Методические рекомендации по проведению практических занятий по дисциплине «Численные методы»

Раздел Математика
Класс -
Тип Другие методич. материалы
Автор
Дата
Формат docx
Изображения Есть
For-Teacher.ru - все для учителя
Поделитесь с коллегами:

Практическая работа №1 Способы приближенных вычислений по заданной формуле


  1. Вычисление по правилам подсчета цифр


При вычислении данным методом явного учёта погрешностей не ведётся, правила подсчёта цифр показывают лишь, какое количество значащих цифр или десятичных знаков в результате можно считать надёжными.

Правила метода:

  1. При сложении и вычитании приближенных чисел следует считать верными столько десятичных знаков после запятой, сколько их в приближенном данном с наименьшим числом знаков после запятой.

  2. При умножении и делении приближенных чисел нужно выбрать число с наименьшим количеством значащих цифр и округлить остальные числа так, чтобы в них было лишь на одну значащую цифру больше, чем в наименее точном числе.

  3. При определении количества верных цифр в значениях функций от приближённых значений аргумента следует грубо оценить значение модуля производной функции. Если это значение не превосходит единицы или близко к ней, то в значении функции можно считать верными столько знаков после запятой, сколько их имеет значение аргумента. Если же модуль производной функции превосходит единицу, то количество верных десятичных знаков в значении функции меньше, чем в аргументе на величину, равную разряду оценки производной.

  4. В записи промежуточных результатов следует сохранять на одну цифру больше, чем описано в правилах 1-3. В окончательном результате эта запасная цифра округляется.

Правила подсчёта цифр носят оценочный характер, но практическая надёжность этих правил достаточно высока.

При исследовании данного метода используется расчётная таблица - расписка формул.

Пример: Вычислить значение функции Методические рекомендации по проведению практических занятий по дисциплине «Численные методы» , а = 2,156, b = 0,927.

а

2,156

пояснения при подсчете верных цифр

b

0,927

Методические рекомендации по проведению практических занятий по дисциплине «Численные методы»

8,637

Методические рекомендации по проведению практических занятий по дисциплине «Численные методы»= 8,63652,

оценим производную (Методические рекомендации по проведению практических занятий по дисциплине «Численные методы»)' = Методические рекомендации по проведению практических занятий по дисциплине «Численные методы» , значит (используя правило 3), надо сохранить на один знак меньше, чем в значении аргумента + 1 запасная цифра.

Методические рекомендации по проведению практических занятий по дисциплине «Численные методы»

0,9628

Методические рекомендации по проведению практических занятий по дисциплине «Численные методы»= 0,9628083,

оценим производную Методические рекомендации по проведению практических занятий по дисциплине «Численные методы» , (используя правило 3) сохраняем три цифры как в аргументе + 1 запасная цифра.

Методические рекомендации по проведению практических занятий по дисциплине «Численные методы»+Методические рекомендации по проведению практических занятий по дисциплине «Численные методы»

9,600

Методические рекомендации по проведению практических занятий по дисциплине «Численные методы»+Методические рекомендации по проведению практических занятий по дисциплине «Численные методы»=8,637+0,9628=9,5998,

(по правилу 1)результат округляется до трёх знаков после запятой, т.е. 9,600.

Методические рекомендации по проведению практических занятий по дисциплине «Численные методы»

0,8593

Методические рекомендации по проведению практических занятий по дисциплине «Численные методы»,

(по правилу 2) результат округляем до трех цифр, как аргумент + 1 запасная цифра.

Методические рекомендации по проведению практических занятий по дисциплине «Численные методы»

3,0153

Методические рекомендации по проведению практических занятий по дисциплине «Численные методы»,

(используя правило 1)округляем результат до трех цифр + 1 запасная цифра.

Методические рекомендации по проведению практических занятий по дисциплине «Численные методы»

1,1037

Методические рекомендации по проведению практических занятий по дисциплине «Численные методы»,

оценим производную Методические рекомендации по проведению практических занятий по дисциплине «Численные методы» , (используя правило 3) сохраняем три цифры как в аргументе + 1 запасная цифра.

