Занятие элективного курса по математике или урок в рамках изучения темы в 11 классе Уравнения и неравенства. Системы уравнений и неравенств

Одним из основных целей математического образования является формирование у учащихся умения решать задачи, развитие логики и интуиции. Учебное время, отводимое на изучение математики, можно условно разделить на две части: затрачиваемое на изучение теории и отводимое на применение теории, т.е. на решение задач. И времени на решение задач не хватает. Поэтому учитель вынужден ограничиваться решением одно - двухшаговых задач и на базе решения таких задач не может быть и речи о развитии мышления.

К этому добавляется дефицит времени, при котором не до поиска решения нестандартных задач.

Решению этой проблемы помогает блочно-модульный метод изучения учебного материала.

Данный урок можно проводить на занятии элективного курса по математике для учащихся 11 класса или в рамках изучения темы в рамках темы в 11 классе «Уравнения и неравенства. Системы уравнений и неравенств»

по теме «Метод мажорант»

Продолжительность 2 часа

Урок практикум

ЦЕЛЬ: знакомство с одним из нестандартных методов решения уравнений и неравенств - методом, основанным на свойстве ограниченности функций.

ОБРУДОВАНИЕ: интерактивная доска, теория на раздаточных материалах.

Б6

М1

М2

М3

М4

М5

М6

М6 - нестандартные методы решения уравнений и неравенств

1. Информационный цикл

2. Практический цикл (Самопогружение)

3. Практический цикл (отработка навыков и проверка знаний

I. Информационный цикл.

После повторения и проверки опорных знаний перехожу к изложению новой темы в виде лекции. Так как происходит укрупнение дидактических единиц, то желательно применение опорных конспектов, таблиц, наглядных средств.

II. Практический цикл (самопогружение).

Ставится цель, выделяются опорные задачи, планируется деятельность учителя и ученика. Учащийся работает с текстом, отвечая на контрольные вопросы. На данном уроке идет отработка навыков и умений.

III цикл желательно проведение самостоятельной работы обучающего характера.

Урок -практикум-самопогружение

Теория. (раздаточный материал

Мажорантой данной функции f(x) на множестве D называется такое число M, что либо f(x) M для всех , либо f(x)M для всех .

Для удобства последующего изложения введём вспомогательные понятия ограниченности функции сверху и снизу, которые будут часто использоваться в дальнейшем.

Пусть функция f(x) определена на множестве D. Будем говорить, что она ограничена на этом множестве числом M сверху, если для любого числа х из множества D выполняется неравенство f(x) M.

Аналогично будем говорить, что функция f(x) ограничена на множестве D числом т снизу, если для любого числа х из множества D выполняется неравенство f(x) т.

Мы знаем много мажорант для известных функций. Например, любое число, большее или равное 2 является мажорантой для функций на любом множестве.

Основная идея метода мажорант может быть сформулирована в виде следующих теорем:

Теорема №1.

Пусть f(x) и g(x) - некоторые функции, определённые на множестве D. Пусть f(x) ограничена на этом множестве числом А сверху, а g(x) ограничена на этом множестве тем же числом А, но снизу.

Тогда уравнение f(x) = g(x) равносильно системе:

Теорема №2.

Пусть f(x) и g(x) - некоторые функции, определённые на множестве D. Пусть f(x) и g(x) ограничены на этом множестве снизу (сверху) числами А и В соответственно. Тогда уравнение f(x) + g(x) = А+В равносильно системе уравнений:

Теорема №3.

Пусть f(x) и g(x) - некоторые неотрицательные функции, определённые на множестве D. Пусть f(x) ограничена сверху ( или снизу) числами А и В соответственно. Тогда уравнение f(x)= А равносильно системе уравнений (при условии, что Аи В):

В этом утверждении особенно важно условие неотрицательности функций f(x) и g(x), а также условие положительности А и В.

Как искать такое число M? Это можно сделать с помощью производной(найти наибольшее и наименьшее значения функций f(x) и g(x)). Но чаще всего производная не понадобится, если хорошо знать множество значений элементарных функций и владеть следующими неравенствами:

1. , при и , при , причем равенство достигается только при

2. , , причем равенство достигается при

Рассмотрим несколько примеров нахождения мажорант некоторых функций.

1. Найти множество значений функции:

1) D(y):

Т.к. функция возрастающая и область её значений , то область значений функции также . Значит функция не ограничена сверху и не ограничена снизу.

Ответ:.

2)

Т.к. , то наименьшее значение функция примет при , а наибольшее при , т.е. . Значит функция имеет верхнюю и нижнюю границу.

Ответ: .

3) 3

Т.к. и функция возрастающая, то , т.е. . Функция ограничена сверху и не ограничена снизу.

Ответ: .

4)

Т.к. при всех действительных значениях , то . Функция ограничена снизу и не ограничена сверху.

Ответ: .

5)

Множество значений функции : , где - ордината вершины параболы. Найдем : ; , тогда . Таким образом . Учитывая, что функция является возрастающей, получим .

Таким образом функция имеет только нижнюю границу.

Ответ: .

2. Найдите наибольшее значение функции:

1)

Функция убывающая. Значит, своё наибольшее значение она принимает при наименьшем значении t, если таковое имеется.

Функция , , наименьшее значение этой функции равно -1. Тогда наибольшее значение функции равно .

