Методическое пособие для студента Показательная и логарифмическая функция

Назначение данного методического пособия - помочь студенту в достижении ряда важных целей, которые стоят перед ним в процессе обучения математики. Главной методической особенностью  является ориентированность её на возможность самостоятельного овладения студентами материала по разделу. В структуре изучаемого предмета Математика  выделяется следующий  раздел: «Показательная и логарифмическая   функции». Основная цель раздела -   формирование представлений о показательной  и логарифмической функции, понятие логарифма . Знания логарифмов и основных логарифмических свойств необходимы для людей многих профессий : физиков, химиков, астрономов, психологов, географов и экологии , а так же при расчете выплавки металла (сплав). После изучения раздела «Показательная и логарифмическая   функции », с помощью рабочей тетради,  студент должен: Уметь: ·        находить значение логарифмов; ·        строить графики логарифмической и показательной функций, выполнять преобразования графиков; ·        описывать по графику и формуле свойства логарифмической и показательной функций; ·        решать уравнения и неравенства, используя свойства показательных и логарифмических функции  и их графическое представление; ·        решать показательные и логарифмические уравнения и неравенства и их системы;  ·        проводить преобразования выражений, содержащих логарифмы; ·        вычислять производные показательной и логарифмической функций. Знать: ·        определение показательной функции; ·        свойства показательной функции; ·         способы решения показательных уравнений и неравенств; ·         определение логарифма; ·         свойства логарифмической функции; ·         способы решения логарифмических уравнений и неравенств; ·        определение натурального логарифма; ·        формулы производных показательной и логарифмической функций.
Раздел Математика
Класс -
Тип Конспекты
Автор
Дата
Формат docx
Изображения Есть
For-Teacher.ru - все для учителя
Поделитесь с коллегами:

Методическое пособие для студента Показательная и логарифмическая функцияМетодическое пособие для студента Показательная и логарифмическая функцияМетодическое пособие для студента Показательная и логарифмическая функцияМетодическое пособие для студента Показательная и логарифмическая функцияМетодическое пособие для студента Показательная и логарифмическая функцияМетодическое пособие для студента Показательная и логарифмическая функцияМетодическое пособие для студента Показательная и логарифмическая функцияМетодическое пособие для студента Показательная и логарифмическая функцияМетодическое пособие для студента Показательная и логарифмическая функцияМетодическое пособие для студента Показательная и логарифмическая функцияМетодическое пособие для студента Показательная и логарифмическая функцияМетодическое пособие для студента Показательная и логарифмическая функцияМетодическое пособие для студента Показательная и логарифмическая функцияМетодическое пособие для студента Показательная и логарифмическая функцияМетодическое пособие для студента Показательная и логарифмическая функцияМетодическое пособие для студента Показательная и логарифмическая функцияМетодическое пособие для студента Показательная и логарифмическая функцияМетодическое пособие для студента Показательная и логарифмическая функцияМетодическое пособие для студента Показательная и логарифмическая функцияМетодическое пособие для студента Показательная и логарифмическая функцияМетодическое пособие для студента Показательная и логарифмическая функцияМетодическое пособие для студента Показательная и логарифмическая функцияМетодическое пособие для студента Показательная и логарифмическая функцияМетодическое пособие для студента Показательная и логарифмическая функцияМетодическое пособие для студента Показательная и логарифмическая функцияМетодическое пособие для студента Показательная и логарифмическая функцияМетодическое пособие для студента Показательная и логарифмическая функцияМетодическое пособие для студента Показательная и логарифмическая функцияПояснительная записка


Назначение данного методического пособия - помочь студенту в достижении ряда важных целей, которые стоят перед ним в процессе обучения математики.

Главной методической особенностью является ориентированность её на возможность самостоятельного овладения студентами материала по разделу.

В структуре изучаемого предмета Математика выделяется следующий раздел: «Показательная и логарифмическая функции».

Основная цель раздела - формирование представлений о показательной и логарифмической функции, понятие логарифма .

