Поурочная разработка по комбинаторике

Поурочная разработка темы «Элементы комбинаторики»

Работа предназначена для учителей математики, чтобы оказать практическую помощь при подготовке к урокам по курсу «Теория вероятностей и статистика». В работе предложены поурочные планы по главе VIII «Элементы комбинаторики» учебника «Теория вероятностей и статистика» Ю.Н. Тюрина, А.А. Макарова, И.Р. Высоцкого, И.В. Ященко.

Элементы комбинаторики

Комбинаторика - раздел математики, который учит учащихся рассуждать, перебирая различные варианты решения задачи, нестандартно мыслить, развивает воображение и смекалку, что повышает их заинтересованность в изучении математики.

Урок № 1. Правило умножения

Цели урока:

 познакомить учащихся с новым разделом математики - «Комбинаторика»;

 познакомить учащихся с основными способами подсчета числа различных комбинаций элементов;

 показать учащимся правило умножения и закрепить его решением примеров.

Ход урока

Объяснение нового материала

В повседневной жизни часто приходится выбирать различные варианты принятия решения. Чтобы не упустить ни один из них, надо осуществить перебор всех возможных комбинаций или подсчитать их число. Такие задачи получили название комбинаторных задач, а раздел математики, в котором они рассматриваются, назвали комбинаторикой.

Начнем знакомство с новыми понятиями с простой задачи, но решим ее тремя различными способами.

Задача. Сколько двузначных чисел можно составить из цифр 1, 3 и 5?

Решение. Способ I (простой перебор). Будем выписывать числа в порядке возрастания, а чтобы не пропустить и не повторить ни одно из чисел, составим таблицу:

11

13

15

31

33

35

51

53

55

Первая цифра числа - номер строки, вторая цифра - номер столбца. Искомых чисел будет столько, сколько клеток в таблице, то есть 3 · 3 = 9.

Ответ: 9.

Способ II (использование дерева возможных вариантов).

Всего 3 · 3 = 9 различных двузначных чисел.

Ответ: 9.

Комментарий. Этот способ нагляден, как всякая картинка, и позволяет все учесть, ничего не пропустив.

Способ III. Ответ на вопрос, поставленный в задаче, можно получить, не выписывая сами числа. Будем рассуждать так.

Первую цифру можно выбрать тремя способами. Вторую цифру также можно выбрать тремя способами. Всего 3 · 3 = 9 различных двузначных чисел.

Ответ: 9.

Комментарий. Этот способ позволяет в один шаг решать самые разнообразные задачи.

Третий способ решения данной задачи называется комбинаторным правилом умножения.

Если элемент x можно выбрать m способами, а элемент y можно выбрать n способами, то упорядоченную пару элементов (x; y) можно выбрать m · n способами.

Когда выбираются более двух элементов, тогда их упорядоченный набор можно выбрать, перемножая количества способов выбора каждого элемента.

У каждого из этих способов есть свои преимущества и свои недостатки.

Закрепление изученного материала

 П. 39, № 1 (а; б) (устно), № 2 (а; б), 3, 5 - на доске и в тетрадях.

 П. 39, № 7^* - решение объясняет учитель.

Второй класс, в котором 23 ученика, но мальчиков меньше, чем девочек, отправился на экскурсию в музей. За время экскурсии каждый мальчик по одному разу дернул за косичку каждую девочку. Сколько мальчиков и сколько девочек в классе, если всего было произведено 132 дергания за косички?

Решение. 1. Пусть в классе m мальчиков и n девочек, тогда по комбинаторному правилу умножения число комбинаций равно m · n.

2. В классе m мальчиков, тогда (23 - m) девочек. Произведено m· (23 - m) дерганий за косички, что по условию задачи составляет 132.

3. Составим и решим уравнение: m· (23 - m) = 132.

4. Корнями уравнения являются числа 11 и 12.

5. По условию задачи мальчиков меньше, чем девочек. Следовательно, мальчиков 11, а девочек 12.

Ответ: 11 мальчиков и 12 девочек.

Самостоятельная работа по теме «Правила умножения»

Вариант 1

1. Сколькими способами можно выбрать гласную и согласную буквы из слова конверт?

2. У Насти 3 брюк, 5 блузок и 2 кепки, удачно сочетающихся по цвету. Сколько различных комбинаций одежды она может составить?

3. Из города А в город В ведут две дороги, из города В в город С - три дороги, из города С до пристани - две дороги. Туристы хотят проехать из города А через города В и С к пристани. Сколькими способами они могут выбрать маршрут?

Вариант 2

1. Сколько трехзначных чисел можно составить, используя цифры 3 и 7?

2. В кафе предлагают 3 первых блюда, 5 вторых блюд и 2 третьих. Сколькими способами посетитель кафе может выбрать обед, состоящий из первого, второго и третьего блюд?

3. Из Петербурга в Москву можно добраться на поезде, самолете, автобусе или теплоходе, а из Москвы во Владимир - на автобусе или электричке. Сколькими способами можно осуществить путешествие Петербург - Москва - Владимир?

Проверка самостоятельной работы и обсуждение решения задач проводится сразу после проведения работы.

Итог урока

 Какими способами можно найти число различных комбинаций элементов?

 Сформулируйте комбинаторное правило умножения для подсчета способов выбора упорядоченных пар элементов.

 Сформулируйте правило умножения для подсчета способов выбора упорядоченных наборов элементов.

Задание на дом

1. Повторить п. 30.

2. П. 39, № 4, 6, 8^*.

3^*. Придумать задачу на комбинаторное правило умножения. Решить ее и оформить решение на альбомном листе (можно различными способами).

Урок № 2. Перестановки. Факториал

Цели урока:

 познакомить учащихся с понятием перестановки, числа перестановок;

 ввести понятие факториала.

Ход урока

Устно

1. Сформулируйте комбинаторное правило умножения.

2. В коридоре висит 3 лампочки, каждая из которых может гореть или не гореть независимо друг от друга. Сколько имеется способов освещения коридора? (Следует обратить внимание учащихся на случай, когда ни одна из лампочек не горит, это тоже способ освещения коридора.) [8]

3. Одновременно бросают 3 монеты. Сколько равновозможных исходов у этого эксперимента? [8]

Объяснение нового материала

Займемся теперь подсчетом числа способов, которыми можно расположить в ряд несколько различных элементов. Такие расположения называются перестановками и играют важную роль в комбинаторике.

Сколькими способами можно выложить в ряд красный, синий и зеленый шарики?

Сначала можно выбрать любой из трех шариков, затем - любой из двух оставшихся, а в конце - последний, оставшийся шарик. По правилу произведения получаем, что шарики можно выложить в ряд 3· 2· 1 = 6 способами.

Если бы было восемь разноцветных шариков, то выложить их в ряд можно

8· 7· 6· 5· 4· 3· 2· 1 = 40 320 способами.

Рассуждая тем же способом, легко понять, что n различных элементов можно выложить в ряд n· (n - 1) · (n - 2) · …· 2· 1 способами.

Произведение всех натуральных чисел от 1 до n называется факториалом натурального числа n.

Обозначение: n! = 1· 2· …· (n - 2) · (n - 1) · n.

Таким образом, перестановкой из n элементов называется способ расположения их в ряд (способ их нумерации).

Число перестановок n элементов равно n!. Договорились считать 0! = 1.

Приведем таблицу факториалов от 0 до 10:

n

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

n!

1

1

2

6

24

120

720

5040

40 320

362 880

3 628 800

Закрепление изученного материала

1. П. 40, № 1 (способом перебора).

2. П. 40, № 2 (использование дерева возможных вариантов).

3. П. 40, № 4 (а; б) (правило умножения).

4. П. 40, № 5 (а, в), 6 (б, г, е^*) - самостоятельно.

Итог урока

 Дать определение перестановки.

 Чему равно число различных перестановок из n элементов?

 Что такое факториал натурального числа?

 Чему равен факториал нуля?

Задание на дом

1. Повторить п. 31, 39.

2. П. 40, № 3, 5 (б, г), 6 (а, в), 7^*(а).

3^*. Придумать задачи на данную тему

Урок № 3. Правило умножения и перестановки в задачах на вычисление вероятностей

Цели урока:

 способствовать выработке навыков решения задач на расчет вероятностей с помощью правила умножения и факториала;

 закрепить полученные навыки решением упражнений.

Ход урока

Устно

1. Повторить правило умножения, дать определение факториала.

2. Найти: а) б) в) г) 3! - 2!

Выполнение упражнений

1. П. 41, № 1. Решение объясняет учитель.

Найдите вероятность того, что трехзначный номер случайно проезжающей машины состоит из цифр 0, 4, 5 в произвольном порядке.

Решение. Общее число равновозможных исходов N = 10· 10· 10 = 1000.

1. Событие А = {трехзначный номер случайно проезжавшей мимо машины состоит из цифр 0, 4, 5 в произвольном порядке}.

2. Число благоприятствующих событий, при которых событие А появляется

N(A) = 3! = 6.

3. Вероятность события А:

Ответ: Р(А) = 0,006.

2. П. 41, № 3 (а) - на доске и в тетрадях, № 3 (б) - самостоятельно с проверкой решения.

Какова вероятность того, что среди последних четырех цифр случайного телефонного номера:

а) встретится цифра 7;

б) встретится цифра 2 или цифра 3.

Решение. а) N = 10· 10· 10· 10 = 10 000. Событие

P(A) = 1 - 0,6561 = 0,3439.

Ответ: P(A) = 0,3439.

б) N = 10· 10· 10· 10 = 10 000. Событие

P(A) = 1 - 0, 4096 = 0,5904.

Ответ: P(A) = 0, 5904.

3. П. 41, № 5 - самостоятельно с проверкой.

На полке у Миши 6 видеокассет. На дне рождения Миша снял все кассеты с полки. Часть фильмов ребята посмотрели вместе, а когда гости ушли, Миша поставил все кассеты снова на полку в случайном порядке. Найдите вероятность того, что все кассеты оказались в том же порядке, что были прежде.

Решение. 1. N = 6! = 720.

2. А = {кассеты оказались в том же порядке, что были прежде}.

3. N(A) = 1.

4.

Ответ: P(A)  0,0014.

4. П. 41, № 9 - самостоятельно с проверкой.

Слово апельсин написали на полоске картона и разрезали полоску на буквы. Девочка, играя, выложила их в ряд в случайном порядке. Найдите вероятность того, что это слово спаниель.

Решение. 1. N = 8! = 40 320.

2. А = {выложено слово спаниель}.

3. N(A) = 1.

4.

Ответ: P(A)  0,000025.

Самостоятельная работа

1. Домашнее задание по литературе состоит в том, чтобы выучить одно из трех стихотворений: «Анчар», «Буря» или «Вьюга». Миша, Никита и Олег решили распределить эти три стихотворения между собой по одному. Сколько существует способов это сделать?

2. Сколько различных слов (не обязательно осмысленных) можно составить из всех букв слова: а) книга, б) шапка?

3. Вычислите значение выражения: а) 5!; б) в)

4. Найдите вероятность того, что три последние цифры случайно выбранного телефонного номера - это цифры 2, 3, 1 в произвольном порядке.

Проверку самостоятельной работы и коррекцию знаний провести сразу после проведения работы.

Задание на дом

1. Повторить п. 32.

2. П. 41, № 2 (а; б), 4, 6 (а; б), 8, 11.

Урок № 4. Сочетания

Цели урока:

 ввести понятие числа сочетаний;

 познакомить учащихся с треугольником Паскаля;

 познакомить учащихся с формулой числа сочетаний и научить применять ее при решении простейших задач.

Ход урока

Объяснение нового материала

1. Работа по учебнику, п. 42, примеры 1 и 2. Выполнить способом простого перебора, составив все возможные комбинации игроков по два из трех и по два из четырех. Учащиеся должны сами найти повторяющиеся комбинации, которые отличаются лишь порядком записи игроков, и заметить, что общее число всех различных комбинаций сократилось в два раза.

Если есть n предметов, то число способов, которыми можно выбрать ровно k из них, называется числом сочетаний из n по k и обозначается (читается «из n по k»).

В наших примерах и

2. Рассмотрим еще несколько типичных примеров.

а) 8 учеников из 30 десятиклассников можно выбрать способами.

б) Наугад зачеркнуть 5 чисел из 49 можно способами.

в) Одновременно вытащить две карты из колоды можно способами.

3. Для нахождения имеется очень красивый и удобный способ записи в виде треугольной таблицы, которая называется треугольником Паскаля - по имени французского ученого Блеза Паскаля, жившего в XVII веке.

k

n

0

1

2

3

4

5

6

1

1

1

2

1

2

1

3

1

3

3

1

4

1

4

6

4

1

5

1

5

10

10

5

1

6

1

6

15

20

15

6

1

Каждое число в треугольнике Паскаля равно сумме двух чисел, стоящих над ним в предыдущей строке.

Можно заметить, что числа каждой строки треугольника Паскаля, равноудаленные от концов, равны между собой:

Для числа сочетаний из n элементов по k справедлива формула

Формула дается без доказательства.

Существует более простой способ вычисления

где в числителе и знаменателе k сомножителей.

Эта формула более удобна в использовании. Рассмотреть пример 3, п. 42.

Например:

Закрепление нового материала

1. П. 42, решить № 1 (б, г), 2 (б, г), используя треугольник Паскаля на форзаце учебника.

2. П. 42, решить № 3 (г - е) по формуле.

3. П. 42, решить № 7, 10 самостоятельно, с проверкой решения.

Итог урока

 Что такое число сочетаний?

 Как обозначить число сочетаний из 20 по 3?

 По каким формулам можно найти число сочетаний?

Задание на дом

1. Повторить п. 31, 40.

2. Выучить наизусть строки треугольника Паскаля до 5-й строки включительно.

3. П. 42, № 1 (а, в), 2 (а, в), 3 (а, в), 6 (а, б), 9, 11 (к заданию № 11 дан неверный ответ).

Урок № 5. Сочетания в задачах на вычисление вероятностей

Цели урока:

закрепить навыки решения задач на вычисление вероятности с применением сочетаний.

Ход урока

Актуализация опорных знаний учащихся

1. Повторить теоретический материал по теме «Сочетания».

2. Выписать первые 5 строк треугольника Паскаля.

3. Найти: а) б) в) г)

Выполнение упражнений

1. Работа с учебником. Рассмотреть решение примеров 1-3 по учебнику на странице 157.

2. П. 43, решить № 1 на доске и в тетрадях.

Для участия в телевикторине случайным образом выбирают 3 игроков из 8 претендентов. Какова вероятность того, что будут выбраны 1-й, 4-й и 8-й игроки?

Решение. 1. Общее число элементарных событий равно: N = 56.

2. Событие А = {выбраны 1-й, 4-й и 8-й игроки}, N(A) = 1.

3.

Ответ: P(A)  0,018.

3. П. 43, решить № 3, 6 (б, г), 8 - самостоятельно с проверкой решения.

4. П. 43, решение № 10^* объясняет учитель.

В магазин привезли 10 синих и 10 коричневых костюмов. Продавщица случайным образом выбирает 8 из них, чтобы выставить в витрине. Найдите вероятность того, что будет отобрано 3 синих и 5 коричневых костюмов.

