Проблемно эвристический урок в 10 классе по теме: Производная и ее применение в математике и физике

Проблемно эвристический урок

в 10 классе

по теме: "Производная и ее

применение в математике
и физике'"

Черниогло Валентина Геннадьевна,

учитель математики первой

квалификационной категории

МОУ «Бендерская гимназия №2»

2014

Проблемно эвристический урок на тему:

«Производная и ее применение в математике и физике»

Цели урока:

1. Образовательные:

• проконтролировать степень усвоения понятия производной (геометрический и физический смысл производной, непрерывность функции и уравнения касательной, экстремумы функции, наибольшее и наименьшее значение функции);

• Систематизация знаний по данной теме

• Формирование навыков самоконтроля и взаимоконтроля

2. Воспитательные цели:

- воспитание коллективизма, отзывчивости и работоспособности.

3. Развивающие цели:

• умение выделять главное. Сравнивать и обобщать.

• развитие самостоятельности

• развитие умений преодолевать трудности

• умение показать единство теории математики и физики.

План урока.

1. Историческая справка.

2. Ярмарка знаний.

3. Групповая работа.

4. Фронтальный опрос

5. Путаница.

6. Работа над ошибками

7. Постановка проблемы о применении производной в курсе физики.

8. Подведение итогов.

Содержание работы:

1. Исторические сведения.

Дифференциальное исчисление создано Ньютоном и Лейбницем в конце 17 столетия. Понятие производной встречалось в работах итальянского математика Тартальи (около 1500 - 1557 гг.) - здесь появилась касательная в ходе изучения вопроса об угле наклона орудия, при котором обеспечивается наибольшая дальность полета снаряда.

В 17 веке на основе учения Г.Галилея о движении активно развивалась кинематическая концепция производной. Различные изложения стали встречаться в работах у Декарта, французского математика Роберваля, английского ученого Л. Грегори, а также в работах Ньютона.

Большой вклад в изучение дифференциального исчисления внесли Лейбниц, Лопиталь Бернулли, Лагранж, Эйлер, Гаусс.

2. Ярмарка знаний: (10 мин)

1. Дайте определение производной

2. В чем заключается геометрический смысл производной?

3. В чем заключается физический смысл производной?

4. Какая функция называется непрерывной?

5. Уравнение касательной.

6. На промежутке (0;2) у'(х)>0, на промежутке (2;3>) у'(х)<0. Является ли точка х = 2 точкой минимума?

7. Функция у(х) непрерывна в точке х = 3, причем у'(х)<0 на (2;3) и у'(х)>0 на промежутке (3;4). Является ли точка х = 3 точкой максимума?

8. Является ли точка х = 2 критической для функции у(х), если Д(у) = [-3 ;2]?

9. Для функции производная равна l/(). В точке х = 0 производная не существует, значит х = 0 - критическая точка. Верно ли?

10. На отрезке [а;b] функция имеет максимумы, равные 2 и 5, причем у(а) = -3 и у(b)=6. Верно ли, что наибольшее значение функции равно 5, а наименьшее значение равно -3?

3. Групповая работа. (10 мин)

Создано 5 рабочих групп, которым предлагаются вопросы, подготовленные на карточках.

1 . Является ли непрерывной функция у(х)? Чему равно значение функции в точке х=0?

2 . Существует ли производная функция у(х) в точке х=а?

3. Найдите значения производных в заданной точке:

1. у(х) = 4х-1, у'(2)- ?

2. у(х) = 9 - 4х², у'(-2) - ?

3. у(х) = 16х² - 9х, у' /(1/2) - ?

4. у(х) = 4 - 25х², у'(х) - ?, х = 1/2.

5. у(х) = 10x-18х², у' (1/2)-?

6. у(х) = (2 + х²)/х, у'(-1) - ?

7. у(х) = (1 -2х²)/х, у'(-1)-?

8. у(х) = (4 - 3х)/х, у'(-1) - ?

9. у(х) = (2 - 5х)/х, у'(-1) - ?

10. у(х) = (3 - 4х)/х, у'() - ?

