- Преподавателю
- Математика
- Методическое пособие для студента Показательная и логарифмическая функция
Методическое пособие для студента Показательная и логарифмическая функция
Раздел | Математика |
Класс | - |
Тип | Конспекты |
Автор | Клещина Н.В. |
Дата | 10.08.2014 |
Формат | docx |
Изображения | Есть |
Пояснительная записка
Назначение данного методического пособия - помочь студенту в достижении ряда важных целей, которые стоят перед ним в процессе обучения математики.
Главной методической особенностью является ориентированность её на возможность самостоятельного овладения студентами материала по разделу.
В структуре изучаемого предмета Математика выделяется следующий раздел: «Показательная и логарифмическая функции».
Основная цель раздела - формирование представлений о показательной и логарифмической функции, понятие логарифма .
Знания логарифмов и основных логарифмических свойств необходимы для людей многих профессий : физиков, химиков, астрономов, психологов, географов и экологии , а так же при расчете выплавки металла (сплав).
После изучения раздела «Показательная и логарифмическая функции », с помощью рабочей тетради, студент должен:
Уметь:
-
находить значение логарифмов;
-
строить графики логарифмической и показательной функций, выполнять преобразования графиков;
-
описывать по графику и формуле свойства логарифмической и показательной функций;
-
решать уравнения и неравенства, используя свойства показательных и логарифмических функции и их графическое представление;
-
решать показательные и логарифмические уравнения и неравенства и их системы;
-
проводить преобразования выражений, содержащих логарифмы;
-
вычислять производные показательной и логарифмической функций.
Знать:
-
определение показательной функции;
-
свойства показательной функции;
-
способы решения показательных уравнений и неравенств;
-
определение логарифма;
-
свойства логарифмической функции;
-
способы решения логарифмических уравнений и неравенств;
-
определение натурального логарифма;
-
формулы производных показательной и логарифмической функций.
Урок 1
Тема: «Показательная функция, ее свойства и график.».
1.Сформулировать определение степени с иррациональным показателем.
_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
2. Сформулировать определение показательной функции.
_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
3.Сформулируйте свойства функции и постройте график.
4. Сформулируйте свойства функции и постройте график.
а>1 0
5.Укажите, какие из заданных функций ограничены снизу:
А) y=4x-1
Б)
В)
6. Укажите, какие из заданных функций не ограничены сверху :
А) y=cos x
Б)
В)
7.Схематично изобразите график показательной функции:
Урок 2-3
Тема: «Показательные уравнения и неравенства».
1.Решите уравнение
1)
2) ;
3)
4)
Ответ:
2.Решить неравенство:
Ответ:
3. Тест
1.Найдите область определения функции .
-
( 0; 1);
-
(-∞; +∞);
-
(-∞;0] U[1; +∞);
-
(-∞;0) U (1; +∞).
2. Укажите промежуток, которому принадлежит корень уравнения
-
[-2; -1)
-
[-1; 1)
-
[1; 3)
-
[3; 5)
3. Найдите сумму корней уравнения 64х-17·8х+16=0.
-
-
-
5
-
8
4. График какой функции изображен на рисунке?
-
у = -2х
-
у = 2х
-
у = 2-х
-
у = -2-х
5. Решите неравенство ≥ 4.
-
(-∞; -4)
-
(-4; +∞)
-
(-∞;-4]
6. Найдите область определения функции y=3.
-
( 0; 1)
-
(-∞; +∞)
-
(-∞;0] U[1; +∞)
-
(-∞;0) U (1; +∞)
7. Укажите промежуток, которому принадлежит корень уравнения .
-
(0; 1)
-
(4; 6)
-
(2; 4)
-
(1; 3)
8. Найдите сумму корней уравнения
-
-
30
-
5
-
3
9. График какой функции изображен на рисунке?
-
у = -3х
-
у = 3-х
-
у = 3х
-
у = -3-х
10. Решите неравенство 0,2х-2> 5.
-
(-∞; 2)
-
(1; +∞)
-
(-∞; 1)
-
(-∞; 0]
Ответы:
Вопросы
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Урок 4
Тема: «Понятие логарифма».
1..Сформулировать понятие логарифма__________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
2.Заполни пропуски:
-
log a __ =0 для любого a_________.
-
Логарифм числа, равного основанию: loga a=__ при a__, a≠1.
-
Свойство логарифма степени основания: loga ap =__, где a>0, a≠1 и p - любое ______________ число.
3.Вычислите:
_____________________________________________________________
____________________________________________________________
__________________________________________________________
4. Найдите число х.
Ответы:
5. Вычислите:
Ответы:
Урок 5
Тема: «Логарифмическая функция, ее свойства и график».
-
Заполни пропуски:
Функцию вида y = loga(x), где a ___________________число не равное __________, называют логарифмической функцией с основанием а.
Основные свойства логарифмической функции:
1. Областью определения логарифмической функции будет являться ___________
2. Областью значения логарифмической функции будет являться все множество _________________________________чисел.
3. Если основание логарифмической функции a>1, то на всей области определения функции __________. Если для основания логарифмической функции выполняется следующее неравенство 0
4. График логарифмической функции всегда проходит через точку __________.
