Творческая работа по теме Графики функций. Операции над графиками (9 класс)

Петровский районный отдел образования

Донецкий учебно-воспитательный комплекс № 114

Секция «Математика»

Тема:

« Графики функций. Операции с графиками »

Исполнитель: Бабешко Алина

Валериевна, 9-А класс

ДУВК № 114

Руководитель: Безпальчук

Светлана Станиславовна,

учитель математики

ДУВК №114

Донецк 2007

Содержание:

1.Введение…………………………………………………………..стр. 3

2.Понятия и определения…………………………………………. стр. 3-5

2.1.Определения………………………………………………….стр. 3-4

2.2.Способы задания функции…………………………………..стр. 4-5

3.Основные элементарные функции и их свойства………………стр. 5-12

3.1.Линейная функция…………………………………………...стр. 5-7

3.2.Обратная пропорциональность…………………………….. стр. 7-8

3.3.Дробно-линейная функция…………………………………. стр. 8-9

3.4.Квадратичная функция...……………………………………. стр. 9-10

3.5.Степенная функция…………………………………………. стр. 10-11

3.6.Показательная функция……………………………………. стр. 11-12

3.7.Логарифмическая функция………………………………… стр. 12-13

4.Преобразование графиков………………………………………. стр. 13-15

5.График суммы и разности двух функций……………………… стр. 15-16

6.График произведения двух функций…………………………… стр. 16-17

7.График частного двух функций………………………………… стр. 18-19

8.Решение уравнений при помощи графиков функций……………………………………………………………. стр. 19-26

9.Заключение………………………………………………………. стр. 26

Список использованной литературы……………………………. стр. 27

Цель работы: функции и графики функций ученики начинают изучать ещё с 7-го класса, где они проходят самые азы. Я выбрала именно эту тему, потому что считаю, что она требует более глубокого и досконального исследования. Я хочу получить более широкие знания о функции, о графиках функций и о преобразованиях графиков функций.

1.Введение

В своей практической деятельности человек сталкивается с величинами раз-личной природы: длина, площадь, объём, масса, температура, вес и т. д.

В зависимости от конкретных условий некоторые из этих величин принимают одно и то же постоянное значение, т. е. не меняются; другие, наоборот, принимают различные значения.

Отвлечемся от физической природы величин и будем рассматривать только их численные значения.

Те из величин, которые в рассматриваемом процессе принимают различные значения, называются переменными (величинами); величины, которые в рассматри-

ваемом процессе сохраняют неизменное значение, называются постоянными (величинами).

Вообще, постоянную величину можно рассматривать как частный случай, переменной, область изменения которой состоит из одного числа. Область изменения переменной (величины) может быть самой разнообразной природы. Для некоторых из них, наиболее важных и часто встречающихся, введены специальные названия и обозначения.

2.Понятия и определения

2.1Определения

Математика изучает не изменение каждой переменной в отдельности, а зависимость между ними в процессе их изменения. Так, например, при изменении радиуса шара, меняется его объём, но мы не изучаем изменение каждой из этих величин в отдельности, а рассматриваем вопрос об изменении объёма шара в зависимости от изменения его радиуса.

Функция - одно из наиболее важных понятий современной математики. Оно возникло в XVII веке. Сначала Рене Декарт ввёл понятие переменной величины и систему координат, стал рассматривать зависимость ординат точек графика от их абсцисс. Слово «функция» для названия таких зависимостей впервые ввел немецкий математик Г.Лейбниц(1646-1716).Швейцарский математик Л.Эйлер(1707-1783) функцией называл выражение, состоящее из переменной и чисел. Чешский математик Б. Больцано (1781-1848) ещё больше расширил понятие функции, он под функцией понимал какую-либо зависимость одной величины от другой. Это понятие усилиями многих математиков уточнялось, расширялось, наполнялось новым смыслом. Самое обобщенное его определение предложила в XX В. Группа математиков, выступающая под псевдонимом Н. Бурбаки: «Функция - это отношение, при котором каждому элементу области отправления соответствует ровно один элемент области прибытия».

