ДЕПАРТАМЕНТ ОБРАЗОВАНИЯ И МОЛОДЁЖНОЙ

ПОЛИТИКИ ХМАО-ЮГРЫ

БЮДЖЕТНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ

СРЕДНЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ ХМАО-ЮГРЫ

НЯГАНСКИЙ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ КОЛЛЕДЖ

Методическая разработка

Раздел «Элементы линейной алгебры»

Дисциплина «Элементы высшей математики»

Специальность «Компьютерные сети»

П.М.Ажулаева

Нягань 2014г

ДЕПАРТАМЕНТ ОБРАЗОВАНИЯ И МОЛОДЁЖНОЙ ПОЛИТИКИ ХМАО-ЮГРЫ

БЮДЖЕТНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ

СРЕДНЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ ХМАО-ЮГРЫ

НЯГАНСКИЙ ПРОФЕССИОНАЛЬНЫЙ КОЛЛЕДЖ

Методическая разработка

Раздел «Линейная алгебра»

Учебная дисциплина: «Элементы высшей математики»

П.М.Ажулаева

преподаватель математики

Нягань 2014г

Аннотация

В данной работе рассмотрены темы раздела №1 «Элементы линейной алгебры»: «Матрицы. Определители. Системы линейных уравнений. Методы решения систем линейных уравнений» из рабочей программы учебной дисциплины «Элементы высшей математики».

В предлагаемой методической разработке рассматриваются основные понятия теории данного раздела и подробно рассмотрены задачи, аналогичные тем, которые даются студентам на практических занятиях и в контрольных работах и для выполнения самостоятельных работ. Данная работа поможет преподавателю в полной мере донести материал в лекционной форме и практической работы, а студенту самостоятельно изучить пропущенный материал и ликвидировать пробел знаний по данной теме. В данной работе сделана попытка соединить учебный материал, руководство к решению задач и выполнение практических, контрольных заданий.

Перед выполнением каждого задания предлагаем ознакомиться с основными вопросами теории и рассмотреть образцы решения. Перечисленные ниже вопросы по теме являются основными при защите выполненных работ.

Данная тема изучается по дисциплине «Элементы высшей математики» специальности «Компьютерные сети».

Данная работа предназначена также и для студентов 2 курса других специальностей по дисциплине «Математика» («Сварочное производство», «Техническая эксплуатация и обслуживание электрического и электромеханического оборудования»).

Содержание

1. Аннотация………………………………………2

2. Введение……………………………………….. 4

3. Основная часть…………………………………6 - 41

- матрицы……………………………………….7

- действия над матрицами……………………..9

- действия над матрицами (практическая)……13

- определители………………………………….16

- миноры………………………………………...19

- обратная матрица……………………………..24

- ранг…………………………………………….27

- системы линейных уравнений……………….29

- решение систем линейных уравнений……...36

- контрольная работа…………………………..39

4. Заключение…………………………………….. 42

5. Литература………………………………………43

6. Приложения……………………………………..44

Введение

Вечные истины значимы совершенно независимо от какого - то ни было фактического состояния действительности, какова бы она ни была.

(Лейбниц)

Реальный образовательный процесс проходит в динамике и в современной дидактике понимается как взаимодействие деятельности и преподавателей, и обучаемых, направленное на достижение учебных целей, задач обучения, воспитания и развития, на формирование компетенций.

Для специалиста важно понимать роль и место математики в жизни современного общества. Для этого студент должен усвоить сущность математической науки, познакомиться с ее языком и основными методами. Это поможет ему самостоятельно читать ту литературу по специальности, в которой используются математические методы и модели, заниматься повышением своей профессиональной подготовки.

Математика играет важную роль в естественно - научных, инженерно - технических и гуманитарных исследованиях. Она стала для многих отраслей знаний не только орудием количественного расчета, но также методом точного исследования и средством четкой формулировки понятий и проблем. Без современной математики с ее развитым логическим и вычислительным аппаратом был бы невозможен прогресс в различных областях человеческой деятельности.

Математика является не только мощным средством решения прикладных задач и универсальным языком науки, но также и элементом общей культуры. Поэтому математическое образование следует рассматривать как важнейшую составляющую в системе фундаментальной подготовки современного специалиста.

Учебная дисциплина «Элементы высшей математики» предназначена для реализации государственных требований к минимуму содержания и уровню подготовки выпускников по специальности среднего профессионального образования «Компьютерные сети». Учебная дисциплина «Элементы высшей математики» является естественнонаучной, формирующей базовые знания для освоения профессиональных и специальных дисциплин.

Предлагаемая работа написана в соответствии с требованиями государственных образовательных стандартов в области математики. Она соответствует Примерной программе дисциплины «Элементы высшей математики» и включает темы: «Матрицы. Определители. Системы линейных уравнений. Методы решения систем линейных уравнений»

Для студентов учебник и конспекты являются основным источником учебной информации, так как многие студенты еще и работают, или пропустили занятия по каким - либо причинам. Именно таким студентам в первую очередь адресована данная работа.

Умение логически мыслить и оперировать абстрактными понятиями, понимать место точных формулировок и уметь, где необходимо, обходиться описательными определениями, отличать тривиальные и частные модели от глубоких и общих - вот основные цели, преследуемые при изучении дисциплины математика.

В процессе изучения математики студент должен:

- научиться использовать математику как метод мышления, как язык, как средство формулирования и организации понятий;

- уметь формулировать, формализовать и решать с помощью компьютера основные математические задачи;

- уметь строить простейшие математические модели и ориентироваться в возможностях их реализации на вычислительной технике.

Изучение дисциплины «Элементы высшей математики» направлена на достижение следующих целей:

• формирование представлений о математике как универсальном языке науки, средстве моделирования явлений и процессов, об идеях и методах математики;

• развитие логического мышления, пространственного воображения, алгоритмической культуры, критичности мышления на уровне, необходимом для будущей профессиональной деятельности, для продолжения образования и самообразования;

• овладение математическими знаниями и умениями, необходимыми в повседневной жизни, для изучения смежных естественнонаучных дисциплин на базовом уровне и дисциплин профессионального цикла;

• воспитание средствами математики культуры личности, понимания значимости математики для научно-технического прогресса, отношения к математике как к части общечеловеческой культуры через знакомство с историей развития математики, эволюцией математических идей.

Теория без практики мертва или бесплодна,

практика без теории невозможна или пагубна.

Для теории нужны знания, для практики,

сверх всего того, и умение.

А.Н. Крылов

Занятие (лекция)

Тема: Матрицы

План:

1. Матрицы. Основные понятия.

2. Действия над матрицами.

   1. Сложение.

   2. Умножение на число

   3. Произведение матриц.

Цели занятия:

На занятии вы узнаете

• Понятие матрицы, квадратной матрицы, треугольной матрицы, единичной матрицы, нулевой матрицы, транспонированной матрицы, противоположной матрицы, элементы матрицы, главной и побочной диагонали,

• Сложения матриц, умножение матрицы на число, произведение матриц,

• Свойства операции сложения матриц и умножения матрицы на число, произведения матриц,

Порядок работы на занятии:

1. Прочитать текст лекции или прослушать лекцию преподавателя.

2. Законспектировать лекцию.

3. Ответить на контрольные вопросы, не заглядывая в конспект.

4. Проверьте свои ответы по конспекту.

5. Если ответы ошибочны, еще раз прочитайте лекцию и ответьте на контрольные вопросы. Будьте готовы к устному опросу и к применению знаний на практических занятиях.

1. Матрицы. Основные понятия

Алгебра - одна из составных частей современной математики. Название алгебра происходит от названия книги арабского математика Мухаммеда аль Хорезми «Ал-д жабр…»

Основной задачей алгебры было решение алгебраических уравнений, а так же систем уравнений и как особо важный случай, систем линейных уравнений. Для решения уравнений были введены понятия матрицы и определители, которые впоследствии стали самостоятельными объектами изучения. Указанный материал впоследствии стал относиться к высшей алгебре.

Матрицей называется множество чисел, образующих прямоугольную таблицу, которая содержит m строк и n столбцов.

Матрица записывается в виде или, сокращенно А = , где i=1, 2, 3,…,m означает номер строки, j=1,2,3,…,n - номер столбца.

