13

1. Система координат в пространстве.

Выберем начало координат. Проведем три взаимно перпендикулярные оси х, y и z . Выберем масштаб.

Получилась система координат в трехмерном пространстве.

Каждая точка характеризуется тремя числами - координатами по x, y и z. Запись M(−1; 3; 2) означает, что координата точки M по x (абсцисса) равна −1, координата по y (ордината) равна 3, а координата по z (аппликата) равна 2.

Векторы в пространстве определяются так же, как и на плоскости.

Это направленные отрезки, имеющие начало и конец. Только в пространстве вектор задается тремя координатами x, y и z:

ﺂ؟(x_a; y_a; z_a)

Чтобы найти координаты вектора, так же, как и на плоскости, из координаты конца надо вычесть координату начала.

1.

2.

Если точка M - середина отрезка AB, то ее координаты находятся по формуле:

3.

4. - сумма векторов.

5. - разность векторов.

6. - произведение вектора на число.

7. - скалярное произведение векторов

8. - косинус угла между векторами.

2. Введение системы координат.

Метод координат - это, конечно, очень хорошо, но в настоящих задачах C2 никаких координат и векторов нет, поэтому их надо вводить.

Самое замечательное свойство заключается в том, что не имеет никакого значения как именно вводить систему координат. Если все вычисления будут правильными, то и ответ будет правильным.

2.1 Координаты куба.

Система координат вводится очень просто:

1. Начало координат - в точке A

2. Если ребро куба не указано, то принимаем его за единичный отрезок;

3. Ось x направляем по ребру АВ, у - по ребру АD, а ось z - по ребру AA_{1 .}

Теперь у каждой вершины куба есть координаты:

A (0; 0; 0), B (1; 0; 0), C (1; 1; 0), D (0; 1; 0),

A₁ (0; 0;1) B (1; 0; 1) C₁ (1; 1; 1), D₁ (0; 1; 1).

2.2 Координаты правильной треугольной призмы

A (1; 0; 0), B, C (0; 0; 0), A₁ (1; 0; 1), B₁ , C₁ (0; 0; 1).

2.3 Координаты правильной шестиугольной призмы

, , , , , , ,

, , , , .

2.4 Координаты правильной четырехугольной пирамиды

Введем систему координат с началом в точке А

A (0; 0; 0), B (1; 0; 0), C (1; 1; 0), D (0; 1; 0), H (0,5; 0,5; 0).

Найдем координаты точки S. Рассмотрим треугольники ASH и ABH

1. AS = AB = 1 по условию;

2. Угол AHS = AHB = 90°, поскольку SH - высота, а AH ⊥ HB как диагонали квадрата;

3. Сторона AH - общая.

Следовательно, прямоугольные треугольники ASH и ABH равны по одному катету и гипотенузе. Значит, SH = BH = 0,5 · BD. Но BD - диагональ квадрата со стороной 1. Поэтому имеем:

Итак, координаты точки S:

Рассмотрим случай, если боковые ребра пирамиды не равны ребрам основания. В этом случае рассмотрим треугольник AHS:

Треугольник AHS - прямоугольный, причем гипотенуза AS - это одновременно и боковое ребро исходной пирамиды SABCD. Катет: AH = 0,5 · AC. Оставшийся катет SH найдем по теореме Пифагора. Это и будет координата z для точки S.

3. Матрицы и определители второго и третьего порядка.

Определение: Таблица, составленная из четырёх чисел называется квадратной матрицей второго порядка. Числа называют элементами матрицы.

Определение: Число ∆ называется определителем или детерминантом матрицы.

∆=

Определитель третьего порядка можно вычислить так:

4. Метод координат в пространстве

4.1 Угол между прямыми.

Вычисление направляющих векторов для прямых.

В задаче С2 прямые всегда задаются парой точек. Если ввести систему координат и рассмотреть вектор с началом и концом в этих точках, получим направляющий вектор для прямой.

