Рабочая тетрадь для учащихся по подготовке к олимпиаде по математике

КГУ «Арзамасская средняя школа»

Рабочая тетрадь

по подготовке к олимпиаде

по математике

ученика ___ класса

Арзамасской средней школы

__________________________

составила: Хатунцева В.Р.

2014г

Рабочая тетрадь включает задачи из московских и международных олимпиад для школьников прошлых лет, а также огромное количество авторских задач, составленных известными учителями-математиками, решение которых требует сообразительности, хорошего владения разделами, в том числе элементарной математики, психологической подготовки и, конечно, высокой логической культуры.

Рабочая тетрадь разделена на несколько уровней, каждый из которых ориентирован на соответствующий уровень школьной программы (возраст/класс) и степень владения учащимся навыками решения «нестандартных» задач.

Каждый уровень включает задачи из всех разделов школьного курса математики, в том числе элементарной математики, логики, геометрии, алгебры и начала анализа.

Каждый раздел включает задачи программного курса школьной математики для учащихся 5-9 классов, большинство из которых даже не затрагиваются на уроке в школе, однако навык решения подобного рода задач лежит в основе

• успешного освоения всего последующего курса математики старшей школы;

• закладывает фундамент для формирования навыка грамотных логических рассуждений;

• формирования способности принимать взвешенные решения в нестандартных ситуациях.

В рабочей тетради содержится следующий тип олимпиадных заданий:

Задачи на взвешивания и переливания

В таких задачах от решающего требуется за ограниченное число взвешиваний локализовать предмет, отличающийся от остальных предметов по весу. Также в этой рубрике рассматриваются задачи на переливание, в которых необходимо получить определенное количество жидкости, используя емкости заданного объема.

Нахождение лишнего

Требуется умение объединять группы объектов по определенным признакам.

Текстовые задачи на вычисления

Простые жизненные процессы, умение применить математические знания в жизни.

Логические задачи

Задачи, напрямую не связанные с вычислениями, но активно развивающие мышление

Задачи на нахождение логических ошибок, задачи с подвохом

Развивают ценное и очень необходимое качество успешного человека - критическое мышление. Учимся анализировать условие. Иногда ответ содержится в самой задаче.

Задание на свойства чисел и операции с ними

Свойство четных и нечетных чисел, правильная расстановка скобок, расстановка цифр в числе, отвечающая определенным условиям. Делимость чисел. Операции над числами.

О времени

. Вычислить дату, используя подсказки, вспомнить закономерность работы часов или определить чей-то возраст лишь по намекам.

Задачи со спичками

Совершая манипуляции над спичками, необходимо добиться требуемого результата. Большая часть этих задач относится к числу «нестандартных», требующих навыка «оценить ситуацию с неожиданной для большинства точки зрения или усмотреть в условии возможность использования неочевидных данных».

Ребусы

Математический ребус, в котором зашифрован пример на выполнение одного из арифметических действий. При этом, одинаковые цифры шифруются одной и той же буквой, а разным цифрам соответствуют различные буквы.

Задачи на взвешивание и переливание

1. Отмерить время с помощью песочных часов

При помощи только 4- и 7-минутных песочных часов точно отмерьте девять минут

• Решение:

2. Взвешивание слив

Имеются стандартные весы с чашечками и две гири: 10 и 2 кг. Как с их помощью взвесить 3 кг слив?

• Решение:

3. Радиоактивные шары

Имеется 14 шаров. Среди них 2 радиоактивных. Имеется счётчик Гейгера. Его можно поднести к группе шаров и узнать, есть ли в ней радиоактивные (но неизвестно - сколько их).
За сколько замеров и каким образом можно найти оба радиоактивных шара в группе из 14 шаров?

• Решение:

4. 68 монет

Есть 68 монет, все они разные по весу. Как за 100 взвешиваний найти самую легкую и самую тяжелую?