A

8,698

Методические рекомендации по проведению практических занятий по дисциплине «Численные методы»,

при округлении результата использовали правило 2.

А

8,70

8-запасная цифра,

По правилу 4, запасная цифра в окончательном результате округляется Методические рекомендации по проведению практических занятий по дисциплине «Численные методы»


  1. Вычисление со строгим учётом предельных абсолютных погрешностей

Этот метод предусматривает использование правил вычисления предельных абсолютных погрешностей. При пооперационном учете ошибок промежуточные результаты, так же как и их погрешности, заносятся в специальную таблицу, состоящую из двух параллельно заполняемых частей - для результатов и их погрешностей. В таблице приведены пошаговые вычисления со строгим учетом предельных абсолютных погрешностей по той же формуле, что и в предыдущем примере, и в предположении, что исходные данные a и b имеют предельные абсолютные погрешности Методические рекомендации по проведению практических занятий по дисциплине «Численные методы» , т.е. у a и b все цифры верны.

Промежуточные результаты вносятся в таблицу после округления до одной запасной цифры; значения погрешностей для удобства округляются (с возрастанием!) до двух значащих цифр. Проследим ход вычислений на одном этапе.

Пример: Вычислить значение функции Методические рекомендации по проведению практических занятий по дисциплине «Численные методы» , а = 2,156, b = 0,927.

а

b

Методические рекомендации по проведению практических занятий по дисциплине «Численные методы»

Методические рекомендации по проведению практических занятий по дисциплине «Численные методы»

Методические рекомендации по проведению практических занятий по дисциплине «Численные методы»+Методические рекомендации по проведению практических занятий по дисциплине «Численные методы»

Методические рекомендации по проведению практических занятий по дисциплине «Численные методы»

a+Методические рекомендации по проведению практических занятий по дисциплине «Численные методы»

ln(a+Методические рекомендации по проведению практических занятий по дисциплине «Численные методы»)

A

2,156

0,927

8,637

0,9628

9,603

0,860

3,016

1,104

8,70

Методические рекомендации по проведению практических занятий по дисциплине «Численные методы»а

Методические рекомендации по проведению практических занятий по дисциплине «Численные методы»b

Методические рекомендации по проведению практических занятий по дисциплине «Численные методы»(Методические рекомендации по проведению практических занятий по дисциплине «Численные методы»)

Методические рекомендации по проведению практических занятий по дисциплине «Численные методы»(Методические рекомендации по проведению практических занятий по дисциплине «Численные методы»)

Методические рекомендации по проведению практических занятий по дисциплине «Численные методы»(Методические рекомендации по проведению практических занятий по дисциплине «Численные методы»+Методические рекомендации по проведению практических занятий по дисциплине «Численные методы»)

Методические рекомендации по проведению практических занятий по дисциплине «Численные методы»(Методические рекомендации по проведению практических занятий по дисциплине «Численные методы»)

Методические рекомендации по проведению практических занятий по дисциплине «Численные методы»(a+Методические рекомендации по проведению практических занятий по дисциплине «Численные методы»)

Методические рекомендации по проведению практических занятий по дисциплине «Численные методы»ln(a+Методические рекомендации по проведению практических занятий по дисциплине «Численные методы»)

Методические рекомендации по проведению практических занятий по дисциплине «Численные методы»A

0,0005

0,0005

0,0049

0,00027

0,0054

0,0016

0,0021

0,00076

0,016

Используя калькулятор, имеем Методические рекомендации по проведению практических занятий по дисциплине «Численные методы» .

При вычислении предельных абсолютных погрешностей используем таблицу 1.2. Методические рекомендации по проведению практических занятий по дисциплине «Численные методы» .

Судя по ее величине, в полученном значении экспоненты в строгом смысле верны два знака после запятой. Округляем это значение с одной запасной цифрой:Методические рекомендации по проведению практических занятий по дисциплине «Численные методы» и вносим его в таблицу.

При этом возникает погрешность округления: 8,637-8,63652=0,00048.

Вслед за этим вычисляем полную погрешность полученного результата (погрешность действия плюс погрешность округления: 0,0044+0,00048=0,0049), которую так же вносим в таблицу.

Все последующие действия выполняем аналогично с применением соответствующих формул для предельных абсолютных погрешностей.

Округляя окончательный результат до последней верной в строгом смысле цифры, а так же округляя погрешность до соответствующих разрядов результата, окончательно получаем: А = 8,7 Методические рекомендации по проведению практических занятий по дисциплине «Численные методы» 0,1.

Вычисления по методу строго учёта предельных абсолютных погрешностей можно выполнить на компьютере с помощью программы. Если не производить пооперационного учёта движения вычислительной ошибки, то достаточно вычислить значение предельной абсолютной погрешности окончательного результата, а затем произвести его округление.


  1. Вычисление по методу границ


Если нужно иметь абсолютно гарантированные границы возможных значений вычисляемой величины, используют специальный метод вычислений - метод границ.

Пусть f(x, y) - функция непрерывная и монотонная в некоторой области допустимых значений аргументов x и y. Нужно получить её значение f(a, b), где a и b - приближенные значения аргументов, причем достоверно известно, что

Методические рекомендации по проведению практических занятий по дисциплине «Численные методы»; Методические рекомендации по проведению практических занятий по дисциплине «Численные методы» .

Здесь НГ, ВГ - обозначение соответственно нижней и верхней границ значений параметров. Итак, вопрос состоит в том, чтобы найти строгие границы значения (a, b) при известных границах значений a и b.

Допустим, что функция f(x, y) возрастает по каждому из аргументов x и y. Тогда

Методические рекомендации по проведению практических занятий по дисциплине «Численные методы».

Пусть теперь f(x, y) возрастает по аргументу x и убывает по аргументу y. Тогда будет строго гарантировано неравенство

Методические рекомендации по проведению практических занятий по дисциплине «Численные методы».

Рассмотрим указанный принцип на примере основных арифметических действий. Пусть Методические рекомендации по проведению практических занятий по дисциплине «Численные методы» . Тогда очевидно, что

Методические рекомендации по проведению практических занятий по дисциплине «Численные методы».

Точно так же для функции Методические рекомендации по проведению практических занятий по дисциплине «Численные методы» (она по x возрастает, а по y убывает) имеем

Методические рекомендации по проведению практических занятий по дисциплине «Численные методы».

Аналогично для умножения и деления:

Методические рекомендации по проведению практических занятий по дисциплине «Численные методы»

Вычисляя по методу границ с пошаговой регистрацией промежуточных результатов, удобно использовать обычную вычислительную таблицу, состоящую из двух строк - отдельно для вычисления НГ и ВГ результата (по этой причине метод границ называют ещё методом двоичных вычислений). При выполнении промежуточных вычислений и округлении результатов используются все рекомендации правил подсчёта цифр с одним важным дополнением: округление нижних границ ведётся по недостатку, а верхних по - избытку. Окончательные результаты округляются по этому же правилу до последней верной цифры.

Пример: Вычислить значение функции Методические рекомендации по проведению практических занятий по дисциплине «Численные методы» , а = 2,156, b = 0,927.

Нижняя и верхняя границы значений a и b определены из условия, что в исходных данных а = 2,156 и b = 0, 927 все цифры верны (Методические рекомендации по проведению практических занятий по дисциплине «Численные методы»,

т.е. 2,1555 < a < 2,1565; 0,9265 < b < 0,9275.