α-угол между прямыми

3.1 Угол между двумя прямыми - это угол между их направляющими векторами.

Задача 1.

В единичном кубе ABCDA₁B₁C₁D₁ найдите угол между прямыми AE и BF, где E - середина ребра A₁B₁, где Е - середина ребра А₁В₁ а F - середина ребра B₁C_1.

Решение (1 способ)

K- середина A₁D₁ AK║BF угол KAE = φ

По теореме Пифагора

По теореме косинусов для ∆ AKE

KE² = AE² + AK² - 2 * AE *AK * cos φ

cos φ=0,8 φ=arccos0.8

Решение (2 способ)

С помощью векторов и координат легко найти угол между прямыми.

А если требуется найти угол между плоскостями или между прямой и плоскостью, то для этого нам понадобится уравнение плоскости в пространстве.

4.2 Плоскость в пространстве задается уравнением.

Ax+By+Cz+D=0,

где A, B и С - координаты вектора, перпендикулярного этой плоскости. Его называют нормалью к плоскости.

Чтобы написать уравнение плоскости, берем координаты трех принадлежащих ей точек. Подставляем их по очереди в уравнение плоскости. Решаем полученную систему.

Напишем уравнение плоскости, проходящей через точки M (1; 0; 1), N(2; -2; 0) и К (4; 1; 2)

Уравнение плоскости выглядит так:

Ax+By+Cz+D=0

Получим систему из трех уравнений:

В ней четыре неизвестных: A, B, С и D. Поэтому одну из них мы выберем сами, а другие выразим через нее. Правило - простое вместо одной из переменных можно взять любое число, не равное нулю.

Решив систему, получим:

A=- B=- C=

Уравнение плоскости MNK имеет вид:

Умножим обе части уравнения на -3. Тогда коэффициенты станут целыми:

x+4y+7z+6-0

Вектор (1; 4; -7) - это нормаль к плоскости MNK.

Если плоскость проходит через начало координат, то D=0 (так как D≠0 не позволит получить верное числовое равенство).

Уравнение плоскости, проходящей, через заданную точку имеет вид:

_{Уравнение плоскости можно составить и с помощью определителя третьего порядка :}

_{Пусть имеем точки}

_,

_{Тогда уравнение плоскости, проходящей через эти три точки ,будет иметь вид:}

₌₀

4.3 Угол между плоскостями равен углу между нормалями к этим плоскостям:

cos φ=

При пересечении двух плоскостей образуется четыре угла . Мы берем меньший из них. Поэтому в формуле стоит модуль скалярного произведения - чтобы косинус угла был неотрицателен.

Задача 2

В кубе ABCDA₁B₁C₁D₁ точки E и F с середины ребер соответственно A₁B₁ и

A₁D₁. Найдите косинус угла между плоскостями AEF и BDD₁.

Видно, что плоскости AEF и BDD₁ пересекаются где-то вне куба. В классическом решении пришлось бы строить пересечения. Но координатный метод значительно всё упрощает. Достаточно отметить координаты нужных точек и найти угол между нормалями к плоскостям AEF и BDD₁.

A(0; 0; 0), C(1; 1; 0)

Сначала - нормаль к плоскости BDD₁. Мы можем подставить координаты точек B, D и D₁ в уравнение плоскости и найти координаты вектора нормали. А можно увидеть нужную нормаль на чертеже. Ведь плоскость BDD₁ - это диагональное сечение куба. Вектор перпендикулярен этой плоскости.

Итак, первый вектор нормали у нас уже есть:

Напишем уравнение плоскости AEF.

A E F

_{Составим уравнение плоскости:}

Уравнение плоскости AEF: 2x+2y-z=0

Нормаль к плоскости AEF: (2; 2; -1)

Найдем угол между плоскостями:

_{4.4 Угол между прямой и плоскостью}

Задача 3.