Решение:

5. Фальшивые монеты

Среди 100 одинаковых на вид монет есть несколько фальшивых. Все фальшивые монеты весят одинаково, все настоящие - тоже, фальшивая монета легче настоящей. Имеются также весы (с двумя чашами без стрелки), на каждой чашке умещается только по одной монете. При этом весы слегка испорчены: если монеты разного веса, перевешивает более тяжёлая монета, а если одинакового - перевесить может любая чашка. Как с помощью этих весов найти хотя бы одну фальшивую монету?

• Решение:

_____________________________________________________________________________________________

6. Делёж

Имеются три бочонка вместимостью 6 вёдер, 3 ведра и 7 вёдер. В первом и третьем содержится соответственно 4 и 6 ведёр кваса. Требуется, пользуясь только этими тремя бочонками, разделить квас поровну.

• Решение:

7. Поделить квас

Двое должны разделить поровну 8 ведер кваса, находящегося в восьмиведерном бочонке. Но у них есть только два пустых бочонка, в один из которых входит 5 ведер, а в другой - 3 ведра. Спрашивается, как они могут разделить этот квас, пользуясь только этими тремя бочонками?

• Решение

8. 80 монет

Имеется 80 монет, одна из которых фальшивая, причем она легче других. За какое наименьшее число взвешиваний на весах без гирь можно найти фальшивую монету?

• Решение:

9. Материя

Эта задачка хоть и совсем не про взвешивания, но принцип ее решения такой же, как и у других задач данного раздела. Итак.

Как от куска материи в 2/3 метра отрезать полметра без помощи каких-либо измерительных приборов?

• Решение:

10. Очередная задача на переливание

Имеются шестилитровая банка сока и две пустые банки: трех- и четырехлитровая. Как налить 1 литр сока в трехлитровую банку?

• Решение:

11. Взвесить слона

Сможете ли вы повторить действия, которые предпринял в одной древней легенде восточный мудрец? Попробуйте. Вот условие.
Когда за доброе дело правитель страны решил наградить умного человека, тот пожелал взять столько золота, сколько весит слон. Но как же взвесить слона? В те времена не было таких весов. Что бы в подобной ситуации смогли придумать вы?

12. Где фальшивые монеты?-2

Есть 10 мешков по 10000 монет каждый. Несколько целиком забиты монетами на 1г. легче настоящих, в остальных монеты настоящие. Есть еще один мешок с настоящими монетами. За одно взвешивание на весах со стрелкой, показывающей разность весов на чашах определите все мешки с фальшивыми монетами.

• Решение:

13. Задача Пуассона

Как из полного сосуда ёмкостью в 12 л отлить половину, пользуясь двумя пустыми сосудами ёмкостью в 8 и 5 л?

• Решение:

____________________________________________________________________________________________

14. Элементарное переливание

Винодел обычно продает свое вино по 30 и по 50 литров и использует для этого кувшины только такого размера. Один из покупателей захотел купить 10 литров. Как винодел отмерил ему 10 литров пользуясь своими кувшинами?

• Решение:

15. Сортировка по весу

Пять различных по весу предметов требуется расположить в порядке убывания их веса. Пользоваться можно только простейшими весами без гирь, которые позволяют лишь установить, какой из двух сравниваемых по весу предметов тяжелее.
Как следует действовать, чтобы решить задачу оптимальным образом, то есть так, чтобы число взвешиваний было минимальным? Сколько взвешиваний придется при этом произвести?

• Решение:

16. Алюминиевые шарики

Среди 2000 внешне неразличимых шариков половина - алюминиевые, весом 10 г каждый, а вторая половина - дюралевые, весом 9.9 г каждый. Требуется выделить две кучки шариков так, чтобы количество шариков в кучках было одинаковым, а массы - разными. Каким наименьшим числом взвешиваний на чашечных весах без гирь это можно сделать?

• Решение:

17. Находчивый студент

К продавцу, студенту-математику, подрабатывющему летом торговлей у бочки с квасом, подходят два веселых приятеля и просят налить им по литру кваса каждому. Продавец замечает, что у него есть лишь две емкости, трехлитровая и пятилитровая, и он не может выполнить их просьбу. Приятели предлагают 100 долларов, если продавец сможет выполнить их заказ, причем выдать им порции продавец должен одновременно. После некоторого размышления, продавец сумел это сделать. Каким образом? Заметим, что при переливаниях квас не теряется и что полные емкости позволяют точно отмерять объемы 3 и 5 литров.