Матрицу А называют матрицей размера m×n и пишут . Числа , составляющие матрицу, называются ее элементами.

Матрицы равны между собой, если равны соответствующие элементы этих матриц, т.е. А=В, если =, где i=1,2,3,…,m, j=1,2,3,…,n

Матрица, у которой число строк равно числу столбцов, называется квадратной. Квадратную матрицу размера называют матрицей n-го порядка.

Рассмотрим квадратную матрицу порядка n:

Элементы, стоящие на диагонали, идущей из левого верхнего угла , образуют главную диагональ, а элементы, стоящие на диагонали, идущей из правого верхнего угла , образуют побочную диагональ.

Пример. - квадратная матрица 3-го порядка.

Квадратная матрица, у которой все элементы, кроме элементов главной диагонали, равны нулю, называется диагональной.

Пример. А= - диагональная матрица n-го порядка.

Диагональная матрица, у которой каждый элемент главной диагонали равен единице, называется единичной. Обозначается буквой Е.

Пример. - единичная матрица 3-го порядка.

Матрица, все элементы которой равны нулю, называется нулевой.

Нулевая матрица обозначается буквой О. Имеет вид

О =

Матрица, содержащая один столбец или одну строку, называется вектором (или вектор-столбец, или вектор-строка соответственно).

А= В=

Квадратная матрица называется треугольной, если все элементы, расположенные по одну сторону от главной диагонали, равны нулю.

Матрица, полученная из данной заменой каждой ее строки столбцом с тем же номером, называется матрицей транспонированной к данной. Обозначается . Транспонированная матрица обладает следующим свойством:.

Так, если , то

2. Действия над матрицами

2.1. Сложение матриц

Операция сложения вводится только для матриц одинаковых размеров.

Суммой двух матриц А = и В = называется матрица С = элементы, которой равны сумме соответствующих элементов матриц А и В, т.е , где i=1,2,3,…,m, j=1,2,3,…,n.

Пример 1.

Аналогично определяется разность матриц.

2.2. Умножение матрицы на число

Произведением матрицы А на число k называется матрица kA, каждый элемент которой равен k , i=1,2,3,…,m, j=1,2,3,…,n. т.е.

если А=, то kA=

Умножение матрицы на число сводится к умножению на это число всех элементов матрицы.

Пример 2. , k=2; kA=

Матрица -А =(-1)∙А называется противоположной матрице А.

Разность матриц А-В можно определить так: А-В=А+(-В).

Операция сложения матриц и умножения матрицы на число обладают следующими свойствами:

1. переместительный закон сложения А+В=В+А,

2. сочетательный закон сложения (А+В)+С=А+(В+С),

3. А+О=А;

4. для любой матрицы А существует матрица -А, такая, что А+(-А)=0, т.е. матрица, противоположная А;

5. 1∙А=А;

6. α∙(А+В)=αА+αВ;

7. (α+β)∙А=αА+βА;

8. α∙(βА)=(αβ)∙А.

где А, В, С - либо квадратные матрицы одного порядка n, либо прямоугольные матрицы одно размера m×n, а α и β - числа.

2.3. Произведение матриц

Операция умножения матриц вводится только для случая, когда число столбцов первой матрицы равно числу строк второй матрицы.

Произведением матрицы на матрицу называется матрица такая, что , где ,

Получение элемента схематично изображается так:

j

Вообще, чтобы получить элемент, стоящий на пересечении i-ой строки и j-го столбца матрицы произведения, нужно все элементы i-ой строки (,, …, ) матрицы А умножить на соответствующие элементы j-го столбца (,, …, ) матрицы В и полученные произведения сложить.

Если матрицы А и В произвольного размера, то произведения АВ и ВА не всегда существуют.

Рассмотрим умножение квадратных матриц второго порядка.

Пусть .

Произведением этих матриц называется матрица

чтобы найти элемент первой строки и первого столбца матрицы С, нужно каждый элемент первой строки матрицы А (т.е. и ) умножить на соответствующий элемент первого столбца матрицы В (т.е. и ) и полученные произведения сложить ;

чтобы получить элемент первой строки и второго столбца матрицы С, нужно умножить все элементы первой строки ( и ) на соответствующие элементы второго столбца (т.е. и ) и полученные произведения сложить:

аналогично находится элементы и .

Если матрицы А и В квадратные одного размера, то произведения АВ и ВА всегда существуют. Легко доказать, что А∙Е=Е∙А=А, где А-квадратная матрица, Е- единичная матрица того же размера.

Пример 3. Найти произведение матриц А и В, если

,

Решение. Так как матрица и матрица , то матрица произведения и содержит 9 элементов. Найдем каждый элемент матрицы-произведения:

Пример 3. Найти произведение матриц А и В, если

Решение. Произведение матриц А∙В не определенно, так как число столбцов матрицы А (3) не совпадает с числом строк матрицы В (2). При этом определенно произведение В∙А. Так как матрица и матрица , то матрица произведения и содержит 6 элементов.

В∙А=

Умножение матриц обладают следующими свойствами:

1. А∙(В∙С)= (А∙В)∙С;

2. А∙(В+С)=АВ+АС;

3. (А+В)∙С=АС+ВС;

4. α(АВ)=(αА)В.

5. 

Контрольные вопросы

1. Что называется матрицей?

2. Что называется матрицей - строкой? Матрицей - столбцом?

3. Какие матрицы называются прямоугольными? Квадратными?

4. Какие матрицы называются равными?

5. Что называется главной диагональю матрицы?

6. Какая матрица называется диагональной?

7. Какая матрица называется единичной?

8. Какая матрица называется треугольной?

9. Что значит «Транспонировать» матрицу?

10. Что называется суммой матриц?

11. Что называется произведением матрицы на число?

12. Как найти произведение двух матриц?

13. В чем состоит обязательное условие существование произведения матриц?

Какими свойствами обладает произведение матриц

Занятие (практическое)

Тема: Действия над матрицами

Цели занятия:

К занятию надо знать.

• Понятие матрицы, квадратной матрицы, прямоугольной матрицы.

• Условия сложения и произведения матриц.

• Сложения матриц, умножение матрицы на число, произведение матриц.

• Свойства операции сложения матриц, умножения матриц на число, произведения матриц,

На занятии надо научиться:

• Складывать матрицы.

• Умножать матрицы на число.

• Вычислять произведения двух матриц.

Порядок работы на занятии:

1. Повторить условия сложения и произведения матриц.

2. Повторить сложения матриц, умножение матрицы на число, произведение матриц.

3. Рассмотреть образец решения (пример 1, лекция «действия над матрицами»).

4. Выполнить задание 1.

5. Рассмотреть образец решения (пример 2, лекция «действия над матрицами»).

6. Выполнить задание 2, 3, 4, 5, 6 (домашнее задание не менее 2 примеров указывает преподаватель)

7. Рассмотреть образец решения (пример 3, лекция «действия над матрицами»).

8. Выполнить задание 7, 8, 9 (домашнее задание не менее 4 примеров указывает преподаватель)

9. Выполненные задания покажите преподавателю. Возможен устный опрос.

Задание 1. Сложить матрицы А и В, если:

а) ,

б),

в) ,

Задание 2. Умножить матрицу на число k=3.

Задание 3. Найти матрицу, противоположную матрице

А=

Задание 4. Найти линейную комбинацию 3А-2В, если

,

Задание 5. Вычислить линейную комбинацию матриц 2А-В, если

,

Задание 6. Вычислить линейную комбинацию матриц 2А+3В-С, если

, ,

Задание 7. Найти произведение матриц АВ, если:

а) ,

б) ,

в),

г) ,

д),

Задание 8. Вычислить а) , б) , где

,

Задание 9. Найти , если ,

Занятие (лекция)

Тема: Определители

План:

1. Определители. Основные понятия.

2. Основные свойства определителей.

3. Миноры и алгебраические дополнения элементов определителя.

Цели занятия:

На занятии вы узнаете

• Понятие определителя 2-го порядка, определителя 3-го порядка, минора, алгебраического дополнения.

• Формулировки свойств определителя.

• Формулировку теоремы «о разложении определителя по элементам строки или столбца».

• Схему вычисления определителя 2-го порядка.

• Формулировку правило Саррюса (схема треугольников).

Порядок работы на занятии:

1. Прочитать текст лекции или прослушать лекцию преподавателя.

