Методическая разработка «Старинные способы решения задач на смешивание веществ»

Государственное казенное общеобразовательное учреждение Калужской области «Областной центр образования»

Методическая разработка

«Старинные способы решения задач на смешивание веществ»

Автор: Стоян Ирина Борисовна, учитель математики высшей категории, почетный работник общего образования РФ, педагогический стаж 30 лет

г. Калуга, 2016

Содержание

1. Введение

стр. 3

2. Основная часть. Старинные способы решения задач на смешение веществ

2.1. Старинный способ решения задач на смешение веществ, описанный в «Арифметике» Леонтия Филипповича Магницкого

2.1.1. Описание способа Магницкого.

стр.3

2.1.2. Тайна «золотой рыбки»

стр.4

2.1.3. Современные задачи на смеси и сплавы

стр.5

2.2. Метод решения задач на определение концентрации смеси, описанный в сочинении Шридхары «Патиганита»

стр.9

2.3. Применение формулы Шридхары для решения современных задач и оценка её эффективности

стр. 9

2.4.Смешивание трех веществ

стр.10

3. Заключение

стр. 11-12

Библиографический список

стр. 12

1.Введение

Кто хочет ограничиться настоящим, без знания прошлого, тот никогда его не поймёт.

Г.В.Лейбниц

Потребность в смешивании различных веществ появилась ещё в древности. Люди опытным путем находили необходимое соотношение смешиваемых веществ. В результате длительной практической деятельности, отчасти путем математических рассуждений, были выработаны правила, которые стали использовать для решения задач и включать во все учебники по арифметике. Возникла гипотеза: можно ли использовать эти арифметические правила для решения современных задач на сплавы и растворы, которые мы решаем с помощью уравнений или систем уравнений? А если возможно, то насколько эффективен и рационален этот прием.

Цель работы: рассмотреть возможность и рациональность применения старинных способов решения задач на смешивание веществ.

Задачи:

1. Изучить старинные способы решения задач на смешивание веществ.

2. Оценить эффективность применения старинных способов для решения алгебраических задач на сплавы и растворы.

3. Сделать выводы о возможности и рациональности применения старинных методов для решения современных задач.

Объект исследования: способы решения задач на сплавы и растворы.

Предмет исследования: старинные правила решения задач на смешивание, описанные в «Арифметике» Леонтия Филипповича Магницкого и сочинении Шридхары «Патиганита» (IX век).

2. Основная часть. Старинные способы решения задач на смешение веществ

2.1. Старинный способ решения задач на смешение веществ, описанный в «Арифметике» Леонтия Филипповича Магницкого

2.1.1. Описание способа Магницкого.

Рассмотрим старинный способ решения задач на смешение веществ, описанный в книге «Старинные занимательные задачи»¹.

Задача 1. У некоторого человека были продажные масла: одно 10 гривен за ведро, другое же 6 гривен за ведро. Захотелось ему сделать из этих двух масел, смешав их, масло ценою 7 гривен за ведро. Какие части этих двух масел нужно взять, чтобы получить ведро масла стоимостью 7 гривен?

Решение. Друг под другом пишутся стоимости имеющихся масел, слева от них и примерно посередине - стоимость масла, которое должно получиться после смешения. Соединив написанные числа черточками, получим такую картину:

6

7

10

Меньшую цену вычтем из цены смешанного масла, и результат поставим справа от большей цены. Затем из большей цены вычтем цену смешанного масла, а то, что останется, напишем справа от меньшей цены. Получится такая картина:

6 3

7

1

10

Из нее делается заключение, что дешевого масла Нужно взять втрое больше, чем дорогого, т.е. для получения 1 ведра масла ценой 7 гривен нужно взять дорогого масла ведра, а дешевого ведра.

2.1.2. Тайна «золотой рыбки»

Заметим, что схема, которая применяется в старинном способе, похожа на рыбку, назовем ее «золотой рыбкой» и попробуем раскрыть ее секрет.

Решим рассмотренную выше задачу с помощью системы уравнений, приняв за x - количество частей масла за 10 гривен за ведро, y - количество частей масла за 6 гривен за ведро.

Имеем систему уравнений:

Ответы совпали, но тайну «золотой рыбки» не раскрыли.

Решим эту задачу в общем виде. Пусть имеется ведро масла за a гривен и ведро масла за b гривен. Требуется получить ведро масла за c гривен. Будем считать, что a<c<b. Примем за x - количество частей масла за a гривен за ведро, y - количество частей масла за b гривен за ведро.

