Задания для проведения экзамена СПО

Задания для проведения экзамена.

Типовые задания.

Теоретический материал.

Раздел 1. Развитие понятия о числе.

Арифметические действия над числами, приближённые значения величин и погрешности вычислений (абсолютная и относительная); числовые выражения.

Раздел 2.Корни, степени и логарифмы

Значения корня, степени, логарифма. Действия с корнями ,степенями, логарифмами. Преобразование выражений содержащих радикалы. Основное логарифмическое тождество Свойства логарифмов. Преобразование логарифмических выражений. переход к новому основанию логарифма.

Раздел 3.Пропорции

Определение пропорции. Решение задач методом пропорции.

Раздел 4.Основы тригонометрии

Понятие единичной окружности. Основное тригонометрическое тождество. Формулы для двойного угла. Формулы приведения. Преобразование сумм тригонометрических функций в произведение.

Раздел 5.Уравнения и неравенства

Решение рациональных, иррациональных. показательных, логарифмических, тригонометрические уравнений, сводящиеся к линейным и квадратным, а также аналогичные неравенства и системы. Методы решения уравнений и систем уравнений. Графический метод решения уравнений и неравенств.

Уравнения и неравенства, связывающие неизвестные величины в текстовых (в том числе и прикладных) задачах. Математические методы решения содержательных задач из области профессиональной деятельности.

Раздел 6. Функции, их свойства и графики. Степенные, показательные, логарифмические и тригонометрические функции

Область определения и область значения показательных . логарифмических, тригонометрических функций. Определения свойств функций( четность, нечетность, периодичность. определение свойств функций по их графикам. Монотонность функций.

Раздел 8. Начала математического анализа

Понятие производной. Геометрический и физический смысл производной. Производные элементарных функций. Правила вычисления производной. Производная сложной функции. Использование производной для изучения свойств функций и построения графиков.

Применение производной для проведения приближённых вычислений. Решение задач прикладного характера на нахождение наибольшего и наименьшего значения.

Понятие первообразной функции. Основное свойство первообразных. Правила вычисления первообразных. Первообразные основных элементарных функций. Площадь криволинейной трапеции. Формула Ньютона-Лейбница. Неопределенный интеграл. Методы интегрирования.

определенный интеграл. Простейшие случаи вычисления площади и объёма с использованием определённого интеграла.

использовать приобретённые знания и умения в практической деятельности и повседневной жизни:

- для практических расчётов по формулам, включая формулы, содержащие степени, радикалы, логарифмы и тригонометрические функции, проценты и пропорции, используя при необходимости справочные материалы и простейшие вычислительные устройства.

Раздел 9. Прямые и плоскости в пространстве

Взаимное расположение прямых в пространстве. Параллельность прямой и плоскости. Параллельность плоскостей. Перпендикулярность прямой и плоскости. Перпендикуляр и наклонная. Угол между прямой и плоскостью Двугранный угол. Угол между плоскостями. Перпендикулярность двух плоскостей. Геометрические преобразования пространства: параллельный перенос, симметрия относительно плоскости. Параллельное проектирование. Площадь ортогональной проекции. изображение пространственных фигур. Симметрия: центральная, осевая, зеркальная

Раздел 10. Многогранники

Вершины, ребра, грани многогранника. Развертка. Многогранные углы. выпуклые многогранники. Теорема Эйлера. Призма, прямая и наклонная призма. Параллелепипед. Куб. Пирамида, правильная пирамида, тетраэдр Симметрия в кубе, параллелепипеде, в призме и пирамиде. Сечения куба, призмы и пирамиды. Представление о правильных многогранниках (тетраэдр, куб, октаэдр, додекаэдр и икосаэдр).

Раздел 11. Тела и поверхности вращения

Цилиндр и конус. Усеченный конус. Основание, высота, боковая поверхность, образующая, развертка.

Осевые сечения и сечения, параллельные основанию. Шар и сфера. Их сечения. Касательная плоскость к сфере.

