Софизмы на уроках математики

Софизмы

Это последовательность высказываний, содержащая скрытую ошибку, за счет чего удается сделать неправдоподобный вывод. Обычно в математических софизмах скрыто выполняются запрещенные действия или нарушаются условия применения правил или теорем. Задача заключается в том, чтобы найти ошибку в рассуждениях.

1. Докажем, что 5 = 4.

Пусть х = 1/3, тогда 3х = 1. представим 3х как 15х - 12х, и 1 - как 5 - 4, тогда вместо равенства 3х = 1 можно записать

15х - 12х = 5 - 4.

Решим это уравнение:

15х - 5 = 12х - 4, 5(3х - 1) = 4(3х - 1).

Разделим обе части равенства на (3х - 1) и получим 5 = 4. Где в рассуждениях допущена ошибка?

(Поделили на выражение 3х - 1 , которое при х = 1/3 равно нулю).

2. Рассмотрим очевидное равенство:

.

Отсюда, извлекая квадратный корень, имеем:

.

Прибавляя к обеим частям этого равенства по 5/2, получаем, что 2 = 3. Где ошибка?
(При извлечении корня квадратного из обеих частей надо воспользоваться равенством ).

3. Возьмем тождество 35 + 10 - 45 = 42 + 12 - 54. В каждой части этого тождества вынесем за скобки общий множитель:

5 (7 + 2 - 9) = 6 (7 + 2 - 9).

Теперь, разделив обе части полученного равенства на их общий множитель
(7 + 2 - 9), получим, что 5 = 6. Где ошибка?

(Поделили верное равенство на выражение (7 + 2 - 9), равное нулю. Деление на нуль не имеет смысла).

4. Напишем тождество 4 : 4 = 5 : 5.

Вынеся из каждой части тождества общие множители за скобки, получим:

4 (1 : 1) = 5 (1 : 1) или (2 2) (1 : 1) = 5 (1 : 1).

Так как 1 : 1 = 1, то 2 2 = 5. Где ошибка?

(Ошибка сделана при вынесении общих множителей 4 из левой части и 5 из правой части. 4 : 4 = 1 : 1, но 4 : 4 ≠ 4 (1 : 1)).

5. Напишем тождество 16 - 36 = 25 - 45. К обеим частям равенства прибавим 81/4:

;

;

. Где ошибка?

(Ошибка заключается в том, что из истинного равенства следует равенство , вместо истинного равенства
).

6. Прибавим к обеим частям очевидного неравенства 7 > 5 число - 8, имеем:
7 - 8 > 5 - 8, то есть - 1 > - 3. Умножим теперь это неравенство на (- 4) и получим:
(- 1) (-4) > (-3) (-4), то есть 4 > 12. Где ошибка?

(При умножении обеих частей неравенства на отрицательное число (- 4) надо было знак неравенства изменить на противоположный).

7. Существует софизм: все числа равны между собой.

Пусть a и b - два числа. Обозначим выражение (a + b) через s. Тогда:
a = s - b

a - s = -b

Перемножим эти равенства:

a (a - s) = -b (s - b)

a² - as = b² - bs

Прибавим к обеим частям равенства

a² - as + = b² - bs + ,

(a - )² = (b - )²

Откуда a - = b - , то есть a = b. Где ошибка?

(При извлечении корня квадратного из обеих частей надо воспользоваться равенством ).

8. Докажем, что любое число равно нулю.

Пусть a - любое фиксированное число. Рассмотрим уравнение:

3x² - 3ax + a² = 0

3x² - 3ax = - a²

Умножая обе части его на - a, получим:

-3x² a + 3a²x = a³

Прибавляя к обеим частям этого уравнения x³ - a³, получаем:

x³ - 3x² a + 3a²x - a³ = x³

(x - a)³ = x³

Откуда следует:

x - a = x; a = 0. Где ошибка?

(При a ≠ 0 не существует числа х, удовлетворяющего уравнению 3x² - 3ax + a² = 0. Это следует из того, что дискриминант этого уравнения D = - 3a² < 0 при a ≠ 0. Следовательно, нельзя прибавлять к обеим частям уравнения несуществующее число
x³ - a³.)

9. Рассмотри очевидное неравенство:

Логарифмируя по основанию 10 обе части этого неравенства, получим:

Сокращая обе части неравенства на , имеем 2 > 4. Где ошибка?

(Число - отрицательное, поэтому при сокращении на него знак неравенства надо было изменить на противоположный).

10. Докажем, что в равных треугольниках против равных сторон лежат неравные углы.

ОВозьмем произвольную прямую АВ и при точке А построим произвольный угол ВАС:

В

A

E

D

F

C

При точке В строим угол ABD, больший угла ВАС, и, откладывая отрезок BD, равный АС, соединим точки С и D. Разделим отрезки АВ и СD пополам точками Е и F, восстановим в этих точках перпендикуляры, пересекающиеся в точке О. Соединим затем точку О с точками А, В, С и D. Заметив, что АС = ВD (по построению), АО = ОВ, как наклонные, равноудаленные от основания перпендикуляра ОЕ, и аналогично ОС = ОD, находим, что три стороны треугольника АОС, соответственно равны трем сторонам треугольника ВО. Но так как ЕАО = ЕВО (из равенства треугольников АЕО и ВЕО), а DВЕ > САВ, то
DВЕ + ЕВО > САЕ + ЕАО.

Следовательно, DВО > САО, то есть против равных сторон ОС и ОD в равных треугольниках АОС и ВОD лежат неравные угла. Где ошибка?

(Точка О пересечения перпендикуляров построена неправильно. При правильном выполнении чертежа прямая ОD пересечет не отрезок АВ, а его продолжение за точку В, и DВО, безусловно, будет равен САО).