Г. Магнитогорск

Содержание

Введение

Глава 1

1. Групповая форма деятельности учащихся на уроке.

2. Дифференцируемая групповая работа.

3. Методика дифференцируемой работы на уроке.

   1. Дифференцированная домашняя работа

   2. Дифференцированная помощь при решении задач

   3. Дифференцированный контроль знаний

   4. Организация самостоятельной работы учащихся, имеющих ярко выраженный тип темперамента

   5. Метод проектов

Глава 2

1. Малое социологическое исследование

Глава 3 Приложения

1. Дидактические материалы

2. Материалы к методу проектов.

Литература

ВВЕДЕНИЕ

Под дифференциацией понимают такую систему обучения , при которой каждый ученик, овладевая некоторым минимумом общеобразовательной подготовки , являющейся общезначимой и обеспечивающей возможность адаптации в постоянно изменяющихся жизненных условиях, получает право гарантированную возможность уделять преимущественное внимание тем направлениям , которые в наибольшей степени отвечают его склонностям.

Ориентация на личность ученика требует, чтобы дифференциация обучения математике учитывала потребности всех школьников - не только сильных, но и тех, кому этот предмет дается с трудом.

Есть два вида дифференциации - уровневая и профильная. Уровневая выражается в том, что, обучаясь в одном классе, по одной программе и учебнику, школьники могут усваивать материал на различных уровнях. Определяющим при этом является уровень обязательной подготовки. Его достижение свидетельствует о выполнении учеником минимально необходимых требований к усвоению содержания. На его основе формируются более высокие уровни овладения материалом. Достижение обязательных результатов обучения становится при таком подходе тем объективным критерием, на основе которого может видоизменяться ближайшая цель в обучении каждого ученика и перестраиваться в соответствии с этим содержание его работы: или его усилие направляются на овладение материалом на более высоких уровнях, или продолжается работа по формированию важнейших опорных знаний и умений. Резко увеличиваются возможности работы с сильными учениками, т.к. учитель уже не связан необходимостью спросить все, что он давал на уроке, со всех школьников. И, наконец, отпадает необходимость постоянно разгружать программы и снижать общий уровень требований, оглядываясь на слабых школьников.

УСЛОВИЯ , ВЫПОЛНЕНИЕ КОТОРЫХ НЕОБХОДИМО ДЛЯ УСПЕШНОГО ОСУЩЕСТВЛЕНИЯ УРОВНЕВОЙ ДИФФЕРЕНЦИАЦИИ

1. Выделенные уровни усвоения материала и в первую очередь обязательные результаты обучения должны быть открытыми для учащихся. Успех дифференциального подхода в обучении существенно зависит от познавательной активности школьников. Если цели известны и посильны ученику, а их достижение поощряется , то для ребенка нет ничего естественнее , как стремиться к их выполнению.

2. Наличие определенных ножниц между уровнем требований и уровнем обучении Иными словами, уровневая дифференциация осуществляется не за счет того, что одним ученикам дают меньше, а другим больше, а в силу того, что предлагают ученикам одинаковый объем материала, мы устанавливаем различные уровня требований к ею усвоению.

3. В обучении должна быть обеспечена последовательность в продвижении ученика по уровням. Т.е. в ходе обучения не следует предъявлять высоких требований тем ученикам, которые не достигли уровня обязательной подготовки.

4. Содержание контроля и оценка должны отражать принятый уровневый подход. Контроль должен предусматривать проверку достижения всеми учащимися обязательных результатов обучения как гос. требований, а также дополнятся проверкой усвоения материала на более высоких уровнях

5. Добровольность в выборе уровня и отчетности. В соответствии с этим каждый ученик имеет право добровольно и сознательно решать для себя, на каком уровне ему усваивать материал. Именно такой подход позволяет формировать у школьников познавательную потребность, навыки самооценки, планирования и регулирования своей деятельности. Уровневую дифференциацию можно организовать в разнообразных формах, которые существенно зависит от индивидуальных подходов, от особенностей класс и др. Одной из основных форм является формирование мобильных групп.

ГЛАВА 1

1.1 ГРУППОВАЯ ФОРМА ДЕЯТЕЛЬНОСТИ УЧАЩИХСЯ УРОКЕ:

Групповая форма деятельности - такой способ организации работы учеников, если

• перед всеми типологическими группами или перед отдельными группами одновременно поставлена некоторая учебная цель как общая цель для учащихся группы

• содержание заданий либо одинаково для всех групп, либо дифференцировано с учетом их особенностей.

• в основе формы деятельности лежит коллективная работа учащихся

группы, реализующая отношение: «деятельность учителя -

деятельность группы - деятельность ученика»

• помимо одинаковой помощи всем учащимся класса оказывается помощь

(специальная) отдельным группам в виде дополнительных указаний с

учетом особенностей учеников данной группы.

• руководство по выполнению заданий осуществляется членом группы.

• подводятся итоги деятельности каждой группы и отдельного ученика в

каждой группе.

ШЕСТЬ СУЩЕСТВЕННЫХ ПРИЗНАКОВ ГРУППОВОЙ ДЕЯТЕЛЬНОСТИ:

1. (цели деятельности учителя и учащихся) Цель ставится перед учащимися определенной группы как общая для данной группы.

2. (вид заданий) Задания могут быть как одинаковые для всех групп, так и дифференцированными для каждой группы. В первом случае групповая деятельность называется единой и осуществляется на основе звеньев, во втором - дифференцированной и осуществляется на основе типологических групп.

При этом задания должны удовлетворять следующим условиям:

• основу таких заданий должны составлять как обучающие, так и поисковые и проблемные задачи (типология Ю. М Колягина)

• для выполнения таких заданий необходимо использовать на уроке все типы самостоятельных работ (типология П. И. Пидкосистого)

• задания должны предусматривать полное или в некоторых случаях частичное его выполнение каждым учеником группы.

• задание считать выполненным, если каждый учащийся группы понял, как оно выполняется, и смог бы выполнить его или аналогичное самостоятельно

(вид учебной деятельности): Групповая форма деятельности реализует

отношение «учитель - группа - ученик».

4. (меры помощи со стороны учителя): Отдельным группам дополнительная помощь, например, план выполнения задания; указание на способ решения; ответ к задаче и др.

5. (руководство процессом выполнения задания): Степень самостоятельности учащихся возрастает по сравнению с фронтальной и коллективной формами. Учитель следит за работой групп, помогает звеньям или консультантом осуществлять руководство в группе.

6. (результат деятельности учащихся): Группа отчитывается на уроке не только перед учителем, но и перед всем классом. Формы отчета разнообразные.

Каково место групповой работы в дидактическом процессе в целом? Она тесно и неразрывно связана с фронтальной и индивидуальной работой. Учитель руководит всем ходом групповой работы. На основе наблюдения за деятельностью групп он оперативно планирует ход и содержание последующей фронтальной работы. Фронтальная работа, следующая за групповой, приобретает иной характер Если при обычной фронтальной работе непосредственного контакта между учащимися мало, то теперь такая возможность значительно увеличивается. Что же касается индивидуальной работы каждого ученика, то без этого современная групповая работа немыслима. Групповая работа не может быть эффективной в тех классах, где учащиеся не располагают достаточными умениями индивидуальной работы. Индивидуальная работа теперь не просто усвоение учебного материала исходя из личного интереса или, скажем, из страха перед проверкой, а усвоение с учетом дальнейшей совместной работы.

Как происходит при групповой работе проверка знаний, умений и навыков учащихся?

В целях управления умственной деятельностью учеников учитель должен знать, какие ошибки допустили члены тех или иных групп, какую часть задания они смогли выполнить за отведенное им время. До перехода к фронтальной работе учитель должен представлять себе, как отдельные группы справились с полученным заданием. Эти сведения учитель получает частично в процессе наблюдения за работой групп; более точное представление он получает во время последующей фронтальной работы.

Учитель задает вопрос: «Какие ошибки были допущены в вашей группе?» Представитель группы отвечает, чем была обусловлена ошибка. Ученик объясняет у доски всему классу, какая ошибка была сделана в их группе, и как нужно было решить правильно. Кто сделал эту ошибку, классу не сообщается. Учитель может задать и такой вопрос: «В каких еще группах встретилась эта ошибка?» Затем все переходят к совместному анализу следующей ошибки или трудности. Рассмотренные приемы позволяют учителю направлять дальнейший ход усвоения материала. Ученики сами также получают необходимую обратную связь, позволяющую продолжить работу. Конечно, на основе этих данных учитель не может оценить успехи отдельных учеников. В этом и нет особой необходимости в ходе упражнения и усвоения нового материала. Текущая и заключительная проверка знаний в конце больших разделов учебного материала происходит строго индивидуально.