Раздел 12.Измерения в геометрии

Объём и его измерения. Интегральная формула объема. Формула объема куба, прямоугольного параллелепипеда, призмы, цилиндра. Формулы объема пирамиды и конуса. Формулы площади поверхностей цилиндра и конуса. Формулы объема шара и площади сферы. Подобие тел. Отношения площадей поверхностей и объемов подобных тел.

Раздел 13. Элементы комбинаторики

Основные элементы комбинаторики. Задачи на подсчёт числа размещений, перестановок и сочетаний. Решение задач на перебор вариантов. Формула бинома Ньютона. Свойства биноминальных коэффициентов. Треугольник Паскаля.

Раздел 14. Проценты

Простейшие задачи на проценты. «Обратные» задачи на проценты. Процентные отношения. Простой процентный рост. Сложный процентный рост.

Раздел 15. Элементы теории вероятностей. Элементы математической статистики.

Событие, вероятность события, сложение и умножение вероятностей. Понятие о независимости событий. Дискретная случайная величина, закон ее распределения. Числовые характеристики дискретной случайной величины. Понятие о законе больших чисел. Представление данных: таблицы, диаграммы, графики. Генеральная совокупность. Выборка, среднее арифметическое, медиана.

Практические задания для проведения экзамена.

Вариант1

Основная часть

При выполнении заданий с 1-3 запишите ход решения и полученный ответ

( 1 балл) 1. Найдите значение выражения:

( 1 балл) 2. Упростите выражение:

( 1 балл) 3. Найдите значение выражения:

( 1 балл) 4. На одном из рисунков изображен график функции .

Укажите этот рисунок.

1 2

3 4

При выполнении заданий с 5-16 запишите ход решения и полученный ответ

( 1 балл) 5. Укажите множество значений функции: у =

( 1 балл) 6. Найдите область определения функции: у =

( 1 балл) 7. Определите четность (нечетность) функции: у = х + х²

( 1 балл) 8. Вычислите: arcsin + arctg (- )

( 1 балл) 9. Найдите значение производной в заданной точке: у= - 9х², в точке х₀ = 4.

( 1 балл) 10. Найдите значение выражения:

( 1 балл) 11. Вычислите cos α , если sinα = и π < α

( 1 балл) 12. Даны точки А(-2;3;5) и С(3;-1;2). Точка С - середина отрезка АВ. Найдите координаты точки В.

( 1 балл) 13. Решить уравнение:

( 1 балл) 14. При движении тела по прямой, расстояние меняется по закону S(t) =2t² - 4. Найдите скорость тела через 3 сек.

( 1 балл) 15.Решите уравнение:

( 1 балл) 16. Решите неравенство: ≤

Дополнительная часть

При выполнении заданий с 1-4 запишите ход решения и полученный ответ

( 3 балла) 1. Решить систему уравнений:

( 3балла) 2.Сторона правильной четырехугольной пирамиды равна 3см, а высота ее равна 5см. Найдите объем пирамиды.

( 3 балла) 3.Упростите выражение:

( 3 балла) 4. Найти наибольшее и наименьшее значение функции у= х³ - 3х² - 45х+ 225 на

Вариант 2

Основная часть

При выполнении заданий с 1-3 запишите ход решения и полученный ответ

( 1 балл) 1.Упростите выражение:

( 1 балл) 2.Найдите значение выражения: , если

( 1 балл) 3.Сократите дробь: .

( 1 балл) 4. Укажите график нечетной функции.

1

2

3

4

При выполнении заданий с 5-16запишите ход решения и полученный ответ

( 1 балл) 5. Найдите множество значений функции: у= 2 - 1

( 1 балл) 6. Упростите выражение sin - tgαctgα.

( 1 балл) 7. Найдите значение производной функции в точке .

( 1 балл) 8. Найдите область определения функции: у = 7х - .