3. Фронтальный опрос (5 мин)

Цель: проверка знаний по некоторым формулам дифференцирования, по определению производной, геометрическому смыслу производной.

а) Найти производные функций: х², х, Кх - b, С, 1/х, |х|

б) Что означает y' (x)=0?

в) Δу/Δх - >?

г) к=? (к - угловой коэффициент касательной)

д) Знак производной в зависимости от угла наклона касательной к положительному направлению оси абсцисс.

е) Привести пример функции, не имеющей производную в некоторой точке.

3. Путаница (5 мин)

Задание выполняется двумя учащимися у доски во время проведения фронтального опроса.

1. У(х₀ + х)

2. У(х₀ - х) - У(х₀)

3. х-х₀

4. (х)'

5. (С)'

6. (1/х)'

7. () '

8. Определение производной.

9. Угловой коэффициент касательной равен…

10. Является ли дифференцируемая функция непрерывной?

Ответы: у(х), Δу, Δх, 1,0, -1/х², 1/2, Δу/Δх->у'(х₀), у'(х₀), да

6. Наши ошибки (10 мин)

Предлагаются для обсуждения вопросы, которые содержат часто встречающиеся ошибки. Иногда перед нами возникают проблемы и трудности в решении задач на использование производной. Попробуем их избежать.

1. Определяя точки минимума функции, учащийся нашел, при каких значениях аргумента значения функции равны 0. Затем из этих значений он выбрал те, проходя через которые, функция меняет знак с «-» на «+». Эти точки он назвал точками минимума. Прав ли он?

2. Определяя точки минимума функции, учащийся нашел те значения аргумента, при которых производная обращается в 0. Эти точки он назвал точками минимума. Прав ли он?

3. График производной. Определяя точки минимума, ученик указал точку х=2. Прав ли он?

4. График производной. Определяя точки минимума, ученик указал точки х =-4, х=1, х=3. Прав ли он?

5. График производной. Определяя точки максимума, ученик указал точки х = - 2. Прав ли он?

7. Постановка проблемы о применении производной в курсе физики. (10 мин)

1) Где при изучении темы "Механические колебания" мы встречаемся с применением производной? (ответ: при нахождении скорости и ускорения)

2) Мы берем производную чего? (ответ: координаты)

3) Записать уравнение координаты колеблющегося тела.

4) Как называется колебания, которые описываются этим уравнением? (гармонические).

5) Какие колебания называются гармоническими?

6) Чем отличаются уравнения: x=x_mCos(ω₀t+ φ₀) от х= x_mSin ω₀t?

Задача. Материальная точка массой 0,01 кг соверщает гармонические колебания по закону косинуса с периодом 2сек и начальной фазой равной нулю. Полная энергия колеблющейся точки 1*10^-4 Дж. Найти амплитуду колебаний; написать уравнение данных колебаний; найти наибольшее значение силы, действующей на точку.

Решение

Запишем уравнение гармонических колебаний без начальной фазы.

X=XmCos ω₀t,

Ω=2π/Т. Е=тν ²/2.

Как найти скорость?

V=-X_m ω sin ωt

Ек=mХ² _m ω ² Sin ωt/2

Полная энергия колеблющейся точки равна максимальному значению кинетической энергии точки E=Ekmax⁼ mX² _m ω ²/2 Отсюда

X_m = 1/ ω 2*E/m=0.045 м; 0=2л/Т

Уравнение данного колебания может быть представлено в виде:

X=0,045Cosπt.

Ускорение колеблющейся точки

а=-Х_m ω ² cos ωt

a_max= Х_m ω ²

Следовательно, согласно второму закону Ньютона максимальная сила, действующая на точку,

F_m= ma_max= -mX_m ω ² =-4.44* 10^-3 Н.

Ответ: Х_m =0.045м, X=0.045Cosπt, F_m = -4.44*10^-3 Н.

8. Подведение итогов.

Сегодня на уроке вы убедились, насколько тесно связаны два очень сложных и интересных предмета математика и физика. Несмотря на то, что математические и физические понятия описываются разными формулами, но подходы к решению и методы их решения одинаковы.