2. Законспектировать лекцию.

3. Ответить на контрольные вопросы, не заглядывая в конспект.

4. Проверьте свои ответы по конспекту.

5. Если ответы ошибочны, еще раз прочитайте лекцию и ответьте на контрольные вопросы. Будьте готовы к устному опросу и к применению знаний на практических занятиях.

1. Определители. Основные понятия.

Определитель - это число, которое по специальным правилам вычисляется для каждой квадратной матрицы

Пусть дана квадратная матрица второго порядка:

Определителем (или детерминантом) второго порядка называется число . Определитель второго порядка записывается так:

detA==- определитель второго порядка.

Определитель второго порядка равен разности попарных произведений элементов главной и побочной диагонали.

Определитель квадратной матрицы порядка n можно обозначить также Δ или│A│.

Вычисление определителя 2-го порядка иллюстрируется схемой:

Пример 1. Найти определители матриц:

1. ; б)

Решение.

1. = 2∙6- (-3)∙5=27

2. 

Пусть дана квадратная матрица третьего порядка:

Определителем 3-го порядка, соответствующим данной матрице, называется число

Определитель третьего порядка записывается так:

Чтобы запомнить, какие произведения в правой части берутся со знаком «+», а какие со знаком « - », полезно использовать следующее правило треугольников (правилом Саррюса), которое символически можно записать так:

- правило треугольников (правилом Саррюса)

Пример 2. Вычислить определитель матрицы

Решение.

detA=5∙1∙(-3)+3∙0∙1+(-2)∙(-4)∙6-1∙1∙6-5∙(-4)∙0-3∙(-2)∙(-3)=-15+0+48-6-0-18=9

2. Основные свойства определителей

1. «Равноправность строк и столбцов». Определитель матрицы не изменится, если его строки заменить столбцами, и наоборот (т.е. транспонировать)

2. При перестановке двух строк (или столбцов) определитель изменит свой знак на противоположный:

3. Определитель с двумя одинаковыми строками или столбцами равен нулю.

4. Общий множитель всех элементов строки (или столбца) можно вывести за знак определителя:

5. Если все элементы двух строк (столбцов) определителя пропорциональны, то определитель равен нулю.

6. Если к какой-либо строке (или столбцу) определителя прибавить соответствующие элементы другой строки (или столбца), умноженные на одно и то же число, то определитель не изменит своей величины:

7. Если элементы какой-либо строки (столбца) определителя представляют собой сумму двух слагаемых, то определитель может быть разложен на сумму двух соответствующих определителей:

8. Треугольный определитель, у которого все элементы

лежащие выше (или ниже) главной диагонали, - нули, равен произведению элементов главной диагонали:

3. Миноры и алгебраические дополнения элементов определителя

Минором некоторого элемента определителя n-го порядка называется определитель (n-1) - го порядка, полученный из исходного путем вычеркивания строки и столбца, на пересечении которых находится выбранный элемент.

Например, Минор М₁₂ , соответствующий элементу определителя ,

получается, если вычеркнуть из определителя D первую строку и второй столбец, т.е.

.

Пример 3. Записать все миноры определителя

Решение.

=-57, =42, =63,

=-21, =24, =9,

=-15, =-6, = -9

Алгебраическим дополнением элемента определителя называется минор этого элемента, взятый со знаком . Алгебраическое дополнение элемента принято обозначать .

Таким образом, .

- определитель знака, если (i+j) - четное число, то знак «+»

если (i+j) - нечетное число, то знак « - »

Знаки алгебраического дополнения А_ij:

Пример 4. Найти алгебраические дополнения элементов определителя

Решение.

Теорема. «О разложении определителя по элементам строки или столбца». Сумма произведений элементов любой строки (или столбца) определителя D на их алгебраические дополнения равна этому определителю, т.е.

или .

Эти соотношения называются разложением определителя по элементам i-ой строки или j-го столбца.

Для разложения определителя обычно выбирают тот ряд, где есть нулевые элементы, т.к. соответствующие им слагаемые в разложении будут равны нулю.

Пример 5. Определитель разложить:

1. по элементам второй строки;

2. по элементам первого столбца.

Решение.

1.

2.

Если определитель имеет четвертый или более высокий порядок, то его также можно разложить по элементам строки или столбца.

Пример 6. Вычислить определитель матрицы

Решение. Разложим определитель по элементам 1-го столбца.

Перечислим различные способы вычисления определителей.

1. Определитель можно вычислить, используя непосредственно его определение. Этим способом удобно находить определители 2-го и 3-го порядков (треугольник Саррюса), а для определителя более высокого порядка применим следующий способ.

2. Определитель можно вычислить с помощью его разложения по элементам строки или столбца.

3. Определитель можно вычислить способом приведения к треугольному виду. Этот способ основан на том, что в силу свойства 8 треугольный определитель равен произведению элементов главной диагонали.

Чтобы получить треугольный определитель, нужно используя свойство 6, к какой-либо строке (или столбцу) заданного определителя прибавлять соответствующие элементы другой стоки (или столбца), умноженные на одно и тоже число, до тех пор пока не придем к определителю треугольного вида.

Контрольные вопросы

1. Что называется определителем матрицы?

2. Как вычислить определитель третьего порядка по схеме треугольников?

3. Что называется минором?

4. Что называется алгебраическим дополнением элемента определителя?

5. Как разложить определитель по элементам столбца или строки?

6. Какие способы вычисления определителя вам известны?

7. Перечислите свойства определителей.

Занятие (практическое)

Тема: Вычисление определителя n-го порядка

Цели занятия:

К занятию надо знать.

• Понятие определителя 2-го, 3-го порядка, минора, алгебраического дополнения.

• Формулировку теоремы «о разложении определителя по элементам строки или столбца».

• Схему вычисления определителя 2-го порядка.

• Формулировку правила Саррюса.

На занятии надо научиться:

• Находить определитель 2-го порядка.

• Находить определитель 3-го порядка.

• Находить определитель 4-го порядка.

Порядок работы на занятии:

1. Повторить понятие определителя 2-го и 3-го порядка, минора, алгебраического дополнения.

2. Повторить схему вычисления определителя 2-го порядка, правило Саррюса.

3. Рассмотреть образец решения (пример 1, лекция «основные понятия»).

4. Выполнить задание 1.

5. Рассмотреть образец решения (пример 2, лекция «основные понятия»).

6. Выполнить задание 2 (домашнее задание не менее 2 примеров указывает преподаватель).

7. Рассмотреть образцы решения (пример 3, 4, 5, 6, лекция «Миноры и алгебраические дополнения элементов определителя»).

8. Выполнить задание 3, 4 (домашнее задание не менее 2 примеров указывает преподаватель)

9. Выполненные задания покажите преподавателю. Возможен устный опрос.

Задание 1. Вычислить определители 2-го порядка:

А)

Б)

В)

Г)

Задание 2. Вычислить определители 3-го порядка:

А)

Б)

В)

Г)

Задание 3. Вычислить определители 4-го порядка:

А)

Б)

В)

Г)

Задание 4. Решить уравнения:

А) В)

Занятие (лекция)

Тема: Обратная матрица. Ранг матрицы

План:

1. Обратная матрица.

2. Ранг матрицы.

Цели занятия:

На занятии вы узнаете

• Понятие обратной матрицы, ранга матрицы.

• Правило вычисления обратных матриц второго и третьего порядков.

• Свойства обратной матрицы.

Порядок работы на занятии:

1. Прочитать текст лекции или прослушать лекцию преподавателя.

2. Законспектировать лекцию.

3. Ответить на контрольные вопросы, не заглядывая в конспект.

4. Проверьте свои ответы по конспекту.

5. Если ответы ошибочны, еще раз прочитайте лекцию и ответьте на контрольные вопросы. Будьте готовы к устному опросу и к применению знаний на практических занятиях.

1. Обратная матрица.

Пусть А - квадратная матрица n-го порядка

Квадратная матрица А^-1 порядка n называется обратной матрицей для данной матрицы A, если , где − E единичная матрица.

Квадратная матрица А называется вырожденной, если ее определитель detA равен 0 т.е. detA=0. В противном случае (detA≠0) матрица А называется невырожденной.

Обратная матрица имеет те же размеры, что и матрица А.

