах»

Раздел Математика
Класс 10 класс
Тип Конспекты
Автор
Дата
Формат doc
Изображения Есть
For-Teacher.ru - все для учителя
Поделитесь с коллегами:

Общеобразовательная школа І-ІІІ ступеней №2

отдела образования администрации города Кировское







«Сечение куба плоскостью

и практическое их применение в задачах».


Подготовила учитель математики

учитель-методист

Чумакова Г.В.




2015 г.

Введение:

Задачи на построение сечений многогранников занимают значительное место как школьном курсе геометрии для старших классов, так и на экзаменах разного уровня. Решение этого вида задач способствует усвоению аксиом стереометрии, систематизации знаний и умений, развитию пространственного представления и конструктивных навыков. Общеизвестны трудности, возникающие при решении задач на построение сечений.

Основными действиями, составляющими метод построения сечений, являются нахождение точки пересечения прямой с плоскостью, построение линий пересечения двух плоскостей, построение прямой параллельной плоскости, построение прямой перпендикулярной плоскости.

Проиллюстрирую построение сечения на одной задаче из школьного курса математики:

№1. Постройте хотя бы два сечения куба ABCDA1B1C1D1 плоскостью АМ1С, если точка М1 движется по отрезку ВВ1 от В до В1. Найдите границы измерения высоты сечения, проведённой из точки М1.

«Сечение куба плоскостью и практическое их применение в задачах».

Решение: Построим два требуемых сечения, взяв точку М1 ближе к точке В, а точку М2 ближе к В1. Оба сечения показаны на рисунке .В начале движения когда точка М1только отошла от точки В1, сечение представляет собой треугольник с основанием АС и высотой М1О, которая чуть больше отрезка ВО, т.е. «Сечение куба плоскостью и практическое их применение в задачах». Если точка М1 займёт положение М2 расположенной очень близко к точке В1, то «Сечение куба плоскостью и практическое их применение в задачах». АМ2С почти совпадёт с «Сечение куба плоскостью и практическое их применение в задачах». АВ1С, а его высота М1О - с отрезком В1О, длина которого равна «Сечение куба плоскостью и практическое их применение в задачах». (ОВ1=«Сечение куба плоскостью и практическое их применение в задачах».=«Сечение куба плоскостью и практическое их применение в задачах».).

Отсюда по соображениям непрерывности делаем вывод: «Сечение куба плоскостью и практическое их применение в задачах».

Особо следует посмотреть, что произойдёт, если точка М1 займёт положение вершины В.

2. Построить сечение куба плоскостью, проходящей через три точки А1, E и L, лежащие на рёбрах куба.

«Сечение куба плоскостью и практическое их применение в задачах».

Плоскости граней A1ADD1 и DD1C1C пересекаются по прямой DD1, а плоскости граней A1B1C1D1u DD1C1C - по прямой D1C1. Соединив точки А и Е , получим прямую пересечения секущей плоскости с плоскостью грани AA1D1D, а продолжив её, найдём точку N, принадлежащую трём плоскостям: плоскости сечения и плоскостям граней AA1D1D u DD1C1C.

Аналогично найдём точку М, общую трём плоскостям: плоскости сечения и плоскостям граней A1B1C1D1u DD1C1C. Таким образом, точки N u M принадлежат секущей плоскости и плоскости DD1C1C; прямая MN - линия пересечения плоскости сечения с плоскостью грани DD1C1C, а F и K - точки пересечения её с рёбрами куба CD u CC1. Последовательно соединив прямыми точки A1, E, F, K u L, получаем пятиугольник A!EFKL, который и даст нам искомое сечение.

«Сечение куба плоскостью и практическое их применение в задачах».«Сечение куба плоскостью и практическое их применение в задачах».

«Сечение куба плоскостью и практическое их применение в задачах».«Сечение куба плоскостью и практическое их применение в задачах».

«Сечение куба плоскостью и практическое их применение в задачах».«Сечение куба плоскостью и практическое их применение в задачах».

«Сечение куба плоскостью и практическое их применение в задачах».«Сечение куба плоскостью и практическое их применение в задачах».

При построении сечения куба плоскостью Х при произвольном расположении точек в сечении получается: треугольник, трапеция, прямоугольник, пятиугольник или шестиугольник. Естественно возник вопрос, как вид сечения зависит от вида расположения точек задающих это сечение

Я решил провести исследование, цель которого является выяснение.