В правильной четырехугольной пирамиде SABCD, все ребра которой равны 1, найдите угол между прямой DE, где E-середина апофемы SF грани ASB грани и плоскостью ASC

OB - вектор нормали плоскости ASC

DE - направляющий вектор прямой

OB - - вектор нормали плоскости ASC

DE - - вектор направляющей вектор прямой DE

Ответ:

4.5 Расстояние от точки до плоскости

Задача 4

В правильной шестиугольной призме ABCDEFA₁B₁C₁D₁E₁F₁ , все рёбра которой равны 1, найдите расстояние от точки E до прямой B₁C₁.

Решение (1 способ)

1) Рассмотрим ΔCDE:

по теореме косинусов:

СЕ² = 2СD² - 2CD² cos120° = 2 + 2*1/2 = 3 =>

CE =

2) Рассмотрим ΔС₁СЕ: он прямоугольный, т.к. С₁С перпендикулярна плоскости нижнего основания => CC₁ перпендикулярна СЕ.

По теореме Пифагора:

С₁Е² = ()² + 1² = 4, С₁Е = 2

3) Рассмотрим ΔBCE: он прямоугольный , т.к. 120° - 60°:2 = 90° (из ΔCDE)

ВЕ² = ()² + 1² = 4, ВЕ = 2

4) Рассмотрим ΔВВ₁Е: он прямоугольный, т.к. ВВ₁ перпендикулярна ВЕ,

по теореме Пифагора:

В₁Е² = В₁В² + ВЕ² = 4 + 1 = 5, ВЕ =

5) Рассмотрим ΔВ₁С₁Е:

С₁Е = 2, С₁В₁ = 1, В₁Е = , т.е. 2² + 1² = ()². Таким образом, по теореме обратной теореме Пифагора, ΔВ₁С₁Е - прямоугольный, угол В₁С₁Е = 90°

6) Искомое расстояние от точки Е до прямой В₁С₁ - это длина С₁Е = 2

2 способ

1) Поместим призму в прямоугольную систему координат, расположив координатные оси, как показано на рисунке. СС₁, СВ и СЕ попарно перпендикулярны, поэтому можно направить вдоль них координатные оси. Получаем координаты:

С₁ (0;0;1), Е (;0;0), В₁ (0;1;1)

2) Найдем координаты векторов С₁В₁ и С₁Е:

С₁В₁ (0;1;0), С₁Е (;0;-1).

3) Найдем косинус угла между С₁В₁ и С₁Е, используя скалярное произведение векторов С₁В₁ и С₁Е:

cosβ = = 0 => β = 90° => C₁E - искомое расстояние.

4) С₁Е = =2

4.6 Расстояние между скрещивающимися прямыми

в пространстве - это длина их общего перпендикуляра. Общий перпендикуляр скрещивающихся прямых - отрезок с концами на этих прямых, перпендикулярный обеим этим прямым.

Если прямые в пространстве пересекаются, расстояние между ними считается равным 0.

Пусть есть не пересекающиеся в пространстве прямые a и b.

Построим плоскости α и β так, чтобы эти плоскости были параллельны, плоскость α содержала в себе прямую a, плоскость β содержала в себе прямую b.

Расстоянием между прямыми a и b будет расстояние между плоскостями α и β.

Литература:

1. Александров А.Д. и др

. Геометрия для 10-11 классов: Учеб. пособие для учащихся школ и классов с углубленным изучением математики . Просвещение, 1992.

2. Ю.М.Нейман, Т.М. Королева, Е.Г. Маркарян .

Математика: ЕГЭ: Учебно-справочные материалы «Просвещение», 2011.

3 . Погорелов А.В.

Геометрия: Учеб. для 7-11 кл. сред. шк., 4-е изд. - М.: Просвещение, 1993.

4. Смирнов В. А.

ЕГЭ 2011. Математика. Задача С2. Геометрия. Стереометрия

. Под ред. А. Л. Семенова и И.В.Ященко. МЦНМО, 2011.

5. Холева, О. В.

Нахождение углов между прямыми и плоскостями (координатно-векторный метод) . Математика в школе. - 2011. - №4.