Курсовая работа на тему: «Признаки сравнения числовых рядов»

Министерство образования и науки, молодежи и спорта Украины

Таврический национальный университет

имени В.И. Вернадского

Факультет математики и информатики

Кафедра математического анализа

Курсовая работа

на тему: «Признаки сравнения числовых рядов».

Гафарова (Курдеде) Гульнара Абдуллаевна

студентка 2 курса специальности «математика»

Научный руководитель:

Муратов М.А.

Симферополь 2012 г.

План

I.Основные понятия и теоремы.

1.Сходимость положительных рядов.

2.Теоремы сравнения.

II. Признаки сравнения числовых рядов.

1.Признак Коши.

2.Признак Даламбера.

3.Признак Раабе.

4.Признак Куммера.

5.Признак Бертрана.

6.Признак Гаусса.

7.Признак Ермакова.

8.Признак Жаме.

9.Логарифмический признак

I.Основные понятия и определения.

Пусть задана некоторая бесконечная последовательность чисел

(1)

Составленный из этих чисел символ (2)

называется бесконечным рядом, а сами числа (1)- членом ряда.

(3)

получаем частные суммы ряда. Конечный или бесконечный предел А частичной суммы ряда (2) при :

называют суммой ряда и пишут

.

Если ряд имеет конечную сумму, его называют сходящимся, в противном случае (т.е. если сумма равна , либо же суммы вовсе нет)- расходящимся.

Т.о, вопрос о сходимости ряда (2) по определению равносилен вопросу о существовании конечного предела для последовательности (3).

Примеры бесконечного ряда.

1). )=, явно расходящийся, т.к. .

2). .

при любом целом .

3).

Сходимость положительных рядов.

Ряд, в котором все члены ряда неотрицательные, называют положительными. Пусть ряд (4)

будет положительным, т.е. .

Тогда очевидно

т.е. варианта оказывается возрастающей. Приведем простую теорему, на которой основаны все признаки сходимости (и расходимости) положительных рядов:

Положительный ряд (4) всегда имеет сумму; эта сумма будет конечной (и, следовательно, ряд- сходящимся), если частичные суммы ряда ограничены сверху, и бесконечный (а ряд расходящимся) в противном случае.

Теоремы сравнения рядов.

Сходимость или расходимость положительного ряда часто устанавливают путем сравнения его с другим рядом , заведомо сходящимся или расходящимся.

Теорема 1.Пусть даны два положительных ряда:

(A)

(B)

Если хотя бы начиная с некоторого номера, выполняется неравенство: , то из сходимости ряда A или из расходимости ряда А следует расходимость ряда В.

Предположим, что .Из этого вытекает еще одно простое утверждение.

Теорема 2. Если существует предел (), то

из сходимости ряда B, при K, вытекает сходимость ряда A,а

из расходимости первого ряда, при , вытекает расходимость второго.

( т.е. при оба ряда сходятся или расходятся одновременно).

Доказательство.

Пусть ряд В сходится и . Взяв произвольное ε, по определению предела, для любых будем иметь , откуда .

Одновременно с рядом будет сходиться и ряд , полученный умножением его членов на постоянное число (это никак не отразится на сходимости ряда). Отсюда, по теореме 1, вытекает сходимость ряда .

Если же ряд расходится и , то в этом случае имеет место отношение имеет конечный предел; ряд А должен быть расходящимся, т.к.если бы он сходился, то сходился бы и ряд B.Теорема доказана.

Теорема 3.Если, начиная с некоторого номера выполняется:

, то

1).из сходимости ряда B вытекает сходимость A,

2).из расходимости A вытекает расходимость ряда B.

Примеры .1.

При ряд расходится,

При ряд меньше членов сходящегося ряда данный ряд сходится.

2.Иследовать ряд на сходимость.

т.к. , а ряд сходится, следовательно, по теореме 3 данный ряд сходится.

3. расходится (по теореме 1) т.к. .

4. (b сходится по теореме 2 при s, расходится при

II.Признаки сравнения рядов.

Интегральный признак Коши- Маклорена .