( 1 балл) 9. Определите четность (нечетность) функции: у = х² .

( 1 балл) 10. Вычислите: .

( 1 балл) 11. Решите уравнение: =.

( 1 балл) 12. Коллинеарны ли векторы (3;6;8) и (6;12;16).

( 1 балл) 13. Решите уравнение: =3.

( 1 балл) 14. При движении тела по прямой расстояние изменяется по закону

S(t) = . Найдите скорость тела через 2 секунды после начала движения.

( 1 балл) 15. Вычислите sin 2α , если cosα = и π < α.

( 1 балл) 16. Решить неравенство: .

Дополнительная часть

При выполнении заданий с 1-4 запишите ход решения и полученный ответ

( 3 балла) 1. Найдите корни уравнения : cos x + sin 2x = 0.

( 3 балла) 2. Площадь осевого сечения цилиндра равна 81 см. Найдите площадь полной поверхности цилиндра, если его образующая равна диаметру основания.

( 3 балла) 3. К графику функции f(x) =х³ +х +1 в точке с абсциссой х₀=1 проведена касательная. Напишите уравнение касательной к графику функции в данной точке.

( 3 балла) 4. Вычислите .

Вариант 3

Основная часть

При выполнении заданий с 1-3 запишите ход решения и полученный ответ

( 1 балл) 1.Найдите значение выражения: 4^3а 4^-5а при а = -

( 1 балл) 2.Вычислите: + .

( 1 балл) 3.Найдите производную функции: у= 3 + х².

( 1 балл) 4. На одном из рисунков изображен эскиз графика функции . Укажите номер этого рисунка.

1)

3)

2)

4)

При выполнении заданий с 5-16 запишите ход решения и полученный ответ

( 1 балл) 5. Решите неравенство: ≤ 0

( 1 балл) 6. Определить четность, нечетность функции у=.

( 1 балл) 7. Даны векторы (-1;2;3) и(5;х;-1).При каком значении х векторы перпендикулярны?

( 1 балл) 8. Решите уравнение .

( 1 балл) 9. При движении тела по прямой расстояние изменяется по закону S(t) = . Найдите скорость через 1 секунду движения.

( 1 балл) 10. Вычислите tgα , если cosα = и

( 1 балл) 11. Решите неравенство: 5^х-1 < 0

( 1 балл) 12. Найдите область определения функции: у =

( 1 балл) 13. Разложите на множители:

( 1 балл) 14.

( 1 балл) 15. Представьте в виде корня- n- степени ( 1 балл) 16. Найдите область значения функции: у = + 3.5

Дополнительная часть

При выполнении заданий с 1-4 запишите ход решения и полученный ответ

( 3 балла) 1. Упростите выражение:

( 3 балла) 2. Высота пирамиды 16см. Площадь основания 512 см². На каком расстоянии от вершины находится сечение, параллельное основанию, если площадь сечения 50 см²

( 3 балла) 3. Найдите значение функции у= - 4х² + 15х - 15 в точке максимума.

( 3 балла) 4. Решите уравнение:

Вариант 3

Основная часть

При выполнении заданий с 1-3 запишите ход решения и полученный ответ

( 1 балл) 1. Вычислите:

( 1 балл) 2. Упростите выражение:

( 1 балл) 3. Найдите область определения функции у=.

( 1 балл) 4.Укажите график четной функции

2

4

При выполнении заданий с 5-16 запишите ход решения и полученный ответ

( 1 балл) 5. Какое из чисел больше: и

( 1 балл) 6. Вычислите:

( 1 балл) 7. Укажите множество значений функции у =

( 1 балл) 8. Решите уравнение:

( 1 балл) 9.Упростите выражение: 9 +5sin²x - 5cos² x

( 1 балл) 10.Найдите производную функции у =

( 1 балл) 11. Решите уравнение: =

( 1 балл) 12. Даны точки А(3;-1;0), В(0;0;-7), С(2;0;0) , К(-4;0;3). Какие из них лежат на оси абсцисс.

