Методические указания для студентов колледжей Введение в математический анализ

Методические указания для самостоятельной работы студентов технических специальностей колледжей и лицеев

«ВВЕДЕНИЕ В МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ»

Работа состоит из четырех разделов. В первом излагается понятие предела последовательности и функции, во втором - основные типы неопределенностей и их раскрытие при вычислении пределов функции, в третьем разделе даются определения области существования и области значений функции и в четвертом разделе рассматривается понятие непрерывности функции. Для каждого раздела подробно разобраны примеры, иллюстрирующие каждое из понятий.

Отдельно представлены задания для индивидуальных занятий.

ЧАСТЬ I

1. Пределы последовательностей и функций

Для доказательства существования предела последовательности необходимо воспользоваться определением:

Число а называется пределом последовательности , если для любого Ɛ0 найдется номер n(зависящий от Ɛ), такой, что при всех nn выполняется неравенство: /x_n - a/ Ɛ.

Ɛ Ɛ

Пример 1:

Доказать, что

Решение:

Фиксируем достаточно малое Ɛ, тогда из неравенства

Ɛ выразим n через Ɛ.

Ɛ.

Ɛ, т.к.

Ɛ

Тогда за номер n_Ɛ примем целую часть числа . Тогда, начиная с этого номера выполняется неравенство, поэтому существование предела доказано

Пример 2:

Доказать, что

Тогда за n_Ɛ примем:

n_Ɛ =

т.о. существование предела доказано

Для доказательства существования предела функции необходимо воспользоваться определением:

Число b называется пределом функции f(x) при хх₀, если для любого Ɛ0 можно указать такое , что для х, удовлетворяющих соотношению 0, выполняется неравенство: Ɛ.

Пример 3:

Пример 4:

таким образом существование предела доказано

2. Типы неопределенностей и их раскрытие

Все пределы можно условно разделить на 7 типов, каждый из которых имеет свой способ решения.

I тип: Пределы, не дающие ни какую неопределенность, решаются непосредственным вычислением.

Пример 1:

= = 0

(при непосредственной подстановке вместо x значение -2 получили вполне определенное число)

II тип: Пределы, содержащие рациональные дроби и дающие неопределенность вида вычисляются путем деления и числителя, и знаменателя на х в старшей степени дроби.

Пример 2:

= (при подстановке вместо х бесконечно большой величины получим неопределенность вида ; а т.к. х³ старшая степень всей дроби, то поделим на нее и числитель, и знаменатель)

=

(по теореме о бесконечно больших и бесконечно малых функциях имеем в числителе функцию равную 1, а в знаменателе бесконечно малую функцию)

Пример 3:

Пример 4:

Пример 5:

то старшая степень будет х¹) =

Можно вывести общее правило для этого типа пределов: если степень числителя равна степени знаменателя, то предел равен отношению коэффициентов, стоящих при этих степенях; если степень числителя больше степени знаменателя, то предел равен бесконечности; если степень числителя меньше степени знаменателя, то предел равен нулю.

III тип: Пределы, содержащие дробно-рациональные функции и дающие неопределенность при хх₀, решаются делением и числителя, и знаменателя на выражение (х-х₀).

Пример 6:

2

-

-х² - х -1 х - 1 x³ + 2x² - x - 2 x - 1

2х² -2х 2х + 1 x³ - x²x² + 3x + 2

-

-х - 1 3x² - x

х - 1 3x² -3x

-0 2x - 2

2x - 2

0

Пример 7:

-

x

-² + 2x - 3 x + 3 x³ + 4x² + 3x x + 3

x

-² + 3x x - 1 x³ + 3x² x² + x

-

-x - 3 x² + 3x

- x - 3 x² + 3x

0 0

=

IV тип: Пределы, содержащие корни и дающие неопределенности или () вычисляются домножением и числителя, и знаменателя на сопряженное выражение, приводящее к формулам разности квадратов, или разности (сумме) кубов.

Пример 8:

Пример 9:

Пример 10:

V тип: Пределы, содержащие тригонометрические и обратные тригонометрические функции, имеющие неопределенность вида приводятся к первому замечательному пределу и его следствиям:

1.

2.

3.

4.

Пример 11:

Пример 12:

VI тип: Пределы, содержащие степенно-показательные и логарифмические функции и имеющие неопределенности вида (1), (, , приводятся ко второму замечательному пределу и его следствиям:

1.

2.

3.

4.

5.

Пример 13:

Пример 14:

Пример 15:

Пример 16:

Пример 17:

VII тип: Пределы, содержащие функции разных классов можно вычислить с применением эквивалентных бесконечно малых функций:

1. sinx ~ x

2. tgx ~ x

3. arcsinx ~ x

4. arctgx ~ x

5. 1-cosx ~ x²

6. ln(1+x) ~ x

7. a^x-1 ~ xlna

8. (1+x)^m-1 ~ mx, при х

Пример 18:

Пример 19:

Пример 20:

Пример 21:

3. Область определения и область значения функций.