Знания логарифмов и основных логарифмических свойств необходимы для людей многих профессий : физиков, химиков, астрономов, психологов, географов и экологии , а так же при расчете выплавки металла (сплав).

После изучения раздела «Показательная и логарифмическая функции », с помощью рабочей тетради, студент должен:

Уметь:

  • находить значение логарифмов;

  • строить графики логарифмической и показательной функций, выполнять преобразования графиков;

  • описывать по графику и формуле свойства логарифмической и показательной функций;

  • решать уравнения и неравенства, используя свойства показательных и логарифмических функции и их графическое представление;

  • решать показательные и логарифмические уравнения и неравенства и их системы;

  • проводить преобразования выражений, содержащих логарифмы;

  • вычислять производные показательной и логарифмической функций.

Знать:

  • определение показательной функции;

  • свойства показательной функции;

  • способы решения показательных уравнений и неравенств;

  • определение логарифма;

  • свойства логарифмической функции;

  • способы решения логарифмических уравнений и неравенств;

  • определение натурального логарифма;

  • формулы производных показательной и логарифмической функций.

Урок 1

Тема: «Показательная функция, ее свойства и график.».

1.Сформулировать определение степени с иррациональным показателем.

_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

2. Сформулировать определение показательной функции.

_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

3.Сформулируйте свойства функции Методическое пособие для студента Показательная и логарифмическая функция и постройте график.



4. Сформулируйте свойства функции Методическое пособие для студента Показательная и логарифмическая функция и постройте график.

а>1 0


5.Укажите, какие из заданных функций ограничены снизу:

А) y=4x-1

Б) Методическое пособие для студента Показательная и логарифмическая функция

В) Методическое пособие для студента Показательная и логарифмическая функция

6. Укажите, какие из заданных функций не ограничены сверху :

А) y=cos x

Б) Методическое пособие для студента Показательная и логарифмическая функция

В) Методическое пособие для студента Показательная и логарифмическая функция

7.Схематично изобразите график показательной функции:

Методическое пособие для студента Показательная и логарифмическая функция



Урок 2-3

Тема: «Показательные уравнения и неравенства».

1.Решите уравнение

1) Методическое пособие для студента Показательная и логарифмическая функция

2) Методическое пособие для студента Показательная и логарифмическая функция ;

3) Методическое пособие для студента Показательная и логарифмическая функция

4) Методическое пособие для студента Показательная и логарифмическая функция

Ответ:


2.Решить неравенство:

Методическое пособие для студента Показательная и логарифмическая функция

Ответ:



3. Тест

1.Найдите область определения функции Методическое пособие для студента Показательная и логарифмическая функция.

  1. ( 0; 1);

  2. (-∞; +∞);

  3. (-∞;0] U[1; +∞);

  4. (-∞;0) U (1; +∞).

2. Укажите промежуток, которому принадлежит корень уравнения Методическое пособие для студента Показательная и логарифмическая функция

  1. [-2; -1)

  2. [-1; 1)

  3. [1; 3)

  4. [3; 5)

3. Найдите сумму корней уравнения 64х-17·8х+16=0.

  1. Методическое пособие для студента Показательная и логарифмическая функция

  2. Методическое пособие для студента Показательная и логарифмическая функция

  3. 5

  4. 8

4. График какой функции изображен на рисунке?

Методическое пособие для студента Показательная и логарифмическая функция

  1. у = -2х

  2. у = 2х

  3. у = 2

  4. у = -2

5. Решите неравенство Методическое пособие для студента Показательная и логарифмическая функция≥ 4.

  1. (-∞; -4)

  2. (-4; +∞)

  3. (-∞;-4]

6. Найдите область определения функции y=3Методическое пособие для студента Показательная и логарифмическая функция.

  1. ( 0; 1)

  2. (-∞; +∞)

  3. (-∞;0] U[1; +∞)

  4. (-∞;0) U (1; +∞)

7. Укажите промежуток, которому принадлежит корень уравнения Методическое пособие для студента Показательная и логарифмическая функция.

