Конспект урока по математике для 11 класса на тему: Решение уравнений

9

Конспект урока алгебры в 11 классе

Учитель Оханцева Ирина Владимировна

Тема: «Решение уравнений»

Тип урока: урок-обобщение по теме «Уравнения»

Основная дидактическая цель:

Обобщить и систематизировать знания по теме.

1. Образовательные

• развивать умение формулировать определение понятий;

• Обобщить и систематизировать способы преобразования уравнений по данной теме.

• развивать умение выражать свои мысли, воспринимать и усваивать информацию;

• обогащать словарный запас учащихся;

• совершенствовать навыки решения уравнений.

2. Развивающие:

• Развить у учащихся интерес к математике, образное мышление

• осуществление системно-деятельностного подхода;

• развитие критического мышления;

• развитие внимания;

• формирование УУД (личностных, регулятивных, познавательных):

• развитие умения формулировать и доказывать свою точку зрения;

• развитие умений анализировать, сравнивать, обобщать;

• развивать умение применять новые знания;

• развитие творческих, речевых способностей учащихся;

• формирование логических умений;

• развитие умения опираться на уже известное, на свой субъективный опыт;

• развитие умения формулировать проблему;

3. Воспитательные:

• воспитание ценностного отношения к математическим понятиям;

• развитие коммуникативных УУД:

• создание благоприятной атмосферы поддержки и заинтересованности, уважения и сотрудничества; Воспитать чувство взаимопомощи между учащимися.

Оборудование:

• ПК;

• мультимедийный проектор;

• мультимедийная презентация к уроку.

Структура урока:

1 этап. Организационный.

2 этап. Постановка целей и задач урока. Мотивация учебной деятельности.

3 этап. Актуализация знаний.

4 этап. Обобщение и систематизация.

5 этап. Применение знаний и умений в новой ситуации.

6 этап. Контроль усвоения. Обсуждение ошибок, коррекция.

7 этап. Рефлексия деятельности. Подведение итогов.

8 этап. Информация о домашнем задании (комментирование), выставление оценок за урок

Ход урока

1. Организационный этап.

Здравствуйте, уважаемые гости и учащиеся. Рада вас приветствовать на уроке алгебры в 11 Б классе.

Ну что ж, начнем…

1. Перед вами задание. Выполняем устно.

Ответы:

1. 100

2. нет корней

3. -1

4. 8

5. 1, 3

6.

А какое задание вы выполняли?

Может решить уравнение?

Да, я предполагала задание: «Решить уравнение». А что могло быть еще?

(Определить количество корней, найти наибольший корень, выбрать корни из заданного отрезка, изобразить множеcтво решений на плоскости…)

2 этап. Постановка целей и задач урока. Мотивация учебной деятельности.

Нам надо сформулировать тему урока. Выполняя устные задания, я думаю, что можно уже предположить, о чем пойдет речь. Что запишем?

-Решение уравнений.

- Равносильные уравнения

- решение неравенств …

Тема «Решение уравнений» очень объемная. Многое в этой теме вы уже изучили. Чем же тогда займемся сегодня. Особенно если учесть, что сегодня заключительный урок по этой теме.

-Обобщением.

-Систематизацией.

Попробуем конкретизировать:

Набросаем план урока:

1. Повторить основные понятия темы «Решение уравнений».

2. Определить место темы в математической науке

3. Определить наиболее сложные уравнения

4. Подвести итоги, сделать выводы.

3 этап. Актуализация знаний.

Повторяем:

• определение уравнения, корней уравнения. ОДЗ уравнения.

УРАВНЕНИЕ, математическая запись задачи о разыскании значений аргументов, при которых значения двух данных функций равны. Аргументы, от которых зависят эти функции, называются неизвестными, а значения неизвестных, при которых значения функций равны, - решениями (корнями). Словарь Ефремовой

Уравне́ние - это равенство вида

Чаще всего в качестве выступают числовые функции, хотя на практике встречаются и более сложные случаи - например, уравнения для вектор-функций, функциональные уравнения и др.

• Типы уравнений (алгебраические (линейные, квадратные, кубические…, трансцендентные (логарифмические, тригонометрические, показательные), дифференциальные, интегральные, диофантовы...)

• Теоремы о равносильности преобразований (3+3).

• Этапы решения (технический, аналитический, проверка)

• Методы решения (разложение на множители, функционально-графический, метод введения новой переменной, замена уравнения h(f(x))=h(g(x)) уравнением f(x)=g(x) для монотонной функции h(x))

(ответ ), а не только корень х=0.

(Ответ: x=1 и x=), важно не потерять корень x=1

Все это замечательно, и все это мы конечно же сейчас вспомним. Но урок обобщения предполагает ответы еще на некоторые вопросы. Надо понимать, как возникла эта тема в курсе математики, когда. И что будет дальше.