Под областью отправления (областью определения функции) и областью прибытия (областью её значений) понимают любые множества, а не числовые. Определение 1. Если в силу некоторого закона каждому значению переменной Х, изменяющейся на множестве Е, отвечают определённые значения y, то у называется функцией от х.

Переменную Х называют независимой переменной или аргументом функции, множество Е-областью задания или областью определения функции.

Множество всех значений, которые принимает функция, называется областью изменения функции - D(y).

Если каждому Х из области задания функции соответствует единственное значение у, последняя называется однозначной. В противном случае функция называется многозначной. В математике обычно рассматриваются только однозначные функции (если не сделано дополнительных оговорок). Если переменные x и y рассматривать как декартовы координаты точек на плоскости, то графиком функции y=f(x) называют множество точек координатной плоскости Оху с координатами (х; f(x)).

Определение 2. Функция является четной, если для любого х из области определения функции выполняется равенство f(x)=f(-x).

Определение 3. Функция является нечетной, если для любого х из области определения функции выполняется равенство f(-x)=-f(x).

Свойства четных и нечетных функций:

1)Сумма, разность, произведение и частное двух четных функций - четная функция;

2)Сумма и разность нечетных функций - нечетная функция, а произведение и частное - четная функция;

Определение 4. Функция возрастает, если большему значению аргумента соответствует большее значение функции.

Определение 5. Функция убывает, если большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции.

Определение 6. Возрастающие, невозрастающие, убывающие и неубывающие функции называются монотонными.

2.2.Способы задания функции

Задать функции y=f(x) на множестве E, это значит указать закон, по которому для каждого x из E получается соответствующее ему значение y. Из различных возможных способов задания функции остановимся на трёх.

1.Аналитический способ. Этот способ состоит в том, что задаётся формула, т. е. последовательность математических операций, которые нужно произвести над аргументом x, чтобы получить значение функции. При этом функция может задаваться одной формулой во всей области её задания, или несколькими, различными для разных частей области её задания, например,

y=x²+ 2x-1,

+1, если х<0,

y=

х+1, если х0.

2.Табличный способ. Этот способ состоит в том, что записываются в виде таблицы значения аргументов , , …, и соответствующие им значения функции , , …, . Такое задание функции наиболее употребительно во время опытов, когда хотят найти зависимость между некоторыми величинами. Недостаток табличного задания функции состоит в том, что таблица полностью не задает функцию, т. к. не известны её значения в точках, не помещенных в таблицу. Удобство таблицы в том, что по ней сразу, без вычислений, находятся значения функции, соответствующие тем значениям аргументов, которые помещены в таблицу. Поэтому таблица употребляется и как способ представления известных функций.

3.Графический способ. Пусть y=f(x) есть функция от x, заданная на множестве Е. Это означает, в силу определения функции, что каждому значению х из Е соответствует определённое значение у. Каждую такую пару х и у будем рассматривать как абсциссу и ординату точки М в некоторой выбранной прямоугольной системе координат. Геометрическое место всех таких точек называется графиком рассматриваемой функции.

Составляют таблицу

х

…

у

…

и затем наносят на чертёж точки , , …, с координатами (;), (;), …, (;) соответственно. Эти точки соединяют плавной кривой, которая с некоторым приближением, иногда весьма грубым, изображает график функции. Чем больше число взятых точек, тем точнее полученная кривая воспроизводит график функции.

3. Основные элементарные функции

и их свойства

Функция y=f(x) называют элементарной, если при вычислении её значений применяются, и притом в конечном числе, лишь следующие операции: сложение, вычитание, умножение и деление; возведение в произвольную степень и извлечение корня произвольной степени; взятие логарифма числа по произвольному положительному основанию; нахождение синуса, косинуса, тангенса, котангенса, арксинуса, арккосинуса, арктангенса и арккотангенса числа.