Таким образом, при совместной групповой работе учебная деятельность каждого ученика не только не превращается в анонимную, обезличенную но, напротив, ответственность каждого отдельного ученика возрастает. Он ответствен перед членами своей группы и отчитывается индивидуально перед учителем.

Групповая работа может применяться для решения почти всех основных дидактических проблем.

• Нередко она используется для упражнения. Дидактический смысл ее заключается при этом главным образом в обеспечении немедленной обратной связи. При индивидуальной работе ученики, как правило, узнают о допущенных ошибках лишь через некоторое время - при фронтальном опросе или после проверки тетрадей.

• При тематическом и заключительном повторении учебного материала активность учащихся нередко снижается, поскольку уже известное не возбуждает особого интереса. Групповая же работа позволяет добиться высокой активности всех учеников и при повторении, поскольку наряду с выполнением перечисленных требований открывается возможность использовать при повторении имеющиеся у каждого знания, приобретенные из разных источников. Более глубокое изучение какой-то части общего задания группы и совместно с группой части обще классного задания мобилизует знания каждого и ставит эти знания на определенное место в системе темы и всего курса. Таким образом, повторение приобретает большую личную значимость для каждого ученика.

• При изучении нового материала групповая работа создает предпосылки для анализа личного опыта каждого ученика и таким образом позволяет избежать неточных и неполных обобщений, а также создать более широкую наглядно-чувственную опору для формирования понятий.

• При изучении нового материала особенно часто используется дифференцируемая групповая работа, при которой разные группы и отдельные ученики одной группы выполняют разные задания.

Использование групповой работы для изучения нового материала требует от учащихся хороших навыков самостоятельной работы и достаточного знания друг друга. Целесообразное распределение заданий между членами группы невозможно, если ученики не знают, кто, в чем силен и у кого какой темп работы.

1.2 ДИФФЕРЕНЦИРОВАННАЯ ГРУППОВАЯ РАБОТА.

СУЩНОСТЬ ПОДХОДА - учащиеся разбиваются на группы в зависимости от своей подготовки. С одной группой есть возможность быстрее и глубже изучать программу, готовиться к поступлению в вуз. С другой группой, как правило, работают в соответствии с требованиями существующей госпрограммы.

ЦЕЛЬ - дать возможность каждому ученику заниматься в соответствия со своими силами и интересами, не мешал другому.

Рассмотрим процессуальную сторону, отдельные дидактические и организационные приемы, т. е. попытаемся ответить на вопрос «Как организовать процесс обучения при данном содержании?»

Первая проблема, с которой приходится сталкиваться, переходя на разно уровневое обучение - отбор учащихся в группы. Учителю следует очень основательно продумать критерии отбора в ту или иную группу, чтобы не получилось, что только учитель решал в какой группе быть ученику. Часто ученик, идя в ту или другую группу, ориентируется на свои личные взаимоотношения с членами группы. Нужно тщательно сформулировать требования, программу, системой работы в группе. Более того, группы не должны быть стационарными. Если ученик хорошо понял тему, чувствует себя уверенно, он может перейти из слабой группы в сильную и наоборот.

ДИАГНОСТИЧЕСКИЕ ОСОБЕННОСТИ МЕТОДА.

В основу метода закладывается изучение способностей личности . В структуре математических способностей в педагогической литературе выделяются более 10 групп компонентов.[ 1] Но я в своей работе анализировала две основные - . быстроту усвоения и активность мышления .

I группа - быстрота усвоения. Характеризуется следующими категориями:

(1) Дословное повторение текста.

(2) Частичное повторение.

(3) Воспроизведение 50% текста.

(4) Самостоятельное воспроизведение ранее изученного текста.

(5) Воспроизведение материала с помощью учителя.

(6) Воспроизведение с ошибками, но основная нить вопроса

удерживается.

(7) Замедленное, невнятное воспроизведение текста.

(8) Умственная отсталость (затухание развития).

2 группа - активность мышления. Характеризуется пятью

категориями:

(1) плодотворная работа на протяжении всего урока.

(2) Работа со «вспышками».

(3) Неполная работоспособность.

(4) Быстрая утомляемость.

(5) Игнорирование заданий.

Материал для анализа указанных компонентов давали, прежде всего, наблюдения, по результатам которых заполнялась диагностическая таблица. В ней фиксировались различные комбинация из 13 категорий, которые позволяли выделять три уровня математических способностей:

Уровень А - учащиеся, имеющие хорошие математические способности

(1 группа, категории (1) - (4); 2грулпа, категории(1) - (2));

Уровень В - учащиеся, имеющие средние математические способности (1 группа, категории (1) - (2); 2 группа, категории (2) - (3));

Уровень С - учащиеся, имеющие низкие математические способности

(1 группа, категории (7) - (8); 2 группа, категории (4) - (5)).

Для получения большей информации о каждом учащимся предлагаю заполнить разного рода анкеты. Одна из них приводится ниже.

АНКЕТА

1. Класс

2. Фамилия, имя.

3. Где и кем работают родители?

4. Отношение родителей к математике?

5. Есть ли в домашней библиотеке математические книги, но не учебники по математике для средней школы?

6. Кто больше помогает готовить уроки по математике?

7. Сколько времени занимает подготовка к математике?

8. Почему ты учишь математику? (Желательно ответить откровенно и полно.)

9. Хочешь ли ты знать больше, чем дают на уроке?

10. Как дается тебе математика? (Легко, много надо заучивать, трудно).

11. Твое отношение к математике?

12. Какими знаниями по математике ты владел до прихода в школу?

13. Какого вида задания по математике тебе нравятся больше? (Задачи, примеры, задачи и примеры)

14. Мечтаешь ли ты связать свою жизнь с математикой? (Буду математиком; хочу поступить в вуз, где нужно будет сдавать математику; хочу знать как можно больше о разном, не только о математике.)

Итак, в классе сформировали три группы. Впоследствии можно перейти из одной группы в другую в соответствии с результатом обучения и желанием учащихся.

ФИ ученика

1 группа

Быстрота усвоения

2 группа

Активность мышления

Уровень, (группа)

Александрова Мария

(2)

(3)

В

Алтышев Юрий

(6)

(5)

С

Басова Юлия

(3)

(4)

В

Белозерцева Ольга

(4)

(2)

В

Букусов Александр

(1)

(1)

А

Гафаров Ринат

(7)

(7)

С

Жуков Денис

(5)

(7)

С

Загреба Екатерина

(5)

(2)

В

Иванова Ольга

(2)

(3)

В

Исаев Андрей

(6)

(4)

С

Коромыслов Артем

(1)

(1)

А

Куликов Олег

(5)

(5)

В-С

Лебедев Иван

(7)

(5)

С

Леонов Денис

(6)

(3)

В-С

Логачева Полина

(1)

(2)

А

Мессина Алена

(1)

(2)

А

Мирошкин Семен

(5)

(5)

В-С

Морозов Кирилл

(2)

(3)

В

Мурлаева Вита

(1)

(2)

А

Нижегородова Юлия

(1)

(2)

А

Павлова Елена

(7)

(5)

С

Росып Сергей

(7)

(4)

С

Селиверстова Екатерина

(6)

(6)

С

Сергеева Оксана

(5)

(4)

В

Ступицкий Евгений

(6)

(7)

С

Табаков Виктор

(4)

(3)

В

Шайхисламова Альбина

(3)

(5)

В

Ширяева Людмила

(3)

(3)

В

Щепкина Ольга

(1)

(1)

А

Некоторые считают, что образование групп, однородных по успеваемости, неоправданным и даже вредным с воспитательной и дидактической точек зрения. Это обосновывается рядом аргументов: однородные группы так и не повысят уровня слабых учеников; выиграют только сильные ученики, и разнородность класса увеличивается.

Однако работа показала, что, напротив, особенно заметно под влиянием групповой работы повышается успешность учения именно слабо успевающих учащихся. При этом должно соблюдаться одно обязательное условие - степень сложности заданий должна учитывать подготовку учащихся.

Предполагается также, что группировка с учетом успеваемости может удручающе действовать на более слабых учеников. Подобного эффекта я не наблюдала. Отрицательные последствия могут наступить лишь тогда, когда состав групп стабилен. Более того, на уроках я практикую работу и с одно уровневыми, и с разно уровневыми группами.