Построить сечения куба плоскостью, когда заданы три точки принадлежащие рёбрам с одной вершиной.

«Сечение куба плоскостью и практическое их применение в задачах».

«Сечение куба плоскостью и практическое их применение в задачах».

«Сечение куба плоскостью и практическое их применение в задачах».

Взяты три точки A1, D, C1, которые принадлежат вершине D1, а сами являются вершинами куба.

В сечении получился равносторонний треугольник, так как A1C1, A1D u DC1 - диагонали граней этого куба.




Три точки: A1u C1 - вершины куба, а точка F принадлежит ребру куба DD1. Точки принадлежат прямым выходящим из вершины D1.

В сечении получился равнобедренный треугольник, так как F равноудалена от точек A1u C1.



Три точки: A1u C1 - вершины куба, а точка F принадлежит прямой ребра куба DD1. Точки принадлежат прямым выходящим из одной вершины D1.

В сечении получается равнобедренная трапеция, так как F равноудалена от точек A1 u C1, то есть LA1=KC1.

«Сечение куба плоскостью и практическое их применение в задачах».

«Сечение куба плоскостью и практическое их применение в задачах».

«Сечение куба плоскостью и практическое их применение в задачах».

Три точки принадлежащие рёбрам с одной вершиной D1. Точки F u M принадлежат продолжениям рёбер D1D u D1C соответственно, а точка A1 является вершиной куба.

В сечении получился пятиугольник A1KLNG.




Взяты три точки F, M u Q так, что лежат на продолжении рёбер D1D, D1C1, и D1A1 соответственно.

В сечении получился шестиугольник KLNGJH.



Три точки лежат на рёбрах с одной вершиной D1.

В сечении получился произвольный треугольник, но если точки расположить так чтобы D1Q=D1M=D1F, то есть если они были бы равноудалены от вершины D1 то в сечении получился бы равносторонний треугольник.


«Сечение куба плоскостью и практическое их применение в задачах».

«Сечение куба плоскостью и практическое их применение в задачах».



Секущая плоскость задана точками Н, Q и M. В сечении получается параллелограмм, так как KC ││ MP и MK ││ PC по теореме о пересечении двух параллельных плоскостей третьей.










«Сечение куба плоскостью и практическое их применение в задачах».


Если точки H, Q и M, задают секущую плоскость, удаленные от D, на расстоянии 2a, где а - для ребра куба, то в сечении получается правильный треугольник ACB1.


Вывод: три задающих сечение точки принадлежат трём рёбрам куба с общей вершиной или являются их продолжением, то в сечении получается: треугольник, пятиугольник, шестиугольник трапеция, параллелограмм.

Построение сечения куба плоскостью, когда заданы три точки, две из которых лежат на смежных рёбрах, а третья точка лежит на ребре не смежном с ними.

«Сечение куба плоскостью и практическое их применение в задачах».


«Сечение куба плоскостью и практическое их применение в задачах».



Три точки M, K u F, взяты так что M u F принадлежат рёбрам с одной вершиной A1, а точка K лежит на ребре не смежным с ними.

В сечении получается прямоугольник, так как А1М=D1K и по теореме о трёх перпендикулярах можно доказать что MKLF - прямоугольник., а если А1М«Сечение куба плоскостью и практическое их применение в задачах».D1K, то может получится трапеция или пятиугольник.




«Сечение куба плоскостью и практическое их применение в задачах».


«Сечение куба плоскостью и практическое их применение в задачах».

«Сечение куба плоскостью и практическое их применение в задачах».


Взяты три точки так, что K u L принадлежат рёбрам выходящим из одной вершины A1, а точка N принадлежит ребру CC1, не смежному сними. K, L u N середины рёбер A1A, A1B1u CC1 - соответственно.

В сечении получается правильный шестиугольник KLGNHM






Взяты три точки так, что K u L принадлежат рёбрам выходящим из одной вершины A1, а точка T принадлежит ребру DC.

В сечении получается шестиугольник KLFRTZ.


«Сечение куба плоскостью и практическое их применение в задачах».


«Сечение куба плоскостью и практическое их применение в задачах».


Три точки взяты так, что K u L принадлежат рёбрам куба с одной вершины A1, а точка M ребре DD1.

В сечении получается трапеция LKQM.




Три точки K u L которые принадлежат рёбрам с одной вершиной A1.и точка R которая лежит на ребре BC.