Теорема. Всякая невырожденная матрица А имеет обратную матрицу A^-1, определяемую формулой

где A₁₁, A₁₂, …, A_nn есть алгебраические дополнения соответствующих элементов a₁₁, a₁₂,…, a_nn матрицы А.

Правило вычисления обратных матриц n-го порядка

1. Находят определитель матрицы А т.е. detA.

2. Находят алгебраические дополнения всех элементов матрицы А.

3. Умножают полученную транспонированную матрицу на .

Нахождение обратной матрицы имеет большое значение при решении систем линейных уравнений и в вычислительных методах линейного программирования.

Свойства обратной матрицы.

1. ;

2. ;

3. .

Пример 1. Дана матрица А = , найти А^-1.

Решение.

1. det A = 4 - 6 = -2.

2. А₁₁=4; А₁₂= -3; А₂₁= -2; А₂₂=1

3. Таким образом, А^-1==

Пример 2. Найти матрицу А^-1, если

Решение.

1. Вычислим определитель матрицы А (по правилу треугольников):

, так как определитель det=5≠0, то матрица А невырожденная и имеет обратную матрицу А^-1.

2. Вычислим алгебраические дополнения всех элементов

матрицы А по формуле .

Знаки алгебраического дополнения А_ij:

3. Подставляя найденные значения в формулу для А^-1 получим:

2. Ранг матрицы

Рассмотрим матрицу А размера . . Выделим в ней k строк и k столбцов (). Из элементов, стоящих на пересечении выделенных строк и столбцов, составим определитель k-го порядка. Все такие определители называются минорами этой матрицы.

Наибольший из порядков миноров данной матрицы, отличных от нуля, называется рангом матрицы. Обозначается r, r(A), rangA.

Очевидно, что , где - меньшее из чисел m и n.

Минор, порядок которого определяет ранг матрицы, называется базисным.

У матрицы может быть несколько базисных миноров.

Пример 1. Дана матрица . Определить ее ранг.

Решение. Имеем , , .

Минор 4-го порядка составить нельзя.

Ответ: rangA=3.

Матрицы, имеющие одинаковый ранг, называются эквивалентными. Эквивалентность матриц обозначается знаком ~ между ними.

Записывается А~В.

Надо отметить, что равные матрицы и эквивалентные матрицы - понятия совершенно различные.

Отметим свойства ранга матрицы:

1. При транспонировании матрицы ее ранг не меняется.

2. Если вычеркнуть из матрицы нулевой ряд, то ранг матрицы не изменится.

3. Ранг матрицы не изменится при элементарных преобразованиях матрицы.

Элементарными преобразованиями называются такие преобразования, при которых миноры матрицы либо не меняют своей величины, либо, меняя величину, не обращаются в нуль.

Элементарные преобразования матриц позволяют:

1. Переставлять местами между собой строки (столбцы).

2. Прибавлять к какой-либо строке (столбцу) другую строку (столбец), умноженную на любое число.

3. Умножать строку (столбец) на число, отличное от нуля.

4. Вычеркивать строки (столбцы), состоящие из одних нулей.

Пример 2. Определить ранг матрицы.

,

rangA = 2.

Пример 3. Определить ранг матрицы

Переставим первый и второй столбец местами:

~

Чтобы иметь дело с меньшими числами, умножим первый столбец на ~

Первую строку прибавляем ко второй и третьей, умножая при этом на (-2) и на (-1) соответственно: ~

Умножим вторую строку на , получим: ~

Умножим вторую строку на (-2) и прибавим ее к третьей строке:

~

Вычеркиваем третью строку: ~ .

Отсюда видно, что ранг матрицы равен rang=2.

Контрольные вопросы

1. Какая матрица называется обратной по отношению к данной?

2. Каков порядок вычисления обратной матрицы?

3. Что называется рангом матрицы?

4. Какая матрица называется невырожденной?

5. Перечислите свойства обратной матрицы.

Занятие (лекция)

Тема: Системы линейных уравнений

План:

1. Основные понятия.

2. Решение невырожденных линейных систем формулами Крамера.

3. Решение систем линейных уравнений матричным методом

4. Решение систем линейных уравнений методом Гаусса.

Цели занятия:

На занятии вы узнаете

• Понятие системы линейных алгебраических уравнений, основной матрицы, расширенной матрицы, совместной и несовместной системы, однородной, матричного уравнения.

• Формулировку теоремы Крамера.

• Формулы Крамера.

• В каком случае система линейных уравнений не имеет решения или имеет бесчисленное множество решения.

• Правило решения матричного уравнения.

• Процесс решения систем линейных уравнений по методу Гаусса.

Порядок работы на занятии:

1. Прочитать текст лекции или прослушать лекцию преподавателя.

2. Законспектировать лекцию.

3. Ответить на контрольные вопросы, не заглядывая в конспект.

4. Проверьте свои ответы по конспекту.

5. Если ответы ошибочны, еще раз прочитайте лекцию и ответьте на контрольные вопросы. Будьте готовы к устному опросу и к применению знаний на практических занятиях.

1. Основные понятия

Системой линейных алгебраических уравнений, содержащей m уравнений и n неизвестных, называется система вида

(1)

где числа a₁₁, a₁₂,…, a_mn, называются коэффициентами системы или коэффициентами при неизвестных.

Первый индекс у коэффициентов системы указывает на номер уравнения, второй на номер неизвестного, при котором записан этот коэффициент.

Числа b₁, b₂,…, b_m называются свободными членами. Система линейных уравнений называется однородной, если все свободные члены равны нулю, если же, хотя бы одно из них отлично от нуля, то неоднородной.

Решением системы (1) называется любая совокупность чисел

x₁, x₂, x₃,…,x_n - подстановка которой в (1) обращает каждое уравнение этой системы в верное числовое равенство. Система, имеющая хотя бы одно решение, называется совместной, имеющая только одно решение определенной, имеющая более одного решения - неопределенной, не имеющая ни одного решения - несовместной.

Решить систему (1) - это значит указать все множество ее решений или доказать ее несовместность.

Систему (1) удобно записать в компактной матричной форме А∙Х=В. Здесь А - матрица коэффициентов системы, называемая основной матрицей:

- вектор-столбец из неизвестных ,- вектор-столбец из свободных членов .

Произведение матриц А∙Х определено, так как в матрице А столбцов столько же, сколько строк в матрице Х (n штук).

Расширенной матрицей системы называется матрица системы, дополненная столбцом свободных членов

2. Решение линейных систем формулами Крамера.

Пусть дана система n линейных уравнений с n неизвестными

или в матричной форме А∙Х=В. Основная матрица такой системы квадратная.

Определитель этой матрицы называется определителем системы. Если определитель системы отличен от нуля, то система называется невырожденной.

Теорема Крамера. Система n уравнений с n неизвестными, определитель которой отличен от нуля, всегда имеет решение и притом единственное, и это решение находится по формулам:

, , , …,

где _хi - определитель матрицы, получаемой из матрицы системы заменой столбца i столбцом свободных членов b_i.

Оно находится следующим образом: значение каждого из неизвестных равно дроби, знаменателем которой является определитель системы, а числитель получается из определителя системы замены столбца коэффициентов при искомом неизвестном на столбец свободных членов.

Пусть . Если в определителе системы заменить поочередно столбцы коэффициентов при на столбец свободных членов, то получим n определителей (для n неизвестных)

, , … ,

Тогда формулы Крамера для решения системы n линейных уравнений с n неизвестными запишутся так: … , или короче где i=1, 2, …, n.

Рассмотрим случай, когда определитель системы равен нулю. Здесь возможны два варианта:

1. и каждый определитель . Это имеет место только тогда. Когда коэффициенты при неизвестных пропорциональны, т.е. каждое уравнение системы получается из первого уравнения умножением обеих его частей на число k. Очевидно, что при этом система имеет бесчисленное множество решений.

2. и хотя бы один из определителей . Это имеет место только тогда, когда коэффициенты при неизвестных, кроме , пропорциональны. При этом получается система из противоречивых уравнений, которая не имеет решений.

Пример 1. Решить систему двух линейных уравнений с двумя неизвестными

Решение. Вычислим определитель системы и определители и:

.

x₁=1, x₂=2

Ответ: (1;2)

3. Решение систем линейных уравнений матричным методом

Пусть дана система уравнений

Рассмотрим матрицу, составленную из коэффициентов при неизвестных .

