Олимпиадные задания. 10 класс. Оценивание с критериями

Муниципальный этап Российской олимпиады по математике 2011-12 учебного года

10 класс (c решениями)

Время решения - 4 часа

1. Два натуральных числа в сумме составляют 2011, причем второе число получается из первого вычеркиванием последней цифры. Найдите все такие числа.

Ответ: 1829 и 182.

Решение. Обозначим второе число за . Тогда первое число имеет вид , где цифра. Из условия задачи получаем, что , а тогда , откуда .

Критерии. Ответ без доказательства единственности - 3 балла.

2. На плоскости отмечены четыре точки А, В, С и D. Известно, что АВ  СD, BC  AD. Доказать, что AC  BD.

Решение. Легко видеть, что точки А, В и С не могут лежать на одной прямой. Следовательно, они образуют треугольник, в котором точка D есть пересечение двух высот: CD и AD. Но тогда ВD - третья высота треугольника АВС, и она перпендикулярна стороне АС.

Критерии. Не доказано, что точки А, В и С не могут лежать на одной прямой - не более 5 баллов.

3. Два графика и имеют единственную общую точку. Чему равна абсцисса этой точки?

Ответ: 0 или 2. Решение. Из условия следует, что уравнение имеет единственное решение, которое нужно найти. Дискриминант этого уравнения равен , а корни . Поскольку согласно условию , имеем или , то есть или .

Критерии. Найден один ответ - 1 балл, оба ответа без обоснования, что других нет, - 3 балла.

4. В клетках прямоугольной таблицы записаны натуральные числа. За один ход разрешается либо умножить на 2 все числа строки, либо вычесть 1 из всех чисел столбца. Докажите, что за несколько ходов можно добиться того, чтобы во всех клетках таблицы стояли нули.

Решение. Выберем произвольный столбец и будем вычитать из всех элементов столбца 1 до тех пор, пока наименьшее из чисел столбца не станет равным 1. Если не все числа столбца стали равными 1, то поступим так: умножим на 2 все строки, в которых стоят 1 выбранного столбца, и снова вычтем из всех элементов столбца 1. В результате все 1 останутся 1, а остальные числа уменьшатся на 1. Очевидно, что после нескольких таких операций все числа выбранного столбца станут равными 1. Теперь можно вычесть из всех элементов столбца 1, и он станет нулевым. Выберем другой столбец и теми же действиями добьемся, чтобы он стал нулевым. Заметим, что, работая со вторым столбцом, мы не изменим уже полученные нули в первом столбце. Последовательно делая нулевыми один столбец за другим, получим таблицу из одних нулей.

Критерии. Если показано, как получить нулевой столбец, то не менее 4 баллов.

5. На пост мэра баллотировались три кандидата. Кандидат А заявил: «Я умнее Б». Кандидат Б заявил: «Я честнее В». Кандидат В заявил: «Я богаче А». Известно, что самый богатый солгал, самый умный сказал правду, а самый честный был третий. Кто из кандидатов был самый богатый?

Ответ: самый богатый Б. Решение. Кандидат В не может быть самым богатым, так как в противном случае он сказал правду, что противоречит условию. Допустим, самый богатый - А. Но тогда В солгал, значит согласно условию он не может быть самым умным, значит, самый умный - Б, самый честный - В. Но тогда Б сказал правду и он честнее В. Мы получили противоречие. Значит, самым богатым может быть только Б. Нетрудно убедиться, что такая ситуация возможна.

Критерии. Если найден ответ без обоснования или с неверным обоснованием - 1 балл. Если задача решается перебором, то следить за тем, чтобы были рассмотрены все варианты, в противном случае перебор решением не считать.