• Решение:

__________________________________________________________________________________________

18. Точные весы

Имеется 9 одинаковых монет, одна из которых фальшивая и по этой причине легче остальных. Мы располагаем двумя весами без гирь, позволяющими сравнивать по весу любые группы монет. Однако одни из имеющихся весов являются грубыми, на них нельзя отличить фальшивую монету от настоящей. Их точность не позволяет уловить разницу в весе. Зато другие весы точные. Но какие весы грубые, а какие точные - неизвестно. Как в этой ситуации с помощью трех взвешиваний определить фальшивую монету?

• Решение:

_________________________________________________________________________________________________

19. Фальшивая гирька

Имеются 6 гирь весом 1, 2, 3, 4, 5 и 6 г. На них нанесена соответствующая маркировка. Однако есть основания считать, что при маркировке гирь допущена одна ошибка. Как при помощи двух взвешиваний на чашечных весах, на которых можно сравнить веса любых групп гирь, определить, верна ли имеющаяся на гирях маркировка?

• Решение:

__________________________________________________________________________________________

20. Ямайский ром

В одном порту моряк пришел в лавку с пустым бочонком на пять галлонов и попросил лавочника налить туда четыре галлона отборного ямайского рома. К несчастью, единственным сосудом для измерения был старый оловянный кувшин на три галлона. Как лавочник сумел точно отмерить четыре галлона с помощью этих двух емкостей?

Решение:

21. НА ВЕСАХ

На одну чашку весов положен брусок мыла, на другую 3/4 такого же бруска и еще 3/4 кг. Весы в равновесии. Сколько весит брусок?

В пакете содержится 9 кг крупы. Требуется при помощи чашечных весов с гирями в 50 и 200 г распределить всю крупу по двум пакетам: в один - 2 кг, в другой - 7 кг. При этом разрешается произвести только 3 взвешивания.

На левой чашке весов стоит бутылка со стаканом, а на правой - кувшин. Весы в равновесии. Если переставить стакан с левой чашки весов на правую, а кувшин заменить тарелкой, то весы опять будут в равновесии. Если после этого убрать бутылку с левой чашки весов и поставить сюда два одинаковых кувшина, а на правой чашке весов стакан заменить двумя одинаковыми тарелками, то окажется, что два кувшина весят столько же, сколько 3 тарелки. Во сколько раз бутылка тяжелее стакана?

22. ФАЛЬШИВАЯ МОНЕТА

Имеется 9 монет одинакового достоинства. Известно, что 8 из них имеют одинаковый вес, а одна - фальшивая - немного легче остальных. Требуется при помощи двух взвешиваний на чашечных весах без гирь выделить фальшивую монету.

При тех же условиях выделить более легкую фальшивую монету из 8 одинаковых монет тоже при помощи двух взвешиваний.

Среди 12 монет имеется одна фальшивая. Известно, что она отличается по весу от настоящих, но неизвестно, тяжелее она их или легче. С помощью не более трех взвешиваний на чашечных весах без гирь выделить фальшивую монету и одновременно установить, легче она или тяжелее других.

23. ДЕЛЕЖ ПРИ ПОМОЩИ ПЕРЕЛИВАНИЯ

Имеется три бочонка вместимостью 6 ведер, 3 ведра и 7 ведер. В первом и третьем содержится соответственно 4 и 6 ведер кваса. Требуется, пользуясь только этими тремя бочонками, разделить квас поровну.

Требуется разделить поровну 8 ведер кваса, находящегося в восьмиведерном бочонке. При этом имеется только два пустых бочонка, один вместимостью 5 ведер, а второй - 3 ведра.

Разделить поровну 16 ведер кваса, находящихся в 16-ведерном бочонке, если имеется два пустых бочонка - 6-ведерный и 11-ведерный.

24. РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ПОРОВНУ

Требуется разделить поровну между тремя людьми 21 бутылку вина, из которых 7 полных, 7 наполовину пустых и 7 пустых. Каждый должен получить одинаковое количество вина и одинаковое количество бутылок.

Имеется 12 больших бутылок с вином и 12 маленьких, из которых 5 больших и 5 маленьких - пустые, а остальные - полные. В большую бутылку вмещается столько же вина, сколько в две маленькие. Требуется распределить их между тремя людьми так, чтобы каждый получил поровну вина и одинаковое количество бутылок одного и того же размера.

Задачи на нахождение лишнего

1. Найдите лишнее слово

Буквы каждого из этих слов, кроме одного, можно переставить так, чтобы образовалось имя известного человека или название города.
Попробуйте проделать эту операцию и найти то слово, из которого нельзя образовать ни имени, ни названия:
ТАНК
МАЛИНА
ДВЕРИ
НАВАГА
ПУДЕЛЬ

Решение:

2. Найдите лишнее
Сначала задача поставит вас в тупик. Но одна фигура явно выделяется из общего ряда больше других.
Все не так просто, как может показаться в первые секунды.

Итак, проверьте свои способности:

- Гений находит решение за 7 секунд.
- Билл Гейтс - за 15 секунд.
- Выпускник ТОП-МБА за 30 секунд.
- Если вы нашли ответ за 1 минуту, то вы принадлежите к 10% наиболее одаренных.
- За 2 минуты находят ответ еще 15.
- 75% не способны решить эту задачу.
­

Решение:

Текстовые задачи на вычисления

Виды задач.

1. Задачи на движение.

S = V t; V = S / t; t = S / V, где S - путь, V - скорость, t - время.

2. Задачи на движение по реке.

Vпо течению = Vcобств + Vтечен; Vпротив течен = Vcобств + Vтечен , где Vсобств - скорость в стоячей воде, Vтечен - скорость течения реки.

3. Задачи на работу.

А = П t; П = А / t; t = А / П , где А - объем работы, П - производительность, т. е. объем работы, выполняемый в единицу времени, t - время.

4. Задачи на стоимость.

С = Ц К; Ц = С / К; К = С / Ц , где С - стоимость, Ц - цена, К - количество.

5. Задачи на урожай.

О = У S; У = O / S; S = O / У , где О - количество урожая, У - урожайность, т.е. количество урожая с единицы площади, S - площадь.

6. Задачи на грузоподъемность.

О = Г К; Г = О / К; К = О / Г , где О - количество груза, Г - грузоподъемность, т. е. количество груза в единице используемого средства ( автомобили, вагоны и т. д. ), К - количество используемых средств.

7. Задачи на было, изменилось, стало.

8. Другие задачи, включающие зависимость между тремя величинами, например, количество мест, мест в одном ряду, количество рядов и т. д.

9. Задачи на составы, концентрации и т. д. (смеси, растворы, сплавы и т. д. )

Общий алгоритм решения задач.

1. Прочесть задачу. Установить вид задачи, установить величины, входящие в задачу, зависимость между ними.

2. Записать величины с единицами измерения в вертикальные колонки по ширине тетрадного листа, оставив с слева 2 - 3 см, установив следующий порядок записи величин:

для задач на движение, движение по реке - скорость, время, путь;

для задач на работу - производительность, время, объем работы;

для задач на стоимость - цена, количество, стоимость;

для задач на урожай - урожайность, площадь, количество урожая;

для других задач , включающих зависимость между тремя величинами, рекомендуется в последней колонке записывать величину, получаемую умножением двух других;

для задач на было, изменилось, стало - было, изменилось, стало;

для задач на составы, концентрации - компоненты, общий состав ( смесь, раствор, сплав; и т. д.) .