Свободные члены и неизвестные можно записать в виде матриц-столбцов: ,

Тогда используя правило умножения матриц, эту систему уравнений можно записать так:

= или АХ=В

Это равенство называется простейшим матричным уравнением.

Чтобы решить матричное уравнение, нужно:

1. Найти обратную матрицу .

2. Найти произведение обратной матрицы на матрицу - столбец свободных членов В, т.е..

3. Пользуясь определением равных матриц, записать ответ.

Пример 2. Решить систему уравнений

представив ее в виде матричного уравнения.

Решение. Перепишем систему в виде АХ=В, где

, ,

Решение матричного уравнения имеет вид .

Найдем обратную матрицу :

, , ,

, ,,

, ,

Таким образом , откуда

Следовательно, х=2, y=3, z=-2.

Ответ: (2;3;-2)

4. Решение систем линейных уравнений методом Гаусса

Одним из наиболее универсальных и эффективных методов решений линейных алгебраических систем является метод Гаусса, состоящий в последовательном исключении неизвестных.

Пусть дана система уравнений

Процесс решения по методу Гаусса состоит из двух этапов. На первом этапе (прямой ход) система приводится к ступенчатому (в частности треугольному) виду.

Приведенная ниже система имеет ступенчатый вид:

На втором этапе (обратный ход) идет последовательное определение неизвестных из полученной ступенчатой системы.

При выполнении прямого хода используют следующие преобразования:

1. умножение или деление коэффициентов свободных членов на одно и то же число;

2. сложение и вычитание уравнений;

3. перестановку уравнений системы;

4. исключение из системы уравнений, в которых все коэффициенты при неизвестных и свободные члены равны нулю.

Матричный способ решения систем линейных уравнений, как и решение, методом Крамера, применим только для особых систем линейных уравнений, в которых количество неизвестных совпадает с количеством уравнений.

Метод Гаусса применим для решения произвольных систем линейных уравнений и, следовательно, является универсальным методом. Этот метод позволяет существенно упростить и сам процесс поиска решений, если все промежуточные преобразования осуществить над специальной матрицей B составленной из коэффициентов системы и ее свободных членов.

Пример 3. Решить систему линейных уравнений методом Гаусса.

Решение.

Составим расширенную матрицу системы.

Таким образом, исходная система может быть представлена в виде:

, откуда получаем: x₃ = 2; x₂ = 5; x₁ = 1.

Ответ: (1;5;2)

Контрольные вопросы

1. Как записать простейшее матричное уравнение?

2. Как решить матричное уравнение?

3. Сформулируйте теорему Крамера.

4. Запишите формулы Крамера.

5. Опишите метод Гаусса.

6. В каком случае система не имеет решения?

7. В каком случае система имеет бесчисленное множество решения?

Занятие (практическое)

Тема: Решение системы линейных уравнений

Цели занятия:

К занятию надо знать.

• Формулировку теоремы Крамера.

• Формулы Крамера.

• В каком случае система линейных уравнений не имеет решения или имеет бесчисленное множество решения.

• Правило решения матричного уравнения.

• Процесс решения систем линейных уравнений по методу Гаусса.

На занятии надо научиться:

• Решать систему линейных уравнений формулами Крамера.

• Решать систему линейных уравнений матричным методом.

• Решать систему линейных уравнений методом Гаусса.

Порядок работы на занятии:

1. Повторить формулы Крамера.

2. Повторить правило решения матричного уравнения.

3. Повторить процесс решения систем линейных уравнений по методу Гаусса.

4. Рассмотреть образец решения задания 1.

5. Выполнить задание 2.

6. Выполненное задание покажите преподавателю. Возможен устный

Задание 1. Решить систему уравнений:

• Формулами Крамера

• Матричным методом

• Методом Гаусса

Решение.

• Формулами Крамера:

= = 20 - 12 - 3+8 - 45+2= - 30;

_x = = 0 - 48 - 42 +32 + 28 - 0 = - 30;

_y = = 140 + 0 - 16 + 56 - 0 - 240 = - 60;

_z = = 160 - 56 + 0 - 0+16 -210 = - 90;

x = _x/ = 1; y = _y/ = 2; z = _z/ = 3.

Ответ: (1,2,3)

• Матричным методом:

Х = , B = , A =

Найдем обратную матрицу А^-1.

= det A = 20 - 12 - 3 + 8 - 45+2= -30.

А₁₁ = = -5; А₂₁ = = -1; А₃₁ = = -1;

А₁₂ = А₂₂ = А₃₂ =

А₁₃ = А₂₃ = А₃₃ =

A^-1 =;

Находим матрицу Х.

Х = = А^-1В = = .

Итого решения системы: x =1; y = 2; z = 3

Ответ:(1,2,3)

• Методом Гаусса

Составим расширенную матрицу системы.

(Переставим местами первую и вторую строки, затем местами меняем вторую и третью строки; первую умножим на (-4) и сложим со второй; первую умножим на (-5) и сложим с третьей; вторую умножим на (-11/5) и сложим с третьей; можно вторую умножить на (-11), а вторую на 5, затем вторую и третью сложить, при этом получится расширенная матрица и.т.д.)

Таким образом, исходная система может быть представлена в виде:

, откуда получаем: z = 3; y = 2; x = 1.

Ответ: (1,2,3)

Задание 2. Решить систему тремя способами:

• по формулам Крамера

• матричным методом;

• методом Гаусса.

Соответствующие коэффициенты выберите из таблицы:

Вариант

k

l

m

n

p

q

s

t

f

g

h

1

1

1

1

0

2

1

0

4

1

-1

-2

5

2

1

1

-1

-4

2

3

1

-1

1

-1

2

6

3

2

1

1

3

5

-2

3

0

1

0

2

5

4

1

1

-1

0

2

3

-2

2

3

-2

0

1

5

1

1

1

4

2

1

3

9

3

3

-1

0

6

2

1

1

-3

3

1

-2

7

3

1

0

1

7

3

-1

-1

2

1

1

1

0

2

2

3

7

8

2

1

-1

3

3

2

2

-7

1

0

1

-2

9

1

1

1

6

2

-1

2

6

3

1

-1

2

10

1

1

2

3

2

-1

0

3

3

-1

0

1

Занятие (Контрольная работа)

Тема: Решение систем линейных уравнений

Заключение

Методическая разработка составлена в соответствии с требованиями ФГОС для студентов второго курса по специальностям среднего профессионального образования. Она соответствует примерной рабочей программе дисциплины «Элементы высшей математики» по специальности «Компьютерные сети», а также дисциплины «Математика» специальностей например, «Сварочное производство», «Техническая эксплуатация и обслуживание электрического и электромеханического оборудования» и включает раздел «Элементы линей алгебры» по темам: «матрицы. Определители. Системы линейных уравнений. Методы решения систем линейных уравнений».

Известно, учебный материал усваивается студентами (особенно имеющими значительный перерыв и пробелы математической подготовке) значительно легче, если он сопровождается достаточно большим числом иллюстрирующих его примеров. Поэтому мною сделана попытка соединить краткий теоретический материал и краткое руководство к решению задач. Для лучшего усвоения учебного материала приводятся образцы решения вычисления определителей, выполнения действий с матрицами, решения систем линейных уравнений различными методами, определенного круга задач данного раздела. В конце даны задания для практических, самостоятельных и контрольных работ.

Математика играет важную роль в естественно - научных, инженерно - технических и гуманитарных исследованиях. Она стала для многих отраслей знаний не только орудием количественного расчета, но также методом точного исследования и средством предельно четкой формулировки понятий и проблем. Без современной математики с её развитым логическим и вычислительным аппаратом был бы невозможен прогресс в различных областях человеческой деятельности.

Математика является не только мощным средством решения прикладных задач и универсальным языком науки, но также и элементом общей культуры. Поэтому математическое образование следует рассматривать как важнейшую составляющую в системе фундаментальной подготовки современного специалиста.

Основная задача, которая ставилась при составлении данной разработки, - это изложить учебный материал в доступной для студентов форме, сохраняя, безусловно, научную основу, требования к содержанию и логике изложения, поможет в подготовке, как к практическим, так и к самостоятельным работам.