4 этап. Обобщение и систематизация.

Определяем место темы в математической науке.

Когда возникли уравнения, зачем, почему.

Необходимость решения уравнений второй степени, в том числе и квадратных, в древности была вызвана потребностью решать проблемы связанные с разделением земли, нахождением ее площади, земельными работами военного характера, а также с развитием таких наук, как математика и астрономия.

Уже около 4000 лет назад вавилонские учёные владели решением квадратного уравнения и решали системы двух уравнений, одно из которых второй степени. Среди клинописных текстов были найдены примеры решения неполных, а также частичных случаев полных квадратных уравнений. Известно, что их методы решения почти совпадают с современными, однако неизвестно, каким образом вавилоняне пришли к этим методам: почти на всех найденных до сих пор клинописных текстах сохранились лишь указания к нахождению корней уравнений, но не указано, как они были выведены. Однако, несмотря на развитость математики в те времена, в этих текстах нет ни малейшего упоминания о отрицательные числа и об общих методы решения уравнений. Буквенные обозначения, применяемые нами в алгебре, не употреблялись вавилонянами, уравнения записывались в словесной форме.

Клинописные тексты, посвященные решению алгебраических и геометрических задач, свидетельствуют о том, что они пользовались квадратичной формулой для решения квадратных уравнений и могли решать некоторые специальные типы задач, включавших до десяти уравнений с десятью неизвестными, а также отдельные разновидности кубических уравнений и уравнений четвертой степени. На глиняных табличках запечатлены только задачи и основные шаги процедур их решения. Так как для обозначения неизвестных величин использовалась геометрическая терминология, то и методы решения в основном заключались в геометрических действиях с линиями и площадями. Что касается алгебраических задач, то они формулировались и решались в словесных обозначениях.

В каких других темах курса используется понятие уравнение?

(химия, физика, астрономия, экономика)

Где мы с вами будем использовать наши знания (прежде всего ЕГЭ)

Будете ли вы решать уравнения после окончания школы? (дифференциальные уравнения в вузе)

Вспоминая основные определения и теоремы, рисуем на доске схему темы.

Алгебра возникла в связи с решением разнообразных задач при помощи уравнений

1. уравнение как средство решения текстовых задач;

2. уравнение как особого рода формула, служащая в алгебре объектом изучения;

3. уравнение как формула, которой косвенно определяются числа или координаты точек плоскости (пространства), служащие его решением.

Выполнив схему на доске, отмечаем в плане выполненные шаги галочкой.

3 пункт плана. Определить наиболее сложные для вас на сегодняшний день уравнения. Выяснить причину трудностей. Определить пути решения проблемы.

В условиях экзамена наиболее высокие результаты показывают учащиеся, которые за отведённое время решают большее число задач. Многие задачи могут быть решены несколькими способами. Поэтому очень важно уметь для каждой задачи выбирать наиболее рациональный способ решения. Научиться этому можно только путём решения таких задач и последующего анализа проведённого решения.

Проводим решение данного уравнения 3 способами:

- раскрытие модуля по определению

- переход от уравнения к системе, включающей совокупность уравнений

-графический

1 способ. Раскрытие модуля по определению.

Данное уравнение нужно рассмотреть по отдельности при выполнении двух условий: или .

Если , то

Заданное уравнение принимает вид:
, т. е. Решив это квадратное уравнение, получим:

Выясним, удовлетворяет ли значение условию . Для этого подставим данное значение в квадратное неравенство. Получим: - верное неравенство. Значит, - корень заданного уравнения.

Выясним, удовлетворяет ли значение условию . Для этого подставим данное значение в квадратное неравенство. Получим: - неверное неравенство. Значит, - не является корнем заданного уравнения.

Если , то и заданное уравнение принимает вид

,

т.е. Решив это квадратное уравнение, получим , .

Значение , удовлетворяет условию . Значит - корень заданного уравнения.

Значение не удовлетворяет условию . Значит не является корнем заданного уравнения.

Итак, заданное уравнение имеет 2 корня: и .

2 способ. Если дано уравнение , то при h(x)<0 оно не имеет решений, а при h(x)≥0 надо рассмотреть два случая: f(x)=h(x), f(x)=-h(x). (Совокупность уравнений). Для данного уравнения потребуем выполнения условия

И рассмотрим совокупность уравнений:;

Оба эти уравнения решены выше (при первом способе решения). Их корни таковы: 6, 3, . Условию
из этих четырех значений удовлетворяют лишь два: 6 и 3. Значит, заданное уравнение имеет 2 корня: и .