3. Прочитать задачу второй раз, установить «действующие лица» (первый автомобиль, второй автомобиль; план, факт; первый рабочий, второй рабочий, оба вместе и т. д.) и условия их действия (до встречи, после встречи; первое условие задачи, второе условие задачи; и т. д. Записать слева в оставленном месте вертикально построчно условия действия и «действующие лица», создав таким образом горизонтальные строки.

В задачах на движение по реке устанавливаются построчно следующее:

По течению
Против течения
Стоячая вода
Течение

4. Прочитать задачу третий раз и по мере чтения вносить условия задачи в соответствующую графу. Запись условий вести слева, оставляя место для выражений с неизвестным (х). Если величина одного «действующего лица» больше или меньше другого, то на сколько ( во сколько ) больше или меньше и стрелкой указывается кого ( чего ), например: на 2 бол. или в 3 раза мен. .

Если данная величина суммарная для «действующих лиц», то ставится фигурная скобка и записывается величина, например: 200 км.

Все данные задачи со словами раньше, позже, быстрее, медленнее, длиннее, задержка и т. д. перевести по смыслу на больше или меньше.

Если в задачах на работу отсутствуют сведения об объеме работы, то его целесообразно принять за единицу, что позволит решать задачу в частях. Этот подход может быть использован и для других видов задач.

5. Принять неизвестное за х и записать его в графу соответствующую неизвестной величине.

6. В каждой строчке столбца неизвестной величины составить выражения с х по смыслу записанных условий, т. е. «отработать х по вертикали».

7. В каждой строчке выполнить действие по смыслу, используя формулу получения определяемой величины, см. «Виды задач», и записать результат в соответствующую графу, т. е. «отработать х по горизонтали». Например: скорость - х, время - 3, то путь равен 3х.

8. На основании условия по заполненной в пункте 7 величине составить уравнение.

9. Решить уравнение, отобрать корни, соответствующие смыслу задачи.

10. Определить при необходимости арифметически другие спрашиваемые в задаче величины.


Общие правила для решения задач.

1. Единицы измерения привести в соответствие, если время выражено в часах, то минуты необходимо перевести в часы, для чего минуты разделить на 60, сократить.

2. Десятичные дроби, смешанные дроби целесообразно привести в обыкновенную дробь, неправильную дробь, что позволит легко привести уравнение к целому виду.


Примеры решения задач.

Задачи на движение.

Задача 1. Из пункта А в пункт В, расстояние между которыми 100 км, одновременно выехали 2 велосипедиста. Первый едет со скоростью на 30 км/ч быстрее, чем второй и приезжает в пункт В на 3 часа раньше. Найти скорость каждого.

1. Задача на движение: входящие величины - скорость, время, путь.
2. «Действующие лица» - 1 велосипедист, 2 велосипедист.
Создаем таблицу.
3. Читаем задачу еще раз и заносим условия в соответствующие графы.
4,5. Пусть скорость первого велосипедиста - х, тогда:
6. Рассматриваем первую строку, читаем: скорость - х, путь - 100, найдем время - S/V = 100/x и заносим в таблицу. Тоже выполняем во второй строке.
V,км/ч t, ч S, км

1 вел. х на 30 бол 100 / х на 3 мен. 100

2вел. х - 30 100 / х - 30 100

7. Смотрим только на столбец времени.
Так как по условию задачи время в пути первого велосипедиста на три часа меньше, чем второго, составим уравнение:


Если в задаче величина одного «действующего лица» больше или меньше другого, то целесообразно из большего вычесть меньшее (). Для исключения ошибок при установлении большего, проверьте себя дважды.

8. Решение уравнения.


О.З.= ( х - 30 ) х
Х - л. д. ч., но х 0, х 30

100х - 100х + 3000 = 3х² - 90х,
3х² - 90х - 3000 = 0,
х² -30х - 1000 = 0, х ₁ =50; х ₂ = - 20
х = - 20 не имеет смысла по условию задачи.
9. Найдем скорости каждого: 50 км/ч - скорость первого мотоциклиста;

50 - 30 = 20 (км/ч) - скорость второго мотоциклиста.

Ответ. 50 км/ч; 20 км/ч.

Решите самостоятельно

Задача 1. Автомобиль ехал по проселочной дороге и задержался на 6 мин. От предполагаемого времени. Чтобы ликвидировать опоздание, скорость была увеличена на 4 км/ч. Опоздание было ликвидировано на перегоне в 36 км. Найдите первоначальную скорость автомобиля.
В данной задаче условия действия будут: без задержки и с задержкой.
Решение:

Задача 2. Из пункта А в пункт В навстречу друг другу выезжают одновременно и с одинаковыми скоростями два автомобиля и встречаются через 5 ч 30 мин после выезда в пункте С. Если бы скорость одного автомобиля была бы на 10 км/ч больше, то они встретились бы в пункте, отстоящем от пункта С на 25 км . Найдите скорость автомобилей.
Решение:

Задачи на движение по реке.

Пароход прошел 4 км против течения и затем еще 33 км по течению, затратив на весь путь 1 час. Найдите скорость парохода в стоячей воде, если скорость течения реки равна 6,5 км/ч.

Решение:

Задачи на работу.

1. При отсутствии объема работы, объем следует принять за единицу.
2. При совместной работе производительности складываются.


Задача. Две бригады, работая совместно закончили посадку деревьев за 4 дня. Сколько дней потребовалось каждой бригаде в отдельности, если одна из них может выполнить работу на 15 дней быстрее, чем другая?

Решение:

Задача. Две трубы, работая вместе, наполнили бассейн за 12 часов. Первая труба, работая в отдельности, наполняет бассейн на 18 часов быстрее, чем вторая. За сколько часов наполняет бассейн вторая труба?
Решение:

Задачи на составы, концентрации.

В этих видах задач необходимо знать и уметь следующее:
1. Процент - это сотая часть от числа.
2. Нахождение процента от числа и числа по его проценту целесообразно находить, используя свойства пропорции, для чего определить, что принимается за 100% и составить схему решения, при этом следует строго подписывать величины под величинами, а проценты под процентами, например: найти сколько процентов составляет 30 от 120.

120- это 100%, поэтому схема будет выглядеть следующим образом:

120 ------------- 100%

30 ------------- х.

Решаем крест на крест: произведение на линии без х идет в числитель, а линия с х идет в знаменатель.
= 25%.
Найти чему равно 30% от 120. Составим схему:

120 ------------- 100%
х -------------- 30%.

.

Так как процент - сотая часть от числа, то 30% - это 0,3 от 120 и может быть найдена умножением: 120 0,3 = 36.
3. Если р% содержится в х, то этого вещества будет . Например, 5% соли содержится в х г раствора, то этой соли будет 0,05 х г.
4. Концентрация - это количество вещества, содержащееся в единице объема, выраженное в процентах. Например, 20 процентный раствор соли - это значит в 100 г раствора содержится 20% соли, т. е. 20 г, а в х раствора содержится 0,2 х г.
5. В вертикальные колонки записываются сначала компоненты, а затем общий состав ( для растворов компонентами являются вещество и вода ). Например: кислота; вода; раствор; или медь; цинк; сплав.


Задача 1. Морская вода содержит 8% ( по весу) соли. Сколько килограммов пресной воды нужно добавить к 30 кг морской воды, чтобы содержание соли в ней составило 5% ?
Решение:

Задача 2. Свежие грибы содержат по массе 90% воды, а сухие - 20%. Сколько надо собрать свежих грибов, чтобы получить из них 4,5 кг сухих грибов?
Решение:

Задача 3. Имеется сталь двух сортов с содержанием никеля в 5% и 40%. Сколько нужно взять каждого из этих сортов стали, чтобы получить 140 т стали с содержанием в 30%?

Решение:

Логические задачи

Логические задачи - это своеобразная "гимнастика для ума", средство для утоления естественной для каждого мыс-лящего человека потребности испытывать и упражнять силу собственного разума. В разделе представлен ряд занимательных задач из области математики, физики, естествознания, полюбившиеся многим задачи на взвешивание, задачи на нестандартное логическое мышление и многое другое.