Решение. 1. Общее число элементарных событий

2. Отобрать 3 синих костюма из 10 можно одним из способов, а 5 коричневых из 10 - одним из способов.

3. Событие А = {3 синих и 5 коричневых костюмов}. Число исходов, благоприятствующих событию А, равно

4.

Ответ: P(A)  0,24

Самостоятельная работа

1. В полуфинальном турнире участвуют восемь команд. В финал попадают только три команды. Сколько существует различных вариантов выхода команд в финал?

2. В шахматном турнире приняли участие 15 шахматистов, каждый из которых сыграл только одну партию с каждым из остальных игроков. Сколько всего сыграно партий?

3. В ящике лежит 6 красных шаров и 4 зеленых. Наугад вынимают 3 шара. Какова вероятность того, что два шара из них окажутся красными, а один - зеленым?

Проверку самостоятельной работы и анализ ошибок провести сразу после проведения работы.

Итог урока

Рассказать алгоритм вычисления вероятности с применением сочетаний.

Задание на дом

1. Повторить пп. 40-43.

2. П. 43, № 2, 4, 6 (а, в), 7, 12^*.

Урок № 6. Сочетания в задачах на вычисление вероятностей

(продолжение)

Цели урока:

 повторить и обобщить изученный материал по данной теме;

 проверить степень усвоения учащимися изученного материала в ходе выполнения самостоятельной работы.

Ход урока

Актуализация опорных знаний учащихся

1. Повторить теоретический материал по теме «Сочетания».

2. Решить задачи.

1) В классе 5 человек успешно занимаются физикой. Сколькими способами можно выбрать из них двоих для участия в физической олимпиаде?

2) Учащимся дали список из 10 книг, которые рекомендуется прочитать во время каникул. Сколькими способами ученик может выбрать из них 6 книг?

Выполнение упражнений

П. 43, решить № 5, 13 на доске и в тетрадях.

Самостоятельная работа

Вариант 1

1. Вычислите: а) б)

2. В классе 20 учеников. Учитель решил проверить домашнюю работу у шести из них. Сколько существует способов выбрать учеников для проверки?

3. Найдите вероятность того, что все буквы а окажутся на своих местах, если случайным образом перемешать и выстроить в ряд все буквы слова карандаш.

4. На книжной полке 6 учебников и 3 сборника стихов. Найдите вероятность того, что среди случайно выбранных 5 книг окажется 3 учебника и 2 сборника.

Вариант 2

1. Вычислите: а) б)

2. В классе 28 учеников. Для уборки территории требуется выделить 7 человек. Сколькими способами это можно сделать?

3. Найдите вероятность того, что все буквы и окажутся на своих местах, если случайным образом перемешать и выстроить в ряд все буквы слова интуиция.

4. В библиотеке читателю предложили на выбор из новых поступлений 10 книг и 4 журнала. Найдите вероятность того, что среди случайно выбранных 5 новинок окажется 3 книги и 2 журнала.

Проверку самостоятельной работы и анализ ошибок провести сразу после проведения работы.

Задание на дом

Выполнить противоположный вариант самостоятельной работы

Литература

1. Бунимович Е.А. Основы статистики и вероятность. 5-9 кл.: Учебное пособие. - М.: Дрофа, 2004.

2. Газета «Математика». Издательский дом «Первое сентября», 2010, № 2-4.

3. Макарычев Ю.Н. Алгебра. Элементы статистики и теории вероятности. Учебное пособие. - М.: Просвещение, 2008.

4. Мордкович А.Г., Семенов П.В. События. Вероятности. Статистическая обработка данных. - М.: Мнемозина, 2004.

5. Тюрин Ю.Н., Макаров А.А., Высоцкий И.Р., Ященко И.В. Теория вероятностей и статистика. - М.: МЦНМО: ОАО «Московские учебники», 2008.