Четность, нечетность

Рассмотрим функцию f, которая переводит (преобразует, отображает) каждый элемент х из множества Х в единственный элемент у из множества Y. При этом множество Х называется областью определения функции (D(у)), а множество Е(у)Y множеством значения функции.

Пример 1:

Найти область определения функций:

а). б). в).

Решение:

а).

т.к. подкоренное выражение существует только для неотрицательных значений, а на «ноль» делить нельзя, то ООФ (область определения функции) описывается неравенством: (1-х)(1+х)0, по методу интервалов имеем: х=1, х= -1 (нули функции).

+

-

-

1

-1

.

Таким образом, D(у) = .

б).

Т.к. логарифмическая функция существует только от положительных значений, то ООФ описывается неравенством:

.

+

+

-

-2

2

Таким образом, D(у) =

в).

Т.к. кубический корень существует для всех х, а функция разрывна при х=0, то ООФ есть все х кроме х=0.

Таким образом, D(x) =

Пример 2:

Найти область значений функции (ОЗФ).

а). у = cos(x+1) б). у =

Решение:

а). у = cos(x+1)

Т.к. ООФ будет , а функция косинуса подчиняется условию: , то ОЗФ будет: .

б).

ООФ: .

П

0

1

у

хостроим схематический график показательной функции с основанием :

Отсюда видно, что у может принимать значения от 0 до .

Таким образом:

Функция называется четной, если D(у) симметричная область и справедливо f(-x)=f(x), и нечетной, если Если ни то, ни другое условие не выполняется, то говорят, что у=f(x) - функция общего вида

Пример 3:

Установить четность или нечетность функции:

а). , т.к. D(у) симметричная область и эта функция нечетная.

б). , т.к. D(у) симметричная область

эта функция четная.

в). , т.к. D(у) не симметричная область это функция общего вида

4. Односторонние пределы и непрерывность функций

Функция у=f(x) называется непрерывной в точке х_о, если одновременно выполняются следующие условия:

1). Существует значение функции в этой точке

2). Существуют односторонние пределы функции в этой точке и они равны между собой

3). Значение функции в этой точке равно односторонним предельным значениям

Если хотя бы одно из этих условий нарушается, то точка х_о называется точкой разрыва.

Говорят, что х_о - точка разрыва I рода, если функция не определена в точке х_о, значения функции не равно предельномуили односторонние пределы не равны между собой.

Если нарушается первое условие и хотя бы один из односторонних пределов не существует (равен ), то говорят, что х_о - точка разрыва II рода.

Пример I:

Исследовать функцию на непрерывность в точках х₁ = 2 и х₂ = 4. Сделать схематический чертеж.

Решение:

Проверим выполнение всех трех условий непрерывности для каждой точки.

Для х₁ = 2:

1). - значение функции не существует это точка разрыва.

2).

т.к. один предел равен бесконечности, то это точка разрыва II рода.

Для х₂ = 4:

1).

2).

3). эта точка является точкой непрерывности.

Сделаем схематический чертеж в окрестности данных точек:

y

2

4

x

x

Пример 2:

Исследовать функцию на непрерывность в точках х₁ = 0 и х₂ = 2. Сделать чертеж.

Решение:

Для х=0:

1). - не существует точка разрыва.

2).

т.к. оба предела равны , то это точка разрыва II рода.

Для х = 2:

1). - не существует это тоже точка разрыва.

2).

Следовательно, эта точка разрыва II рода.

Сделаем систематический чертеж в окрестности этих точек.

у

0

2

х

ЧАСТЬ 2

Индивидуальные задания

1. Доказать, что lim (указать n ()):

1.1. 1.2.

1.3. 1.4.

1.5. 1.6.

1.7. 1.8.

1.9. 1.10.

1.11. 1.12.

1.13. 1.14.

1.15. 1.16.

1.17. 1.18.

1.19. 1.20.

1.21. 1.22.

1.23. 1.24.

1.25. 1.26.

1.27. 1.28.

1.29. 1.30.

2. Доказать (найти ), что:

2.1. 2.2.

2.3. 2.4.

2.5. 2.6.

2.7. 2.8.

2.9. 2.10.

2.11. 2.12.

2.13. 2.14.

2.15. 2.16.

2.17. 2.18.

2.19. 2.20.

2.21. 2.22.

2.23. 2.24.

2.25. 2.26.

2.27. 2.28.

2.29. 2.30.

3. Вычислить пределы, не пользуясь правилом Лопиталя:

3.1. а). ; б). ;

в). ; г). ;

д). ; е). .

3.2. а). ; б). ;

в). ; г). ;

д). ; е). .

3.3. а). б).

в). г).

д). е).

3.4. а). б).

в). г).

д). е).

3.5. а). б).

в). г).

д). е).

3.6. а). б).

в). г).

д). е).

3.7. а). б).

в). г).

д). е). .

3.8. а). б).

в). г).

д). е).

3.9. а). б).

в). г).

д). е).

3.10. а). б).

в). г).

д). е).

3.11. а). б).

в). г).

д). е).

3.12. а). б).

в). г).

д). е).

3.13. а). б).

в). г).

д). е).

3.14. а). б).

в). г).

д). е).

3.15. а). ; б).

в). г).

д). е).

3.16. а). б).

в). г).

д). е).

3.17. а). б).

в). г).

д). е).

3.18. а). б).

в). г).

д). е).

3.19. а). б).

в). г).

д). е). .

3.20. а). б).

в). ; г).

д). е).

3.21. а). б).

в). г).

д). е).

3.22. а). б).

в). г).

д). е).

3.23. а). б).

в). г).

д). е).

3.24. а). б).

в). г).

д). е).

3.25. а). б).

в). г).

д). е).

3.26. а). б).

в). г).

д). е).

3.27. а). б).

в). г).

д). е).

3.28. а). б).

в). г).

д). е).

3.29. а). б).

в). г).

д). е).

3.30. а). б).

в). г).

д). е).

4. Задана функция и два значения аргумента х. Требуется:

1). Найти пределы при приближении к каждому из заданных значений х слева и справа;

2). Установить, является ли данная функция непрерывной или разрывной для каждого из данных значений х;

3). Сделать схематический чертеж:

4.1.

4.2.

4.3.

4.4.

4.5.

4.6.

4.7.

4.8.

4.9

4.10.

4.11.

4.12.

4.13.

4.14.

4.15.

4.16.

4.17.

4.18.

4.19.

4.20.

4.21.

4.22.

4.23.

4.24.

4.25.

4.26.

4.27.

4.28.

4.29.

4.30.

5. Найти:

1). Область определения функции;

2). Область изменения функции;

3). Исследовать функцию на четность (нечетность) и на непрерывность:

5.1.1. a). б).

в).

2. а). б).

3. а). б).

5.2.1. а). б).

в).

2. а). б).

3. а). б).

5.3.1. а). б).

в).

2. а). б).

3. а). б).

5.4.1. а). б).

в).

2. а). б).

3. а). б).

5.5.1. а). б).

в).

2. а). б).

3. а). б).

5.6.1. а). б).

в).

2. а). б).

3. а). б).

5.7.1. а). б).

в).

2. а). б).

3. а). б).

5.8.1. а). б).

в).

2. а). б).

3. а). б).

5.9.1. а). б).

в).

2. а). б).

3. а). б).

5.10.1. а). б).

в).

2. а). б).

3. а). б).

5.11.1. а). б).

в).

2. а). б).

3. а). б).

5.12.1. а). б).

в).

2. а). б).

3. а). б).

5.13.1. а). б).

в).

2. а). б).

3. а). б).

5.14.1. а). б).

в).

2. а). б).

3. а). б).

5.15.1. а). б).

в).

2. а). б).

3. а). б).

5.16.1. а). б).

в).

2. а). б).

3. а). б).

5.17.1. а). б).

в).

2. а). б).

3. а). б).

5.18.1. а). б).

в).

2. а). б).

3. а). б).

5.19.1. а). б).

в).

2. а). б).

3. а). б).

5.20.1. а). б).

в).

2. а). б).

3. а). б).

5.21.1. а). б).

в).

2. а). б).

3. а). б).

5.22.1. а). б).

в).

2. а). б).

3. а). б).

5.23.1. а). б). в).

2. а). б).

3. а). б).

5.24.1. а). б).

в).

2. а). б).

3. а). б).

5.25.1. а). б).

в).

2. а). б).

3. а). б).

5.26.1. а). б).

в).

2. а). б).

3. а). б).

5.27.1. а). б).

в).

2. а). б).

3. а). б).

5.28.1. а). б).

в).

2. а). б).

3. а). б).

5.29.1. а). б).

в).

2. а). б).

3. а). б).

5.30.1. а). б).

в).

2. а). б).

3. а). б).

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисления. М.: ВШ, 2001.

2. Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я. высшая математика в упражнениях и задачах. М.: ВШ, 1999.

3. Запорожец Г.Н. Руководство к решению задач по математическому анализу. М.: ВШ, 1966.

4. Шипачев В.С. Высшая математика. М.: ВШ, 1998.

5. Минорский В.П. Сборник задач по высшей математике. М.: Наука, 1987.

6. Берман Г.Н. Сборник задач по курсу математического анализа. М.: Наука, 1977.

50