Следующая практическая проблема, возникающая перед учителем - внутригрупповой распорядок работы. Вполне понятно, что от слаженных действий членов группы зависит многое. Ясно и то, что ученики сразу не догадываются об оптимальных способов организации совместной работы. Обязательно ли наличие в группе старосты, который организует ее деятельность? Это зависит от двух обстоятельств: от конкретной дидактической задачи и от наличия у учащихся опыта групповой работы. При усвоении нового материала в порядке дифференцированной групповой работы, что требует детального и хорошо продуманного распределения обязанностей, группе целесообразно выбрать старосту. Ему поручается следующее:

1) распределять обязанности между членами группы; 2) руководить обсуждением и принятием решений (что включить в отчет группы, кто выступит с отчетом, кто будет иллюстрировать отчет рисунками на доске и т.д.), а также оформлять отчет.

Относительно внутригруппового распорядка учитель дает указания в основном двоякого рода: во-первых, какова последовательность предполагаемых действий, и, во-вторых, как целесообразнее держать между собой связь, чтобы возникло хорошее сотрудничество и чтобы не мешать другим группам.

По первому вопросу даются следующие общие указания, относящиеся к выполнению большинства дидактических задач:

1) прежде чем приступить к выполнению задания, с ним должны ознакомиться все члены группы; затем те, у кого возникли трудности или вопросы, могут обратиться к товарищам за помощью и разъяснениями; лишь после этого все приступают к индивидуальной работе;

2) после решения каждой задачи рекомендуется сообща рассмотреть результаты, а при усвоении нового материала в порядке дифференцированной групповой работы результаты обсуждаются после выполнения всего задания.

Организация внутригруппового общения зависит от величины группы. В связи с этим рассмотрим вопрос об оптимальной величине группы. Установлено, что оптимальная величина группы - 5-7 человек. В больших группах невозможно всем активно участвовать в обсуждении. По данным одного исследования, в 20-минутной дискуссии в восьмичленной группе говоривший больше всех, смог что-то сказать 20-30 раз, говоривший меньше всех, получил слово только 2-3 раза. В четырехчленной группе говоривший больше всех, брал слово 25-30 раз, а говоривший меньше всех - 15-20 раз. Некоторые мало выступавшие в восьмичленной группе оказались в четырехчленной группе среди более активных учеников. Таким образом, маленькая группа предоставляет наиболее благоприятные условия для активности каждого члена. С точки же зрения получения новой информации и выдвижение идей маленькая группа оказывается менее эффективной. Так, на основе объединения двух показателей, оптимальной следует считать

пяти - семичленную группу.

Чем занимается учитель во время групповой работы?

Учитель может заметить, что в какой-то группе возникло затруднение, и прийти на помощь. Учащиеся могут подать знак и вызвать учителя для консультации. Таким образом, учитель периодически включается в работу отдельных групп. Чаще это требуется более слабым ученикам.

Попеременное включение учителя в деятельность групп можно считать ценным как в дидактическом , так и в воспитательном отношении. В группе учитель лучше может ориентироваться в ходе мыслей и затруднениях каждого ученика, может личностно подойти к каждому.

Надо сказать, что учащиеся, привыкшие к относительной дистанции в отношениях с учителем при фронтальной работе, сначала чувствуют себя от его присутствия в группе весьма скованно. Потребуется некоторое время, пока они привыкнут к включению учителя в деятельность группы.

Какую долю урока должна занимать групповая работа?

Однозначно ответить на этот вопрос нельзя. Во многих случаях групповая работа составляет третью часть от времени урока.

Частота применения групповой работы зависит от многих условий. В первую очередь следует иметь в виду характер учебного материала.

Какой по характеру материал подходит для групповой работы?

К материалу и заданиям для групповой работы можно предъявить

следующие общие требования:

- Задания должны подходить для групповой работы, т.е. способствовать возникновению различных мнений и являться основой для обсуждения. Другими словами, задания должны быть проблемными, создавать определенное познавательное затруднение, предоставлять возможность для активного использования имеющихся знаний.

- Задание должно иметь относительно высокую степень трудности. Так, простые математические задачи на вычисление оказались непригодными для групповой работы.

- Материал по своей структуре должен быть таким, чтобы его можно было разделить на относительно самостоятельные единицы, над которыми смогут работать разные группы или отдельные ученики в рамках одной группы. Важно, чтобы каждая группа восприняла взаимосвязь своего задания с заданиями других групп и всего класса.

1.3 МЕТОДИКА ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЙ РАБОТЫ HA УРОКИ.

Рассмотрим поэтапное дифференцирование.

Первый этап - дифференцированная домашняя работа (особенно практическая часть). Трем группам определяются три разные задания. Группе С на дом предлагаются задания, точно соответствующие обязательным результатом обучения. Группа В выполняет такие же задания и плюс более сложные задачи и упражнения из учебника. Для группы А задания из учебника дополняются задачами из различных пособий, в особенности из пособий для поступающих в вузы.

Второй этап - учет знаний учащихся на уроке. На этом этапе работу облегчает планшет учета знаний. Он представляет собой таблицу: список класса, а далее следующие графы: уровень учащегося; повторение (П); домашнее задание (Д); положительные ответы; ошибки, недочеты; общий итог, оценка.

Перед уроком каждый ученик, подойдя к планшету, заполняет в строке возле своей фамилии клетки в графах «П» и «Д». Остальные клетки таблицы заполняет учитель во время урока. Причем лучше пользоваться специальной символикой, чтобы учащиеся не отвлекались на занятии обсуждением оценок. Подчеркну, что на таких уроках учитель не занимается непосредственной проверкой того, как ученики повторили теоретический материал или выполнили домашнее задание. Он также не привлекает консультантов- контролеров из числа учащихся. Его выводы основаны на полном доверии тому , что написано в графах «П» и «Д» , и на том , как отвечали на вопросы во время урока. При подведении итога урока учитель выставляет оценки за работу в классе. Среди обычных оценок выделяется одна нетрадиционная. Это оценка-реабилитация, ее значение располагается между значениями оценок «2» и «3». Выставляя ее, учитель как бы говорит:

«Первый раз ты действовал неудачно, но второй раз наметилось изменение к лучшему».

Третий этап - организация базового повторения. Что включается в такое повторение? Заполнение выявленных пробелов в теоретическом материале, разъяснение недочетов и ошибок в самостоятельных и контрольных работах. Материал , который учитель планирует повторить , он записывает в виде таблицы на доске или на транспаранте для кодоскопа. При разборе каждого упражнения из таблицы учитель предлагает такие , например, задания:

«Выберите из данных ответов верный» , «Исправьте ошибку в данном равенстве»(для уровня С).

«Назовите правило , по которому выполнялось действие» (для уровня В)

«Поясните причину ошибки», «Дайте определения основным понятиям, использующимся в данной задаче» (для уровня А). Учащимся уровня А можно предложить самим придумать задания и вопросы по таблице.

Четвертый этап - проверка усвоения пройденного материала. Она может проводиться в четырех режимах.

Режим «самоконтроль» предлагается учащимся из группы А;

учащиеся из групп В и С поочередно работают у доски; в течение урока к работе у доски привлекаются все учащиеся класса; к доске никого не вызывают, но учащиеся рассаживаются по группам :первые две парты в каждом ряду - группа С, затем - В и последние - группа А; члены групп опрашивают друг друга по заранее составленным вопросам.

Пятый этап - изучение нового материала. Каждая тема требует особого подхода к ее объяснению. Но в организационном плане выделю 4 урока , так называемую «кварту» , в течение которой должна быть усвоена тема. Каждый урок «кварты» имеет свой девиз: «Изучаем», «Усваиваем», «Закрепляем», «Углубляем». Первый урок «кварты» обращен одинаково ко всем учащимся. На следующих уроках проявляется дифференциация. Задания для группы А быстро переходят от обязательных к творческим («Думай и дерзай!»). Группа В сосредотачивается на упражнениях, которые требуют старания, хорошего понимания основных положений («Старайся!»). Задания для группы С снова и снова возвращают учащихся к основным моментам объясненной темы («Повторяй и запоминай!»).