Разделим обе части уравнения на :

.

Но именно это соотношение и дает старинный способ. Тайна «золотой рыбки» раскрыта.

Рассмотренное правило на смешения позволяло решать задачи на смеси и сплавы механически, записывая числа в соответствии с действующим правилом и выполняя простые вычисления.

2.1.3. Современные задачи на смеси и сплавы

Задача 2. Имеется два раствора 68-процентной и 78-процентной серной кислоты. Сколько надо взять каждого раствора серной кислоты, чтобы получить 100 г 70-процентного раствора серной кислоты?

Решение. Для составления системы уравнений предложим способ «желтка и белка», изобразив растворы в виде куриных яиц. Этот способ намного упрощает и ускоряет решение подобных задач.

А «золотая рыбка» дает ответ сразу:

Рассмотрим задачу №23 из КИМов государственной итоговой аттестации по математике (вариант №1113, 2011 год).

Задача 3. При смешивании первого раствора кислоты, концентрация которого 20%, и второго раствора этой же кислоты, концентрация которого 50%, получили раствор, содержащий 30% кислоты. В каком отношении были взяты первый и второй растворы?

Ответ: в отношении 2:1.

В задачах, где раствор разбавляется водой, последнюю считают имеющей нулевую концентрацию, так как в ней данное вещество не содержится.

Задача 4. Морская вода содержит 5% соли по массе. Сколько пресной воды нужно добавит к 30 г морской воды, чтобы концентрация соли составляла 1,5 %?²

Решение. Получаем, что воды надо взять в раза больше:.

Ответ.70 г.

Рассмотрим случай, когда концентрации растворов не указаны, но дано отношение концентраций взятого вещества и полученной смеси.

Задача 5. Сколько пресной воды надо добавить в 4 кг морской, чтобы уменьшить содержание соли в ней в 2,5 раза?

Решение. По условию концентрацию морской воды находить не надо. Поэтому возьмем наименьшие натуральные числа, для которых заданное отношение выполняется:

Получаем, что на 2 части морской воды надо взять 3 части пресной.

Ответ. 6 кг.

В более сложных задачах «золотая рыбка» не дает моментальный ответ, но значительно облегчает составление уравнений и систем уравнений.

Задача 6. Имеются три слитка. Первый слиток весит 50 г, второй - 30 г; каждый из этих двух слитков содержит по 30% серебра. Если первый слиток сплавить с третьим, то получившийся сплав будет содержать 56% серебра; если же сплавить второй и третий слитки, то в полученном сплаве будет 60% серебра, Найдите массу третьего слитка и процентное содержание серебра в нем³.

Решение. Примем за x - процентное содержание серебра в третьем слитке, а за y - его массу.

«Золотая рыбка», составленная по I условию, «автоматически» даст следующее уравнение:

Вторая «золотая рыбка» даст второе уравнение:

Получили следующую систему уравнений:

4y - 400 = 0,

y = 100,

Ответ. Масса третьего слитка 100г, процентное содержание серебра 69%.

2.2. Метод решения задач на определение концентрации смеси, описанный в сочинении Шридхары «Патиганита»

В практической деятельности часто приходилось смешивать определенные количества веществ различной концентрации, но при этом не была известна концентрация полученной смеси. Правило решения задач такого рода описывалось в сочинении Шридхары «Патиганита» (IX век), которое можно представить в виде формулы

, где V - концентрация смеси, Wi - масса вещества, Vi - концентрация вещества, i = 1,…k.

Задача 7( Шридхары). Три слитка золота массой 9, 5 и 17 маша и пробой 12,10 и 11 варна соответственно, сплавили в один. Какой пробы получилось это золото?

Решение.

2.3. Применение формулы Шридхары для решения современных задач и оценка её эффективности

Сравним эффективность применения этих двух методов. Решим предыдущие задачи с помощью формулы Шридхары.

Задача 2. Имеется два раствора 68-процентной и 78-процентной серной кислоты. Сколько надо взять каждого раствора серной кислоты, чтобы получить 100 г 70-процентного раствора серной кислоты?

Можно использовать эту формулу для составления системы уравнений:

Но мы видим, что в данной задаче способ «золотой рыбки» дает более короткое решение.

Задача 3. При смешивании первого раствора кислоты, концентрация которого 20%, и второго раствора этой же кислоты, концентрация которого 50%, получили раствор, содержащий 30% кислоты. В каком отношении были взяты первый и второй растворы?

Решение. Поскольку нас интересует отношение растворов, примем количество частей первого раствора за х, а второго за 1. Получим уравнение: , которое легко решить методом подбора: .

Но мы видим, что и в данной задаче способ «золотой рыбки» дает более короткое решение.

Задача 6. Имеются три слитка. Первый слиток весит 50 г, второй - 30 г; каждый из этих двух слитков содержит по 30% серебра. Если первый слиток сплавить с третьим, то получившийся сплав будет содержать 56% серебра; если же сплавить второй и третий слитки, то в полученном сплаве будет 60% серебра, Найдите массу третьего слитка и процентное содержание серебра в нем⁴.

Формула Шридхары позволяет составить систему уравнений автоматически, система получается проще, и в данной задаче наиболее эффективна, чем схема «золотая рыбка».

2.4.Смешивание трех веществ

Задача 7. Имеет некто чай трех сортов - цейлонский по 5 гривен за фунт, индийский по 8 гривен за фунт и китайский по 12 гривен за фунт. В каких долях нужно смешать эти три сорта, чтобы получить чай стоимостью 6 гривен за фунт?

Приведем способ решения из «Арифметики» Л.Ф.Магницкого:

«А когда случится мешати три товара из них же зделати четвертый по желаемой цене и тогда един перечень малейший дважды в правиле полагается. Яко же зде видимо есть:

Итак, надо взять 1 часть китайского чая, 1 часть индийского, 8 частей цейлонского.

Проверим решение:

Аналогично решаются задачи с большим количеством элементов.

Задача 8. Из четырех вин ценою 18, 20, 28 и 30 копеек за галенок надо получить вино по 25 копеек за галенок. Сколько частей каждого вида следует взять?

Решение. Задача на смешение четырех веществ имеют не единственное решение.

Надо взять по части вина ценой 18 и 28 копеек, - за 20 копеек, - за 30 копеек.

Надо взять по части вина ценой 20 и 30 копеек, - за 18 копеек, - за 28 копеек.

Итак, заметим, что при смешивании трех и четырех веществ понадобились две «золотые рыбки».

Заключение

Несколько лет я являлась членом муниципальной экзаменационной комиссии. Изложенными в работе способами решение задач на смешивание веществ пользовались единицы. Опрос членов экзаменационной комиссии подтвердил, что эти способы выпускникам базовой школы малоизвестны. Работы с такими способами решения встречались крайне редко. А ведь при применении способа Магницкого задача №23 из КИМов государственной итоговой аттестации по математике, решение которой оценивалось в 4 балла, становится устной (см. п. 2.1.3.). Метод решения задач на определение концентрации смеси, описанный в сочинении Шридхары «Патиганита», также упрощает решение этой задачи.

Новое - хорошо забытое старое. Арифметические правила для решения современных задач на сплавы и растворы, которые мы решаем с помощью уравнений или систем уравнений, не потеряли свою актуальность и эффективность и по сей день.

Библиографический список

1. Олехник С.Н., Нестеренко Ю.В., Потапов М.К. Старинные занимательные задачи . - 2-е изд., испр. - М.: Наука. Главная редакция физико-математической литературы, 1988. - 160 с.

2. Сборник конкурсных задач по математике для поступающих во втузы /В.К.Егерев [и др.]; под ред. М.И.Сканави. - М.: Изд-во «Высшая школа»,1978. - 514 с.

3. Проценты: Методическая разработка для учащихся заочного отделения МММФ /Автор-составитель А.В.Деревянкин. - М.: Изд-во центра прикладных исследований при механико-математическом факультете МГУ, 2007. - 12 с.

1 Олехник С.Н., Нестеренко Ю.В., Потапов М.К. Старинные занимательные задачи . - 2-е изд., испр. - М.: Наука. Главная редакция физико-математической литературы, 1988. - 160 с., с.25

2 Сборник конкурсных задач по математике для поступающих во втузы /В.К.Егерев [и др.]; под ред. М.И.Сканави. - М.: Изд-во «Высшая школа»,1978. - 514 с., с.281.

3 Проценты: Методическая разработка для учащихся заочного отделения МММФ /Автор-составитель А.В.Деревянкин. - М.: Изд-во центра прикладных исследований при механико-математическом факультете МГУ, 2007. - 12 с.

4 Проценты: Методическая разработка для учащихся заочного отделения МММФ /Автор-составитель А.В.Деревянкин. - М.: Изд-во центра прикладных исследований при механико-математическом факультете МГУ, 2007. - 12 с.