В общем случае исследование функции проводится по следующему плану:

1. Находят область определения и область изменения функции.

2. Проверяют, не является ли функции четной, нечетной, периодической.

3. Находят промежутки монотонности и промежутки знакопостоянства функции.

4. Определяют наибольшее и наименьшее значения функции и т. д.

В некоторых случаях проще построить график функции, а затем, исследуя его, выяснить свойства функции.

3.1.Линейная функция y=kx+b

Линейной функцией называется функция вида

f(x)= kx+b,

где k и b - некоторые числа.

Свойства линейной функции:

1. Область определения - множество всех действительных чисел R.

2. Область изменения (множество значений) при k0 - множество всех действительных чисел. При k=0 множество значений функции состоит из одной точки b.

3. При k0 и b0 функция не является ни четной, ни нечетной. При k=0 (b-любое) функция четная, при b=0 и k0-нечетная.

4. При k>0 линейная функция возрастает при всех x R, при k<0 убывает при всех x R, при k=0 постоянна.

5. График линейной функции пересекает ось Оу в точке y=b. При k0 график пересекает ось Ox в точке x=-b/k, при k=0 он параллелен оси Ox.

На рис. 1 изображены графики линейных функций.

у=-1,5х+3(а) у=2(б)

а) б)

у=3х+1(в) у=2х (г)

в) г)

у=-2х (д)

д)

Рис.1.

Линейная функция f(x)=kx+b может иметь своим графиком любую прямую координатной плоскости Oxy, за исключением вертикальных прямых.

Прямая пропорциональность. Переменную у называют прямо пропорциональной переменной х с коэффициентом пропорциональности k, если эти переменные связаны соотношением y=kx, где k - некоторое действительное число, отличное от нуля.

Прямо пропорциональная зависимость является частным случаем линейной функции.

3.2.Обратная пропорциональность

Переменную у называют обратно пропорциональной переменной х, если значения этих переменных связаны равенством y=k/x, где k - некоторое действительное число, отличное от нуля. Число k называют коэффициентом обратной пропорциональности.

Если считать х независимой переменной, а у - зависимой, то уравнение y=k/x определяет у как функцию от х. График функции y=k/x называется гиперболой.

Свойства функции f(x)=k/x:

1) Область определения - множество всех действительных чисел, за исключением числа 0.

2) Область изменения(множество значений) - множество всех действительных чисел, за исключением числа 0.

3) Функция f(x)=k/x - нечетная, и её график симметричен относительно начала координат.

4) Функция f(x)=k/x при k>0 монотонно убывает на промежутках в (;0) и (0;+), а при k<0 монотонно возрастает на тех же промежутках.

5) График функции y=k/x при k>0 в промежутке (0;+) направлен вогнутостью вверх, а в промежутке (;0) - вогнутостью вниз. При k<0 промежуток вогнутости вверх - (;0), а промежуток вогнутости вниз - (0;+).

Графики функций y=k/x при k =1 и k =-2, изображены на рис. 2

y=1/x (а) y=-2/x (б)

а ) б)

Рис.2.

3.3.Дробно-линейная функция y=, где a, b, c, d-постоянные, причем с0 (иначе мы имели бы линейную функцию) и adbc (иначе произошло бы сокращение и мы получили бы функцию вида y=const).

Рассмотрим более простой случай:

Обратная пропорциональная зависимость y=k/x(k0).

Разберем случай k>0:

1) Функция определена всюду, кроме х=0, т.е. область ее определения-интервалы - (;0) и (0;+);

2) Функция нечетная, т. к. f(-x)=k/(-x)=-(k/x)=-f(x);

3) Знак y совпадает со знаком x;

4) Функция убывающая, т. к. для x< x имеем k/ x>k/ x , т. е. f( x )> f( x);

Графиком функции является гипербола, она состоит из двух ветвей, расположенных в 1 и 3 координатных углах.

На рис.3. изображен график функции

Рис.3.

3.4.Квадратичная функция y=ax²+bx+c.