Шестой этап - самостоятельные и контрольные работы. Самостоятельные работы обычно разделяю на три вида: решение по образцу ( для группы с); выделение нужного ответа из нескольких (для группы В ); работа с дополнительным материалом (для группы А). Во время самостоятельных работ практикуется следующий прием. Учащийся, выполнивший задания уровня с, молча поднимает левую руку и продолжает работать над заданием следующего уровня. Учитель подходит к ученику, поднявшему руку, просматривает его тетрадь и отмечает на планшете, верно ли выполнено задание. Этот прием позволяет в течении урока проверить и оценить большинство работ.

Контрольные работы разделяю по содержанию на базовые (когда проверяется обязательный материал) и так называемые объемные, в которые входят задания по всему материалу наученного курса. На одной и той же контрольной работе учащимся из группы А предлагаются задания, хоть и соответствующие программе, но повышенной сложности. Группа В обычно получает варианты N~ 5 и N~ б из «Дидактических материалов» для данного класса, а группа с - варианты ~ 1 и М~ 2 из того же источника.

Рассмотрим более подробно некоторые этапы.

1.3.1 ГРУППОВАЯ ФОРМА ПОДГОТОВКИ УЧАЩИХСЯ К УРОКУ

Для групповой подготовки к уроку подходит далеко не каждый урок, а чаще всего такой , к которому необходимо готовиться длительно всему классу. Таким уроком может быть семинар . Именно на этапе подготовки к семинару реализуются сильные стороны каждой бригады.

За две недели до намеченного семинара обычно собирается совет бригадиров , где согласовывается состав бригад с учетом взаимоотношений учащихся , их индивидуальных особенностей. Но в любом случае надо стараться , чтобы в каждую группу вошли как сильные , так и средние , и слабые учащиеся.

На совете бригад распределяются вопросы для изучения. В течении двух следующих недель бригады опрашивают учащихся своих групп. Они же ведут учет качества подготовки по теоретической части темы (знание определений , умение доказывать теоремы , привлекать дополнительный материал по рассматриваемому вопросу) . Собираясь вместе , бригада проверяет решекие домашних задач и оценивает работу каждого ученика. При этом учащиеся придерживаются такой системы : за три самостоятельно решенные задачи ставится оценка «3» ,за четыре -«4» , за пять задач - оценка «5» . Обсуждаются различные способы решения. За каждый новый способ ученик получает дополнительный балл. Так появляются пока предварительные оценки за теоретические знания и умение решать задачи. Уточняются обе эти оценки после выступления группы на семинаре. К семинару каждая группа должна подобрать и решить минимум две задачи, которые она будет предлагать.

Длительная и кропотливая работа групп должна все время находиться в поле зрения учителя . Не вмешиваясь в нее явным образом , преподаватель

все время должен поощрять учащихся к совместной работе , развивать у них требовательность , учить видеть сильные и слабые стороны ответа .Если же пустить дело на самотек , то оно скорей всего просто развалится. Надо как-то цементировать группы , опираясь то ли на соревнования между группами или внутри них, то ли на педагогические наклонности некоторых учеников, то ли на честолюбие определенной части учеников , на их желание блеснуть оригинальным выступлением или неожиданным решением. Подготовка к уроку может контролироваться и тем , какие наглядные пособия учащиеся подбирают к своим выступлениям. Они должны заранее подготовить необходимые чертежи на больших листах бумаги ,на кодопозитивах ,на индивидуальных досках , найти нужные таблицы в кабинете математики или изготовить свои.

На семинаре бригадиры полностью руководят ответами своих групп. Каждый член группы излагает свою часть материала. Товарищи по группе могут исправлять или дополнять отвечающего без снижения оценки за коллективный ответ, но если они допустят ошибку и она будет отмечена учителем или другой группой , то общая оценка снижается. Ребята выступают не только по теоретической части , но и рассказывают решения некоторых домашних задач , а также предлагают группам свои задачи. Если в группе , допустим, 5 человек , то она должна получить 5 задач для решения непосредственно на семинаре. Процесс решения контролируют члены других групп. Все свои наблюдения ребята отмечают в бригадных карточках, лежащих на столах . Качество работы характеризуется рядом условных обозначений: К- имела место консультация с другими членами группы, после которой ученик решил (К+) или все-таки не решил (К- ) задачу; О - допущена ошибка в решении , + задача решена, задача решена частично. По отметкам в карточках бригада обсуждает и выставляет окончательные оценки и за теоретическую часть с учетом предварительных оценок, полученных в группах , и качества выступления на семинаре. Обе окончательные оценки фиксируются в журнале

1.3.2. ДИФФЕРЕНЦИРОВАННАЯ ПОМОЩЬ ПРИ РЕШЕНИИ ЗАДАЧ.

Остановимся на одной из форм: дифференцированной помощи учителя непосредственно в ходе поиска решения стереометрических задач. Учащимися всех групп может быть решена одна и та же сложная задача , но мера помощи учителя каждой из групп будет разной.

Эта мера определяется спецификой каждого из пяти этапов решения задач: 1) подготовки к решению ; 2) поиска плана решения ; 3) составления плана решения ; 4) осуществления решения; 5) обсуждение найденного решения.

Учащимся группы А возможно оказание помощи лишь на втором и пятом этапах . Для учащихся группы В может быть организованна помощь на первом , втором и пятом этапах. Учащиеся группы С нуждаются в помощи на всех этапах решения задачи , лишь постепенно помощь и контроль учителя ослабляются последовательно на четвертом , затем на третьем этапе решения (учащиеся переходят во вторую группу).

На некоторых этапах должна быть организована помощь учащимся разных групп , например на первом этапе - учащимся третьей и второй групп. С учащимися третьей группы можно вспомнить необходимый теоретический материал, прорешать подзадачи, к которым сводится исходная задача, как самостоятельные (часть из них может быть решена устно) , решить аналогичную, более простую задачу с целью выявления метода решения.

Учащиеся второй группы могут предварительно решить ключевую подзадачу в процессе подготовки к решению основной задачи. Затем учитель поможет им свести исходную задачу к уже решенной продуманной системой вопросов.

Покажем , как может быть дифференцирована помощь учащимся разных уровней при решении достаточно сложной задачи в 10 -м классе.

З а д а ч а. Доказать , что данный (произвольный) тетраэдр можно пересечь плоскостью так, что в сечении получится ромб.

Учащихся третьей группы нужно подготовить к решению этой задачи . С этой целью можно предварительно решить следующие задачи.

З а д а ч а 1 . Построить сечение тетраэдра АВСЕ плоскостью, проходящей через внутреннюю точку К ребра ВЕ и параллельно прямым ВС и ЛЕ .

З а д а ч а 2 . Доказать , что можно построить сечение тетраэдра плоскостью так, что в сечении получится параллелограмм.

Если учащиеся не могут решить самостоятельно задачу 2 , учитель может помочь постановкой вопроса: какая фигура получится в сечении при решении задачи 1?

З а д а ч а 3 . Преобразовать ромб ,построенный на одной из сторон параллелограмма, являющегося сечением тетраэдра, в такой ромб , каждая вершина которого являлась бы внутренней точкой одного из ребер тетраэдра. (Это одна из подзадач , к которым сводится исходная задача.)

При решении задачи З можно дать учащимся указание воспользоваться гомотетией с центром в вершине А и коэффициентом к =АК: АК где

К- вершина параллелограмма, К - точка пересечения луча АК с ребром ВЕ. Учащимся второй группы можно предложить предварительно решить задачу 2 , затем предложить основную задачу и помочь свести ее к элементарным подзадачам.

После подготовки учащихся второй и третьей групп к решению основной задачи они работают вместе под руководством учителя.

Выясняется , что задача 2 является частью решения исходной задачи: плоскость сечения должна проходить через внутреннюю точку ребра ВЕ и быть параллельной прямым АЕ и ВС.

В условиях проблемной ситуации формируется новая подзадача , к которой теперь сводится исходная задача: доказать существование такой точки К на ребре ВЕ тетраэдра АВСЕ , чтобы сечение тетраэдра плоскостью, проходящей через эту точку и параллельной прямым ЛЕ и ВС , было ромбом.

Поставленная подзадача в свою очередь сводится к подзадаче 3 , которая уже решена учениками третьей группы . Учащиеся обеих групп должны выделить ее из исходной задачи.

Учащиеся первой группы , воспользовавшись общим приемом проведения нисходящего анализа, могут начать решение исходной задачи с рассуждений:

пусть сечение , удовлетворяющее условию задачи, существует , т. е. четырехугольник MNPK - ромб. Уже при попытках выполнения чертежа у учащихся может возникнуть предположение , что смежные стороны ромба параллельны двум противоположным ребрам тетраэдра . Если чертеж не привел к выдвижению гипотезы , учитель может продвинуть поиск решения постановкой вопроса: «Как расположена плоскость сечения относительно ребер тетраэдра ?»

