Конспект занятия Действительные числа

БОУ СПО «Чебоксарский медицинский колледж» Минздравсоцразвития Чувашии

Конспект урока по алгебре
в 10 классе

Действительные числа.

подготовила

преподаватель математики

Вернова Наталья Евгеньевна

Чебоксары 2014

Дисциплина:

Алгебра

Семестр: 1 семестр

Курс: 1, (класс:10)

Тема:

Действительные числа.

Тип занятия:

Урок овладения новым материалом.

Вид занятия:

Аудиторное теоретическое занятие

Цели занятия:

Образовательные:

- рассмотреть множество иррациональных чисел;

- рассмотреть множество действительных чисел;

- рассмотреть правила выполнения действий с бесконечными десятичными дробями;

- ввести понятие модуля действительного числа;

- дать определение бесконечно убывающей геометрической прогрессии

- сформировать умение нахождения суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии;

- сформировать желание самостоятельно изучать материал;

Воспитательные:

- воспитывать положительное отношение к приобретению новых знаний;

- воспитывать ответственность за свои действия и поступки;

- вызвать заинтересованность новым для студентов подходом изучения математики.

Развивающие:

- формировать навыки познавательного мышления;

- формировать умения и навыки учебного труда.

Методы обучения:

Лекция объяснительно - иллюстрированная

Планируемый результат:

Студент знает:

Определение иррационального числа. Множество действительных чисел. Определение модуля действительного числа. Определение бесконечно убывающей геометрической прогрессии. Формулы геометрической прогрессии. Формулу суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии. Умеет выполнять действия с бесконечными десятичными дробями. Умеет находить сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии.

Структура занятия:

1. Устная работа

2. Объяснение темы «Действительные числа»

1. Определение иррационального числа

2. Множество действительных чисел

3. Действия с бесконечными десятичными дробями

4. Модуль действительного числа

3. Решение тренировочных упражнений из учебника на закрепление темы (№9,10) (нечетные пункты)

4. Объяснение темы «Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия»

1. Геометрическая прогрессия (повторение)

2. Основные формулы геометрической прогрессии (повторение)

3. Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия

4. Решение ключевой задачи №1

5. Формула суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии

6. Решение ключевых задач №2, №3, №4

5. Решение тренировочных упражнений на закрепление темы (нечетные пункты).

6. Самостоятельная работа.

7. Домашнее задание.

1

Устная работа:

Переведите в десятичную дробь:

Переведите в обыкновенную дробь:

2

Объяснение темы «Действительные числа»:

1. Определение иррационального числа

Определение

Иррациональным числом называется бесконечная десятичная непериодическая дробь.

Иррациональные числа, как и рациональные, могут быть положительными и отрицательными.

Например, число 0,123456…., в котором после запятой записаны подряд все натуральные числа, является положительным иррациональным числом. Число -5, 246810…., в которм после запятой записаны подряд все четные числа, является отрицательным иррациональным числом.

Числа также являются иррациональными, так как можно доказать, что они могут быть представлены в виде бесконечных десятичных непериодических дробей.

2. Множество действительных чисел

Рациональные и иррациональные числа образуют множество действительных чисел.

3. Действия с бесконечными десятичными дробями.

Известно как выполняются действия над конечными десятичными дробями. Арифметические операции над действительными числами, т.е. бесконечными десятичными дробями, заменяются операциями над их приближениями.

Например, вычислим приближенные значения

Решение:

1. Воспользуемся калькулятором и найдем значения и

Имеем

2. Найдем с точностью до единицы

и , тогда

3. Найдем с точностью до одной десятой

и , тогда

4. Найдем с точностью до одной сотой

и , тогда

Анальгично, вычисляя произведение с точностью до 0,1, получаем

Все основные действия над рациональными числами сохраняются и для действительных чисел (переместительный, сочетательный и распределительный законы, правила сравнения, правила раскрытия скобок и т.д.).

4. Модуль действительного числа

Определение.

Модуль действительного числа обозначается и определяется так же, как и модуль рационального числа:

3

Решение тренировочных упражнений

№9. Выяснить, каким числом (рациональным или иррациональным) является числовое значение выражения:

Решение: Перемножим скобки

Ответ: является рациональным числом

Решение: Перемножим скобки

Ответ: является иррациональным числом

Решение: Раскроем скобки (распределительный закон)

Ответ: является рациональным числом

Решение: Раскроем скобки (распределительный закон)

Ответ: является рациональным числом

Решение: Раскроем скобки (формулы сокращенного умножения)

Ответ: является рациональным числом

Решение: Раскроем скобки (формулы сокращенного умножения)

Ответ: является иррациональным числом

№10. Вычислить:

4

Объяснение темы «Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия»:

1. Геометрическая прогрессия

Геометрической прогрессией называется такая числовая последовательность что для всех натуральных выполняется равенство

Например,

2. Основные формулы геометрической прогрессии

1. Формула -го члена геометрической прогрессии:

2. Формула суммы первых членов геометрической прогрессии:

, если

3. Если , то

3. Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия

Среди геометрических прогрессий особый интерес представляют бесконечно убывающие геометрические прогрессии.

Пример. Рассмотрим квадраты, изображенные на рисунке. Сторона первого квадрата равна 1, сторона второго равна , соторна третьего и т.д.

Таким образом, стороны квадратов образуют геометрическую пргрессию со знаменателем :

Площади этих квадратов образуют геометрическую прогрессию со знаменателем

Из рисунка видно, что стороны квадратов и их площади с возрастанием номера становятся все меньше, приближаясь к нулю. Поэтому каждая из прогрессий (1) и (2) называется бесконечно убывающей.

