Урок алгебры в 10 классе. Методы решения тригонометрический уравнений

Методы решения сложных

тригонометрических уравнений

І тип. Двучленные уравнения. Уравнения, содержащие две тригонометрические функции с коэффициентами 1.

Пример 1.

Решение

или

Ответ: ;

Пример 2.

Решение

Ответ: ; .

ІІ тип. Многочленные тригонометрические уравнения. Все функции содержащиеся в этом уравнении, переносят в левую часть и полученный тригонометрический многочлен раскладываю на множители.

Если многочлен уравнения содержит четную степень, то формулам понижают степень и превращают в произведение.

Если тригонометрический многочлен содержит функции таким образом, что этот многочлен будет стандартного вида, то применяют метод подстановки.

1)

2)

ІІІ тип. Однородные тригонометрические уравнения.

1) (уравнение І степени)

2) (уравнение ІІ степени)

3) ( уравнение ІІІ степени)

Эти уравнения решаются делением этого уравнения на старшую степень

или .

1) /: ,

2)

3)

Пример 1.

Решение

Пусть тогда

Ответ:

Пример 2.

Решение

Это уравнение можно свести к однородному третьего порядка относительно или если заменить

Получим

Разделили обе части уравнения на получим

Пусть

Легко проверить, что является корнем этого уравнения.

Поэтому

или

корней нет.

Ответ:

ІV тип. Линейные неоднородные тригонометрические уравнения.

1) если то делим на

2) если тогда применяем метод универсальной подстановки

и так далее.

3) если то неоднородное уравнение приводим к однородному второй степени с помощью тригонометрической единицы.

V тип. Уравнения, содержащие тригонометрические дроби.

Находим ОДЗ ( т.к. знаменатель 0). Либо приводим к общему знаменателю, либо применяем метод подстановки.

Пример 1.

Решение

ОДЗ:

Пусть , тогда

Это уравнение упростим, обозначив тогда

Тогда

корней нет

Ответ:

VІ тип. Иррациональные тригонометрические уравнения.

Содержание тригонометрические функции под знаком радикала.

Указать ОДЗ.

Пример 1. Решить уравнение

Решение

при любых

Сделав замену получим иррациональное уравнение

которое равносильно системе

Поэтому неравенству системы удовлетворяет только

Значит .

Ответ:

VІІ тип. Функциональные.

В качестве аргументов используются другие функции.

Пример 1.

или

при при

Ответ: где при

где при

Пример 2.

Решение

Так как то

Пусть

или

т.к. то не удовлетворяет

условию

Подставив вместо t его значение

Ответ:

VІІІ тип. Уравнения, в которых в качестве коэффициента число перед или, то делают числовую подстановку или .

Пример.1 Решить уравнение

Решение

или

Ответ:

ІX тип. Уравнения вида

решаются с помощью замены или

1) 2)

Пример 1. Решить уравнение

Решение

Пусть

Тогда,

корней нет.

Ответ:

Метод оценок при решении тригонометрических уравнений

Некоторые тригонометрические уравнения удается решить, используя неравенства: верны для всех

Пример 1. Решить уравнение

Решение

Поскольку и то причем

равенство здесь имеет место тогда и только тога, корда одновременно выполняются равенства и Значит исходное уравнение равносильно системе:

Изобразим эти решения соответствующими точками единичной окружности

( решения первого уравнения , решение второго уравнения - точки помеченные крестиком *).

*

Число х будет решением системы тогда и только тогда, когда оно является решением обоих уравнений системы. Из рисунка видно, что такими числами являются числа

Ответ:

Пример 2. Решить уравнение

Решение

Воспользуемся формулой

и , значит

Равенство возможно при и Значит данное неравенство равно системе:

Решениями системы являются те и только те значения для которых при некоторых и выполняются равенства Найдем целые и , для которых Сократив на получим, что но это равенство возможно только при и Таким образом система, а значит , и исходное уравнение имеют единственное решение

Ответ:

Пример 3. Решить уравнение

Решение

или

, данное уравнение равносильно

Решения первого уравнения , решение второго уравнения - точки помеченные крестиком *.

Ответ:

Использование области определения функции при решении уравнений.

К «функциональным» методам решения тригонометрических уравнений и неравенств относится применение основных свойств тригонометрических функций.

Иногда знание областей определения функций, входящих в уравнение или неравенство, дает возможность показать, что уравнение или неравенство не имеет решений. Иногда знание ОДЗ позволяет найти решения уравнения или неравенства непосредственной подстановкой чисел из ОДЗ.

Решить уравнение:

Решение

ОДЗ этого уравнения состоит из всех , удовлетворяющих условиям:

ОДЗ:

Подставляя эти значения в уравнение, получаем, что его правая и левая части равны нулю, а это означает, что все являются его решением.

Ответ:

Тригонометрические уравнение типа

Решение таких уравнений сводится к группировке, последующему разложению правой части уравнения на множители и переходу к решению эквивалентной совокупности простейших уравнений.

Пример 1.

Решение

ОДЗ:

или или

В общем случае предположим, что серия решений содержит параметр

а серия решений - параметр Чтобы выяснить, содержится ли одна из этих серий в другой, нужно приравнять эти решения и найти зависимость от

Если эта зависимость линейна и то серия решений содержится в серии решения Если хотя бы один из коэффициентов ( или ) не целый, то нужно найти зависимость от Если эта зависимость имеет вид где то серия решений содержится в серии решений При условии, что либо либо не целое, серии решений и не содержат одно другое.

Выясним, не содержатся ли какие - либо из полученных серий решений в других:

1) следовательно решение содержится в

решении поэтому исключают из решения.

2) что невозможно

при

Ответ:

Пример 2.

Решение

или

или

Сравним полученные решения

Следовательно серия решения содержится в серии решений

что невозможно при

Ответ:

Пример 3.

Решение

или

Сравним решения

Серия не содержится в серии

Значит и серия не содержится в серии

Ответ: