- Преподавателю
- Математика
- Методические рекомендации по проведению практических занятий по дисциплине «Численные методы»
Методические рекомендации по проведению практических занятий по дисциплине «Численные методы»
Раздел | Математика |
Класс | - |
Тип | Другие методич. материалы |
Автор | Стерлядева Л.В. |
Дата | 24.10.2015 |
Формат | docx |
Изображения | Есть |
Практическая работа №1 Способы приближенных вычислений по заданной формуле
-
Вычисление по правилам подсчета цифр
При вычислении данным методом явного учёта погрешностей не ведётся, правила подсчёта цифр показывают лишь, какое количество значащих цифр или десятичных знаков в результате можно считать надёжными.
Правила метода:
-
При сложении и вычитании приближенных чисел следует считать верными столько десятичных знаков после запятой, сколько их в приближенном данном с наименьшим числом знаков после запятой.
-
При умножении и делении приближенных чисел нужно выбрать число с наименьшим количеством значащих цифр и округлить остальные числа так, чтобы в них было лишь на одну значащую цифру больше, чем в наименее точном числе.
-
При определении количества верных цифр в значениях функций от приближённых значений аргумента следует грубо оценить значение модуля производной функции. Если это значение не превосходит единицы или близко к ней, то в значении функции можно считать верными столько знаков после запятой, сколько их имеет значение аргумента. Если же модуль производной функции превосходит единицу, то количество верных десятичных знаков в значении функции меньше, чем в аргументе на величину, равную разряду оценки производной.
-
В записи промежуточных результатов следует сохранять на одну цифру больше, чем описано в правилах 1-3. В окончательном результате эта запасная цифра округляется.
Правила подсчёта цифр носят оценочный характер, но практическая надёжность этих правил достаточно высока.
При исследовании данного метода используется расчётная таблица - расписка формул.
Пример: Вычислить значение функции , а = 2,156, b = 0,927.
а
2,156
пояснения при подсчете верных цифр
b
0,927
8,637
= 8,63652,
оценим производную ()' = , значит (используя правило 3), надо сохранить на один знак меньше, чем в значении аргумента + 1 запасная цифра.
0,9628
= 0,9628083,
оценим производную , (используя правило 3) сохраняем три цифры как в аргументе + 1 запасная цифра.
+
9,600
+=8,637+0,9628=9,5998,
(по правилу 1)результат округляется до трёх знаков после запятой, т.е. 9,600.
0,8593
,
(по правилу 2) результат округляем до трех цифр, как аргумент + 1 запасная цифра.
3,0153
,
(используя правило 1)округляем результат до трех цифр + 1 запасная цифра.
1,1037
,
оценим производную , (используя правило 3) сохраняем три цифры как в аргументе + 1 запасная цифра.
A
8,698
,
при округлении результата использовали правило 2.
А
8,70
8-запасная цифра,
По правилу 4, запасная цифра в окончательном результате округляется
-
Вычисление со строгим учётом предельных абсолютных погрешностей
Этот метод предусматривает использование правил вычисления предельных абсолютных погрешностей. При пооперационном учете ошибок промежуточные результаты, так же как и их погрешности, заносятся в специальную таблицу, состоящую из двух параллельно заполняемых частей - для результатов и их погрешностей. В таблице приведены пошаговые вычисления со строгим учетом предельных абсолютных погрешностей по той же формуле, что и в предыдущем примере, и в предположении, что исходные данные a и b имеют предельные абсолютные погрешности , т.е. у a и b все цифры верны.
Промежуточные результаты вносятся в таблицу после округления до одной запасной цифры; значения погрешностей для удобства округляются (с возрастанием!) до двух значащих цифр. Проследим ход вычислений на одном этапе.
Пример: Вычислить значение функции , а = 2,156, b = 0,927.
а
b
+
a+
ln(a+)
A
2,156
0,927
8,637
0,9628
9,603
0,860
3,016
1,104
8,70
а
b
()
()
(+)
()
(a+)
ln(a+)
A
0,0005
0,0005
0,0049
0,00027
0,0054
0,0016
0,0021
0,00076
0,016
Используя калькулятор, имеем .
При вычислении предельных абсолютных погрешностей используем таблицу 1.2. .
Судя по ее величине, в полученном значении экспоненты в строгом смысле верны два знака после запятой. Округляем это значение с одной запасной цифрой: и вносим его в таблицу.
При этом возникает погрешность округления: 8,637-8,63652=0,00048.
Вслед за этим вычисляем полную погрешность полученного результата (погрешность действия плюс погрешность округления: 0,0044+0,00048=0,0049), которую так же вносим в таблицу.