Теорема 4. Пусть функция неотрицательна и не возрастает всюду на прямой , где - любой фиксированный номер. Тогда числовой ряд ( 5)

сходится в том и только в том случае, когда существует предел при последовательности (6)

Доказательство. Пусть - любой номер, удовлетворяющий условию , а - любое значение аргумента сегмента . Так как по условию функция не возрастает на указанном сегменте, то для всех из указанного сегмента справедливы неравенства (7)

Функция ),будучи ограниченной и монотонной, интегрируема на сегменте . Более того неравенств (7) вытекает,

или

(8)

Неравенства (8) установлены для любого .

Запишем эти неравенства для значений

где - любой номер, превосходящий :

,

…………………………………..

.

Складывая почленно записанные неравенства, получим

(9)

Символ обозначает n-тую частичную сумму ряда (1) равную

(10).

Неравенства (10) позволяют без труда доказать теорему. На самом деле, из формулы (6) очевидно, что последовательность является неубывающей. Стало быть, для сходимости этой последовательности необходима и достаточна ее ограниченность. Для сходимости ряда (5) необходима и достаточна ограниченность последовательности , согласно утверждению: « Для того чтобы ряд с положительными членами сходился, необходимо и достаточно, чтобы последовательность частичных сумм ряда была ограничена». Из неравенства (10) вытекает, что последовательность ограничена тогда и только тогда, когда ограничена последовательность , т.е.тогда и только тогда, когда последовательность сходится. Теорема доказана.

Пример. Исследовать сходимость ряда

Решение. Проведем исследование с помощью интегрального признака. Имеем , в этом случае

Если , то несобственный интеграл сходится,

Если , то несобственный интеграл расходится,

И, наконец, если , то несобственный интеграл расходится: Итак, данный ряд сходится при и расходится при .

Ответ: при ряд сходится, при ряд расходится.

Признаки сходимости характеризуется классом тех, к которым эти признаки применимы. Например, критерий сходимости Коши применим ко всем вообще численным рядам; интегральный признак Маклорена- Коши применим к рядам, в которых положительные члены монотонно убывают с увеличением их номера. Всякая попытка анализа сходимости ряда при помощи того или иного признака должна начинаться с проверки того, входит ли исследуемый ряд в сферу применимости используемого признака после чего возникает вопрос об удобстве, простоте, фактической возможности применения этого признака.

Признак Коши.

Теорема(Коши) Составим для ряда А варианту: .Если, при достаточно больших , выполняется неравенство , где q - постоянное число меньшее единицы, то ряд сходится;

Если же, начиная с некоторого номера, , то ряд расходится.

Действительно, неравенства равносильны, соответственно, таким: или ; остается применить соответствующую теорему.

Чаще всего применяют признак Коши в предельной форме.

Допустим, что варианта имеет предел (конечный или нет):=C. Тогда при ряд сходится, а при ряд расходится.

Перейдем к рассмотрению рядов вида , (11)

где при всех . Ряды такого вида называют рядами с положительными членами.

Признак Даламбера.

Теорема. Рассмотрим для ряда (*)

Тогда

1. При ряд сходится, а при - расходится;

2. Существуют как сходящиеся, так и расходящиеся ряды при .

Доказательство.

(i) Пусть . Тогда в силу определения предела последовательности для данного такого, что выберем число такое, что . Заметим, что

. (12)

В силу первой теоремы ряд сходится, поскольку сходится ряд

имеет место (12).

Пусть теперь . Рассуждая, получим неравенство

где число такое, что . Результат получится, если сравнить ряд (11) с рядом .

(ii)Применим признак Даламбера к обобщенному гармоническому ряду . Однако известно, что при обобщенный гармонический ряд расходится, а при сходится.Теорема доказана.

И в этом случае удобнее пользоваться предельной формой признака:

Допустим, что варианта имеет предел (конечный или нет): =D. Тогда при ряд сходится, ряд расходится, при этот признак ничего не дает.

называют вариантой Даламбера.

Из существования предела для варианты вытекает уже существование предела и для , причем оба предела равны. Т.о, во всех случаях, когда признак Даламбера дает ответ на вопрос о поведении ряда, ответ может быть получен и с помощью Коши. Обратное утверждение неверно и признак Коши сильнее признака Даламбера. Однако на практике пользование признаком Даламбера обычно проще.

Признак Раабе.

В тех случаях, когда указанные простые признаки не дают ответа, приходится прибегать к более сложным признакам, основанным на сравнении испытуемого ряда уже с другими стандартными рядами, так сказать «медленнее» сходящимися или «медленнее» расходящимися, чем прогрессия.