Функция f(x)=ax²+bx+c, где а, b, с - некоторые действительные числа (а0), называется квадратичной функцией. График квадратичной функции называется параболой.

1. Квадратичная функция y=ax², a>0:

1) Функция определена для всех х. Следовательно, ее наименьшее значение равно 0 и достигается при х=0.

2) Функция четная, поэтому ось Оу служит осью симметрии и дальнейшее исследование проводим для х>0.

3) Функция возрастающая, при возрастании х значения функции у также неограниченно возрастают.

4) График этой функции - вогнутый и называется параболой, ветви которой направлены вверх.

При a<0, ветви параболы направлены вниз.

2. Общий случай: y=ax²+bx+c:

1) Область определения - вся числовая прямая.

2) При b0 функция не является четной и не является нечетной. При b=0 квадратичная функция - четная.

3) Если a>0, то при x<-b/(2a) функция монотонно убывает, при x>-b/(2a) монотонно возрастает.

Если a<0, то при x<-b/(2a) функция монотонно возрастает, а при x>-b/(2a) монотонно убывает.

4) График квадратичной функции пересекается с осью Оу в точке у=с.

График функции у= изображен на рис. 4

Рис.4.

3.5.Степенная функция у=.

Степенной функцией называется функция вида f(x)=x, где n - любое действительное число, называемое показателем степени.

Свойства степенной функции:

1) Область определения - множество всех положительных чисел. Область изменения - множество всех положительных чисел.

2) Степенная функция непериодична, не является четной и не является нечетной.

3) Степенная функция непрерывна во всей области определения.

4) Степенная функция x монотонно возрастает во всей области определения при n>0 и монотонно убывает при n <0.

Графики степенной функции при n=5/6, n=-3/2 приведены на рис.5

(а) (б)

а) б)

Рис.5.

3.5.Показательная функция

Показательной функцией называется функция вида f(x)=a, где a- некоторое положительное действительное число, называемое основанием степени. При a=1 значение показательной функции при любом значении аргумента равно единице, и случай a=1 далее я рассматривать не буду.

Свойства показательной функции:

1) Область определения - вся числовая прямая.

2) Область изменения(множество значений) - множество всех положительных чисел. 3) При a>1 функция монотонно возрастает, при a<1 монотонно убывает.

4) График любой показательной функции пересекает ось Oy в точке y=1.

5)График показательной функции - кривая, направленная вогнутостью вверх.

Графики показательной функции при значениях a=2 и a=1/4 изображены на рис. 6.

(а) (б) Рис.6

а) б)

3.6.Логарифмическая функция

Функцию, обратную показательной функции y= a, называют логарифмической и обозначают

y=log x.

Число а называется основанием логарифмической функции. Логарифмическую функцию с основанием 10 обозначают lg x, а логарифмическую функцию с основанием e обозначают ln x.

Свойства логарифмической функции:

1) Область определения - промежуток (0, + );

2) Область изменения (множество значений) - вся числовая прямая;

3) Логарифмическая функция монотонно возрастает, если a>1, и монотонно убывает, если 0<a<1;

4)Графики всех логарифмических функций проходят через точку с координатами (1;0);

5)При a>1 график логарифмической функции - кривая, направленная вогнутостью вниз; при 0<a<1 - кривая, направленная вогнутостью вверх.

Графики логарифмической функции при а=2 и а=1/3 изображены на рис. 7.

(а) (б)

а) б)

Рис.12

4. Преобразование графиков

Функции

График функций

1. y=f(x) и y=-f(x)

2. y=f(x) и y=kf(x)

3. y=f(x) и y=f(x)n

4.y=f(x) и y=f(x+m)

5.y=f(x) и y=f(kx)

6.y=f(x) и y=

7. y=f(x) и y=f()

5. График суммы и разности двух функций

Бывает, что функцию y=f(x) можно представить в виде суммы двух функций y=f(x) и y=f(x), графики которых легко построить. Тогда построение графика функции y=f(x) сводится к геометрическому сложению соответствующих ординат: y= y+ y. Заметим, что разность двух функций всегда можно свести к соответствующей сумме двух функций

y= f(x)- f(x)= f+[- f(x)].

