Подготовка к ГИА. Умножение и сложение вероятностей. 9, 11 кл

Математика, 11 класс. Подготовка к ЕГЭ. Решение задач на вероятность. Мясникова Т.Ф. МОУ СОШ № 14

Провинциальная блондинка заявила: «Поеду в Москву, найду олигарха и выйду за него замуж. С вероятностью 50 на 50!» Её спрашивают: «Ты точно уверена, что 50 на 50?» «А-то! Или встречу или не встречу!»

Оцените её рассуждения.

Вероятность много меньше. Этому есть несколько причин. Во-первых, число девушек, жаждущих выйти замуж за олигарха, стремится к бесконечности, а число олигархов, согласных жениться на провинциальной блондинке, стремится к нулю. Во-вторых, судя по заявлению, наша невеста плохо разбирается в теории вероятностей. В этой ситуации точное значение вероятности найти невозможно.

Ещё один пример. Некто рассуждает так: «Пусть монету бросают дважды. Возможны только три исхода: либо два орла, либо две решки, либо монеты упали разными сторонами. Все исходы равновероятны и поэтому вероятность каждого равна , то есть приблизительно 0,33».

Рассуждения неверные. На самом деле исходов не три, а четыре! Решка и решка, орёл и орёл, орел и решка, решка и орёл. При этом вероятность каждого исхода равна не , а , то есть 0,25.

Чтобы убедиться, что второе решение верное, достаточно провести с монетой несколько испытаний, сделать записи результатов бросков и посчитать частоту каждого исхода.

А сколько испытаний надо сделать? Чем больше испытаний, тем точнее ответ.

Проведите опыт дома. Бросьте монету 200 раз, запишите результаты парами (например, рр, ор, ро, оо, ор, ро и т.д.), будет 100 пар, и вы убедитесь, что исходов орёл-орёл (оо) будет 25, исходов решка-решка (рр) тоже 25, а исходов орёл-решка (ор) и решка-орёл (ро) 25+25=50! Это значит, что вероятность того, что монеты упадут орлом вверх, равна 0,25; вероятность, что упадут решками, тоже 0,25, а вероятность того, что две монеты упадут разными сторонами вверх, равна 0,25+0,25 = 0,5.

Есть ещё одно мнение по поводу вероятности с монетами. В одном из вариантов диагностической работы была такая задача: «У Пети в кармане лежат шесть монет: две по 2 рубля и четыре по 1 рублю. Петя берёт наугад три монеты и перекладывает их в другой карман. Какова вероятность того, что обе двухрублёвые монеты окажутся в одном кармане?» Если рассуждать так, как Первый, то получается следующее. Возможны только два исхода: монеты либо вместе, либо порознь. Поэтому вероятность каждого исхода равна 0,5. Но что-то не сходится. Можно даже и не пробовать проводить испытания, чтобы проверить этот ответ, а просто задуматься: неужели не имеет значения, сколько у Пети было монет по рублю? По условию задачи, рублёвых монет 4. А если бы их было больше, например, 20? Неужели вероятность опять будет 0,5? Вряд ли!

Решение.

Даже если эти три монеты берутся одновременно, так сказать кучкой, для вычисления вероятности порядок монет имеет значение. Возможны 4 варианта: у Пети в руке должны оказаться две 2-рублёвые и одна рублёвая монеты (3 варианта) или три рублёвые монеты (1 вариант). Запишем их тройками: 221, 122, 212 и 111. Найдём вероятность каждого варианта и сложим их.

Найдём вероятность исхода 221. Вероятность того, что первая монета будет 2-рублёвой, равна . Вероятность того, что и вторая монета будет 2-рублёвой, равна уже . Вероятность, что третья монета - рублёвая, равна 1, т.е. . Итак, вероятность исхода 221 равна произведению найденных вероятностей: Р(221) = . Аналогично находим остальные вероятности:

Р(122) = ; Р(212) = ; Р(111) = .

Итак, вероятность того, что обе двухрублёвые монеты окажутся в одном кармане, равна: Р = . Ответ: 0,4.

№

Задачи

1

На столе 12 кусков пирога. В трех «счастливых» из них запечены призы. Какова вероятность взять «счастливый» кусок пирога?

3:12=0,25.

2

По статистике, на каждую тысячу лампочек приходится 3 бракованных. Какова вероятность купить исправную лампочку?

1000-3=997, 997:1000=0,997.

3

Чтобы подготовиться к контрольному срезу по теории вероятностей, Лене надо решить 20 заданий. Она поленилась и не решила 15 заданий из этого числа. Какова вероятность того, в контрольном срезе Лене встретится решённая задача?