3 способ (графический)

Построим график функции . Сначала построим параболу . Имеем График этой функции можно получить из графика функции сдвигом его на 3 единицы масштаба вправо (по оси х) и на 2 единицы масштаба вниз (по оси у). Прямая х=3 - ось интересующей нас параболы. В качестве контрольных точек для более точного построения графика удобно взять точку (3, -2) - вершину параболы, точку (0; 7) и симметричную ей относительно оси параболы точку (6; 7). Парабола изображена на рисунке.

Чтобы построить теперь график функции нужно оставить без изменения те части построенной параболы, которые лежат не ниже оси х, отобразить симметрично относительно оси х. График одной функции готов.

Построим график линейной функции . В качестве контрольных точек удобно взять точки (0; -3), (3; 2). Прямая, служащая графиком указанной линейной функции, изображена на том же рисунке.

Существенно то, что точка х=1,8 пересечения прямой с осью абсцисс располагается правее левой точки пересечения параболы с осью абсцисс - это точка х=3- (поскольку 3-<1,8).

Судя по чертежу, графики пересекаются в двух точках - А (3; 2) и В (6; 7). Подставив абсциссы этих точек х=3 и х=6 в заданное уравнение, убеждаемся, что и при том, и при другом значении получается верное числовое равенство. Значит, наша гипотеза подтвердилась - уравнение имеет два корня: х=3 и х=6.

Ответ: 3; 6.

Вы, конечно, понимаете, что графический способ при всем своем изяществе не очень надежен. В рассмотренном примере он сработал только потому, что корни уравнения - целые числа. Тем не менее, в пользе этого метода мы с вами не раз убеждались. Особенно это важно при решении задач с параметром:

Устно:

Еще в начальной школе, вы рассматривали вопросы о том, как меняется значение площади прямоугольника в зависимости от изменения величины одной из сторон его сторон. И тогда это были первые проблески для решения подобных задач. Свои навыки вы совершенствовали, решая задачи физики и математики, где составляли модель некоторой ситуации и исследовали зависимость входящих в уравнение величин. В 11 классе мы уже можем говорить с вами в целом о такой ситуации. И это будет задача с параметром: «какое количество корней имеет данное уравнение в зависимости от параметра a?» .

5 этап. Применение знаний и умений в новой ситуации.

И как вы утверждали, уравнения с параметром самые сложные. Изучив тему уравнения, на ее заключительном этапе нам необходимо обратить внимание и на сложные уравнения. Не даром им посвящена задача С5 (задача 20) ЕГЭ.

Примером такой задачи может служить следующая задача:

ЗАДАЧА

Найти все значения параметра А, для каждого из которых имеется хотя бы один корень уравнения:

Решение. Перепишем уравнение в следующем виде:

)

Рассмотрим функцию . Исследуем эту непрерывную функцию на монотонность Следовательно, всюду на R возрастает, при этом уравнение можно записать в следующем виде:

Покажем, что это равносильно уравнению

Все решения второго уравнения являются решениями первого, что непосредственно вытекает из определения понятия функции. Положим, что х - решение уравнения первого и при этом . Но тогда или или . Противоречие. Следовательно, уравнения равносильны.

Уравнение имеет хотя бы одно решение тогда и только тогда, когда . Ответ:

Аналогичные задачи вы сможете увидеть в варианте 6, 10

6 этап. Контроль усвоения. Обсуждение ошибок, коррекция.

Первое знакомство со сложными уравнениями было еще в начальной школе? Когда переменная была представлена в виде некоторой функции.

На заключительном этапе изучения темы уравнения мы вновь вернулись к таким уравнениям, но на более уже высоком уровне.

7 этап. Рефлексия. Подведение итогов.

Итак, урок подходит к концу. Надо оценить свою работу. Отметим в плане, что нам удалось сделать. Подведем итоги (что с точки зрения вашего познания было сделано на уроке, что каждый из вас для себя теперь точно усвоил, а где остались проблемы).

Уравнения в школьном курсе алгебры занимают ведущее место. На их изучение отводится времени больше, чем на любую другую тему. Действительно, уравнения не только имеют важное теоретическое значение, но и служат чисто практическим целям. Подавляющее большинство задач о пространственных формах и количественных отношениях реального мира сводится к решению различных видов уравнений. Овладевая способами их решения, мы находим ответы на различные вопросы из науки и техники (транспорт, сельское хозяйство, промышленность, связь и т. д.).

Алгебра возникла в связи с решением разнообразных задач при помощи уравнений

Оценки за урок.

- за устную работу

- за решение уравнения с модулем у доски

- за решение уравнения с параметром

Домашнее задание.

a - количество букв фамилии

b - количество букв отчества

c - количество букв имени