Тригонометрические уравнения 10 класс

Учитель: Аммосова Надежда Давыдовна

Кв. категория: первая

Предмет: алгебра и начала анализа.

Школа: МБОУ «Куокунинская СОШ» МР «Сунтарский улус (район)»

Класс: 10

Тема урока: Тригонометрические уравнения

(2ч.)

Предварительная подготовка к уроку: учащиеся должны уметь решать уравнения вида в общем виде и знать частные случаи.

Цели урока:

1. Образовательная: обобщение знаний учащихся, повторение определения арксинуса числа, формул решения тригонометрических уравнений в общем виде и в частных случаях, демонстрация умения применять полученные знания для решения уравнений;

2. Воспитательная: воспитание интереса к предмету;

3. Развивающая: развитие логического мышления.

Оборудование: кодоскоп, кодопозитивы, копировальная бумага.

Тип урока: урок-смотр знаний.

Ход урока

1. Организационный момент

Сообщение темы и цели урока.

2. Проверка домашнего задания

Задание1. Вычислите. Назовите только ответы.

(выполняется устно по цепочке)

а)

б)

в)

г)

Задания 2. Найдите и объясните ошибки при решении уравнений

а)

Ответ: x= 5π/6 +2πn,

Допущенная ошибка: при переносе π/3 в правую часть.

Верный ответ:

б) (1-2sx) (sin4x+1)=0

Приравниваем к нулю каждый сомножитель:

[ 1-2cosx=0 [ cosx=1/2 x=arccos ½ +2πn nϵZ x=π/3+2πn. nϵZ

[ sin4x+1=0 [ sin4x=-1 4x=π/2 +2πn. nϵZ x=-π/8 +πn/4 nϵZ

Ответ: x=π/3+2πn. nϵZ x= -π/8 +πn/4 nϵZ

Допущенные ошибки: в первом выражении - при нахождении Х через арккосинус и во втором выражении - при делении обеих частей на 4.

Верный ответ: x=±π/3 +2πn nϵZ; x= -π/8 +πn/2 nϵZ/

3. Математический диктант.

(В задания 4 и 5 в скобках приведены вопросы для варианта II. Задание выполняется под копирку с дальнейшей взаимопроверкой.)

Задания 3.

Заполните вторую колонку таблицы.

Вариант 1.

Уравнения

Корень уравнения

cosx = a

x=

cosx = 1

x=

sinx = 0

x=

sinx = -1

x=

Уравнения

Корень уравнения

cosx = a

x= ±arccosa +2πn nϵZ

cosx = 1

x= 2πn nϵZ

sinx = 0

x= πn nϵZ

sinx = -1

x=- π/2 +2πn nϵZ

Вариант II

Уравнения

Корень уравнения

sinx = a

x=

sinx = 1

x=

cosx = 0

x=

cosx = - 1

x=

Уравнения

Корень уравнения

sinx = a

x= (-1)n arcsina + πn nϵZ

sinx = 1

x= π/2 +2πn nϵZ

cosx = 0

x= π/2 +πn nϵZ

cosx = - 1

x= π +2πn nϵZ

Задание 4. Что называется арккосинусом (арксинусом) числа а?

Ответ: арккосинусом (арксинусом) числа а называют корень уравнения соsx=a (уравнение sinx=a, где -1≤ а ≤1на отрезке [0; π] (на отрезке [-π/2; π/2])

Задание 5. Чему равен arcsin (-a) (arccos (-a))?

Ответ: arcsin (-a) = - arcsin a (arccos (-a)= π- arccos a)

Задание 6. Вычислите

Вариант I

1. аrcsin 0 б) arccos ½ в) arcsin(-√2/2) г) arccos (-√3/2)

Ответы: a) 0 б) π/3 в) - π/4 г) 5π/6

Вариант II

1. аrcsin 1 б) arccos √3/2 в) arcsin(-1/2) г) arccos (-√2/2)

Ответы: a) π/2 б) π/6 в) - π/6 г) 3π/4

Задание 7. При каких значениях а уравнение cosx = a, sinx= a не имеют решений?

Ответ: если |a|>1

4. Практическая часть. Работа с тестовыми заданиями.

(Задания, представленные на кодопозитиве, разбираются по очереди. Вниманию учащихся предлагаются примеры и 4 варианта ответа, дается время на обдумывание решения. Затем проводится «голосование»: сначала поднимают руки те учащиеся, у которых получился первый вариант ответа, затем те, у кого второй, и т.д. После этого учитель называет верный ответ. Решение комментируется одним из учеников, выявляются ошибки. Лучший комментарий оценивается на «5».

Задания 8. Выберите правильный вариант решения уравнения. (Курсивом выделены правильные ответы.)

1) 2sinx cosx = 1/2

А. ± π/4+πn, nϵ Z

Б. (-1)n π/6 +πn, nϵ Z

В. (-1)n π/12 +π/2 n, nϵ Z

Г. ± π/3+ 2πn, nϵ Z

2) cos 2x = 1 + sin 2 x

А. πn, nϵ Z

Б. π/2 + 2πn, nϵ Z

В. π/2 +πm, mϵ Z

Г. π/2+ π/2m, mϵ Z

3) 12 cos4x = 0

А. π/48 + πn, nϵ Z

Б. π/8 +π/4n, nϵ Z

В. π/2 +πm mϵ Z

Г. ± π/8+ πm, mϵ Z

4) cos(π+x) = sin π/2

А. ±π/4 + πk, kϵ Z

Б. π + 2πk, kϵ Z

В. 2πn nϵ Z

Г. π/2+ πn, nϵ Z

5) sin (π-x) - cos(π/2+x) = √3

А. ±π/6 + 2πn, nϵ Z

Б. ±π/3 + 2πn, nϵ Z

В. (-1)n π/6 +πk kϵ Z

Г. (-1)n π/3+ πn, nϵ Z

Задания 9. Решите уравнение

(выполняется на доске по желанию. См. приложение)

а) 2 sin x/2 = √3

б) sin (x+3π/4) = 0

в) √2 sin x/3 = 1

г) cos (2x +π/2) = 0

Задания 10. Решите уравнение

(Учащиеся комментируют с места, лучший комментатор получает оценку «5». См. приложение)

а) √2 сos x/4 = -1

б) cos (2x - π/4) = 0

в) cos 4x = 1

г) cosx = -2

Задания 11. Решите уравнение

(Работа выполняется по вариантам с последующей проверкой. Один ученик решает задание а) на кодопленке, по одному ученику выполняют задание б) и в) на обратной стороне доски. См. приложение).

а) 4 сos2 x = 3

б) 2√2cos2 х = 1+√2

в) (1-2cosx) (2+3cosx) = 0

Задание 12. Решите уравнение

(Hабота в парах с последующей самопроверкой по кодопозитиву. См.приложение)

а) cosx сos 3x = sin3xsinx

б) 1- sinxcos2х = cosxsin2x

Задание 13.

(Выполняется на доске. См.приложение)

1. Найдите все корни уравнения sin2x = 1/2 . принадлежащие отрезку [0;2π]

2. Найдите все корни уравнения cos4x = √2/2. Удовлетворяющие неравенству |х| < π/4

Задания 14.

(Дополнительное для тех, кто решил предыдущие примеры раньше. См. приложение).

Докажите, что при всех значениях а таких, что -1 ≤ а ≤ 1 выполняется равенство:

1. cos(arccosa) = a

2. sin (arcsina) = a

5. Подведение итогов урока.

Выставление оценок.

Домашнее задание.

Повторить тригонометрические формулы и формулы для решении простейших тригонометрических уравнений.