Рабочий материал по теме Арифметический квадратный корень и его свойства

Н

Понятие арифметического квадратного корняа сегодняшний день вам известны 5 арифметических действий: сложение, обратное сложению - вычитание, умножение, обратное умножению - деление, и возведение в натуральную степень. Теперь вам предстоит освоить шестое действие, обратное возведению в квадрат, которое называется извлечение квадратного корня.

Квадратным корнем из неотрицательного числа а называется такое неотрицательное число b которое в квадрате дает число а.

Знак корня

Значение корня

Подкоренное выражение корня

Читается:

«Корень из двадцати пяти равен пяти»

Потому что:

1. 5 - число неотрицательное

2. 5²=25

 Прочитайте запись и объясните ее:

, , , ,

 Какие из выражений не имеют смысла и почему:

, , , ?

 Попробуйте найти значение корня

 Запишите выражения и найдите их значения:

квадратный корень из сорока девяти,

квадратный корень из восьмидесяти одного,

квадратный корень из одной шестнадцатой,

квадратный корень из одной сотой,

квадратный корень их четырех сто двадцать первых.

Контрольная точка

Найдите значение корня:

, , , ,, ,, , ,

• Что такое квадратный корень?

• Как найти значение квадратного корня?

• Почему подкоренное выражение не может быть отрицательным?

• Почему значение корня - неотрицательное число?

Н

Нахождение арифметического квадратного корняаходить значение квадратного корня можно с помощью таблицы квадратов или калькулятора.

Как работать с таблицей квадратов?

Возведение в квадрат: 75² = 5625

Извлечение квадратного корня:

75 - это 7 десятков и 5 единиц

Смотрим единицы

5

6

7

8

9

1

2

3

4

1

2

3

4

5

6

7

5625

8

9

Те корни, которые имеют приближенное значение, называются иррациональными числами.

- число рациональное

- число иррациональное

 С помощью таблицы квадратов возведите данные числа в квадрат и запишите обратное действие:

75² = 5625 750² = 562500 7,5² = 56,25

23² = 120² = 1,4² =

57² = 620² = 3,4² =

82² = 410² = 0,25² =

46² = 9500² = 5,6² =

51² = 730² = 0,84² =

97² = 260² = 2,9² =

Проверьте результата с помощью калькулятора.

 Найдите значение квадратного корня, используя таблицу квадратов:

, , , , , , ,

, , , , ,

 Найдите значение выражения:  Решите уравнение:

 Вычислите значение корня с помощью калькулятора, округляя результат до сотых:

, , , , , , ,

Контрольная точка

Выпишите рациональные числа:

, , , , , , , , , .

• Для чего нужна таблица квадратов?

• Как с помощью таблицы квадратов найти , , ?

• Какие числа называют иррациональными?

• Какие числа называют рациональными?

1. И

   Свойства квадратного корняз двух корней больше тот, у которого подкоренное выражение больше.

т.к. 15>7

2. Если корень возвести в квадрат, то получим подкоренное выражение:

, а > 0

3. Если извлечь корень из квадрата некоторого числа, то получим модуль подкоренного выражения:

х²=а

 Расположите предложенные числа в порядке возрастания:

а) , , , , , , , ,

б) , 12, , , , 3, , .

 Укажите: а) три целых числа, следующих за , ;

б) два целых числа предшествующих , ;

в) два целых числа, между которыми находится , .

 Найдите значение следующих выражений:

, , , ,

, , , ,

, , , , , ,

 Какое из свойств можно применить, чтобы представить число в виде квадрата?

Сколько чисел в квадрате дадут один и тот же результат?

Представьте в виде квадрата следующие числа: 3, 5, 12, 4,5, 10, х.

 Какое из этих свойств можно применить при решении уравнения х²=а ?

Разберите образец решения уравнения х²=а:

х²=

х=

Решите уравнения: х²=4, х²=5, х²=7, х²= -25, х²+1=4, 4х²=0, (х-1)²=4, (х+3)²=8

К множеству каких чисел относятся корни уравнения в каждом из случаев?

Контрольная точка

Сравните: и 12, и , 0 и , - и

Представьте в виде квадрата число: 7; 15; 3,6; 1210; у; -16

С числами, записанными в виде квадратного корня (независимо от того извлекается корень точно или приближенно), можно выполнять ряд действий.

1

Действия с корнями. Умножать:

2. Делить:

3. Складывать и вычитать как подобные слагаемые:

4. Выносить множитель из-под корня:

5. Вносить множитель под знак корня:

Таким образом: если а > 0, b>0

 Выпишите те выражения, в которых возможны дальнейшие действия, выполните эти действия: , , , , , ,

 Объясните, как, применяя свойства корня, упростить действия по нахождению значения выражения:

, , , , , .