В ходе отыскания ответа на этот вопрос учащиеся доказывают , что если сечение тетраэдра некоторой плоскостью есть ромб, то эта плоскость параллельна двум противоположным ребрам тетраэдра.

Учитель ставит следующий вопрос (он может быть сформулирован и самими учениками): «Если пересечь тетраэдр плоскостью, параллельной двум его противоположным ребрам , то всегда ли сечение будет представлять собой ромб».

Далее учитель может подсказать , что при решении поставленной задачи можно использовать метод подобия : сначала показать существования ромба, подобного искомому, затем показать , как преобразовать его в искомый ромб. Полезно рассмотреть с учащимися и второй ( аналитический ) способ решения последней задачи . Для доказательства существования точки К на ребре ВЕ тетраэдра АВСЕ достаточно получить формулу для выражения расстояния от вершины Е до точки К через длины ребер данного тетраэдра.

Введем обозначения:

ВС = а • АЕ = в, ВЕ = с, РК = х - и составим систему уравнений из рассмотрения пар подобных треугольников МВК и ABE , КЕР и ВЕС : х / в = BK / ВЕ , х / а = ЕК /BE . Из последнего равенства найдем

BK/ВЕ , х/а = BK/ВЕ . Из последнего равенства найдем х/а= 1-х/b, отсюда х=аb(а+b). Тогда DQ=b/(a+b) c.

1.3.3 ДИФФЕРЕНЦИРОВАННЫЙ КОНТРОЛЬ ЗНАНИЙ:

Типичная контрольная работа состоит из вариантов, которые примерно равны по трудности. В свою очередь, в каждый вариант входят задания, проверяющие, овладел ли ученик каким-либо точно определенным умением. Но выполнение или не выполнение какого-либо задания показывает не реально достигнутый учеником уровень овладения проверяемым умением, а лишь достижение или не достижение заранее заданного, одинакового для всех уровня.

Таким образом, оценка ученика, вернее, выраженная в ней информация об его успехах, не адекватна их истинному состоянию, а всего лишь отражает вероятность, что из некоторого набора умений и навыков, проверяемого контрольной работой, ученик овладел не менее чем некоторым определенном количеством. Зная только оценку за контрольную работу по данной теме, невозможно определить характер действительных знаний и умений ученика, если эта оценка не «5».

Если же варианты контрольной различны по трудности, то они вызывают следующие возражения, Во-первых, распределение вариантов среди учащихся дифференцирует их по уровням еще до проверки работ, а тогда непонятно, зачем вообще нужна эта контрольная. Во-вторых, учащиеся,, решившие с одинаковой оценкой разные варианты, выполнили совсем разную по трудности работу. Распространено мнение, что в силу своих способностей они проявили одинаковое усердие и труд одного ученика, затраченный на более легкие задачи, равен усилием другого, занимающегося более трудными задачами. Я все-таки считаю, что контрольная работа должна быть не мерой приложения, а мерой конечного результата учения - достигнутого учеником уровня знаний, умений и навыков. Именно конечный результат должен быть мерилом оценки труда. Нужно, чтобы по оценке можно было сразу представить конкретные возможности ученика по данной теме.

Мои предложения относительно содержания и структуры контрольных работ по математике сводятся к следующим:

1. Все варианты должны быть .равносильны, хотя в разных вариантах допустимы задания с несхожими формулировками.

2. Любой вариант распределяется по уровням, каждый из которых охватывает все проверяемые умения и навыки. Таких уровней три:

минимальный, средний и продвинутый.

Охарактеризуем эти уровни более подробно:

Минимум - это те задания, которые соответствуют обязательным результатам обучения по данной теме, Умение решать эти и аналогичные им задачи совершенно необходимо каждому ученику; ошибки любого вида недопустимы. Безошибочное решение этой части работы является необходимым и достаточным условием выставления положительной оценки. Решение только этой части работы соответствует оценке «3».

Уровень I (средний) - упражнения из основного задачного материала учебника. Они рассматриваются предварительно на уроках, но не настолько просты или важны, чтобы уметь решать их стало обязательным для всех учащихся. Выполнение этой части работы без существенных ошибок обеспечивает оценку «4».

Уровень 2 (продвинутый) - достаточно трудные задачи, В 10-11 классах продвинутый уровень определяется повышенными требованиями к математической подготовке поступающих в ведущие технические ВУЗЬL Для решения этих задач нужно уметь применять знания в новой обстановке, при непривычных сочетаниях данных, иметь хорошие технические навыки. Задачи такого уровня специально в классе не отрабатываются ввиду нехватки времени.

Выполнение работы осуществляется в строгой последовательности:

минимум - уровень 1 - уровень 2. Проверяется она в той же последовательности. При наличии любой ошибки в части «минимум», за работу выставляется «2». В заданиях уровня I или 2 любые ошибки, отражающиеся на результате, а также свидетельствующие о непонимании материала, хотя и не искажающие результата, считаются существенными.

Таким образом, за вычислительные ошибки снижаются оценки на всех ступенях обучения и для всех уровней.

Приведу в качестве примера вариант контрольной работы в 10 классе

( смотри Приложение 1)

Еще один вид контрольной или самостоятельной работы , которые я применяю в своей практике - это работы, где каждому заданию присваиваются баллы, в зависимости от степени сложности. Ученик сам выбирает задания, которые ему по силам. После текста контрольной работы обязательно идет таблица градации: сколько нужно набрать баллов, чтобы получить ту или иную оценку.

Такие работы не только позволяют проверить уровень усвоения материала учеником, но и позволяет ученикам самим оценить свои силы.

Приведу в качестве примера контрольную работу и зачет - практикум по теме «Решение тригонометрических уравнений». (Смотри Приложение 2)

1.3.4. ОРГАНИЗАЦИЯ САМОСТОЯТЕЛЬТОЙ РАБОТЫ УЧАЩИХСЯ, ИМЕЮЩИХ ЯРКО ВЫРАЖЕННЫЙ ТИП

ТЕМПЕРАМЕНТА».

Рассмотрим некоторые особенности организации самостоятельной работы с учащимися, имеющими ярко выраженный тип нервной деятельности (темперамент).

Учителям хорошо известно, что учащиеся с разными темпераментами различным образом воспринимают одно и тоже задание, по-разному приступают к его выполнению.

Учащиеся, отличающиеся быстротой реакции, молниеносно реагирующие на все, в том числе и на отвлекающие факторы (речь идет о сангвиниках и в особенности о холериках), могут начать отвлекаться уже при первом прочтении задания, если они сразу чего-то в нем не уяснили. Поэтому при

организации самостоятельных работ учитель должен обратить внимание прежде всего на таких учащихся , не дав им возможности переключиться на другое. Для холериков в особенности характерно то, что их мысли и действия чаще всего находятся в соответствии. Поэтому если они слушают или читают, то их внимание сконцентрировано на этом задании. В непонятных местах они сами спросят - таков их характер. Поэтому если учитель наблюдал за холериками и сангвиниками в начале самостоятельной работы и корректировал их действия, то в дальнейшем он может не беспокоиться за ходом выполнения задания этими учениками.

Учащиеся, отличающиеся медлительностью умственных действий(флегматики и в особенности меланхолики, теперь мы будем говорить только о них), не сразу переключаются на другой вид деятельности. Их мысли и чувства как бы отстают от происходящего, переживая и обдумывая ситуацию, предшествующую данной. Приведу пример. Класс приступает к очередной контрольной работе. Учитель уже раздал тетради, записал тему работы, комментирует задания. На самом же деле внимание большинства из них обращено на ту отметку, которую они получили за предыдущую контрольную работу. Они думают о последствиях, которые эта отметка вызовет в дальнейшем. Поэтому внешняя дисциплинированность таких учащихся является обманчивой.

Поэтому при организации самостоятельной работы с флегматиками и меланхоликами учитель должен своевременно переключить внимание этих учащихся на предстоящую деятельность. Это можно осуществить разными способами. Часто оказывается полезной краткая беседа с таким учеником:

- Ты получил неважную оценку за прошлую работу, но ничего в этом страшного нет. Ошибки случаются у всех. Будь сейчас внимателен, слушай задание, мобилизуйся, и ты справишься с этой работой.

- У тебя хорошая оценка, но чтобы повторить такой результат, надо теперь сосредоточиться, вспомнить изученное.

