Образец Координаты и векторы

Внеаудиторная работа №14

Координаты и векторы

№ задания

Условие и план решения или решение.

1

Условие задачи. Известны координаты вершин треугольника АВС:

А(-7; 2; -3), В(-1; 4; 1), С(-2; 3; 4).

СК - медиана треугольника АВС.

Найдите длину СК.

Решение.

1. Найдем координаты точки К как середины отрезка АВ

Х_к = = = -4,

Y_к = = = 3,

Z_к = = = -1

К(-4, 3, -1)

2. Найдем длину СК по формуле

СК =

СК ==

= = = .

Ответ. СК =

2

Условие задачи. АВСК - параллелограмм.

А(3; -4; 7), В(-5; 3; -2), С(1; 2; 3), К(x; y; z).

Найдите координаты точки К.

Решение.

1. Диагонали параллелограмма в точке пересечения делятся пополам.

2. Найдем координаты середины диагонали АС.

О_х = = =2,

= -1,

= ,

О(2; -1; 5)

3.Середина диагонали ВК имеет те самые координаты.

О_х = = 2, = 9,

= = -1, = -2, = -5,

= , = 10, = 12.

К(9; -5; 12)

3.

Условие задачи. Дан куб АВСDА₁В₁С₁D₁. Найдите вектор равный

АВ + В₁С - С₁D₁.

План выполнения.

1. Постройте куб.

2. Отметьте на нем векторы согласно условию задачи.

3. Для нахождения искомого вектора используйте: определение равных векторов, определение противоположных векторов, правила сложения и вычитания векторов.

4

Даны координаты точек

M(4; -3; -1), N(-2; -1; 2), P(-2; -3; -3), K(1; -1; 2).

Найдите 2MN +3 PK

Решение.

1. Найдем координаты вектора MN

х = = -2 - 4 = -6

у = = -1- (-3) = 2

z = = 2- (-1) = 3

MN = (-6; 2; 3),

2MN =(-6·2; 2·2; 3·2) = (-12; 4; 6).

2. Найдем координаты вектора PK

х = = 1 - (-2) = 3

у = = -1- (-3) = 2

z = = 2- (-3) = 5

PK = (3; 2; 5),

3PK = (3·3; 2·3; 5·3) = (9; 6; 15)

3. Найдем координаты вектора 2MN +3 PK

2MN = (-12; 4; 6)

3PK = (9; 6; 15)

2MN +3 PK =(-12+9; 4+6; 6+15) = (-3; 10; 21).

4. Найдем

2MN +3 PK = =

=

= = 23,5

Ответ. 23,5.

5

Условие задачи. Даны координаты

А(1; -3; -4), В(-1; 0; 2), M(2; -4; 6), N(2; -3; 1).

Найдите косинус угла между векторами

АВ и MN.

Решение.

1. Найдем координаты вектора АВ

х = = -1 - 1 = -2

у = = 0- (-3) = 3

z = = 2- (-4) = 6

АВ = (-2; 3; 6),

∣ АВ∣ = = =

= = 7

2. Найдем координаты вектора MN

х = = -2 - 2 = 0

у = = -3 - (-4) = 1

z = = 1- 6 = -5

MN = (0; 1; -5),

∣MN∣ = = =

= .

3. По формуле скалярное произведение векторов выразим косинус угла между ними

= =

= = = = - 0,75.

Ответ. - 0,75