  1. (0; 1)

  2. (4; 6)

  3. (2; 4)

  4. (1; 3)

8. Найдите сумму корней уравнения Методическое пособие для студента Показательная и логарифмическая функция

  1. Методическое пособие для студента Показательная и логарифмическая функция

  2. 30

  3. 5

  4. 3

9. График какой функции изображен на рисунке?

Методическое пособие для студента Показательная и логарифмическая функция

  1. у = -3х

  2. у = 3

  3. у = 3х

  4. у = -3

10. Решите неравенство 0,2х-2> 5.

  1. (-∞; 2)

  2. (1; +∞)

  3. (-∞; 1)

  4. (-∞; 0]

Ответы:

Вопросы

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10





Урок 4

Тема: «Понятие логарифма».

1..Сформулировать понятие логарифма__________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

2.Заполни пропуски:

  1. log a __ =0 для любого a_________.

  2. Логарифм числа, равного основанию: loga a=__ при a__, a≠1.

  3. Свойство логарифма степени основания: loga ap =__, где a>0, a≠1 и p - любое ______________ число.

3.Вычислите:

Методическое пособие для студента Показательная и логарифмическая функция_____________________________________________________________

Методическое пособие для студента Показательная и логарифмическая функция____________________________________________________________

Методическое пособие для студента Показательная и логарифмическая функция__________________________________________________________

4. Найдите число х.

Методическое пособие для студента Показательная и логарифмическая функция

Ответы:




5. Вычислите:

Методическое пособие для студента Показательная и логарифмическая функция

Ответы:



Урок 5

Тема: «Логарифмическая функция, ее свойства и график».

  1. Заполни пропуски:

Функцию вида y = loga(x), где a ___________________число не равное __________, называют логарифмической функцией с основанием а.

Основные свойства логарифмической функции:

1. Областью определения логарифмической функции будет являться ___________

2. Областью значения логарифмической функции будет являться все множество _________________________________чисел.

3. Если основание логарифмической функции a>1, то на всей области определения функции __________. Если для основания логарифмической функции выполняется следующее неравенство 0

4. График логарифмической функции всегда проходит через точку __________.

5. Возрастающая логарифмическая функция, будет положительной при ____, и отрицательной при __________.

6. Убывающая логарифмическая функция, будет отрицательной при _______, и положительной при ________.

7. Функция не является ____________________.

8. Функция ______________ максимума и минимума.

2.Сравните числа:

Методическое пособие для студента Показательная и логарифмическая функция

Методическое пособие для студента Показательная и логарифмическая функцияМетодическое пособие для студента Показательная и логарифмическая функцияМетодическое пособие для студента Показательная и логарифмическая функция

3.Решите графически неравенство:Методическое пособие для студента Показательная и логарифмическая функция

Методическое пособие для студента Показательная и логарифмическая функция

Методическое пособие для студента Показательная и логарифмическая функция

Методическое пособие для студента Показательная и логарифмическая функция


Урок 6

Тема: «Свойства логарифмов».

1.Допишите свойства логарифмов:

Методическое пособие для студента Показательная и логарифмическая функция

Методическое пособие для студента Показательная и логарифмическая функция
(основное свойство логарифмов),

Методическое пособие для студента Показательная и логарифмическая функция

Методическое пособие для студента Показательная и логарифмическая функция

Методическое пособие для студента Показательная и логарифмическая функция

Методическое пособие для студента Показательная и логарифмическая функция

Методическое пособие для студента Показательная и логарифмическая функция

Методическое пособие для студента Показательная и логарифмическая функция

2.Тест

1.Найти корень уравнения Методическое пособие для студента Показательная и логарифмическая функция

Методическое пособие для студента Показательная и логарифмическая функция1) 13 2) 15 3) 19 4) 5

2.Найти наибольший корень уравнения Методическое пособие для студента Показательная и логарифмическая функция

Методическое пособие для студента Показательная и логарифмическая функция1) -2Методическое пособие для студента Показательная и логарифмическая функция 2) -2 3) 2 4) 2Методическое пособие для студента Показательная и логарифмическая функция