Пример.

Очевидно, y=x+= y+ y, где y= х, y=.

Строим графики функций y= х(выделен синим цветом) и y=(выделен зелёным цветом) и затем геометрическим сложением соответствующих ординат получаем искомый график (выделен красным цветом). (рис.8)

Рис.8.

Прямая y=x является асимптотой полученного графика.

6. График произведения двух функций

Геометрическое перемножение ординат весьма затруднительно. Но анализ произведения двух функций y=f(x)*f(x) всё же часто облегчается, если предварительно построить графики функций y=f(x) и y=f(x).

При анализе особенное внимание следует обращать на точки, где функции yи y равны 0,1 и -1.

Пример. y=x(x-1)

Полагая y=х(выделен синим цветом), y= x-1(выделен зеленым цветом), строим эти графики (рис.9)

Рис.9.

Функция y- нечетная, а функция y- четная и поэтому данная функция y будет нечетной. Поэтому дальнейший анализ будем проводить для x0. Имеем:

при x=0 значение y=0 и поэтому y = y y=0;

при x=1 значение y=0 и поэтому y =0;

при 0<x<1, имеем y>0, а y<0 и поэтому y= y y<0; в точке, где y=1, значение y= y y= y.

Для х, при которых y>1 и y>1, величина y будет быстро расти с увеличением х.

Используя эти рассуждения, получаем, что график искомой функции будет иметь вид кривой, изображенной на рис.9 ( выделена красным цветом).

Этот график можно также получить как график суммы y=x+(-x).

7. График частного двух функций

Всё сказанное мной о произведении двух функций в равной степени относится и частному двух функций.

Построив на одном чертеже графики функций и , путем их анализа исследуем, как в зависимости от x изменяется частное , и тем самым получаем общий вид искомого графика, который всегда можно уточнить с помощью таблицы значений функции.

При анализе особое внимание следует обращать на точки, где значения функций и обращаются в 0, 1, где они равны между собой или отличаются только знаком.

Пример. Построить график функции

Функция нечетная и поэтому анализ я буду проводить

лишь для .

Полагая (выделен синим цветом) и (выделен зеленым цветом), строим графики этих функций (рис.10.)

Рис.10.

Замечаем:

1. При имеем и поэтому ;

2. При , где значения и отличаются только знаком, будет ( - положительный корень уравнения: , т. е. , т. е. );

3) При имеем , а и, следовательно, прямая -вертикальная асимптота, если слева, то , а , оставаясь отрицательным, и поэтому , если справа, то, наоборот, ;

4) При , где , очевидно, (-положительный корень уравнения: ; т. е. , т. е. );

5) При замечаем, что , оставаясь положительным, т. е. ось абсцисс служит горизонтальной асимптотой.

Объединяя все эти замечания, получаем общий вид графика, изображенный на рис.10. красным цветом.

График частного двух функций иногда удобнее строить как график произведения двух функций.

Действительно, если положить и , то .

8. Решение уравнений при помощи графиков функций

В современной математике графики функций используются довольно часто. В своей работе я остановлюсь только на графическом решении уравнений.

Известно, что уравнения можно решать аналитически или графически. Чаще всего применяется аналитический способ, но иногда целесообразно сразу рассматривать графический способ решения уравнения. Например, уравнение практически невозможно решить аналитически. В таких случаях и применяют графический способ решения.

Графики широко применяются для определения числа действительных решений уравнения и их приближенных значений.

Действительно, если построить график функции , то точки, где график пересекает ось , и будут действительными корнями уравнения.

Когда построение графика функции вызывает затруднения, нужно постараться представить уравнение в виде таким образом, чтобы было легко построить график функций

и .

Очевидно, что абсциссы точек пересечения графиков этих функций и будут действительными корнями уравнения.

