- Преподавателю
- Математика
- Конспект по алгебре на тему: Простейшие правила и формулы решения задач на вероятность
Конспект по алгебре на тему: Простейшие правила и формулы решения задач на вероятность
Раздел | Математика |
Класс | 11 класс |
Тип | Конспекты |
Автор | Потапушкина И.А. |
Дата | 06.01.2016 |
Формат | doc |
Изображения | Есть |
Примеры простейших задач на вероятность
Элементарные события (элементарные исходы) опыта - простейшие события, которыми может окончиться случайный опыт.
Сумма вероятностей всех элементарных событий опыта равна .
Вероятность события равна сумме вероятностей элементарных событий, благоприятствующих этому событию.
Объединение событий - событие, состоящее из элементарных исходов, благоприятствующих хотя бы одному из событий , .
Пересечение событий - событие, состоящие из элементарных исходов, благоприятствующих обоим событиям и .
Противоположное событие.
Событие , состоящее из тех и только тех элементарных исходов опыта, которые не входят в , называется противоположным событию .
Несовместные события - события, которые не наступают в одном опыте. Например, противоположные события несовместны.
Вероятности противоположных событий:
; .
Формула сложения вероятностей:
и = .
Формула сложения вероятностей для несовместных событий:
.
Задача 5.
В магазине стоят два платежных автомата. Каждый из них может быть неисправен с вероятностью независимо от другого автомата. Найдите вероятность того, что хотя бы один автомат исправен.
Решение.
В этой задаче также предполагается независимость работы автоматов.
Найдем вероятность противоположного события
= {оба автомата неисправны}.
Для этого используем формулу умножения вероятностей независимых событий:
.
Значит, вероятность события = {хотя бы один автомат исправен} равна .
Ответ: .
Задача 4.
Биатлонист пять раз стреляет по мишеням. Вероятность попадания в мишень при одном выстреле равна . Найдите вероятность того, что биатлонист первые три раза попал в мишени, а последние два раза промахнулся. Результат округлите до сотых.
Решение.
В этой задаче предполагается, что результат каждого следующего выстрела не зависит от предыдущих. Поэтому события «попал при первом выстреле», «попал при втором выстреле» и т.д. независимы.
Вероятность каждого попадания равна . Значит, вероятность каждого промаха равна . Воспользуемся формулой умножения вероятностей независимых событий. Получаем, что последовательность
= {попал, попал, попал, промахнулся, промахнулся} имеет вероятность
=
=.
Ответ: .
Задача 3.
В торговом центре два одинаковых автомата продают кофе. Вероятность того, что к концу дня в автомате закончится кофе, равна . Вероятность того, что кофе закончится в обоих автоматах, равна . Найдите вероятность того, что к концу дня кофе останется в обоих автоматах.
Решение.
Определим события
= {кофе закончится в первом автомате},
= {кофе закончится во втором автомате}.
По условию задачи и .
По формуле сложения вероятностей найдем вероятность события
и = {кофе закончится хотя бы в одном из автоматов}:
.
Следовательно, вероятность противоположного события {кофе останется в обоих автоматах} равна
.
Ответ: .
Задача 2.
На экзамене по геометрии школьнику достается один вопрос из списка экзаменационных вопросов. Вероятность того, что это вопрос на тему «Вписанная окружность», равна . Вероятность того, что это вопрос на тему «Параллелограмм», равна . Вопросов, которые одновременно относятся к этим двум темам, нет. Найдите вероятность того, что на экзамене школьнику достанется вопрос по одной из этих двух тем.
Решение.
Определим события:
= {вопрос на тему «Вписанная окружность»},
= {вопрос на тему «Параллелограмм»}.
События и несовместны, так как по условию в списке нет вопросов, относящихся к этим двум темам одновременно.
Событие = {вопрос по одной из этих двух тем} является их объединением: .
Применим формулу сложения вероятностей несовместных событий:
.
Ответ: .