Признак Раабе (I.L.Raabe) осуществляет сравнение данного ряда

(13)

с гармоническими рядами - сходящимися:

(14

и расходящимися: (15)

именно с помощью теоремы 3. При этом приходится рассматривать варианту Раабе: .

Признак Раабе. Если при достаточно больших n, выполняется неравенство где r- постоянное число, больше единицы, то ряд сходится, если же, начиная с некоторого номера, то ряд расходится.

Итак, пусть при достаточно больших n имеем: или Возьмем теперь любое число s между 1 и r: .

Т.к. по известному предельному соотношению: то для достаточно больших n будет

а следовательно, и Это же неравенство можно переписать следующим образом: .

Справа мы имеем отношение двух последовательных членов ряда ; применив теорему 3, убеждаемся в сходимости ряда .

то отсюда сразу находим, что ; применив к рядам теорему 3, делаем вывод, что ряд расходится.

Признак Раабе тоже применяется преимущественно в предельной форме. Допустим, что имеет предел: . Тогда при ряд сходится, при расходится.

Сравнивая признаки Даламбера и Раабе, видим, что последний значительно сильнее первого. Если предел существует и отличен от единицы, то для существует предел , равный при и .

Т.о. если признак Даламбера дает ответ на вопрос о поведении данного ряда, то признак Раабе и подавно его дает. Более того, все такие случаи охватываются всеми двумя из возможных значений , именно . Все остальные значения (исключая также дающие ответ на вопрос о сходимости, соответствуют, таким образом, случаям, когда признак Даламбера заведомо ответа не дает, потому что .

Примеры. Установить сходимость рядов

1).по признаку Коши:

a). ряд сходится;

б). ряд расходится;

в).

Если , то и ряд расходится,

если , то и ряд сходится.

будет и поведение зависит от значений : при ряд сходится, при ряд расходится, при ответа конкретного нет, нужно провести дополнительные исследования.

2). По признаку Даламбера:

а). , ряд сходится;

б). ,

ряд сходится при и расходится при ( подставляем в равенство и непосредственно в этом убеждаемся);

в). ,;

ряд сходится при и расходится при получается гармонический ряд, поведение которого зависит от значения .

3).Приведем примеры применения признака Раабе:

а). , где .

Здесь признаки Коши и Даламбера не действуют. Применим признак Раабе. Легко проверить, что )= . Нетрудно сообразить, что последняя дробь при стремится к производной функции в точке , т.е. стремится к . В силу признака Раабе рассматриваемый ряд сходится при , т.е. при и расходится при , т.е. при При вопрос о сходимости ряда требует дополнительного исследования, т.к. признак Раабе «не действует».

б). . Признак Даламбера к этому ряду неприменим, т.к. . Составим варианту Раабе: , т.к. , то ряд сходится;

в).

т.к. то здесь признак Даламбера неприложим. Имеем, далее, , так что . Т.о. при ряд расходится, а при сходится; при получается расходящийся гармонический ряд.

г). , где положительная варианта, имеющая конечный предел , имеем Далее ; Итак при ряд сходится, при ряд расходится. При в общем случае ничего сказать нельзя: поведение ряда зависит от характера приближений

Признак Куммера.

Теперь введем один общий признак, принадлежащий Куммеру (E.E.Kummer); его скорее можно рассматривать как общую схему для получения общих признаков.

Признак Куммера. Пусть дан расходящийся ряд (16 )

с положительными членами.

Если для ряда (17)

начиная с некоторого номера , выполняется неравенство

, (18)

то ряд (17) сходится.

Если же, начиная с некоторого номера , выполняется неравенство (19)

то ряд (17) сходится.

Доказательство. Пусть выполняется соотношение (18). Известно, что изменение конечного числа членов ряда не влияет на его сходимость. Поэтому можно считать, что (18) имеет место для всех n, начиная с . Из (18) следует, что

(20)

И поэтому значит, числа образуют монотонно убывающую последовательность положительных чисел. Пусть α- ее предел.

Рассмотрим ряд (21)

n- тая частичная сумма этого ряда есть

.

Переходя к пределу при возрастании N, получим

, то есть ряд (21) сходится. Но тогда на основании (20) по теореме 1сходится и ряд , и тем самым - исходный ряд.

Пусть теперь, наоборот, имеет место (19). Тогда имеет место неравенство

и сравнение исследуемого ряда с заведомо расходящимся рядом (16) при помощи теоремы 3дает нам его расходимость. Теорема доказана.