Литература

1. Валуцэ И.И., Дилигул Г.Д. Математика для техникумов на базе средней школы. Учебн. Пособие. - М.: Наука, 1990.

2. Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я. Высшая математика в упражнениях и задачах. В 2-х ч.: Учеб.пособие для втузов. - 5-е изд., испр. - М.: Высш.шк., 1999. - 304 с.: ил.

3. Кремер Н.Ш «Высшая математика для экономистов», 2000г.

4. Шипачев В.С. Высшая математика. Учеб.для вузов.-М.: Высш.школа. 1998.- 497с.: ил.

5. Шипачев В.С. Задачник по высшей математике. Учеб.пособие для вузов.-М.: Высш.школа. 1998.- 304с.: ил.

6. В. Т. Лисичкин, И. Л. Соловейчик. Математика. Учеб.пособие для техникумов.-М.: Высш.школа. 1991. - 480 с.: ил

7. Дмитрий Письменный Конспект лекций по высшей математике Учеб.пособие для втузов. - 3-е изд.. - М.: Айрис - пресс; 2005. - 608 с.: ил.

8. Н. В. Богомолов Практические занятия по математике: Учеб.пособие для втузов. - 4-е изд., стер. - М.: Высш.шк.,1997. - 495с.

9. В. Д. Черненко ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА В примерах и задачах 1 том Учебное пособие для вузов. В 3 т.: Т. 1.- СПб.: Политехника, 2003.- 703 с: ил.

10. Математика. Контрольные задания / Сост.: В.И. Фомин. Тамбов: Изд-во Тамб. гос. техн. ун-та, 2004. 88 с.

11. Учебно-методический комплекс дисциплины « Математика». Раздел 1 «Линейная и векторная алгебра». Контрольно-измерительные материалы. - Уфа: Издательство УГНТУ, 2007. - 175 с

Приложение 1

ДОПОЛНИТЕЛЬНО

Задачи

Тема: Матрицы. Системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ).

Перед выполнением работы рекомендуется изучить следующие вопросы.

Вопросы для изучения:

1. Виды матриц. Операции над матрицами.

2. Определители квадратных матриц. Свойства определителей.

3. Вычисление определителей.

4. Вычисление обратной матрицы.

5. Матричные уравнения. Ранг матрицы. Базисный минор.

6. Основные понятия и определения СЛАУ. Теорема Кронекера-Капелли.

7. Элементарные преобразования СЛАУ.

8. Метод Гаусса.

9. Правило Крамера для решения СЛАУ.

10. Матричный метод решения СЛАУ.

11. Однородные системы алгебраических уравнений. Фундаментальная система решений.

12. Вид общего решения неоднородной СЛАУ. Базисное решение и частное решение СЛАУ.

Задача: Пусть дана система:

Доказать совместимость этой системы и решить ее двумя способами:

1.По правилу Крамера.

2.Матричным методом.

Решение: Совместимость системы уравнений устанавливается с помощью теоремы Кронекера - Капели.

Теорема: Для того чтобы система была совместной, необходимо и достаточно, чтобы ранг матрицы системы совпал с рангом расширенной матрицы:

Для совместных систем линейных уравнений верны следующие теоремы:

1.Если ранг матрицы системы равен числу переменных, то есть r = n, то система имеет единственное решение.

2. Если ранг матрицы системы меньше числа переменных, то есть r<n, то система неопределенная и имеет бесконечное множество решений.

В данной задаче составим расширенную матрицу и путем элементарных преобразований приведем ее к ступенчатому виду:

Видим, что =4, то есть система совместна и имеет единственное решение, так как ранг расширенной матрицы равен числу неизвестных.

Решим систему по правилу Крамера:

1. Составим определитель из коэффициентов при неизвестных,

2.Составим определители для каждой неизвестной следующим образом:

а) заменим первый столбец в определителе системы на столбец свободных членов системы и назовем его и вычислим:

б) заменим второй столбец в определителе системы на столбец свободных членов, назовем его и вычислим:

в) аналогично вычисляем остальные определители, т.е. :

заменяем третий столбец в определителе системы столбцом свободных членов и вычисляем определитель:

По правилу Крамера:

1. Решим систему линейных уравнений матричным способом.

Составим матрицу, содержащую коэффициенты при неизвестных данной системы:

Для дальнейшего решения полученного уравнения нужно:

Вычислим алгебраические дополнения матрицы А по формуле

Запишем обратную матрицу по соответствующей формуле:

Решение СЛАУ находим по формуле:

Приложение 2

Решить

Задачи 1-10.

1. Решить систему методом Гаусса.

2. Неизвестные найти методом Крамера.

3. Решить систему матричным методом.

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

Приложение 3

Пример решения контрольной (самостоятельной ) работы

Задание 1. Для данного определителя найти миноры и алгебраические дополнения элементов . Вычислить определитель :

1. а) разложив его по элементам i-ой строки; б) разложив его по элементам j-го столбца; в) получив предварительно нули в i-ой строки.

i = 1, j = 2

Решение: 1. Находим миноры к элементам :

Алгебраические дополнения элементов соответственно равны:

2. а). Вычислим определитель, разложив его по элементам первой строки:

б) Вычислим определитель, разложив его по элементам второго столбца:

в) Вычисли определитель , получив предварительно нули в первой строке. Используем свойство определителей: определитель не изменится, если ко всем элементам какой-либо строки (столбца) прибавить соответствующие элементы другой строки (столбца), умноженные на одно и то же произвольное число. Умножим третий столбец определителя на 3 и прибавим к первому, затем умножим на (-2) и прибавим ко второму. Тогда в первой строке все элементы, кроме одного, будут нулями. Разложим полученный таким образом определитель по элементам первой строки и вычислим его:

В определителе третьего порядка получили нули в первом столбце по свойству тому же свойству определителей.

Задание 2. Даны две матрицы A и B. Найти: а) AB; б) BA; в) ; г) .

Решение: а) Произведение АВ имеет смысл, так как число столбцов матрицы А равно числу строк матрицы В. Находим матрицу С=АВ, элементы которой определяются по формуле . Имеем:

б) Вычислим

Очевидно, что ;

в) Обратная матрица матрицы А имеет вид

,

где - алгебраическое дополнение, -минор, т.е. определитель полученный из основного определителя вычёркивание i-строки, j-столбца.

,

т.е. матрица A - невырожденная, и, значит, существует матрица . Находим:

Тогда

;

г) Проверка

;

Задание 3. Проверить совместность линейной системы уравнений и в случае совместности решить ее а) по формулам Крамера б) методом Гаусса.

Решение: Совместность данной системы проверим по теореме Кронекера - Капелли. С помощью элементарных преобразований найдем ранг матрицы

данной системы и ранг расширенной матрицы

Для этого умножим первую строку матрицы В на (-2) и сложим со второй, затем умножим первую строку на (-3) и сложим с третьей, поменяем местами второй и третий столбцы. Получим

.

Следовательно, (т. е. числу неизвестных). Значит, исходная система совместна и имеет единственное решение.

а) По формулам Крамера ,

где -главный определитель, который мы посчитаем, например, по правилу треугольника

,

Аналогично найдем

,

,

,

Находим: .

б) Решим систему методом Гаусса. Исключим из второго и третьего уравнений. Для этого первое уравнение умножим на 2 и вычтем из второго, затем первое уравнение умножим на 3 и вычтем из третьего:

Из полученной системы находим .

Задание 4. Решить матричное уравнение

Пусть ,

решение матричного уравнения находим по формуле Х=А ^-1В , где А ^-1 обратная матрица

- алгебраическое дополнение, где

- определитель, полученный из основного вычеркивание i-строки, j-столбца,

- определитель матрицы.

Найдем обратную матрицу.

(-1)¹⁺¹4=4 А₁₂=(-1)¹⁺²3=-3 А₂₁= (-1)²⁺¹2=-2

А₂₂=(-1)²⁺²1=1 detA==1*4-2*3=4-6=-2

Итак,

Задание 5. Предприятие выпускает три вида продукции, используя сырье трёх видов: . Необходимые характеристики указаны в таблице .

Вид сырья

Нормы расхода сырья на изготовление одного вида продукции, усл. ед.

Расход сырья за один день, усл. ед.