- Саша, ты понял, как надо решать эту задачу? Условие тебе ясно?

- А ты, Сережа, учти, что в этом задании речь идет о луче, а не об отрезке. Ясна разница?

Такие короткие реплики учителя и столь же короткие ответы учеников помогают последним установить соответствие между собственными мыслями и требуемыми действиями.

Следует заметить, что людей, обладающих явными характеристиками темперамента определенного типа, очень мало. Поэтому и в классах преобладают учащиеся, чей тип нервной деятельности имеет смешанные характеристики. Но по нескольку человек встречаются и такие ребята, у которых тип темперамента приближается к ярко выраженному меланхолико­флегматическому или к холерико~сангвинистическому. Таким ученикам полезнее всего предлагать самостоятельные работы по индивидуальным карточкам-заданиям.

Рассмотрим пример составления таких карточек по теме 10 класса «Приращение функции». (смотри Приложение 3)

1.3.5. МЕТОД ПРОЕКТА

Проектная технология

ЦЕЛЬ: Развитие творческих способностей, личностно-деятельного характера усвоения знаний.

СУЩНОСТЬ: самостоятельная познавательная деятельность, направленная на поиск, обработку и моделирования творческих проектов

МЕХАНИЗМ: деятельностные формы обучения

Смотри Приложение 4 и диск 2:

• Место проекта в школе

• Теорема Пифагора (проектная технология):

Презентация проекта (учитель)

Работы детей

• Проценты (урок с использованием проектной технологии)

Требования к содержанию и организации

проведения учебного проекта

МММММ

Место учебного исследования

Место учебного исследован

Оригинальность

ГЛАВА 2

МАЛОЕ СОЦИОЛОГИЧЕСКОЕ ИССЛЕДОВАНИЕ.

Оправдываются ли те дидактические и воспитательные ожидания, которые возлагаются на дифференцируемую работу в группах и на индивидуальную дифференцируемую работу?

С этой точки зрения проанализируем, как оценивают такую работу ученики. На усвоении знаний, умений и навыков сказывается то, какое отношение вызывает к себе тот или иной метод или форма работы у учеников и учителей. Положительное отношение может способствовать возникновению других положительных эффектов, а отрицательное становится препятствием к достижению хороших результатов.

Приведем данные опроса. Опрашивались дети 10-х классов.

КАКУЮ ФОРМУ РАБОТЫ HA УРОКИ ВЫ ПРЕДПОЧИТАЕТЕ?

82 % - работу в группах; 14 % - индивидуальную работу;

4 % - фронтальную работу.

ДОСТОИНСТВА ГРУППОВОЙ ДИФФЕРЕНЦИРОВАНОЙ РАБОТЫ

Учащиеся отметили следующие достоинства:

1. при помощи обсуждения с соучениками можно лучше разобраться в ходе решения (83,8%)

2. допущенные ошибки лучше уясняются в результате совместного обсуждения (74,6%)

3. возможность сразу проверить правильность решения задания (50,7%)

4. получение помощи от соучеников (43,7%)

5. соревнование между учениками в скорости решения (16,9%).

Как видим, школьникам импонируют преимущества, связанные с усвоением содержания учебного материала.

МОТИВАЦИЯ

Учащиеся отмечают, что возросло желание самому понять задание (61,2%) и не отставать от других (53,4%)

В КАКИХ СЛУЧАЯХ ВЫ НАЧИНАЕТЕ ЗАНИМАТЬСЯ ПOCTOPOHHИMИ ДЕЛАМИ И РАЗГОВАРИВАТЬ HA ПOCTOPOHHИE ТЕМЫ?

Из ответов школьников выясняется, что чаще всего они отвлекаются и занимаются посторонними делами, когда соученик выполняет задание у доски (76,6%). На втором месте находится фронтальные объяснения учителя, во время которых, по данным 13,4~'учеников, они занимаются посторонними делами. На третьем месте стоит фронтальная работа , во время которой занимаются не тем, чем нужно, 8,5% учеников. Во время групповой работы такие случаи отмечены всего 2,1% учеников. Можно сказать, таким образом, что групповая работа способствует деловой направленности учащихся.

Приведенные данные показывают, что большому числу учеников нравиться групповая работа, но есть и такие, которые отдают предпочтение другим формам. В таком случае приходится предполагать, что в процессе групповой работы что-то этих учеников не удовлетворяет. Выяснение этих обстоятельств дало следующую картину:

8% учеников не поняли причину возникших ошибок, поскольку объяснения соучеников оказались недостаточными

7% учащихся раздражал возникший в классе во время работы шумок;

5,6% находят, что выполнения заданий в группе слишком утомляет

ДОСТОИНСТВА ИНДИВИДУАЛЬНОЙ ДИФФЕРЕНЦИРОВАННОЙ РАБОТЫ:

Такая форма работы позволяет каждому ученику определить свои цели, то есть устанавливается, кто хочет знать не более того, что требуется государственным стандартом, а кто готов заниматься больше, поскольку планирует поступить в институт или просто хочет получить высокую оценку.

Определив свои цели в учении, каждый ученик может приспособиться к тем требованиям, которые предложены учителем. Очень важно, что при такой форме работы на уроке определяется время и место промежуточной и итоговой диагностики знаний и учебной коррекции.

Такая форма проведения уроков помогает осуществлять индивидуальный подход к учащимся, включать каждого в осознанную учебную деятельность, формировать навыки самообучения и самоорганизации.

ГЛАВА 3 ПРИЛОЖЕНИЯ

3.1 ДИДАКТИЧЕСКИЙ МАТЕРИАЛ

ПРИЛОЖЕНИЕ 1

УРОВНЕВАЯ КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА ПО ГЕОМЕТРИИ

ТЕМА «ПАРАЛЛЕЛЬНОСТЬ ПЛОСКОСТЕЙ»

Вариант 1

ОБЯЗАТЕЛЬНЫЙ УРОВЕНЬ

1. В тетраэдре SABC через середину ребра SA проведена плоскость , параллельно плоскости SBC. Постройте сечение и найдите его площадь, если длина каждого ребра тетраэдра - 6см.

2. Плоскости M и H параллельны между собой. Как расположена прямая b относительно плоскости М, если она имеет с плоскостью М общую точку и не пересекает плоскость H?

ЗАДАЧИ ПЕРВОГО УРОВНЯ:

3. Через вершину куба проведена плоскость параллельно плоскости . Постройте сечение куба плоскостью и найдите его площадь, если ребро куба - 2см.

ЗАДАЧИ ВТОРОГО УРОВНЯ:

4. В тетраэдре SABC основание ABC - правильный треугольник. Через отрезки AD и CE, где D- середина SB, а Е - середина SA, проведите сечение тетраэдра, параллельные между собой, и найдите отношение площадей.

Вариант 2

ОБЯЗАТЕЛЬНЫЙ УРОВЕНЬ

1. Правильно ли утверждение: « Две прямые, параллельные одной плоскости, параллельны между собой»?

2. В тетраэдре ABCD через середину DC проведена плоскость параллельно плоскости ABD. Постройте сечение и найдите его площадь, если AD=DB=10см.

ЗАДАЧИ ПЕРВОГО УРОВНЯ:

3. Через вершину треугольника АВС проведены параллельные прямые, пересекающие плоскость , параллельную плоскости АВС, соответственно в точках Найдите стороны треугольника . , если АВ=5, АС=4, угол ВАС равен 60 градусам.

ЗАДАЧИ ВТОРОГО УРОВНЯ:

4. - сечение куба . Через отрезок, соединяющий середины ребер проведите сечение параллельно АС. Докажите, что это сечение параллельно сечению . Вычислите периметр построенного сечения.

Личностно- ориентированный подход при изучении темы

« Некоторые правила построения сечения многогранника. Построение сечения, проходящего через три заданные точки, не лежащие на одной прямой»

дидактические цели и задачи - сформировать умение строить сечения, определять его вид. вычислять элементы и площадь.

Уровень А

1. Через вершину A₁ и середины боковых ребер ВВ₁ CC₁ прямой треугольной призмы АСВ А₁В₁С₁ проведено сечение.

Вычислите его периметр, если ЛА₁ =6 см, АВ=АС=4 см. ВС = З см.

2. Через вершину А₁ и середины ребер АВ и AC правильной треугольной призмы АСВ А₁В₁С₁ проведено сечение.

Вычислите его периметр, если ВС=16 см, АА₁=6см.

3. Через вершину и середины двух противолежащих сторон правильной четырехугольной пирамиды проведено сечение.