3.Найти наибольший корень уравнения Методическое пособие для студента Показательная и логарифмическая функция

Методическое пособие для студента Показательная и логарифмическая функция1) 5 2) -5 3) 1,5 4) -1,5

4.Укажите промежуток, которому принадлежит корень уравнения

Методическое пособие для студента Показательная и логарифмическая функция

Методическое пособие для студента Показательная и логарифмическая функция

5.Укажите промежуток, которому принадлежит корень уравнения

Методическое пособие для студента Показательная и логарифмическая функция

Методическое пособие для студента Показательная и логарифмическая функция

6.Укажите промежуток, которому принадлежит корень уравнения

Методическое пособие для студента Показательная и логарифмическая функция

Методическое пособие для студента Показательная и логарифмическая функция

7.Найти наименьший корень уравнения Методическое пособие для студента Показательная и логарифмическая функция

Методическое пособие для студента Показательная и логарифмическая функция1) -2 2) -4,5 3) 4,5 4) 2

8.Найти корень уравнения а в случае нескольких корней их сумму Методическое пособие для студента Показательная и логарифмическая функция

Методическое пособие для студента Показательная и логарифмическая функция1) 4 2) -1 3) 2 4) 1,5

1

2

3

4

5

6

7

8



4.Найдите число х по его логарифму:Методическое пособие для студента Показательная и логарифмическая функция

1.

________________________________________________________________________________________________________________________________Методическое пособие для студента Показательная и логарифмическая функция

2.

________________________________________________________________________________________________________________________________

5.Вычислите :

Методическое пособие для студента Показательная и логарифмическая функция________________________________________

Методическое пособие для студента Показательная и логарифмическая функция_____________________________

Методическое пособие для студента Показательная и логарифмическая функция

____________________________________________________________________________________________________________________________________

Методическое пособие для студента Показательная и логарифмическая функция

______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Урок 7

Тема: «Логарифмические уравнения».

Методическое пособие для студента Показательная и логарифмическая функция

1

2

3



Методическое пособие для студента Показательная и логарифмическая функция

2

3

4

5.Тест ( поставьте + при выборе правильного ответа)

А1. Упростите выражение Методическое пособие для студента Показательная и логарифмическая функция

1) 4; 2) 1; 3) 25; 4) 2; 5) 0

А2. Произведение корней уравнения
Методическое пособие для студента Показательная и логарифмическая функция равно

1) 81; 2) Методическое пособие для студента Показательная и логарифмическая функция 3) 81Методическое пособие для студента Показательная и логарифмическая функция 4) 243; 5) 3Методическое пособие для студента Показательная и логарифмическая функция

А3. Если х0 - корень уравнения

Методическое пособие для студента Показательная и логарифмическая функциято значение
выражения Методическое пособие для студента Показательная и логарифмическая функция равно

1) 11; 2) 17; 3) 16; 4) 14; 5) 12

А4. Корень уравнения (или их сумма)

Методическое пособие для студента Показательная и логарифмическая функция
принадлежит промежутку

1) (- 0,2; 0,1); 2) (15; 15,6);
3) (13,8; 14); 4) другой промежуток;

5) (14,1; 14,5)

А5. Произведение корней уравнения
Методическое пособие для студента Показательная и логарифмическая функция равно

1) Методическое пособие для студента Показательная и логарифмическая функция 2) Методическое пособие для студента Показательная и логарифмическая функция
3) Методическое пособие для студента Показательная и логарифмическая функция ; 4 ) Методическое пособие для студента Показательная и логарифмическая функция 5) Методическое пособие для студента Показательная и логарифмическая функция

Урок 8

Тема: «Логарифмические неравенства».

1.Заполните пропуски:

Решение логарифмических неравенств основано на монотонности логарифмической функции.

Поэтому решение неравенств вида logaf(x)>logag(x) сводится к решению соответствующих неравенств для функций ______________________

Если основание a>1, то переходят к неравенству f(x)>g(x) (знак неравенства ______________________, т.к. в этом случае логарифмическая функция _______________________.