сапог

кроссовок

ботинок

S₁

S₂

S₃

5

2

3

3

1

2

4

1

2

2700

900

1600

Найти ежедневный объем выпуска каждого вида продукции.

Решение: Пусть ежедневно фабрика выпускает x₁ - единиц продукции первого вида, x₂ - единиц продукции второго вида, x₃ - единиц продукции третьего вида . Тогда в соответствии с расходом сырья каждого вида имеем систему.

Решаем систему линейных уравнений любым способом. Решим данную систему, например, методом Гаусса. Составим матрицу из коэффициентов стоящих перед неизвестными и из свободных членов.

Обнуляем первый столбец, кроме первого элемента

1. Первую строчку оставляем без изменения

2. Вместо второй записываем сумму первой, умноженной на -2 и второй, умноженной на 5

3. Вместо третьей записываем сумму первой, умноженной на -3 и третьей, умноженной на 5

Аналогично обнуляем второй столбец под элементом второй строки второго столбца

˜˜

Вернемся к системе

Т.е. фабрика выпускает 200- единиц продукции первого вида, 300- единиц продукции второго вида и 200- единиц продукции третьего вида.

Задание 6. Решить однородную систему линейных алгебраических уравнений.

Решение: Так как определитель системы

,

то система имеет бесчисленное множество решений. Поскольку , , возьмем любые два уравнения системы (например, первое и второе) и найдем ее решение. Имеем:

Так как определитель из коэффициентов при неизвестных и не равен нулю, то в качестве базисных неизвестных возьмем и (хотя можно брать и другие пары неизвестных) и переместим члены с в правые части уравнений:

Решаем последнюю систему по формулам Крамера :

где , .Отсюда находим, что Полагая , где k-произвольный коэффициент пропорциональности (произвольная постоянная), получаем решение исходной системы: .

Задания к самостоятельной работе

Задание 1. Для данного определителя найти миноры и алгебраические дополнения элементов . Вычислить определитель : а) разложив его по элементам i-ой строки; б) разложив его по элементам j-го столбца; в) получив предварительно нули в i-ой строки.

1.1 i = 4, j = 1 1.2 i = 3, j = 3

1.3 i = 4, j = 1 1.4 i = 1, j = 3

1.5 i = 2, j = 4 1.6 i = 1, j = 2

1.7 i = 2, j = 3 1.8 i = 3, j = 2

1.9 i = 4, j = 3 1.10 i = 4, j = 2

Задание 2. Даны две матрицы A и B. Найти: а) AB; б) BA; в) ;

г) .

2.1

2.2

2.3

2.4

2.5

2.5

2.6

2.7

2.8

2.9

2.10

Задание 3. Проверить совместность линейной системы уравнений и в случае совместности решить ее: а) по формулам Крамера; б) методом Гаусса.

3.1 3.2

3.3 3.4

3.5 3.6

3.7 3.8

3.9 3.10

Задание 4. Решить матричное уравнение

4.1 4.2

4.3 4.4

4.5 4.6

4. 7 4. 8

4. 9 4.10

Задание 5.

5.1. Обувная фабрика специализируется по выпуску изделий трех видов: сапог, кроссовок и ботинок, при этом используется сырьё трёх типов: . Нормы расхода каждого из них на изготовление одной пары обуви и объем расхода сырья за один день заданы в таблице.

Вид сырья

Нормы расхода сырья на изготовление одной пары, усл. ед.

Расход сырья за один день, усл. ед.

сапог

кроссовок

ботинок

S₁

S₂

S₃

2

2

2

5

0

1

1

4

1

18

20

10

Найти ежедневный объем выпуска каждого вида обуви.

5.2. Предприятие выпускает изделие трех наименовании: A, B, C при этом используется сырьё трёх типов: . Необходимые характеристики указаны в таблице. Требуется определить объем выпуска продукции каждого вида при заданных запасах сырья.

Вид сырья

Расход сырья по видам продукции, вес. ед. /изд.

Запас сырья, вес. ед.

А

В

С

S₁

S₂

S₃

2

2

1

2

1

1

1

1

2

6

5

9

5.3. Из некоторого листового материала необходимо выкроить 360 заготовок типа А, 300 заготовок типа Б и 675 заготовок типа В. При этом можно применять три способа раскроя. Количество заготовок, получаемых из каждого листа при каждом способе раскроя, указано в таблице:

Тип заготовки

Способ раскроя

1

2

3

А

В

С

3

1

4

2

6

1

1

2

5

Найти количество листов материалов, раскраиваемых соответственно первым, вторым и третьим способами.

5.4. Автомобильный завод специализируется по выпуску изделий трех видов: А, В, С, при этом используется сырьё трёх типов: . Необходимые характеристики указаны в таблице. Требуется определить объем выпуска продукции каждого вида при заданных запасах сырья.

Вид сырья

Расход сырья по видам продукции, вес. ед. /изд.

Запас сырья, вес. ед.

А

В

С

S₁

S₂

S₃

6

4

5

4

3

2

5

1

3

2400

1450

1550

5.5. Предприятие выпускает изделие трех наименовании: стулья, табуретки и столы, при этом используется сырьё трёх типов: . Нормы расхода каждого из них на изготовление одного изделия и объем расхода сырья за один день заданы в таблице.

Вид сырья

Нормы расхода сырья на изготовление одного изделия, усл. ед.

Расход сырья за один день, усл. ед.

стул

стол

табуретка

S₁

S₂

S₃

10

4

6

3

1

2

4

1

2

270

90

160

Найти ежедневный объем выпуска каждого вида продукции.

5.6. Швейное предприятие производит зимние пальто, демисезонные пальто и плащи. Используются ткани трех типов Т₁, Т₂, Т₃. В таблице приведены нормы расхода ткани (в метрах) на каждое изделие и объем расхода сырья за один день заданы в таблице. Найти ежедневный объем выпуска каждого вида изделия.

Вид сырья

Нормы расхода сырья на изготовление одного изделия, усл. ед

Расход сырья за один день, усл. ед.

Зимнее пальто

Демисезонное пальто

Плащ

Т₁

10

6

16

270

Т₂

4

2

2

90

Т₃

6

4

4

160

5.7. Кондитерская фабрика специализируется по выпуску трех видов тортов: "Классический", " Идеал " и "Воздушный" , при этом используется сырьё трёх типов: . Необходимые характеристики указаны в таблице. Требуется определить объем выпуска продукции каждого вида при заданных запасах сырья.

Вид сырья

Нормы расхода сырья на изготовление одного изделия, усл. ед.

Запас сырья, усл. ед.

"Классический"

"Идеал"

"Воздушный"

S₁

S₂

S₃

3

3

6

1

3

2

3

3

1

18

20

10

5.8. Предприятие занимается сборкой бытовой электронной аппаратуры трех наименовании: телевизоров, стереосистем и акустических систем, при этом используется сырьё трёх типов: . Нормы расхода сырья на изготовление одного изделия и объем расхода сырья за один день заданы в таблице.

Вид сырья

Нормы расхода сырья на изготовление одной пары, усл. ед.

Расход сырья за один день, усл. ед.

телевизор

стереосистема

акустическая система

S₁

S₂

S₃

10

4

6

6

2

4

8

2

4

270

90

160

Найти ежедневный объем выпуска каждого вида продукции.

5.9. На предприятие с работниками четырех категорий привезли заработную плату в купюрах следующего достоинства: по 100 рублей -1850 купюр, по 50 рублей - 230 купюр, по 10 рублей - 250 купюр, по 1 рублю - 740 купюр. Распределение купюр по категориям представлены в таблице. Определить, сколько сотрудников каждой категории работает на предприятии.

Достоинство купюры, руб.

Распределение купюр по категориям

Общее количество купюр

1

2

3

4

100

50

10

1

9

1

1

2

7

0

1

3

4

1

0

2

2

1

1

1

1850

230

250

740

5.10. Завод производит электронные приборы трех видов (прибор А, прибор В и прибор С), используя при сборке микросхемы трех видов (тип 1, тип 2, и тип 3). Расход микросхем и объем расхода сырья за один день заданы в таблице. Найти ежедневный объем выпуска каждого вида приборов.

Вид сырья

Нормы расхода сырья на изготовление одного прибора, усл. ед.

Расход сырья за один день, усл. ед.