Ответ: .

3.Упростить выражение для и найти ее наибольшее значение.

Область определения данной функции состоит из всех действительных значений . Т.к. и квадратный трехчлен принимает только положительные значения, т.к. и , то дробь при всех Значит эта дробь принимает наибольшее значение при наименьшем значении знаменателя при .

Ясно, что при значение , а это наибольшее значение . Таким образом, наибольшее значение данной функции равно .

Метод мажорант позволяет решать задачи, которые традиционными преобразованиями и методами не решаются.

Лист ответов:

Задача 1.

Реши уравнение: 2= cosx Очевидно, что нормальными средствами решить это уравнение нельзя, поэтому используем ограниченность правой и левой частей уравнения.

Так как sinx, то левая часть уравнения ограничена снизу числом 1. правая часть также ограничена числом 1, но уже сверху, поэтому исходное уравнение равносильно системе:

Задача 2.

Решить уравнение:

(как сумма положительных взаимообратных чисел).

Тогда

Значит данное уравнение равносильно системе:

Решим второе уравнение системы:

Проверим, будет ли решением первого уравнения системы:

верно. Значит, является решением и всей системы.

Задача 3.

Решить уравнение: sinxcos4x=1.

Переведем произведение в сумму:

и значит, их сумма равна 2 только в том случае, когда и тот и другой равны 1. Поэтому это уравнение равносильно системе:

Методом подбора находим значения и , удовлетворяющие уравнению :

значит,

Значит, решением системы уравнений является

Задача 4.

Решить систему уравнений:

Данная система имеет три неизвестных и всего два уравнения. Однако сразу же ясно, что в первом уравнении левая часть 2 взаимообратных положительных величин, а правая часть2. поэтому первое уравнение равносильно системе двух уравнений:

Тем самым необычность данной системы полностью «снята» - мы имеем обыкновенную систему трёх уравнений с тремя неизвестными, и притом чрезвычайно простую. Из двух новых уравнений и второго данного мы получаем: Поэтому решения данной системы даются формулами: где любые целые числа.

Задача 5. Найти нули функции:

Для нахождения нулей функции решим уравнение:

;

Т.к. , а , то уравнение равносильно системе двух уравнений:

- корни уравнения (1). Проверкой устанавливаем, что корнем уравнения (2) является только .

Таким образом - единственный нуль функции.

Ответ:.

Задача 6.

Решить уравнение:

Преобразуем уравнение:

Разделим обе части уравнения на 5:

Т.к. , как сумма двух взаимно обратных положительных чисел, а при всех действительных значениях , то уравнение равносильно системе двух уравнений:

Проверим, верны ли корни уравнения (1) для уравнения (2).Таким образом: - единственный нуль функции.

Ответ: .

Задача 8

Решить уравнение:

Решим квадратное уравнение относительно x:

. Т.к. , то уравнение будет иметь корни только при условии:

;

Получим:

, тогда:

или .

Задача 9.

Решить уравнение:

Т.к. , а , то данное уравнение равносильно системе уравнений:

;

.

Ответ: .

Задача10

Решить уравнение:

ОДЗ: x>0, y>0.

Тогда , как суммы двух положительных взаимно обратных чисел. Значит и , а их сумма равна 4, когда каждое из них одновременно равно 2, т.е. уравнение равносильно системе двух уравнений:

Из этого следует, что

Ответ: .

Задача11.

Решить уравнение:

Так как сумма 2-х взаимно обратных положительных чисел не меньше 2, значит левая часть больше либо равна 4:

Оценим правую часть уравнения. Для этого рассмотрим функцию , график функции парабола, ветви вниз, вершина:x₀=2 y₀=16.

Значит y≤16, следовательно:

Следовательно данное уравнение равносильно системе:

х=2.

Ответ: х=2

Домашнее задание:

Повторить теорию, (дорешать примеры, если не успеем), подыскать в литературе по 2 примера по данной теме.

Задача 15.

Для чисел верны равенства Найдите , если известно, что , а

1.Т.к. и то - корень уравнения

Т.к. и то

2. Т.к. , то - корень уравнения

Т.к. , значит

3.Число является корнем уравнения Так как то

Значит, , и, продолжая аналогично, получаем, что

Из этого следует, что

Ответ: x=1

Задача 16.

1. Для чисел верны равенства Найдите если известно, что , а

1. Оценим значение функции сверху. Если , то очевидно, что и тогда . Если , то , и , (т.к. функция возрастающая). Значит .

2. Найдем производную данной функции при .

.Очевидно, что , при всех . Следовательно на промежутке функция возрастает и непрерывна.

3. Т.к. по условию и , то является корнем уравнения . Возможны два случая:

a) .

Т.к. в этом случае функция возрастает, то уравнение имеет не более одного корня. А т.к. и , то искомый корень находится на промежутке , т.е. больше 4. Таким образом . По условию . Учитывая, что при всех действительных значениях и , делаем вывод, что уравнение (1) корней не имеет.

б) Если , тогда , т.е. . Но тогда , поэтому , . Рассуждая аналогично найдем и и так далее получим . Значит

Ответ: 9.

Задания из УЭ 10 взяты из учебника Алгебра и начала анализа 11 класс под ред С.М. Никольского стр. 306