Подобно признакам сходимости Даламбера и Коши, признак Куммера может быть сформулирован и в предельной форме:

Если даны ряд (17) и расходящийся ряд (16), то из неравенства следует сходимость ряда (17),

а из неравенства его расходимость.

Подчеркнем, что описанный только что признак сходимости Куммера является общим признаком: выбирая различным образом расходящийся ряд (16), будем получать различные конкретные признаки сходимости. Неудобства непосредственного практического приложения признака сходимости Куммера связаны с зависимостью его от «эталонного» расходящегося ряда (16). Поэтому представляется целесообразно выбирать заранее некоторую серию расходящихся рядов по каждому из них составить соответствующую реализацию признака Куммера.

Признак Бертрана.

Теорема Бертрана. Пусть существует предел

.

Тогда при ряд (17) сходится, а при - расходится.

Доказательство. Доказательство следует из теоремы Куммера. Действительно, так как то варианта Куммера стремится к пределу . Остается сослаться на признак Куммера,т.е:

.

Теорема доказана.

Признак Гаусса.

Из признаков Даламбера, Раабе и Бертрана легко может быть получен следующий признак Гаусса (C.F. Gauss).

Теорема Гаусса. Пусть для ряда (17) отношение соседних членов может быть представлено в виде (22)

где λ и μ- постоянные, а - ограниченная величина. Тогда ряд (17) сходится, если или и . Этот ряд расходится, если или и .

Доказательство. Прежде всего заметим, что , так что при утверждение признака Гаусса превращается в утверждение признака Даламбера. Далее, при и признак Гаусса вытекает из признака Раабе. Наконец,

при Последний предел ввиду ограниченности величины равен нулю, и расходимость ряда (17) следует из признака Бертрана. Теорема доказана.

Однако не всегда можно представить отношение соседних членов ряда в виде (22). Например, для ряда отношение соседних членов ряда равно

).

Или, разлагая как функцию от в ряд Маклорена и удерживая два первых члена,

где - ограниченные числа, причем, нетрудно проверить, что все могут быть ограничены снизу некоторой положительной постоянной. Значит, отношение соседних членов ряда непредставимо в виде (22).

Примеры.

1).Исследовать на сходимость ряд

Так как то поэтому ряд сходится.

2). Исследовать на сходимость ряд , если:

a). b).

Решение:

a). так как при всех выполняются неравенства

, то , и из сходимости ряда следует сходимость ряда .

b). так как , то из расходимости гармонического ряда следует расходимость ряда

3). Исследовать на сходимость ряд с помощью признака Гаусса, если .

Решение.

Заметим, что , где где Следовательно, где . Если , т.е. , то ряд сходится. Если же , то ряд расходится.

Признак Ермакова.

Примерно ту же область применения, что и интегральный признак, имеет и своеобразный признак, предложенный В.П. Ермаковым. Формулировка его не содержит понятий интегрального исчисления.

Признак Ермакова. Пусть функция -положительная убывающая при функция. Тогда, если для достаточно больших (скажем, для выполняется неравенство

то ряд сходится,

если же , то ряд расходится.

Доказательство. Пусть выполняется первое неравенство. При любом

(подстановка ) будем иметь = Отсюда

так как , (23)

в вычитаемое в последних скобках положительное. В таком случае прибавляя к обеим частям интеграл получим ,

и тем более- учитывая (23)- .

Так как с возрастанием и интеграл возрастает, то для него существует конечный предел : и по интегральному признаку ряд сходится.

Пусть теперь имеет место второе неравенство. Тогда и если к обеим частям прибавить интеграл

. Определим теперь последовательность полагая по доказанному Отсюда ясно,, и по интегральному признаку ряд расходится. Теорема доказана.

Примеры.

1). (σ).

В этом случае и выражение , и при достаточно больших оно становится меньшим любой правильной дроби : ряд сходится.

2)..

Здесь , а выражение при и при достаточно больших превзойдет единицу: ряд расходится.

Заметим, сто функция , фигурирующая в признаке Ермакова, может быть заменена любой другой функцией , монотонно возрастающей, положительной , имеющей непрерывную производную и удовлетворяющей неравенству: , (23*)

которое заменяет (23). Таким образом, в общей форме признак Ермакова является источником для получения ряда конкретных признаков, отвечающих различному выбору функции φ(x).

