Конспект урока по математике для 10 класса Наибольшее и наименьшее значения функции

Зам.Дир по УВР_______________ Утверждаю

№_____ Дата________

Предмет ­­­­­­­­Алгебра

Класс 10

Тема урока: Наибольшее и наименьшее значения функции (2ч)

Цели урока: ознакомление учащихся с понятием наибольшего и наименьшего значения функции; введение правила для нахождения наибольшего и наименьшего значения функции; развитие познавательных интересов учащихся и любви к математике; систематизировать знания учащихся по изученной теме; проверить уровень усвоения изученного материала; применять теоретический материал при решении задач.

Тип урока: Изучение нового материала

ХОД УРОКА

1. Организационный момент.

2. Этап актуализации.

Повторение:

1) Признаки возрастания и убывания функции.

Алгоритм нахождения промежутков возрастания и убывания функции.
1. Найти область определения функции.
2. Найти производную функции.
3. Решить неравенство или .
4. Используя достаточный признак, найти промежутки возрастания и убывания функции.
Замечание:если концы промежутка принадлежат области определения, то эти точки входят в промежутки возрастания и убывания.

2) Критические точки и экстремуму функции.

Критическими точками функции y=f(x) называются такие точки x=x₀, в которых f'(x₀)=0 либо f'(x₀) не существует, причем сама функция в критической точке определена. Экстремумы функции следует искать среди ее критических точек.

Алгоритм исследования функции y=f(x) на экстремум

1. Найти область определения функции f(x).

2. Найти производную функции f '(x).

3. Определить критические точки, для этого:

а) найти корни уравнения f '(x)=0;

б) найти все значения x, при которых производная f '(x) не существует.

4. Координатную прямую разбить найденными точками на промежутки, в каждом из которых определить знак производной.

Самостоятельная работа 1

1)Найдите промежутки убывания, возрастания функции у=х²(х+6), у=12х²-2х³.

2)Найдите все критические точки функции у=.

3) Определить экстремумы функции у=х³+х²-5х+1, 1/3х³-2х²-5х+1/3

3. Объяснение нового материала:

1. Решение многих практических задач часто сводится к нахождению наибольшего и наименьшего значений непрерывной на отрезке функции.

2. Записать в тетрадях алгоритм отыскания наибольшего и наименьшего значений непрерывной функции y=f(x) на отрезке [a;b].

Алгоритм отыскания наибольшего и наименьшего значений непрерывной функции на отрезке [a;b]:

1. найти f '(x);

2. найти точки, в которых f '(x)=0 или f '(x) не существует, и отобрать из них те, что лежат внутри отрезка [a;b];

3. вычислить значения функции y=f '(x) в точках, полученных в п.2, и на концах отрезка и выбрать из них наибольшее и наименьшее; они и будут соответственно наибольшим и наименьшим значениями функции y=f(x) на отрезке [a;b], которые можно обозначить так: max y(x) и min y(x).

[a;b] [a;b]

Рассмотрим пример. Найти наибольшее и наименьшее значения непрерывной функции у= х³-3х²-45х+225 на отрезке [0;6]

Р е ш е н и е.

D(y)=R.

a)y' = 3x²-6x-45;

б)y' существует при всех х. Найдем точки критические, в которых у' =0. Имеем:

3x²-6x-45=0, х²-2х-15=0, х₁= -3, х₂=5. Отрезку [0;6] принадлежит лишь точка х=5.

в)вычислим значения функции в точках 0, 5, 6:

у(0)= 225, у(5)=50, у(6)=63.

О т в е т: max y(x) =у(0)=225; min y(x)=у(5)=50.

[0;6] [0;6]

4. Закрепление изученного материала.

1. Назовите наибольшее (наименьшее) значение функций у=х³; у=-5х; н=2 на отрезке [-2;3].

2. Известно, что на рассматриваемом промежутке [a;b] области определения функция f имеет у_max=2, y_max=4, y_min=1; y(a)=-2, y(b)=0. Чему равны наименьшее и наибольшее значения функции на отрезке?

3. На отрезке [a;b] y_max=8, y_min=4, y_min=-3. Каких условий недостает, чтобы определить наименьшее и наибольшее значения функции на отрезке?