5. Возрастающая логарифмическая функция, будет положительной при ____, и отрицательной при __________.
6. Убывающая логарифмическая функция, будет отрицательной при _______, и положительной при ________.
7. Функция не является ____________________.
8. Функция ______________ максимума и минимума.
2.Сравните числа:
3.Решите графически неравенство:
Урок 6
Тема: «Свойства логарифмов».
1.Допишите свойства логарифмов:
(основное свойство логарифмов),
2.Тест
1.Найти корень уравнения
1) 13 2) 15 3) 19 4) 5
2.Найти наибольший корень уравнения
1) -2 2) -2 3) 2 4) 2
3.Найти наибольший корень уравнения
1) 5 2) -5 3) 1,5 4) -1,5
4.Укажите промежуток, которому принадлежит корень уравнения
5.Укажите промежуток, которому принадлежит корень уравнения
6.Укажите промежуток, которому принадлежит корень уравнения
7.Найти наименьший корень уравнения
1) -2 2) -4,5 3) 4,5 4) 2
8.Найти корень уравнения а в случае нескольких корней их сумму
1) 4 2) -1 3) 2 4) 1,5
1
2
3
4
5
6
7
8
4.Найдите число х по его логарифму:
1.
________________________________________________________________________________________________________________________________
2.
________________________________________________________________________________________________________________________________
5.Вычислите :
________________________________________
_____________________________
____________________________________________________________________________________________________________________________________
______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
Урок 7
Тема: «Логарифмические уравнения».
1
2
3
2
3
4
5.Тест ( поставьте + при выборе правильного ответа)
А1. Упростите выражение
1) 4; 2) 1; 3) 25; 4) 2; 5) 0
А2. Произведение корней уравнения
равно
1) 81; 2) 3) 81 4) 243; 5) 3
А3. Если х0 - корень уравнения
то значение
выражения равно
1) 11; 2) 17; 3) 16; 4) 14; 5) 12
А4. Корень уравнения (или их сумма)
принадлежит промежутку
1) (- 0,2; 0,1); 2) (15; 15,6);
3) (13,8; 14); 4) другой промежуток;
5) (14,1; 14,5)
А5. Произведение корней уравнения
равно
1) 2)
3) ; 4 ) 5)
Урок 8
Тема: «Логарифмические неравенства».
1.Заполните пропуски:
Решение логарифмических неравенств основано на монотонности логарифмической функции.
Поэтому решение неравенств вида logaf(x)>logag(x) сводится к решению соответствующих неравенств для функций ______________________
Если основание a>1, то переходят к неравенству f(x)>g(x) (знак неравенства ______________________, т.к. в этом случае логарифмическая функция _______________________.
Если основание 0<a<1, то переходят к неравенству f(x)<g(x) (знак неравенства___________________, т.к. в этом случае логарифмическая функция ________________________.
В обоих случаях дополнительно находят ОДЗ:
{f(x)>0g(x)>0 при условии, что основание __________________.
Полученное множество решений неравенства должно входить в ОДЗ, поэтому находят_________________________.
2. Решите логарифмическое неравенство log22x−9<0.
Выберите правильный ответ!
x ∈
-
(−8;8)
-
(18;8)
-
(0;8)
-
(−∞;8)
3. Решите неравенство:
а
б
в
Урок 9
Тема: «Переход к новому основанию логарифма».
-
Закончите Теорему:
Теорема
Пусть дан логарифм loga x.
Тогда для любого числа c такого, что c > 0 и c ≠ 1, верно равенство:
___________________________________________________________
В частности, если положить c = x, получим:
___________________________________________________________
2.Вычислите:
________________________________________________________________________________________________________________________________
____________________________________________________________________________________________________________________________________
3.
Оцените утверждения:
Да
Нет
№1. f(g(x)) = x, если x > 0 и f(x) = 1/x, g(x) = 1/x.
№2. f(g(x)) = x, если x > 0 и f(x) = , g(x) = x2.
№3. f(g(x)) = x, если x > 0 и f(x) = , g(x) = x2.
№4. f(g(x)) = x, если x > 0 и f(x) = 2x, g(x) = log2 x.
№5. f(g(x)) = x, если x > 0 и f(x) = 2x, g(x) = -log0,5 (1/x).
Урок 10
Тема: «Дифференцирование показательной и логарифмической функции».
1. На рисунке изображен график - производной функции , определенной на интервале . Найдите промежутки возрастания функции . В ответе укажите длину наибольшего из них.
2. На рисунке изображен график - производной функции , определенной на интервале . Найдите количество точек экстремума функции , принадлежащих отрезку .
3. Найдите наименьшее значение функции на отрезке .
4.Исследуйте на монотонность и экстремумы:
а) б)
Контрольная работа
Показательная и логарифмическая функции
А1. Вычислите .
А2. Решите уравнение: а) ; б) .
А3. Решите неравенство .
А4. Найдите область определения функции .
В1. Решите уравнение .
В2. Решите уравнение .
С1. Найдите сумму корней уравнения .
Решение:
__________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________