Рассмотрим геометрическую прогрессию

Знаменатель этой прогрессии , а ее члены

С возрастанием номера члены этой прогрессии приближаются к нулю. Эту прогрессию так же называют бесконечно убывающей. Ометим, что модуль ее знаменателя меньше единицы:

Определение.

Геометрическая прогрессия называется бесконечно убывающей, если модуль ее знаменателя меньше единицы.

3. Решение ключевой задачи

Задача №1.

Доказать, что геометрическая прогрессия, заданная формулой -го члена , является бесконечно убывающей.

Решение:

1. Найдем первый и второй члены заданной геометрической прогрессии:

2. Найдем знаменатель геометрической прогрессии:

3. Так как модуль полученного знаменателя меньше единицы, т.е. , то по определению данная геометрическая прогрессия является бесконечно убывающей.

3. Формула суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии

Рассмотрим квадрат состороной равной единице. Отметим штриховкой его половину, затем половину оставшейся части и т.д. Площади заштрихованных прямоугольников образуют бесконечно убывающую геометрическую прогрессию

Если заштриховать все полученные таким образом прямоугольники, тоштриховкой покроется весь квадрат. Естественно считать, что сумма площадей всех заштрихованных прямоугольников равна единице, т.е.

Выведем формулу суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии с помощью формулы суммы первых членов геометрической прогрессии

1. Запишем ее так:

2. Так как , то, ,

поэтому

3. Таким образом, сумма S бесконечно убывающей геометрической прогрессии вычисляется по формуле:

(4)

4. Из формулы (4) при получаем .

5. Это равенство обычно записывают так:

Заметим, что это равенство справедливо при , в частности при

3. Решение ключевых задач

Задача №2. Найти сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии

Решение:

1. Выпишем и и найдем :

Задача №2. Найти сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии, если ,

Решение:

1. Необходимо найти , поэтому воспользуемся формулой , тогда

2. Подставим данные,

Задача №4. Записать бесконечную периодическую десятичную дробь 1,1(3) в виде обыкновенной.

Решение:

1. Число 1,1(3) можно записать в виде суммы

Сумма слагаемых, начиная со второго, является суммой бесконечно убывающей геометрической прогрессии.

2. Тогда

3. Получаем,

4. Учитывая исходные данные, получаем 1,1(3)

5

Решение тренировочных упражнений из учебника «Алгебра и начала анализа 10-11» на закрепление темы:

№17. Вычислить:

3)

4)

№18. Найти сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии, если

1. ,

Решение:

2. ,

Решение:

3. ,

Решение:

4. ,

Решение:

№19. Найти сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии

1. Выпишем и и найдем :

1. Выпишем и и найдем :

№20. Записать бесконечную периодическую десятичную дробь в виде обыкновенной дроби.

Решение:

1. Представим

Сумма слагаемых является суммой бесконечно убывающей

геометрической прогрессии.

2. Тогда

3. Получаем,

2. Итак, 0,(5)

Решение:

1. Представим

Сумма слагаемых является суммой бесконечно убывающей

геометрической прогрессии.

2. Тогда

3. Получаем,

2. Итак, 0,(8)

6

Самостоятельная работа

Вариант 1.

Вариант 2.

1. Выяснить, является ли бесконечно убывающей геометрической прогрессией последовательность заданная формулой -го члена

Решение:

1. 

2. 

3. 

4. является бесконечно убывающей геометрической прогрессией по определению.

1. Выяснить, является ли бесконечно убывающей геометрической прогрессией последовательность заданная формулой -го члена

Решение:

является бесконечно убывающей геометрической прогрессией по определению.

2. Найти сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии

1. ,

Решение:

2. Найти сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии

1. ,

Решение:

Решение:

1. Выпишем и и найдем :

Решение:

1. Выпишем и и найдем :

, ;

Решение:

1. ,

2. ,

3. 

3. ;

Решение:

1. ,

2. ,

3. 

3)Записать бесконечную периодическую десятичную дробь 1,(5) в виде обыкновенной дроби

Решение:

1. Представим

Сумма слагаемых, начиная со второго, является суммой бесконечно убывающей геометрической прогрессии.

2. Тогда

3. Получаем,

2. Итак, 1,(5)

3. Записать бесконечную периодическую десятичную дробь 2,(8) в виде обыкновенной дроби

Решение:

1. Представим

Сумма слагаемых, начиная со второго, является суммой бесконечно убывающей геометрической прогрессии.

2. Тогда

3. Получаем,

2. Итак, 2,(8)

4)Записать бесконечную периодическую десятичную дробь 0,01(2) в виде обыкновенной дроби

Решение:

1. Представим

Сумма слагаемых, начиная со второго, является суммой бесконечно убывающей геометрической прогрессии.

2. Тогда

3. Получаем,

Итак, 0,01(2)

4)Записать бесконечную периодическую десятичную дробь 3,02(3) в виде обыкновенной дроби

Решение:

1. Представим

Сумма слагаемых, начиная со второго, является суммой бесконечно убывающей геометрической прогрессии.

2. Тогда

3. Получаем,

Итак, 3,02(3)

7

Домашнее задание: Решение №17, №18, №19, №20- четные пункты.

Литература

1. Ш.А. Алимов, Ю.М. Колягин, М.В. Ткачева и др. Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы. - Москва: Просвещение, 2011г.

М.И. Шабунин, М.В. Ткачева и Н.Е. Федорова, Р.Г. Газарян. Алгебра и начала математического анализа. Дидактические материалы 10 класс. - Москва: Просвещение, 2011г