Прибор А

Прибор В

Прибор С

Тип 1

Тип 2

Тип 3

2

2

2

5

0

1

1

4

1

500

400

400

Задание 6. Решить однородную систему линейных алгебраических уравнений.

6.1 6.2

6.3 6.4

6.5 6.6

6.7 6.8

6.9 6.10

Приложение 4

Применение матриц

Матрицы нашли применение во многих отраслях человеческой деятельности.

• Матричный язык, обозначения и матричные вычисления широко используются в различных областях современной математики и её приложений. Матрицы являются основным математическим аппаратом линейной алгебры и применяются при исследовании линейных отображений векторных пространств, линейных и квадратичных форм, систем линейных уравнений. Матрицы используются в математическом анализе при интегрировании систем дифференциальных уравнений, в теории вероятностей.

• Матрицы используются в механике и теоретической электротехнике при исследовании малых колебаний механических и электрических систем, в квантовой механике.

• При решении задач проектирования дорожных машин возникает необходимость в вычислениях координат вершин тел в пространстве. Такие вычисления удобно производить с помощью матриц в системе МАТLАВ. Предположим, что у нас есть ковш экскаватора, который перемещается в верхней части треугольной системе координат XYZ. Ковш экскаватора имеет сложную поверхность, и его удобней представить в виде куба, в который он заключен, и в дальнейшем работать уже с восемью координатами вершин куба. Матрицу размеров ковша можно задать через восемь координат куба, каждая из которых описывается тремя координатами XYZ. Присвоим l, w, h значения (где l - длина, w - ширина, h - высота ковша) и с помощью функции patch отобразим её и наглядно увидим созданную фигуру.

• Рассмотрено распространение электромагнитной волны в неоднородной среде, содержащей идеально проводящую плоскость. В модели локально неоднородной среды задача сведена к объемному интегральному уравнению. Получена матрица, решение которой позволило существенно повысить точность вычисления значений вблизи неоднородности.

• В будущем возможны следующие направления развития фирмы: матричный анализ, применение матриц для оценки сбалансированности номенклатуры и ассортимента товаров, для оценки привлекательности рынка и позиции фирмы.

• Широкое применение матрицы находят при расчете сооружений с использованием современной вычислительной техники.

• В экономике применяются матричные модели - балансово-нормативные модели в виде таблиц (матриц), отражающие соотношения затрат и результатов производства, нормативы затрат, производственные и экономические структуры. Применяются в межотраслевом балансе, при составлении техпромфинпланов предприятий и т.д.

С помощью матриц удобно записывать экономические зависимости. Например, таблица распределения ресурсов по отдельным отраслям экономики (усл. ед.)

Ресурсы

Отрасли экономики

промышленность

Сельское хозяйство

Электроэнергия

5,3

4,1

Трудовые ресурсы

2,8

2,1

Водные ресурсы

4,8

5,1

может быть записана в компактной форме в виде матрицы распределения ресурсов по отраслям:

В этой записи, например, матричный элемент а₁₁=5,3 показывает, сколько электроэнергии потребляет промышленность, а элемент а₂₂=2,1 - сколько трудовых ресурсов потребляет сельское хозяйство.

Рассмотрим следующую задачу: пусть предприятие выпускает продукцию трех видов: P₁, P₂, P₃ и использует сырье двух типов: S₁ и S₂. Нормы расхода сырья характеризуются матрицей:

где каждый элемент а_ij (i = 1,2,3; j = 1,2) показывает, сколько единиц сырья j-го типа расходуется на производство единицы продукции i-го вида. План выпуска продукции задан матрицей-строкой С = (100 80 130), стоимость единицы каждого типа сырья (ден. ед.) - матрицей столбцом:

Рассмотрев задачу, получили: затраты 1-го сырья составляют S₁ = 2·100 + 5·80 + 1·130 = 730 ед. и 2-го - S₂ = 3·100 + 2·80 + 4·130 = 980 ед., поэтому матрица-строка затрат сырья S может быть записана как произведение:

Тогда общая стоимость сырья Q = 730·30 + 980·50 = 70900 ден. ед. может быть записана в матричном виде: Q = S·B = (CA)B = (70900).

Общую стоимость сырья можно вычислить и в другом порядке: вначале вычислим матрицу стоимостей затрат сырья на единицу продукции, т.е. матрицу:

а затем общую стоимость сырья:

На этом примере мы убедились в выполнении ассоциативного закона произведения матриц: (СА)В = С(АВ).

Проанализировав использования матриц в экономике, мы пришли к выводу, что достоинства матриц состоят в том, что они используют широкий набор стратегически значимых переменных; указывают направление движения ресурсов. Среди недостатков этого инструмента: не обеспечивает реальных рекомендаций по разработке специфических стратегий; по ней невозможно определить сферы бизнеса, которые готовы стать победителями. Также матрицы позволяют с минимальными затратами труда и времени обрабатывать огромный и весьма разнообразный статистический материал, различные исходные данные, характеризующие уровень, структуру, особенности социально-экономического комплекса.

Приложение 5

Образцы решения

Линейная алгебра

Изучить по учебной литературе вопросы:

1. 1. 1. 1. 1. Матрицы, их виды.

            2. Действия над матрицами.

            3. Определитель матрицы. Вычисление определителей второго и третьего порядков.

            4. Обратная матрица, ее определение и получение обратной матрицы второго и третьего порядков.

            5. Решение матричных уравнений.

            6. Решение системы линейных уравнений по формулам Крамера, в виде матричного уравнения.

Примеры решения задач.

1. 1. Выполнить действия над матрицами

Составить матрицу М=(2А - В)(В+Е)

Решение

Составим матрицу 2А - В, для чего все элементы матрицы А умножим на 2, а затем из каждого элемента матрицы 2А вычтем соответствующий элемент матрицы В.

Составим матрицу В+Е, где матрица Е является единичной матрицей третьего порядка:

Матрица М является произведением полученных матриц, то есть каждый ее элемент равен сумме произведений соответствующих элементов строки матрицы 2А-В и столбца матрицы В+Е

2. Вычислить определитель матрицы:

а)

Решение

а) Для вычисления определителя второго порядка воспользуемся правилом, изложенным в учебной литературе:

б) Для вычисления определителя третьего порядка воспользуемся одним из правил, называемым разложением по элементам первой строки:

3. Найти обратную матрицу для матрицы второго порядка

Решение

Для получения обратной матрицы А^-1 воспользуемся формулой , где

Для проверки можно найти произведение матриц А и А^-1; должна получиться единичная матрица второго порядка.

3. Решить систему уравнений по формулам Крамера

Решение

Для решения задачи нужно вычислить четыре определителя третьего порядка:

• главный определитель, составленный из коэффициентов при неизвестных;

• дополнительный для х, полученный из главного определителя заменой чисел первого столбца на свободные члены;

• дополнительный для у, полученный из главного определителя заменой чисел второго столбца на свободные члены;

• дополнительный для z, полученный из главного определителя заменой чисел третьего столбца на свободные члены;

Для получения значений неизвестных требуется разделить значения дополнительных определителей на главный определитель.

Решение задачи можно проверить при помощи найденных значений в уравнения системы.

Приложение 6

История развития матриц

Впервые матрица под названием "волшебный квадрат" упоминается еще в Древнем Китае. Подобные квадраты чуть позже были известны и у арабских математиков. С развитием теории определителей в конце 17 века швейцарский математик Габриэль Крамер (1704 - 1752) начал разрабатывать свою теорию и в 1751 году, не задолго до своей смерти, опубликовал "правило Крамера" - метод решения систем линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) с ненулевым определителем матрицы системы. В этот же период появился и "метод Гаусса", применяемый для решения СЛАУ и основанный на последовательном исключении неизвестных.

Как отдельная теория, теория матриц получила свое активное развитие в середине 19 века в работах ирландского математика и физика Уильяма Гамильтона (1805 - 1865) и английского математика Артура Кэли (1821 - 1895). Фундаментальные результаты в теории матриц принадлежат также немецким математикам Карлу Вейерштрассу (1815 - 1897), Фердинанду Георгу Фробениусу (1849 - 1917) и французскому математику Мари Энмону Камиль Жордану (1838 - 1922). Современное название "матрица" было введено английским математиком Джеймсом Сильвестром (1814 - 1897) в 1850 году.

13