Все последующие действия выполняем аналогично с применением соответствующих формул для предельных абсолютных погрешностей.
Округляя окончательный результат до последней верной в строгом смысле цифры, а так же округляя погрешность до соответствующих разрядов результата, окончательно получаем: А = 8,7 0,1.
Вычисления по методу строго учёта предельных абсолютных погрешностей можно выполнить на компьютере с помощью программы. Если не производить пооперационного учёта движения вычислительной ошибки, то достаточно вычислить значение предельной абсолютной погрешности окончательного результата, а затем произвести его округление.
-
Вычисление по методу границ
Если нужно иметь абсолютно гарантированные границы возможных значений вычисляемой величины, используют специальный метод вычислений - метод границ.
Пусть f(x, y) - функция непрерывная и монотонная в некоторой области допустимых значений аргументов x и y. Нужно получить её значение f(a, b), где a и b - приближенные значения аргументов, причем достоверно известно, что
; .
Здесь НГ, ВГ - обозначение соответственно нижней и верхней границ значений параметров. Итак, вопрос состоит в том, чтобы найти строгие границы значения (a, b) при известных границах значений a и b.
Допустим, что функция f(x, y) возрастает по каждому из аргументов x и y. Тогда
.
Пусть теперь f(x, y) возрастает по аргументу x и убывает по аргументу y. Тогда будет строго гарантировано неравенство
.
Рассмотрим указанный принцип на примере основных арифметических действий. Пусть . Тогда очевидно, что
.
Точно так же для функции (она по x возрастает, а по y убывает) имеем
.
Аналогично для умножения и деления:
Вычисляя по методу границ с пошаговой регистрацией промежуточных результатов, удобно использовать обычную вычислительную таблицу, состоящую из двух строк - отдельно для вычисления НГ и ВГ результата (по этой причине метод границ называют ещё методом двоичных вычислений). При выполнении промежуточных вычислений и округлении результатов используются все рекомендации правил подсчёта цифр с одним важным дополнением: округление нижних границ ведётся по недостатку, а верхних по - избытку. Окончательные результаты округляются по этому же правилу до последней верной цифры.
Пример: Вычислить значение функции , а = 2,156, b = 0,927.
Нижняя и верхняя границы значений a и b определены из условия, что в исходных данных а = 2,156 и b = 0, 927 все цифры верны (,
т.е. 2,1555 < a < 2,1565; 0,9265 < b < 0,9275.
а
b
+
a+
ln(a+)
A
НГ
2,1555
0,9265
8,63220
0,96255
9,59475
0,85840
3,01434
1,10338
8,6894
ВГ
2,1565
0,9275
8,64084
0,96307
9,60391
0,86026
3,01676
1,10419
8,7041
Таким образом, результат вычислений значения А по методу границ имеет вид 8,6894 < А < 8,7041.
По результатам вычислений получаем
что дает А = 8,6970,008, или при записи верными цифрами, А=8,70,01.
Задания практического занятия №1
Задание 1.
Вычислите с помощью МК значение величины Z при заданны значениях параметров a, b и c, использую «ручные» расчетные таблицы для пошаговой регистрации результатов вычислений, тремя способами:
-
по правилам подсчета цифр;
-
с систематическим учетом границ абсолютных погрешностей;
-
по способу границ.
Сравните полученные результаты между собой, прокомментируйте различие методов вычислений и смысл полученных числовых значений.
В результате выполнения практической работы необходимо сделать обоснованный вывод о целесообразности и эффективности использования тех или иных методов и средств вычислений.
Номер варианта | Z | a | b | c |
1 |
| 3,4 | 6,22 | 0,149 |
2 |
| 4,05 | 6,723 | 0,03254 |
3 |
| 0,7219 | 135,347 | 0,013 |
4 |
| 3,672 | 4,63 | 0,0278 |
5 |
| 1,24734 | 0,346 | 0,051 |
6 |
| 11,7 | 0,0937 | 5,081 |
7 |
| 1,75 | 1,21 | 0,041 |
8 |
| 18,0354 | 3,7251 | 0,071 |
9 |
| 0,113 | 0,1056 | 89,4 |
10 |
| 0,0399 | 4,83 | 0,072 |
11 |
| 1,574 | 1,40 | 1,1236 |
12 |
| 12,72 | 0,34 | 0,0290 |
13 |
| 3,49 | 0,845 | 0,0037 |
14 |
| 0,0976 | 2,371 | 1,15874 |
15 |
| 0,11587 | 4,25 | 3,00971 |
Практическая работа №2
Практическая работа №3
Практическая работа №4