В сечении получается пятиугольник KLFRT.

Вывод: Если секущая плоскость задана тремя точками, две из которых лежат на смежных рёбрах, а третья на ребре не смежном с ними, то в сечении может получиться прямоугольник, пятиугольник, шестиугольник, трапеция.

В сечении куба параллелограмм и его частные случаи.

«Сечение куба плоскостью и практическое их применение в задачах».

«Сечение куба плоскостью и практическое их применение в задачах».

«Сечение куба плоскостью и практическое их применение в задачах».

«Сечение куба плоскостью и практическое их применение в задачах».


Точки T, H, J задающие сечение расположены так, что TH«Сечение куба плоскостью и практическое их применение в задачах».AD, HJ«Сечение куба плоскостью и практическое их применение в задачах».AD. В сечении получается квадрат HTKJ.




Сечение задано точками C, F, L, причём DF=FD1, BL=LB1. В сечении получается ромб AFCL.



Сечение задано точками C, G, H. B1H=DG. В сечении параллелограмм A1GCH.


Точки задающие сечение являются вершинами куба A, D, C1. В сечении получается прямоугольник


В сечении куба правильные многоугольники

«Сечение куба плоскостью и практическое их применение в задачах».

«Сечение куба плоскостью и практическое их применение в задачах».

«Сечение куба плоскостью и практическое их применение в задачах».

«Сечение куба плоскостью и практическое их применение в задачах».

Треугольник АВВ1 равносторонний, так как его стороны это диагонали граней куба.



Треугольник КМТ равносторонний, так как КВ=МВ=ТВ.




КМТЕ - квадрат, так как сечение задано точками М, К, Е и МК«Сечение куба плоскостью и практическое их применение в задачах».AD, EK«Сечение куба плоскостью и практическое их применение в задачах».AD.




В сечении правильный шестиугольник КМТНЕО, так как точки Н, Е, К задающие сечение являются серединами рёбер СС1, DC, АА1 соответственно.

Куб и несколько задач по стереометрии с ЕГЭ.

В пособии "ЕГЭ 2005. Математика. Типовые тестовые задачи" (Корникова Т. А. и др.) Содержит 10 задач (С4) по стереометрии, объединенных общей идеей: дана треугольная призма АВСА1В1С1 стороны основания АВ и ВС взаимно перпендикулярны и перпендикулярны ребру ВВ1, АВ=ВС=ВВ1, вершина А является вершиной конуса (или центром одного из оснований цилиндра, или центром сферы), основание конуса (сфера или второе основание цилиндра) проходит через середину одного ребра призмы, длина его известна. Надо найти объем или поверхность конуса (сферы, цилиндра). «Сечение куба плоскостью и практическое их применение в задачах».

Общий пример решения:

Данную призму дополнить до куба. Шестиугольник DEFKLM - сечение куба плоскостью основания конуса , окружность которого проходит через середину А1В1, А - вершина конуса, или

«Сечение куба плоскостью и практическое их применение в задачах».

DEFKLM - сечение куба плоскостью основания цилиндра, окружность которого проходит через середину А1В1, А - центр второго основания цилиндра, или это сечение куба плоскостью большого круга сферы с центром А, сфера которого проходит через середину А1В1.

Шестиугольник DEFKLM - сечение куба плоскостью, проходящей через середину рёбер А1В1, ВВ1, ВСЖ при построении получаются точки K, L, M, которые являются серединами соответствующих рёбер. Стороны этого шестиугольника являются гипотенузами треугольников DB1E, EBF, FCK, KQL, LRM, MA1D, катеты которых равны половине ребра куба. Тогда центр этого шестиугольника является центром описанной около него окружности, которая пересекает рёбра куба в точках D,E, F, K, L и М, радиус этой окружности «Сечение куба плоскостью и практическое их применение в задачах». , где А1В1=а.

AO «Сечение куба плоскостью и практическое их применение в задачах». EL, т. к. «Сечение куба плоскостью и практическое их применение в задачах». EAL - равнобедренный: AL=AE.

(«Сечение куба плоскостью и практическое их применение в задачах».ABE u «Сечение куба плоскостью и практическое их применение в задачах». EAL - прямоугольные, AB=AQ= а, BE=LQ=«Сечение куба плоскостью и практическое их применение в задачах».)