Если эти графики не имеют общих точек, то уравнение не имеет действительных корней.

Но в графическом способе решения уравнений есть один недостаток. Значения корней уравнения могут быть приближенными.

Приведем несколько примеров решения уравнений.

1) ;

Решение:

1.;

2. Строим график функции (рис.11):

Рис.11

3. Опускаем этот график на 1 единицу по оси - (рис.12):

Рис.12

4. Строим график функции (рис.13):

Рис.13

5. Складываем графики и (рис.14):

Рис.14

6. Найдем координаты точки пресечения полученного графика (выделен красным цветом) с осью : А(0.81;0). Числовое значение абсциссы и будет решением данного уравнения .

Т. к. числовое значение абсциссы 0,81, то значит решением этого уравнения будет . Заметим, что это значение приближенное.

Ответ: .

2) ;

Решение:

1. ;

2. Строим график функции (рис.15):

Рис.15

3. Строим график функции (рис.16):

Рис.16

4.Сдвигаем график функции на 2 единицы вправо по оси -(рис.17):

Рис.17

5. Вычитаем графики и (рис.18):

Рис. 18

6. Найдем координаты точки пресечения полученного графика (выделен красным цветом) с осью : А(1;0), А(3.4;0). Числовое значение абсциссы и будет решением уравнения .

Т. к. числовое значение абсциссы и 1,

По графику видно, что уравнение имеет два решения: и . Значит решением этого уравнения будет (заметим, что это значение приближенное) и .

Ответ: {1;3.4}.

3) ;

Решение:

1. ;

2. Строим график функции (рис.19):

Рис.19

3. Сдвигаем график функции на 2 единицы вправо по оси - (рис.20):

Рис.20

4. Строим график функции (рис.21):

Рис.21

5. Сдвигаем график функции на 3 единицы вправо по оси -

(рис.22):

Рис.22

6. Строим график функции (рис.23):

Рис.23

7. Строим график функции (рис.24):

Рис.24

8. Сдвигаем график функции на 2 единицы вправо по оси - (рис.25):

Рис.25

9. Вычтем графики функций и (рис.26):

Рис.26

10. Найдем координаты точки пресечения полученного графика (выделен красным цветом) с осью : А (13;0). Числовое значение абсциссы и будет решением уравнения (рис.26).

По графику видно, что уравнение имеет одно решение .

Ответ:

9. Заключение

И в заключении я хотела бы сказать, что для глубокого изучения материала моя работа подходит лучше всего. Мне представилась возможность больше поработать с интересной, для меня, темой «Функции» и выйти за рамки того материала, который предоставляет нам учебник 9-го класса. Прочитав и изучив другую литературу, я узнала много нового и, как я считаю, важного для меня.

10. Список использованной литературы

1. Бевз Г. П. Алгебра: Проб. учебник для 7 - 9 кл. ср. шк. - 2-е изд. - К.: Освіта, 1998. - 320 с.

2. Макуха А. С., Покровский В. С., Ушаков Р. П. Математика. Письменные экзаменационные работы: справочное пособие. - К.: Высшая шк. Главное изд, 1985. - 495 с.

3. Афанасьева О. Н., Бродский Я. С., Гуткин И. И., Павлов А. Л. Сборник задач по математике для техникумов (на базе средней школы): учеб. пособие. - 2 - е изд.; перераб. - М.: Наука. Гл. ред. - мат. лит.; 1992. - 208 с.

4. Шувалова Э. З., Агафонов Б. Г., Богатырев Г. И. Повторим математику: учеб. пособие. - К.: Высшая шк., 1969. - 464 с.

5. Цыпкин А. Г. Справочнтк по математике для средних учебных заведений: справочное пособие. - 3-е изд. - М.: Наука. Главная редакция физико-математической литературы, 1983. - 480 с.

6. Диск «Рефераты и курсовые. Выпуск 1. Библиотека школьника и студента».

7. Графики функций выполнены в программе FreeMath.