Если основание 0<a<1, то переходят к неравенству f(x)<g(x) (знак неравенства___________________, т.к. в этом случае логарифмическая функция ________________________.

В обоих случаях дополнительно находят ОДЗ:

{f(x)>0g(x)>0 при условии, что основание __________________.

Полученное множество решений неравенства должно входить в ОДЗ, поэтому находят_________________________.

2. Решите логарифмическое неравенство log22x−9<0.

Выберите правильный ответ!

x ∈

  • (−8;8)

  • (18;8)

  • (0;8)

  • (−∞;8)

3. Решите неравенство:Методическое пособие для студента Показательная и логарифмическая функция


а

б

в







Урок 9

Тема: «Переход к новому основанию логарифма».


  1. Закончите Теорему:

Теорема

Пусть дан логарифм loga x.

Тогда для любого числа c такого, что c > 0 и c ≠ 1, верно равенство:

___________________________________________________________

В частности, если положить c = x, получим:

___________________________________________________________

2.Вычислите:Методическое пособие для студента Показательная и логарифмическая функция

________________________________________________________________________________________________________________________________

Методическое пособие для студента Показательная и логарифмическая функция

____________________________________________________________________________________________________________________________________

3.

Оцените утверждения:

Да

Нет

№1. f(g(x)) = x, если x > 0 и f(x) = 1/x, g(x) = 1/x.



№2. f(g(x)) = x, если x > 0 и f(x) = Методическое пособие для студента Показательная и логарифмическая функция, g(x) = x2.



№3. f(g(x)) = x, если x > 0 и f(x) = Методическое пособие для студента Показательная и логарифмическая функция, g(x) = x2.



№4. f(g(x)) = x, если x > 0 и f(x) = 2x, g(x) = log2 x.



№5. f(g(x)) = x, если x > 0 и f(x) = 2x, g(x) = -log0,5 (1/x).




Урок 10

Тема: «Дифференцирование показательной и логарифмической функции».

1. На рисунке изображен график Методическое пособие для студента Показательная и логарифмическая функция - производной функции Методическое пособие для студента Показательная и логарифмическая функция, определенной на интервале Методическое пособие для студента Показательная и логарифмическая функция. Найдите промежутки возрастания функции Методическое пособие для студента Показательная и логарифмическая функция. В ответе укажите длину наибольшего из них.

Методическое пособие для студента Показательная и логарифмическая функция

2. На рисунке изображен график Методическое пособие для студента Показательная и логарифмическая функция - производной функции Методическое пособие для студента Показательная и логарифмическая функция, определенной на интервале Методическое пособие для студента Показательная и логарифмическая функция. Найдите количество точек экстремума функции Методическое пособие для студента Показательная и логарифмическая функция, принадлежащих отрезку Методическое пособие для студента Показательная и логарифмическая функция.

Методическое пособие для студента Показательная и логарифмическая функция

3. Найдите наименьшее значение функции Методическое пособие для студента Показательная и логарифмическая функцияна отрезке Методическое пособие для студента Показательная и логарифмическая функция.

4.Исследуйте на монотонность и экстремумы:

а) Методическое пособие для студента Показательная и логарифмическая функция б) Методическое пособие для студента Показательная и логарифмическая функция









Контрольная работа

Показательная и логарифмическая функции

А1. Вычислите Методическое пособие для студента Показательная и логарифмическая функция .

А2. Решите уравнение: а) Методическое пособие для студента Показательная и логарифмическая функция ; б) Методическое пособие для студента Показательная и логарифмическая функция .

А3. Решите неравенство Методическое пособие для студента Показательная и логарифмическая функция .

А4. Найдите область определения функции Методическое пособие для студента Показательная и логарифмическая функция .

В1. Решите уравнение Методическое пособие для студента Показательная и логарифмическая функция .

В2. Решите уравнение Методическое пособие для студента Показательная и логарифмическая функция .

С1. Найдите сумму корней уравнения Методическое пособие для студента Показательная и логарифмическая функция .

Решение:

__________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________



© 2010-2022