EO=OL как середина диагонали ЕL шестиугольника DEFKLM, т. е. АО - медиана ,а по свойствам равнобедренного треугольника и высота. Аналогично доказывается АО «Сечение куба плоскостью и практическое их применение в задачах». DK. Так как АО перпендикулярна к двум пересекающимся прямым плоскости шестиугольника, то АО перпендикулярна ко всей плоскости.

Если А - вершина конуса то АО - его высота, если А - центр второго основания цилиндра, то АО- высота цилиндра.

«Сечение куба плоскостью и практическое их применение в задачах».АВС: АС=«Сечение куба плоскостью и практическое их применение в задачах»., P - точки пресечения диагоналей основания куба, АР=«Сечение куба плоскостью и практическое их применение в задачах»., РР1=АА1= а. ОР=«Сечение куба плоскостью и практическое их применение в задачах».РР1= «Сечение куба плоскостью и практическое их применение в задачах». , тогда из прямоугольного «Сечение куба плоскостью и практическое их применение в задачах». РОА АО=«Сечение куба плоскостью и практическое их применение в задачах».. И так АО=«Сечение куба плоскостью и практическое их применение в задачах»..

Тогда, если идёт речь о конусе:

«Сечение куба плоскостью и практическое их применение в задачах».=«Сечение куба плоскостью и практическое их применение в задачах».«Сечение куба плоскостью и практическое их применение в задачах».

«Сечение куба плоскостью и практическое их применение в задачах».(из «Сечение куба плоскостью и практическое их применение в задачах». ).

«Сечение куба плоскостью и практическое их применение в задачах».«Сечение куба плоскостью и практическое их применение в задачах».

Ответ: «Сечение куба плоскостью и практическое их применение в задачах».

«Сечение куба плоскостью и практическое их применение в задачах».

Если речь идёт цилиндре:

«Сечение куба плоскостью и практическое их применение в задачах».

«Сечение куба плоскостью и практическое их применение в задачах».

Ответ: «Сечение куба плоскостью и практическое их применение в задачах».

«Сечение куба плоскостью и практическое их применение в задачах».

Если речь идёт о сфере:

«Сечение куба плоскостью и практическое их применение в задачах».

«Сечение куба плоскостью и практическое их применение в задачах».

Ответ: «Сечение куба плоскостью и практическое их применение в задачах». «Сечение куба плоскостью и практическое их применение в задачах».

Корникова Т. А. и др. типовые тестовые задания. ЕГЭ - 2005

Вариант 6.

Задача. Даны призма АВСА1В1С1 и цилиндр. Стороны АВ и ВС основания призмы перпендикулярны ребру ВВ1 и взаимно перпендикулярны. Центром основания цилиндра служит точка А1 окружность второго основания проходит через середину ребра А1В1.

Найдите площадь полной поверхности цилиндра, если ВВ1=АВ=ВС=10. Найдите его объём.

Решение:

«Сечение куба плоскостью и практическое их применение в задачах».

«Сечение куба плоскостью и практическое их применение в задачах».. «Сечение куба плоскостью и практическое их применение в задачах». .

Так как стороны АВ и ВС основания призмы перпендикулярны ребру ВВ1 и взаимно перпендикулярны и АВ=ВС=ВВ1, то призма АВСА1В1С1 - это половина куба с ребром АВ. Окружность второго основания цилиндра проходит через середину А1В1. Эта окружность пересекает и другие рёбра куба. И эти точки пересечения окружности второго основания цилиндра и рёбер куба лежит в одной плоскости (плоскость сечения) и равноудалены от центра второго основания цилиндра. Плоскость второго основания цилиндра образует в сечении куба шестиугольник DEFKLM, все вершины которого являются вершинами соответствующих рёбер. Тогда ED=АР=R, «Сечение куба плоскостью и практическое их применение в задачах». ЕВ1D, «Сечение куба плоскостью и практическое их применение в задачах». В=900 (по условию), B1E=DB1=«Сечение куба плоскостью и практическое их применение в задачах»., тогда по теореме Пифагора ED=«Сечение куба плоскостью и практическое их применение в задачах»., R=«Сечение куба плоскостью и практическое их применение в задачах»..

Докажем, что АО перпендикулярно к сечению DEFKLM,так как является его высотой цилиндра.

«Сечение куба плоскостью и практическое их применение в задачах».РОА , «Сечение куба плоскостью и практическое их применение в задачах». Р=900 РА=«Сечение куба плоскостью и практическое их применение в задачах»., РО=«Сечение куба плоскостью и практическое их применение в задачах»..