4. Известно, что на отрезке [a;b] функция f имеет две критические точки х₁ и х₂: f_max(x₁)=8, в точке х₂ производная не существует, но f(x₂)= -3. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции, если f(a)=6, f(b)= -2.

5. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции у=х³-6х²+9х на отрезке а)[-3;2]; б)[-3;4].

5. Самостоятельная работа 2

Карточка - задания №1:

Вариант 1. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции g(x) =1-4x+x² на отрезке [0;4].

Карточка - задания №2:

Вариант 2. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции f(x) =x³/3-x²+1 на отрезке [-1;1].

Карточка - задания №3:

Вариант 3. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции g(x) = x³/3+x²+1 на отрезке [-3;1].

Карточка - задания №4:

Вариант 4. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции t(x) = x³- 2x² - 4x+2 на отрезке [-1;1].

6. Самостоятельная работа 3

Карточка- задания №1:

Вариант 1. Определите наибольшее и наименьшее значения функции у= 4х-х² на отрезке [-1;6].

Варианты ответа: а) min y(x)= -12, max y(x)= -5; б) min y(x)= 0, max y(x)= 4;

[-1;6] [-1;6] [-1;6] [-1;6]

в) min y(x)= -12, max y(x)= 4

[-1;6] [-1;6]

Карточка - задания №2:

Вариант 2. Определите наибольшее и наименьшее значения функции у= х²-2х на отрезке [1/2;4].

Варианты ответа: а) min y(x)= -1, max y(x)= -3/4; б) min y(x)= -1, max y(x)= 8;

[1/2;4] [1/2;4] [1/2;4] [1/2;4]

в) min y(x)= -3/4, max y(x)= -1

[1/2;4] [1/2;4]

Карточка - задания №2

Вариант 3. Определите наибольшее и наименьшее значения функции у= х3- 3х² на отрезке [-2;2].

Варианты ответа: а) min y(x)= -4, max y(x)= 0; б) min y(x)= -20, max y(x)= 0;

[-2;2] [-2;2] [-2;2] [-2;2]

в) min y(x)= -32, max y(x)= 0

[-2;2] [-2;2]

Карточка - задания №4:

Вариант 4. Определите наибольшее и наименьшее значения функции у= 2х³- 3х² +5 на отрезке [-1;3].

Варианты ответа: а) min y(x)= 0, max y(x)= 32; б) min y(x)= 4, max y(x)= 5;

[-1;3] [-1;3] [-1;3] [-1;3]

в) min y(x)= 0, max y(x)= 5

[-1;3] [-1;3]

7. Итог урока.

Карточка - задания №1: ср1

Вариант 1. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции g(x) =1-4x+x² на отрезке [0;4].

______________________________________________________________________________________

Карточка - задания №2: ср1

Вариант 2. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции f(x) =x³/3-x²+1 на отрезке [-1;1].

______________________________________________________________________________________

Карточка - задания №3: ср1

Вариант 3.Найдите наибольшее и наименьшее значения функции g(x) = x³/3+x²+1 на отрезке [-3;1].

______________________________________________________________________________________

Карточка - задания №4: ср1

Вариант 4.Найдите наибольшее и наименьшее значения функции t(x) = x³- 2x² - 4x+2 на отрезке [-1;1].

______________________________________________________________________________________

Карточка- задания №1: ср2

Вариант 1. Определите наибольшее и наименьшее значения функции у= 4х-х² на отрезке [-1;6].

______________________________________________________________________________________

Карточка - задания №2: ср2

Вариант 2. Определите наибольшее и наименьшее значения функции у= х²-2х на отрезке [1/2;4].

______________________________________________________________________________________

Карточка - задания №3: ср2

Вариант 3. Определите наибольшее и наименьшее значения функции у= х3- 3х² на отрезке [-2;2].

______________________________________________________________________________________

Карточка - задания №4: ср2

Вариант 4. Определите наибольшее и наименьшее значения функции у= 2х³- 3х² +5 на отрезке [-1;3].

______________________________________________________________________________________

4