Вычислите его площадь, если сторона основания равна 12 см. а высота

равна 5 см.

4. Через вершину и середины двух соседних сторон основания правильной четырехугольной пирамиды проведено сечение.

Вычислите его периметр, если сторона основания пирамиды равна 8 см,

а боковое ребро - 5 см.

5. Основанием пирамиды МАВС является прямоугольный треугольник. Угол А равен 60°, угол С равен 90°, АВ=8 дм. Высота пирамиды МА равна б дм.

Вычислите площадь сечения пирамиды плоскостью, проходящей через

точки В, C

и середину высоты пирамиды.

Уровень Б

1. Проведите сечение куба ABCD А₁В₁C₁D₁, содержащее точки А, C и середину ребра А₁D₁.

Какой фигурой является сечение? Найдите его периметр, если ребро

куба равно а.

2. Проведите сечение правильной треугольной призмы ABCА₁В₁С₁ плоскостью, содержащей середины ребер АА₁, ВВ₁ и BC.

Найдите периметр сечения, если все ребра призмы равны а.

3. Основание пирамиды MABCD - прямоугольный треугольник, стороны которого 9 см и 12 см. Боковое ребро MD перпендикулярно плоскости основания. Постройте сечение пирамиды плоскостью, содержащей точки А, C и середину высоты MD.

Вычислите площадь сечения, если угол между плоскостями сечения и

основания равен 30°.

Уровень В

1. Проведите сечение правильной треугольной призмы ABC А₁В₁С₁ плоскостью, содержащей вершину А₁ середины ребер CC₁, BC.

Вычислите периметр сечения призмы, если высота ее равна б см, а

сторона основания -8 см. .

2. Проведите сечение правильной четырехугольной призмы ABCD А₁В₁С₁D₁ плоскостью, содержащей вершину D₁ и середины ребер АВ и BC.

Вычислите его периметр и площадь, если высота призмы равна 14 см,

а сторона основания - 16 см.

Задачи повышенной сложности

1. В пирамиде SАВСD с вершиной S диагональ BD делится диагональю АС в отношении 3:2, считая от вершины D. На ребрах SD и SA взяты точки Р и М соответственно, причем SР:РD=2:5, SM=МА.

а) Построить сечение пирамиды плоскостью МВР.

б) Найти, в каком отношении секущая плоскость делит ребро SC.

в) Найти площадь сечения, если площадь треугольника PQR равна

100 см² (R и Q - точки пересечения секущей плоскости с

прямыми DA и DC соответственно).

2. Дана пирамида SABCD, основание которой - параллелограмм ABCD, М и P - середины ребер SA и SD.

а) Построить сечение пирамиды плоскостью AMP.

б) Определить, в каком отношении плоскость AMP делит ребро SC.

3. Через вершину правильной треугольной пирамиды и середины сторон АВ и СВ основания проведено сечение. Длина стороны основания равна а, а угол между плоскостью сечения и плоскостью основания равен .

Найдите:

а) площадь сечения;

б) угол между плоскостью сечения и плоскостью боковой грани SCA.

ПРИЛОЖЕНИЕ 2

ЗАЧЕТ - ПРАКТИКУМ ПО ТЕМЕ «РЕШЕНИЕ ТРИГОНОМЕТРЯЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ».

ПОСТАВЬ ДЛЯ СЕБЯ ЦЕЛЬ И НАБЕРИ НЕОБХОДИМОЕ ТЕБЕ КОЛИЧЕСТВО БАЛЛОВ. АДЕКВАТНО ОЦЕНИ СВОИ СИЛЫ. УДАЧИ!

1. Вычислите: агсsin (-0,5)+агссоs (-1) (2б).

2. Решите уравнения : а) cos 2х=1 (2 б);

6) 2sin3х - =0 (2 б);

в) tg4х=- 1 (2 б);

3. Решите уравнения:

а) 2соs²х - 1 = 0 (3 б);

6)2siп²х+5sinх+3=0 (4 б);

в)3sin²х+4соsх=0 (5 б);

4. Решите неравенство: sin х (4 б);

5. Дополнительное задание.

а) Вычислите sin (2агсtg ()) (3 б);

6) Решите уравнение: arcsin (2х - 1) =(5 б);

в) Упростите cos (arcsin х) (8 б).

г) Найдите все корни уравнения sin ( х / 3) =

на отрезке (8 б).

• «5» - [26; 40] «4» - [20, 26] , «З»-[14,20].

ПРИЛОЖЕНИЕ 3

ЗАДАНИЕ, ПРЕДЛАГАЕМОЕ ВСЕМУ КЛАССУ:

1. Найдите приращение функции f в точке х , если f(х)=3/х, х₀=2, 'х=0,l

2. Найдите приращение функции f в точке х ,ecли f (х) =,

.

3. Найдите угловой коэффициент секущей к графику функции у=2 если секущая проходит через точки с абсциссами =0, =1. Какой угол при этом образует секущая с осью ОХ?

Покажем теперь , как можно модифицировать это задание для учащихся, чей тип нервной деятельности близок к холерико-сангвиническому. Прежде всего , таким ученикам надо облегчить самое начало работы, чтобы они не отвлекались, если сразу не поймут, что следует воспользоваться формулами приращений. Но, увидев слово «формула» в задании 1, большая часть учеников сразу поймут, о чем идет речь. При переходе к заданию 2 внимание сангвиников и холериков уже Сосредоточено на работе, поэтому для этих учеников второе задание можно не изменять.

При переходе к заданию З у учащихся рассматриваемой группы наступает первичное утомление, и они могут отвлечься из-за любого пустяка. Трудность еще и в том, что задание З требует логического перехода: формулы предыдущих заданий теперь следует применять для нахождения углового коэффициента в формуле секущей. Таким образом, начинать выполнение задания надо именно с вышеназванной формулы. Требуется всего лишь напомнить ученикам, на какую формулу требуется обратить внимание с самого начала.

ЗАДАНИЕ ДЛЯ УЧЕНИКОВ, ОБЛАДАЮЩИХ

ХОЛЕРНКО - САНГВИНИЧЕСКИМ ТЕМПЕРАМЕНТОМ:

1.1) По форме нахождения приращения функции f в точке х₀ найдите f, если f(х)=3/х и х =2, х=0,1.

1.2) Найдите приращения . В точке х, если

1.3) По формуле нахождения углового коэффициента k секущей к графику

функции f(x) найдите значение k для функции у=2 при условии, что секущая проходит через точки с абсциссами =0, =1. Определите угол, который образует секущая с осью ОХ.

Для учащихся, чей темперамент приближается к меланхолико­флегматическому типу, текст заданий должен отличаться от формулировок как 1-3, так и 1'-- 3 . для того чтобы помочь учащимся сосредоточиться на,, задании 1, придется напомнить алгоритм его выполнения. Поэтому задание I состоит из двух этапов (выписать формулу приращений функции и аргумента; пользуясь этими формулами, найти приращение данной функции в данной точке). Что касается задания 2, то тут надо показать, что по сути оно,, дублирует задание 1. 06 этом целесообразно прямо сказать в формулировке 2

. В задании З требуются дальнейшие усилия по применению алгоритма работы с формулой для нахождения k. В задании З подсказываются первые шаги этого алгоритма.

Итак, задание в целом может быть таким:

1.1.1) Выпишите формулы приращения функции f=? , приращения аргумента х=?

Пользуясь этими формулами, вычислите приращение функции f в точке хо для случая f(х)=2/х,

2. Используя формулы для нахождения , которые применялись в первом задании, найдите при .

З. Выпишите формулу для нахождения углового коэффициента k секущей к графику функции f(x). Обратите внимание на формулы нахождения во втором задании. Воспользовавшись этими формулами, найдите значение k, если f(х)=

3.2 МАТЕРИАЛЫ К МЕТОДУ ПРОЕКТОВ

Тема: Исследование проблемы решения

квадратных уравнений

Авторы: Авдошина Анна,Гаглоева Анастасия, Мосякова Юлия

МОУ «СОШ № 28»,8 класс

Научный руководитель: Кушмиль Людмила Анатольевна, учитель математики.

2008 год

План:

1. Введение (стр.2).

2. Историческая справка (стр. 3-4).

III. Основная часть:

1. Общие способы решения квадратных уравнений (стр. 5-7).

2. Частные случаи решения квадратных уравнений (8-10).

III. Заключение. (стр. 11 )

IV. Список литературы. (стр.12)

1. Введение.