По теореме Пифагора ОА=«Сечение куба плоскостью и практическое их применение в задачах». (ОА=h=«Сечение куба плоскостью и практическое их применение в задачах».).

«Сечение куба плоскостью и практическое их применение в задачах».SPO, «Сечение куба плоскостью и практическое их применение в задачах». P=900 PS=«Сечение куба плоскостью и практическое их применение в задачах». SO«Сечение куба плоскостью и практическое их применение в задачах».

«Сечение куба плоскостью и практическое их применение в задачах».в «Сечение куба плоскостью и практическое их применение в задачах». AOS: «Сечение куба плоскостью и практическое их применение в задачах». AO2=75 SO2=«Сечение куба плоскостью и практическое их применение в задачах».

AS2=AO2+SO2. «Сечение куба плоскостью и практическое их применение в задачах». AOS - прямоугольный АО«Сечение куба плоскостью и практическое их применение в задачах».SO.

«Сечение куба плоскостью и практическое их применение в задачах».

«Сечение куба плоскостью и практическое их применение в задачах».

Ответ: «Сечение куба плоскостью и практическое их применение в задачах».

Корникова Т. А. и др. типовые тестовые задания. ЕГЭ - 2005

Вариант 10.

Задача. Даны призма АВСА1В1С1 и конус. Стороны АВ и ВС основания перпендикулярны ребру ВВ1 и взаимно перпендикулярны. Вершина конуса располагается в точке А, окружность основания проходит через середину ребра А1В1.

Найдите площадь полной поверхности конуса, если ВВ1=АВ=ВС=8. Найдите объём этого конуса.

Решение:

«Сечение куба плоскостью и практическое их применение в задачах».

«Сечение куба плоскостью и практическое их применение в задачах».. «Сечение куба плоскостью и практическое их применение в задачах». .

Так как по условию дана прямая призма, в которой ВВ1=АВ=ВС, то эта призма является половиной куба. Вершина куба А является и вершиной конуса, основание которого пересекает А1В1 в точке D, следовательно AD - образующая конуса AD=«Сечение куба плоскостью и практическое их применение в задачах».. Сечение куба плоскостью основания конуса - это правильный шестиугольник DEFKLM, т.к. АD, AE, AF, AK, AL, AM - это образующие конуса, вершины D, E, F, K, L, M - равноудалены от основания высоты конуса в точке О, являются серединами рёбер куба. R=ED, «Сечение куба плоскостью и практическое их применение в задачах». EB1D, B1D =B1E=4, ED=4«Сечение куба плоскостью и практическое их применение в задачах»..

«Сечение куба плоскостью и практическое их применение в задачах».AA1D, «Сечение куба плоскостью и практическое их применение в задачах». A1=900, AD=«Сечение куба плоскостью и практическое их применение в задачах»..

«Сечение куба плоскостью и практическое их применение в задачах».

«Сечение куба плоскостью и практическое их применение в задачах»..

AC=«Сечение куба плоскостью и практическое их применение в задачах». «Сечение куба плоскостью и практическое их применение в задачах». (из «Сечение куба плоскостью и практическое их применение в задачах». ОАН, ОН «Сечение куба плоскостью и практическое их применение в задачах». АН, НО=4, АН=4«Сечение куба плоскостью и практическое их применение в задачах».).

«Сечение куба плоскостью и практическое их применение в задачах».

Ответ:«Сечение куба плоскостью и практическое их применение в задачах».

3. Заключение.

В результате проведённого компьютерного эксперимента в работе было выявлено: что в зависимости от точек задающих секущую плоскость в сечении куба могут получиться треугольники (произвольный, равнобедренный и правильный), четырёхугольники (квадрат, прямоугольник, трапеция, ромб, параллелограмм), пятиугольники и шестиугольники. Особое выделены правильный треугольник и шестиугольник, рассмотрены свойства этих многоугольников и задачи с ними связанные располагавшиеся в одном из пособий для подготовки к ЕГЭ по математике.

Выполнение работы расширило мои представления о выполнении построений сечения многогранников плоскостью, дало возможность более глубоко освоить некоторые компьютерные программы способствующие развитию конструктивных навыков, которые позволили разобраться в решении задач по стереометрии, предлагающихся в ЕГЭ по математике.


© 2010-2022