 Найдите значение выражения: , ,

 Приведите подобные слагаемые:

, ,

 Вынесите множитель из-под знака корня:

, , . , , ,

 Внесите множитель под знак корня: , , , , ,

 Сравните числа, представив их в виде корня:

и , и , 7 и , и 2

 Вынесите, если это возможно, множитель из-под корня и упростите выражение:

, , ,

Контрольная точка

Расположите числа в порядке возрастания:

, 0, , 1,5, , -2,5, , , 1

• Какие действия можно выполнять с иррациональными числами?

• В каких случаях нужно уметь вносить множитель под знак корня?

• Как внести отрицательный множитель под корень?

• Для чего нужно уметь выносить множитель из-под корня?

Вы рассмотрели, как выполняется умножение и деление иррациональных чисел, узнали в каких случаях эти числа можно складывать и вычитать, научились выносить множитель из-под корня и вносить его под корень.

Т

Преобразование выражений, содержащих квадратные корниакие действия как раскрытие скобок, сокращение дроби, приведение дроби к общему знаменателю с иррациональными числами выполняются так же, как и с рациональными.

Часто, после выполнения действий с иррациональными числами (исключение - сокращение дроби), в результате получается дробь, знаменатель которой содержит иррациональное число (число под корнем). Обычно ответ не оставляют в таком виде, его преобразовывают так, чтобы в знаменателе не было корня. Такие действия называю - освобождение знаменателя дроби от иррациональности.

Чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе дроби нужно подобрать выражение и умножить и числитель и знаменатель дроби на него. Здесь возможны два случая:

а) в знаменателе корень - умножай на точно такой же корень;

б) в знаменателе сумма или разность корней - умножай на сопряженное выражение.

 Выполните действия:

 Вынесите общий множитель за скобки:

 Разложите на множители, используя формулу «разность квадратов»:

1 - х а² - 3 у - 5 b - 2

* Разложите на множители, используя формулу a³b³:

 Сократите дробь:

 Выполните действия: ,

 Освободитесь от иррациональности в знаменателе, выполнив действия по образцу:

, , , ,

, , , ,

Функция , так же как и любая другая функция, обладает определенными свойствами и имеет свой график

В

Функция , ее свойства и графикыясните свойства и вид графика функции, выполнив практическую работу.

1. Подготовительная часть

Вспомните:

• функция - это зависимость между двумя переменными (обычно это х и у); эта зависимость выражается формулой, например: у=3х+2, у= , у=х² ;

• х называют независимой переменной или аргументом функции, а у - зависимой переменной или значением функции;

• график функции - это множество точек, соответствующих таблице значений функции;

• у каждой функции свой вид графика.

2. Практическая часть

а) Заполните таблицу значений для функции (пользуйтесь калькулятором, результат округляйте до десятых):

б) По данным таблицы постройте график функции, отметив на координатной плоскости точки с координатами (х;у) и соединив их плавной линией.

3. Аналитическая часть

   • Почему в таблице нет отрицательных значений х?

   • Почему график функции проходит через начало координат?

   • Почему график функции расположен в первой координатной четверти?

Выводы запишите в тетрадь.

4. Выполните задание:

1) какие из точек будут принадлежать графику функции :

А(-1; 1), В(2,25; 1,5), С(100; -10), D(0,4489; 0,68)?

2) с помощью графика найдите приближенное значение , , ,

3) постройте график функции

Тема 1: «Арифметический квадратный корень и его свойства»

Теоретические вопросы

1. Что такое квадратный корень?

2. Почему квадратный корень из отрицательного числа не существует?

3. Какие числа называются иррациональными? Приведите примеры.

4. Объясните свойства: «квадрат корня» и «корень квадрата» (формулы, применение, различие).

5. Перечислите свойства квадратного корня.

6. Как выполнить вынесение множителя из-под знака корня?

7. Как выполнить внесение множителя под знак корня?

8. Как сравнить значения корней?

9. Какими свойствами обладает график функции ?

Контрольные задания

1. Найдите значение корня: , , , , , ,

2. Выпишите иррациональные числа: , , , ,

3. Выпишите выражения, имеющие смысл:

, , -, , ,

4. Представьте в виде квадрата: 5, , х, х+1

5. Представьте в виде квадратного корня: 3, 15, 1,3, х

6. Найдите значение выражения: , , , ,

7. Вычислите, применяя свойства квадратного корня:

, , ,

8. Вынесите множитель из-под знака корня: , , ,

9. Внесите множитель под знак корня: , , ,

10. Расположите числа в порядке возрастания: 5; ; 1; ; ,

11. Оцените значение корня: , ,

12. Какая из точек принадлежит графику функции :

А(-9; -3), В (3;9), С(9; -3), D(9;3)?

13. Решите уравнение: х²=5, х²+4=0, (х-3)²=8

14. Решите уравнение: , , ,

15. При каких значениях переменной выражение имеет смысл: , , ,