Актуальность исследования определяется рядом обстоятельств. Во-первых, изучить тенденцию развития проблем решения квадратных уравнений, во-вторых, убедиться в многообразии рациональных способов решений квадратных уравнений.

С уравнениями мы знакомы давно. Уравнения - одно из важнейших понятий математики. В большинстве практических и научных задач, где какую-то величину нельзя непосредственно измерить или вычислить по готовой формуле, удаётся составить соотношение, которому оно удовлетворяет. Так получают уравнения. Решая уравнение с одним неизвестным, мы, как правило, приходим к простейшим уравнениям, для решения которых есть готовые формулы.

Целью нашей работы является формирование личного представления о возможности решения квадратных уравнений различными способами.

Предмет исследования: квадратные уравнения.

В основу исследования была положена следующая гипотеза: как изменится способ решения квадратного уравнения в зависимости от его вида.

Методы исследования: в процессе выполнения работы использовались как общенаучные методы (анализ, обобщение, сравнение), так и частнонаучные методы (доказательства, вычисления).

Достоверность исследования обусловлена математическими методами рассуждения.

II Историческая справка.

До нашего времени дошёл только трактат Диофанта Александрийского «Арифметика» (вероятно, III век), в котором он уже довольно свободно оперирует с уравнениями 1-й и 2-й степеней.

Содержание алгебры охватывало во время Диофанта уравнения 1-й и 2-й степеней. К уравнениям 2-й степени древнегреческие математики пришли, по-видимому, геометрическим путём, так как задачи, приводящие к этим уравнениям, естественно возникают при определении площадей и построении окружности по различным данным. Однако в одном, очень существенном отношении решение уравнений у древних математиков отличалось от современного: они не употребляли отрицательных чисел. Поэтому даже уравнение 1-й степени (с точки зрения древних математиков) не всегда имело решение. При рассмотрении уравнений 2-й степени приходилось различать много частных случаев (по знакам коэффициентов).

Среди математиков в Древней Греции было принято выражение алгебраического утверждения в геометрической форме. Вместо сложения чисел говорили о сложении отрезков, произведение истолковывали как площадь прямоугольников, а произведение трёх чисел - как объём прямоугольного параллелепипеда. Здесь идёт речь о хорошо известной вам формуле: (a+b)² = a² + 2ab + b². С того времени идут термины «квадрат числа», «куб числа». Квадратные уравнения греки также решали геометрически. Они искали стороны прямоугольника по заданным периметру и площади.

Формула корней квадратного уравнения «переоткрывалась» неоднократно. Один из первых дошедших до наших дней выводов этой формулы принадлежит индийскому математику Брахмагупте (около 598г.). Среднеазиатский ученый ал- Хорезми (IX в.) в трактате «Китаб аль-джебр Валь-мукабала» получил эту формулу методом выделения полного квадрата с помощью геометрической иллюстрации. Суть его видна из рисунка. (он рассматривал решение уравнения х²+10х=39) Площадь большого квадрата равна (х+5)². Она складывается из площади закрашенной фигуры х²+10х , равной левой части рассматриваемого уравнения, и площади четырех квадратов со стороной 5/2, равной 25. Таким образом, (х+5)²=39+25

х+5=±8

х₁=3; х₂=-13

III.Основная часть .

1. Общие способы решения квадратных уравнений.

Квадратное уравнение - уравнение

ах² + bx + c = 0,

где a, b, c - заданные числа, причем, a≠0, x - неизвестное.

Рассмотрим способы решения квадратных уравнений и исследуем корни квадратного уравнения в зависимости от его коэффициентов.

1) Универсальная формула

ах² + bx + c = 0

D=b²-4ac

D>0

D=0

D<0

X_1,2=

X=

Действит. корней нет

Пример: 6x² + x - 2 = 0

D = b²-4ac= 1² - 4∙6∙ (-2) = 1 + 48 = 49, D>0, два корня.

X

=_1,2==

x₁= - x₂=

2) Формула для четного коэффициента b.

ах² + bx + c = 0

b=2m

D₁=m²-ac

D₁>0 D₁>0

D₁=0

D₁<0

X_1,2=

Действительных корней нет

X=

Пример: 3x² - 4x + 1 = 0

D₁ = m² - ac = (-2)² - 3∙1 = 4 - 3 = 1, D>0, два корня.

x_1,2 =

x_{1 =} ; x₂=1.

3)Приведенное квадратное уравнение, где старший коэффициент равен единице.

х² + px+ q= 0

D=()² -q

D>0

D=0

D<0

X_1,2= -

Действительных корней нет

X= -

Пример: x² - 14x - 15 = 0

x_1,2 = 7 ± = 7 ± 8

x₁ = 15, x₂ = -1

4. Теорема, обратная теореме Виета.

Eсли числа p, q, x₁, x₂ таковы, что х₁+х₂=-p , x₁ ∙ x₂ = q , то х₁ и х₂ - корни уравнения x² + px + q = 0 .

Пример: x² - 7x + 12 = 0

x₁ + x₂ = 7, x₁ = 3,

x₁ ∙ x₂ = 12. x₂ = 4

2. Частные случаи решения квадратных уравнений.

1. Решение неполных квадратных уравнений

1) c = 0 ax² + bx = 0

x∙(ax + b) = 0

х = 0 ax + b = 0

ax = -b

x = - b/a

Например: 2х²-5х=0

x∙(2x-5)=0

x=0 2x-5=0

2x=5

X=2.5

2) b = 0

Например: I способ: 4x² - 9 = 0

ax² + c = 0 4x² = 9

ax² = -c x² = 9/4

x² = -c : a x = ±

x_1,2 = ± x₁ = 3/2 = 1.5

x₂ = -1.5

II способ: (2x-3)(2x+3) = 0

2x-3 = 0 2x+3 = 0

x = 1.5 x = -1.5

3). b = 0, c = 0

ax² = 0

x² = 0

x = 0

Например: 2x² = 0

х²=0

х=0

2. Рассмотрим решение квадратного уравнения ax²+bx+c=0 в зависимости от соотношения между коэффициентами a,b,c.

1). Если a+ b+ c = 0, то x₁ = 1, x₂ = c/a .

Например: 2x² + 3x - 5 =0

2+3-5=0, значит,

x₁ = 1, x₂ = -5/2

2). Если a - b - c = 0,то x₁ = -1, x₂ = -c/a.

Например: 2x² + 3x - 1=0

2-3+1=0

x₁ = -1, x₂ = 1/2

3). Если a = c = n, b = n² + 1, т. е. nx² + (n²+1)x +n=0, то x₁ = -n,

x₂ = -1/n

Например: 2x² + 5x + 2=0

5=2²+1, n=2

x₁ = -2, x₂ = -1/2

4). Если a = c = n, b = -(n²+1), т. е. nx² - (n²+1)x+n=0

x₁ = n, x₂ = 1/n

Например: 3x² - 10x + 3=0

3х²-(3²+1)х+3=0

x₁ = 3, x₂ = 1/3

5). Если ax² + (a²-1)x - a = 0, то х=-а, x = 1/a

Например: 5x² + (5²-1)x - 5 = 0

х=-5, x = 1/5

6). Еслиax² - (a²-1)x - a = 0, то х=а , x = -1/a

Например: 5x² - (5²-1)x - 5 = 0

х=5, x = -1/5

Заключение

Теоретическая значимость исследования состоит в том, что представлены как наиболее распространенные методы решения квадратных уравнений, так и достаточно эксклюзивные, показана зависимость корней квадратного уравнения от его коэффициентов и соотношения между этими коэффициентами.

Практическое значение работы заключается в том, что исследованные нами способы решения квадратных уравнений могут быть использованы учащимися 8-х классов при изучении темы «Квадратные уравнения», материал может быть использован для построения элективного курса, презентация работы может быть использована как электронное пособие для учащихся и учителя.

Литература

1. Энциклопедический словарь юного математика. Сост. А.П. Савин. - М.: Педагогика, 1985 - 352 с., ил.

2. Математика: Школьная энциклопедия/Гл. ред. С.М. Никольский. - М.: Большая Российская энциклопедия: Дрофа, 1997-527 с.: ил.

3. Математика: 8-9 классы: сборник элективных курсов. Вып. I/авт.-сост. В.Н. Студенецкая, Л.С. Сагателова - Волгоград: Учитель, 2007-205 с.

4. За страницами учебника алгебры Л.Ф. Пичурин. Москва. Просвещение, 1990 г.

22