а

b

Методические рекомендации по проведению практических занятий по дисциплине «Численные методы»

Методические рекомендации по проведению практических занятий по дисциплине «Численные методы»

Методические рекомендации по проведению практических занятий по дисциплине «Численные методы»+Методические рекомендации по проведению практических занятий по дисциплине «Численные методы»

Методические рекомендации по проведению практических занятий по дисциплине «Численные методы»

a+Методические рекомендации по проведению практических занятий по дисциплине «Численные методы»

ln(a+Методические рекомендации по проведению практических занятий по дисциплине «Численные методы»)

A

НГ

2,1555

0,9265

8,63220

0,96255

9,59475

0,85840

3,01434

1,10338

8,6894

ВГ

2,1565

0,9275

8,64084

0,96307

9,60391

0,86026

3,01676

1,10419

8,7041

Таким образом, результат вычислений значения А по методу границ имеет вид 8,6894 < А < 8,7041.


По результатам вычислений получаем

Методические рекомендации по проведению практических занятий по дисциплине «Численные методы»

что дает А = 8,697Методические рекомендации по проведению практических занятий по дисциплине «Численные методы»0,008, или при записи верными цифрами, А=8,7Методические рекомендации по проведению практических занятий по дисциплине «Численные методы»0,01.

Задания практического занятия №1

Задание 1.

Вычислите с помощью МК значение величины Z при заданны значениях параметров a, b и c, использую «ручные» расчетные таблицы для пошаговой регистрации результатов вычислений, тремя способами:

  1. по правилам подсчета цифр;

  2. с систематическим учетом границ абсолютных погрешностей;

  3. по способу границ.

Сравните полученные результаты между собой, прокомментируйте различие методов вычислений и смысл полученных числовых значений.

В результате выполнения практической работы необходимо сделать обоснованный вывод о целесообразности и эффективности использования тех или иных методов и средств вычислений.


Номер варианта

Z

a

b

c

1

Методические рекомендации по проведению практических занятий по дисциплине «Численные методы»

3,4

6,22

0,149

2

Методические рекомендации по проведению практических занятий по дисциплине «Численные методы»

4,05

6,723

0,03254

3

Методические рекомендации по проведению практических занятий по дисциплине «Численные методы»

0,7219

135,347

0,013

4

Методические рекомендации по проведению практических занятий по дисциплине «Численные методы»

3,672

4,63

0,0278

5

Методические рекомендации по проведению практических занятий по дисциплине «Численные методы»

1,24734

0,346

0,051

6

Методические рекомендации по проведению практических занятий по дисциплине «Численные методы»

11,7

0,0937

5,081

7

Методические рекомендации по проведению практических занятий по дисциплине «Численные методы»

1,75

1,21

0,041

8

Методические рекомендации по проведению практических занятий по дисциплине «Численные методы»

18,0354

3,7251

0,071

9

Методические рекомендации по проведению практических занятий по дисциплине «Численные методы»

0,113

0,1056

89,4

10

Методические рекомендации по проведению практических занятий по дисциплине «Численные методы»

0,0399

4,83

0,072

11

Методические рекомендации по проведению практических занятий по дисциплине «Численные методы»

1,574

1,40

1,1236

12

Методические рекомендации по проведению практических занятий по дисциплине «Численные методы»

12,72

0,34

0,0290

13

Методические рекомендации по проведению практических занятий по дисциплине «Численные методы»

3,49

0,845

0,0037

14

Методические рекомендации по проведению практических занятий по дисциплине «Численные методы»

0,0976

2,371

1,15874

15

Методические рекомендации по проведению практических занятий по дисциплине «Численные методы»

0,11587

4,25

3,00971

Практическая работа №2

Методические рекомендации по проведению практических занятий по дисциплине «Численные методы»

Методические рекомендации по проведению практических занятий по дисциплине «Численные методы»

Методические рекомендации по проведению практических занятий по дисциплине «Численные методы»

Практическая работа №3

Методические рекомендации по проведению практических занятий по дисциплине «Численные методы»

Практическая работа №4

Методические рекомендации по проведению практических занятий по дисциплине «Численные методы»



© 2010-2022