( 1 балл) 13.Решите уравнение -.

( 1 балл) 14.Решить неравенство:( 1 балл) 15.Вычислите: arccos (-) + arcsin .

( 1 балл) 16. Упростите выражение :.

Дополнительная часть

При выполнении заданий с 1-4 запишите ход решения и полученный ответ

( 3 балла) 1. Решить систему неравенств:

( 3 балла) 2. Апофема правильной четырехугольной пирамиды 6 см., высота пирамиды равна 3 см. Найдите сторону основания пирамиды, площадь боковой поверхности.

( 3 балла) 3. Найдите область определения функции: у=

( 3 балла) 4. Вычислите

Вариант 4

Основная часть

При выполнении заданий с 1-3 запишите ход решения и полученный ответ

( 1 балл) 1.Вынесите множитель за знак корня:

( 1 балл) 2.Вычислите значение выражения , при в = .

( 1 балл) 3. Вычислите:2 arcsin( - + arctg (- 1) + arcos + arccos( - 1)

( 1 балл) 4.Укажите график нечетной функции

При выполнении заданий с 5-16 запишите ход решения и полученный ответ

( 1 балл) 5. Найдите значение выражения , если = 6

( 1 балл) 6. Укажите множество значений функции: у =

( 1 балл) 7. Найдите производную функции .

( 1 балл) 8. Упростите выражение:

( 1 балл) 9. Решите неравенство:

( 1 балл) 10. Решить уравнение: = 0

( 1 балл) 11. Найдите область определения функции: у= lg

( 1 балл) 12. Решить уравнение: ( 1 балл) 13. Докажите нечетность функции: у =х⁵ - х³

( 1 балл) 14. Найдите тангенс угла наклона касательной, проведенной к графику функции + с абсциссой х₀ = - 1.

( 1 балл) 15. Найдите координаты вектора , если А(3;-1;2), В(2;-1;4)

( 1 балл) 16. Материальная точка движется по закону х(t) = -4 + t - 2. Через сколько секунд ускорение точки будет равно 40 м/

Дополнительная часть

При выполнении заданий с 1-4 запишите ход решения и полученный ответ

( 3 балла) 1. Решите уравнение: 2sin²x - 5sinxcosx +3cos²x =0

( 3 балла)2. Решить систему уравнений:

( 3 балла) 3. Основания прямоугольного параллелепипеда равны 5 см. и 4 см, а высота равна 3 см. Найдите площадь полной поверхности прямоугольного параллелепипеда.

( 3 балла) 4. Упростите выражение: .

Перечень рекомендуемых учебных изданий, интернет-ресурсов,

дополнительной литературы.

Основные источники.

Башмаков М.И. Математика (базовый уровень). 10-11 кл. - М., 2009

Башмаков М.И. Математика: 10 кл. Сборник задач: учеб. пособие. - М., 2009

Алимов Ш.А. и др. Алгебра и начала анализа. 10 (11) кл. - М., 20010

Колмогоров А.Н. Алгебра и начала анализа: учебник, М, «Просвещение», 2010

Атанасян Л.С. Геометрия, 10-11: учебник, М, «Просвещение», 2009

Погорелов А.В. . Геометрия, 10-11: учебник, М, «Просвещение», 2009

Дополнительные источники.

Зайцев И.Л. Элементы высшей математики - М.: «Наука», 1970

Богомолов Н.В. Практические занятия по математике - М.: «Выс-шая школа», 2002

Богомолов Н.В., Сергиенко Л.Ю., Математика: дидактически задания, М.: «Высшая школа», 2010

Богомолов Н.В., Сборник задач по математике, М, «Дрофа», 2010

Богомолов Н.В., Самойленко П.И., Математика, М, «Дрофа», 2010

Дорофеев Г.В., Седова Е.А. Процентные вычисления 10-11 класс, М, «Дрофа