20-15=5, 5:20=0,25.

4

На шахматный турнир съехались 25 участников: 12 девушек и 13 юношей, в том числе Иванов Алексей. Всех участников случайным образом распределили по парам. Найти вероятность того, что первую партию в шахматы на этом турнире Иванов Алексей будет играть с девушкой.

25-1=24, 12:24=0,5.

5

В автобусе размещаются незнакомые между собой 16 человек, рассаживаясь случайным образом по двое. Олег - один из этих пассажиров. Ему известно, что 6 человек из его спутников являются носителями ОРВИ. Какова вероятность того, что Олег окажется в паре с неинфицированным пассажиром?

16-1=15, 15-6=9, 9:15=0,6

6

Учитель планирует дать ученикам контрольный срез, в который включил 6 задач по теории вероятностей и 6 задач на движение, распределённые в варианты по 2 задания в каждом (№1 - задача на вероятность, №2 - задача на движение). Зачёт ученик получает в том случае, если сделает обе задачи варианта. Витя дома решил из этого числа 4 задачи по теории вероятностей и 3 задачи на движение. Найти вероятность того, что Вите не придётся повторно писать контрольный срез. Ответ округлите до сотых.

Р = Р(вд) = ≈ 0,33.

7

В ящике 9 одинаковых по размеру шаров (2 белых, 3 чёрных, 4 красных). Некто вынимает не глядя 2 шара. Найдите вероятность того, что шары будут одного цвета. Ответ округлите до сотых.

Р(бб)=, Р(чч)=, Р(кк)=, Р = ≈ 0,28.

8

На тарелке лежат одинаковые по виду 10 пирожков: 5 с вишней, 3 с яблоком и 2 с маком. Вера берёт наугад 2 пирожка. Какова вероятность того, что эти пирожки окажутся с разной начинкой? Ответ округлите до сотых.

Р(вя)=Р(яв) =, Р(мв)=Р(вм)=, Р(ям)=Р(мя)=,

Р = ≈ 0,69.

Вариант 1

1. В лотерее 100 билетов, из них 5 выигрышных. Какова вероятность выигрыша?

2. По статистике в городе Новинске за год из каждой тысячи автомобилистов два попадают в аварию. Какова вероятность того, что автомобилист в этом городе весь год проездит без аварий?

3. За лето на Черноморском побережье было 67 солнечных дней. Какова вероятность того, что вы летом приедете на Черноморское побережье в солнечный день? Ответ округлите до сотых.

4. В кармане у Пети лежат семь монет (две по 2 рубля и пять по рублю). Петя берёт наугад три монеты и перекладывает их в другой карман. Какова вероятность того, что обе двухрублёвые монеты окажутся в разных карманах? Ответ округлите до сотых.

Вариант 2

1. Наблюдения показывают, что в среднем среди 1000 новорожденных детей 485 девочек. Какова вероятность рождения девочки в такой серии наблюдений?

2. В лотерее 200 билетов, из них 40 выигрышных. Какова вероятность проигрыша?

3. В урне 20 белых и 30 синих шаров. Из урны наугад выбирается один шар. Какова вероятность того, что он будет белым?

4. В кармане у Пети лежат семь монет (две по 1 рублю и пять по 10 рублей). Петя берёт наугад три монеты и перекладывает их в другой карман. Какова вероятность того, что обе рублёвые монеты окажутся в разных карманах? Ответ округлите до сотых.

Вариант 3

1. Вычислить вероятность того, что при однократном бросании кости выпадет число очков, которое меньше 5. Ответ округлите до сотых.

2. В урне 12 шаров: 5 белых, 4 черных и 3 красных. Какова вероятность вынуть из урны не красный шар?

3. Каждая пятая банка кофе - с призом. Ира купила одну банку кофе. Какова вероятность того, что Ире достанется приз?

4. В кармане у Андрея 5 монеты по 10 рублей и 2 монеты по 2 рубля. Не глядя, он перекладывает в другой карман три монеты. Найти вероятность того, что обе двухрублёвые монеты окажутся в разных карманах. Ответ округлите до сотых.

Вариант 4

1. За лето на Черноморском побережье было 70 солнечных дней. Какова вероятность того, что вы летом приедете на Черноморское побережье в солнечный день? Ответ округлите до сотых.

2. В лотерее 200 билетов, из них 15 выигрышных. Какова вероятность выигрыша?

3. В урне 40 шаров, в том числе 10 белых, остальные красные. Из урны наугад выбирается один шар. Какова вероятность того, что он будет красным?