Признак Жамэ

Теорема Жаме. Знакоположительный ряд сходится, если выполняется неравенство

, где ,

Если же при при , то ряд расходится.

Доказательство.

1. Пусть для выполняется условие

.

Преобразуем это неравенство к виду: . Поскольку всегда можно найти достаточно большое такое, что: то можно перейти к выражению:

.

Применим разложение функции в ряд Маклорена с остаточным членом в форме Пеано, получим:

Вынесем первое слагаемое из-под экспоненты:

Теперь здесь применим разложение ив ряд Маклорена для функции :

Пренебрегая бесконечно малыми и, учитывая, что , получаем: .

Последнее, согласно признакам сравнения, означает, что рассматриваемый ряд сходится и расходится при одновременно с рядом , который сходится при и расходится при .

2). Пусть для ряда выполняется условие: .

Преобразуем это неравенство к виду:

.

Дважды применив разложение в ряд Маклорена с остаточным членом в форме Пеано, получим:

Т.е. согласно признаку сравнения, рассматриваемый ряд расходится , поскольку расходится ряд . Теорема доказана.

Формулировка в предельной форме:

Если существует предел , то при ряд сходится, а при - расходится.

Логарифмический признак.

Логарифмический признак сходимости - признак сходимости числовых рядов с положительными членами. Фактически этот признак сходимости сводится к сравнению исследуемого на сходимость ряда с обобщенным гармоническим рядом (рядом Дирихле).

Теорема: Ряд сходится, если при выполняется неравенство:

, где

Если , начиная с некоторого номера , то ряд расходится.

Формулировка в предельной форме. Если при неограниченном возрастании отношение стремиться к пределу , то ряд - сходящийся, если , расходящийся, если . Случай остается сомнительным и требует дополнительных исследований.

Признак Даламбера и Коши основаны на сравнениях рассматриваемого ряда с рядом геометрической прогрессии, а признак Раабе - на сравнении с более медленно сходящимся рядом (24)

Естественно, возникает вопрос о том, не существует ли такой универсальный (предельно медленно!) сходящийся ( или расходящийся) ряд, сравнение с которым позволило бы сделать заключение о сходимости (или расходимости) любого наперед заданного ряда с положительными членами.

Докажем, что такого ряда не существует. Пусть заданы 2 сходящихся ряда (25)

и ; (26)

обозначим символами и соответственно их n-тые остатки. Будем говорить, что ряд (26) сходится медленнее, чем ряд (25), если . Докажем, что для каждого сходящегося ряда существует ряд, сходящийся медленнее этого ряда. В самом деле, пусть - любой сходящийся ряд; - его остаток. Докажем, что ряд , где сходится медленнее, чем ряд (25).

В самом деле, если -й остаток ряда (26), то

Докажем теперь отсутствие универсального сходящегося ряда, сравнение с которым позволило бы сделать заключение о сходимости любого наперед взятого сходящегося ряда. В самом деле, если бы такой универсальный сходящийся ряд (25) существовал, то взяв для него построенный выше ряд (26), то мы получили бы, что

Таким образом, из сравнения с рядом нельзя сделать заключения о сходимости ряда

Аналогично доказывается отсутствие универсального расходящегося ряда, сравнение с которым позволило бы сделать заключение о расходимости любого наперед взятого расходящегося ряда.

Список использованной литературы:

1.Г.М.Фихтенгольц.//Курс дифференциального и интегрального исчисления. Том2//

2. Ильин В.А., Поздняк Э.Г.//Основы математического анализа: В 2-х ч. Часть I// Учеб.: Для вузов-7-е издание.

3. Кудрявцев Л.Д., Кутасов А.Д., Чехлов В. И., Шабунин М.И.// Сборник задач по математическому анализу. Том 2.Интегралы.Ряды.//

4.Б.П.Демидович//Сборник задач по математическому анализу.//Издательство Московского университета//1997.

5. Е.Г. Агапова// Ряды. //Хабаровск// Издательство ХГТУ//2003.

6. Г.А. Свиридюк, В.Е. Федоров.// Математический анализ. Часть 1.Учебное пособие.//Челябинск 1999

7.Курс лекций по математич.анализу.Лектор С.А.Теляковский. 2курс//Московский государственный университет имени Ломоносова. Механико-математический факультет.//Москва 2004 г.