Конспект урока 11 класс «Решение показательных уравнений и систем уравнений»

Тема: «Решение показательных уравнений и систем уравнений».

Цель: 1. Систематизировать виды показательных выражений,

рассмотреть способы решений уравнений и систем уравнений.

Задачи:

1. Научить систематизировать показательные уравнения и их системы.

2. Развить умение применять алгоритмы решений показательных уравнений к различным видам уравнений и их систем.

3. Воспитывать ответственное отношение к изучаемой теме.

Ход урока:

1. Организационный момент. Сообщение темы и цели урока.

2. Повторение и закрепление пройденного материала.

1. ответы на вопросы по домашнему заданию (разбор нерешённых заданий).

2. Устный фронтальный опрос по теме «Показательная функция».

В.1. Какая функция называется показательной?

(ответ: Функция вида у = а^х, где а о, а ≠ 1, х - переменная, называется показательной функцией).

В.2. Почему основание а не должно быть равным 1 (а ≠ 1)?

(ответ: т.к при а=1 степень а^х при любом значении х равнялась бы 1 и тогда она не зависела бы от х).

В.3. Почему основание а должно быть обязательно положительным (а о)? (ответ: т.к. при а о степень а^х для многих значений х не была бы действительным числом. Например а = - 5, , то а^х будет , что не является действительным числом).

В.4. Какое число берётся из всех значений, если х равен дроби, а^х означает корень некоторой степени?

(ответ: берётся только одно арифметическое значение, т.е. неотрицательное число).

В.5. Повторить свойства:

а^х * а^у= а ^х+у

а^х : а^у = а ^х-у

(а^х)^у = а ^х*у

^m =

3. Изучение нового материала

1. Определение: Показательным уравнением называется уравнение котором неизвестное Х входит только в показатель степени при некоторых постоянных основаниях.

а) 2^х =; б) ^х = ; в) 3^х+1 + 3^х = 108

2. Способы решения показательных уравнений

1. Способ приведения к общему основанию

Алгоритм:

1) обе части уравнения приводим к одинаковому основанию;

2) приравниваем показатели степеней левой и правой частей уравнения, в результате чего получаем уравнение, способ решения которого известен;

3) Решаем полученное уравнение;

4) с помощью проверки определяем, какие из полученных значений переменной являются корнями данного показательного уравнения.

ПРИМЕР: 27 ^х = ;

1. Обе части уравнения приводим к основанию 3 (3³)^х =3^{- 4}

2. Приравниваем показатели 3х = - 4

3. Решив полученное уравнение имеем Х= -

4. Проверим:

=

=

Ответ: -

2. Способ введения новой переменной

Алгоритм:

1. Делаем замену переменной, приводящую к алгебраическому уравнению;

2. Решаем полученное алгебраическое уравнение;

3. Найденные значения корней алгебраического уравнения подставив в равенство, определяющее замену;

4. Найдём корни полученного уравнения;

5. С помощью проверки определяем, какие из этих корней являются корнями данного показательного уравнения.

ПРИМЕР: 3 ^2х+5 = 3 ^х+2 + 2

3 ^2х * 3⁵ = 3^х * 3² +2

(3^х)² * 243 = 3^х *9+2

3^х = у, тогда

243у² - 9*у-2 = 0 решив это уравнение, имеем

у₁=; у₂ = -

не может быть 3^х 0.

берём только у = 3^х = 3^х = 3^-2 х = -2

ответ: _______

3. Графический способ.

Используется в тех случаях, когда в показательном уравнении а^х = в, число В нельзя представить в виде степени числа а. Для решения уравнения на одной координатной плоскости строят графики функций у=а^х и у=в. Абсциссы точек пересечения графиков указанных функций будут решениями данного показательного уравнения.

4. Решение системы показательных уравнений.

ПРИМЕР 1:

умножим обе части второго уравнения на 2

+ почленно сложим уравнения

5 * =

2^х =

2^х = х=2 -подставим во второе уравнение системы

;

-;

-;

3^у = 1;

;

у = 0. Ответ: (-2; 0).

ПРИМЕР 2.

1-ый способ:

Первое уравнение почленно умножим на второе

(2 * 3)^х+у =

=

х + у = 3

у = 3 - х подставим в первое уравнение:

* = 12

= 12

= 12

^х = 12

()^х =

()^х = ()²

х = 2, у = 3 - 2 = 1. Ответ: (2;1)

5. Решение показательных уравнений, требующие применения различных алгебраических приёмов преобразования уравнений.

- 3 * - 10 * = 4

- можно вынести за скобки

* - * * 3 - 10 * = 4

() = 4

* 100 = 4

х = - 2

= -

Сгруппируем члены уравнение, содержащие степени числа 3, в левой части, а члены, содержащие степени числа 2, - в правой.

+ = +

+ = +

* (3+1) = * (1+)

* 9

* = * разделим обе части этого уравнения на правую часть

= 1 по свойствам степени

= 1

= 1

= 1

( = ()⁰

х - = 0

х =

Уравнение, решаемые разложением на множители

* * = 5400

* * = * *

Разделим обе части уравнения на его правую часть, получим

= 1 по свойствам степеней

* * = 1

* * = 1

(2 * 9 * 5)^х-2 = 1

= 90⁰

х-2 = 0

х = 2

Уравнения, содержащие помимо показательных другие функции.

2 *

Перенесём все члены уравнения в левую часть, сгруппируем их и вынесем общие множители за скобки и имеем:

2 * = 0

(2 * + (1- ) = 0

2 * () = 0

() * (2 ) = 0

т.к. произведение равно 0, если хотя бы один из множителей равен 0.

= 0 или 2 = 0

2

=

х = 0 х = (-1)ⁿ arcsin + π n,

х = (-1)ⁿ π n, n € z

Есть показательные уравнения, в которых для решения приходится вводить две новые переменные.

+ ^² - 2 *

()² + ()² - 2 * * = 0

= а

получаем

а² + b² - 2 аb = 0

по формуле сокращенного умножения

(а - b)² = 0 следовательно а = b

т.е. =

х + 6 = х²

х² - х - 6 = 0

D=25, х₁ = - 2, х₂ = 3

Уравнения, решаемые с помощью их специфики.

7^х + 24^х = 25^х

Можно угадать, что корень уравнения равен 2.

х = 2, действительно 7² + 24² = 25²

Разделим все члены уравнения на его правую часть, получим

()^х + ()^х = 2

Функции ()^х и ()^х убывающие, т.к. основания меньше 1.

Сумма этих функций является функцией убывающей. Поэтому по теореме о корне данное уравнение имеет единственное решение. у

Уравнения, решаемые графически.

3 у₂

построим график функции у₁ = и у₂ = у₁ х

Видно, что графики этих функций пересекаются 2

в единственной точке А, абсцисса х = 2 которой

является решением данного уравнения.

Закрепление новой темы. Решить в классе упр.596,598,600,602(нечетные)

Д/З упр.596,598,600(четные)