4. В кармане у Пети лежат семь монет (две по 2 рубля и пять по 5 рублей). Петя берёт наугад три монеты и перекладывает их в другой карман. Какова вероятность того, что обе двухрублёвые монеты окажутся в разных карманах? Ответ округлите до сотых.

Вариант 5

1. В гараже 15 такси, в том числе 6 - жёлтого цвета. Какова вероятность того, что первой из гаража выедет жёлтое такси?

2. Известно, что в Сочи в течение всего лета только 14 дождливых дней. Какова вероятность того, что 30 июня в Сочи будет дождь? Ответ округлите до сотых.

3. По статистике, на каждые 100 фонариков, поступивших в магазин, приходятся 4 неисправных. Какова вероятность купить исправный фонарик?

4. В кармане у Пети лежат семь монет (две по 1 рубля и пять по 2 рубля). Петя берёт наугад три монеты и перекладывает их в другой карман. Какова вероятность того, что обе рублёвые монеты окажутся в разных карманах? Ответ округлите до сотых.

Вариант 6

1. В гараже 28 такси, в том числе 7 - жёлтого цвета. Какова вероятность того, что первой из гаража выедет жёлтое такси?

2. По статистике, на каждые 50 фонариков, поступивших в магазин, приходятся 2 неисправных. Какова вероятность купить исправный фонарик?

3. Вере необходимо решить 70 задач на вероятность. Она решила 30. Найти вероятность того, в контрольной работе ей попадётся не решённая ею задача. Ответ округлите до сотых.

4. В кармане у Пети лежат семь монет (пять по 10 рублей и две по 2 рубля). Петя берёт наугад три монеты и перекладывает их в другой карман. Какова вероятность того, что обе двухрублёвые монеты окажутся в разных карманах? Ответ округлите до сотых.

Вариант 7

1. Вычислить вероятность того, что при однократном бросании кости выпадет число очков, которое меньше 5, но больше 2. Ответ округлите до сотых.

2. В урне 12 шаров: 3 белых, 4 черных и 5 красных. Какова вероятность вынуть из урны белый шар?

3. Меткий стрелок из каждых 10 выстрелов попадает в цель 9 раз. Чему равна вероятность промаха у этого стрелка?

4. В кармане у Андрея 4 монеты по 10 рублей и 2 монеты по 2 рубля. Не глядя, он перекладывает в другой карман три монеты. Найти вероятность того, что обе двухрублёвые монеты окажутся в разных карманах. Ответ округлите до сотых.

Вариант 8

1. Вычислить вероятность того, что при однократном бросании кости выпадет число очков, которое больше 1, но меньше 5.

2. В урне 12 шаров: 3 белых, 4 черных и 5 красных. Какова вероятность вынуть из урны красный шар? Ответ округлите до сотых.

3. Меткий стрелок из каждых 100 выстрелов попадает в цель 93 раз. Чему равна вероятность промаха у этого стрелка?

4. В кармане у Андрея 2 монеты по 10 рублей и 5 монет по 2 рубля. Не глядя, он перекладывает в другой карман три монеты. Найти вероятность того, что обе десятирублёвые монеты окажутся в разных карманах. Ответ округлите до сотых.

Вариант 9

1. Вычислить вероятность того, что при однократном бросании кости выпадет число очков, которое больше 4. Ответ округлите до сотых.

2. В урне 12 шаров: 2 белых, 6 черных и 4 красных. Какова вероятность вынуть из урны не черный шар?

3. Меткий стрелок из каждых 100 выстрелов попадает в цель 95 раз. Чему равна вероятность меткости у этого стрелка?

4. В кармане у Андрея 5 монет по 10 рублей и 2 монеты по 2 рубля. Не глядя, он перекладывает в другой карман три монеты. Найти вероятность того, что обе двухрублёвые монеты окажутся в разных карманах. Ответ округлите до сотых.

Вариант 10

1. Наблюдения показывают, что в среднем среди 1000 новорожденных детей 515 мальчиков. Какова вероятность рождения мальчика в такой серии наблюдений?

2. По статистике в городе Новинске за год из каждой тысячи автомобилистов три попадают в аварию. Какова вероятность того, что автомобилист в этом городе весь год проездит без аварий?

3. Двое играют в кости. Первый бросил кубик, и у него выпало 4 очка. Найти вероятность того, что у второго игрока выпадет больше очков. Ответ округлите до сотых.

4. В кармане у Пети лежат семь монет (две по 1 рубля и пять по 2 рубля). Петя берёт наугад три монеты и перекладывает их в другой карман. Какова вероятность того, что обе рублёвые монеты окажутся в разных карманах? Ответ округлите до сотых.

Ответы:

8