1. Кувшинки на пруду

На поверхности пруда плавает одна кувшинка, которая постоянно делится и разрастается. Таким образом, каждый день площадь, которую занимают кувшинки, увеличивается в два раза. Через месяц покрытой оказывается вся поверхность пруда. За сколько времени покроется кувшинками вся поверхность пруда, если изначально на поверхности будут плавать две кувшинки?

Решение:

2. Сумма чисел

В XIX веке один учитель задал своим ученикам вычислить сумму всех целых чисел от единицы до ста. Компьютеров и калькуляторов тогда еще не было, и ученики принялись добросовестно складывать числа. И только один ученик нашел правильный ответ всего за несколько секунд. Им оказался Карл Фридрих Гаусс - будущий великий математик. Как он это сделал?

Решение:

3. Притягательные игрушки

В детской больнице юные пациенты очень любили играть с очаровательными плюшевыми мишками, которые были там. К сожалению, детям они так сильно нравились, что мишки стали исчезать: малолетние пациенты уносили их домой. Как руководство больницы решило эту проблему?

Решение:

4. Король и премьер-министр

Один король хотел сместить своего премьер-министра, но при этом не хотел его слишком обидеть. Он позвал премьер-министра к себе, положил при нем два листка бумаги в портфель и сказал: "На одном листке я напи-сал "Уходите", а на втором - "Останьтесь". Листок, который вы вытащите, решит вашу судьбу". Премьер-министр догадался, что на обоих листках было написано "Уходите". Как же, однако, умудрился он при этих условиях сохранить свое место?

Решение:

5. Пожар на острове

Человек находится на острове. Из-за долгой засухи трава и кусты на острове сильно пересохли. Внезапно на одном конце острова возник пожар, и ветер погнал огонь в сторону человека. Спастись в море чело-век не может, так как в море у самого берега плавает множество акул. Берегов без растительности на острове нет. Как человеку спастись?

Решение:

6. Фальшивая монета

На столе лежат девять монет. Одна из них - фаль-шивая. Как при помощи двух взвешиваний можно найти фальшивую монету? (Фальшивая монета легче настоящих.)

Решение:

7. Производство обуви

Владельцами одной известной фирмы по производству обуви, было внедрено довольно необычное оригинальное решение, согласно которому в одном городе на обувной фабрике изготавливались только правые ботинки, а в другом городе - только левые. Благодаря этому внедрению, фирма смогла значительно снизить некоторые свои убытки. Что, по Вашему мнению, приносило фирме эти убытки?

Решение:

8. Необычное предложение

Что необычного в предложении "The quick brown fox jumps over the lazy dog"? (Перевод: быстрая коричневая лиса перепрыгнула через ленивую собаку).

Решение:

9. Назадачливый рыбак

Один рыбак купил себе новую удочку длиной 5 футов. Домой ему приходиться добираться общественным транспортом, в котором правилами запрещено перевозить предметы длиной более 4-х футов. Как необходимо упаковать удочку, чтобы проехать в общественном транспорте не нарушая правил?

Решение:

10. Переправа через реку

Отец с двумя сыновьями отправился в поход. На их пути встретилась река, у берега которой находился плот. Он выдерживает на воде или отца, или двух сыновей. Как переправиться на другой берег отцу и сыновьям?

Решение:

11. Взвешивание крупы

Имеется 9 кг крупы и чашечные весы с гирями в 50 г и 200 г. Попробуйте в три приема отвесить 2 кг этой крупы.

Решение:

12. Новые таблички

В одном городе построили новый район из 100 домов. Мастера по изготовлению табличек изготовили и привезли пачку новых табличек с нумерацией домов от 1 до 100. Сосчитайте количество всех цифр 9 встречающихся в этих табличках (цифры 9 и 6 являются разными цифрами).

Решение:

13. Кто изображен на портрете?

Один джентльмен, показывая своему другу портрет, нарисованный по его заказу одним художником, сказал: "У меня нет ни сестер, ни братьев, но отец этого человека был сыном моего отца".
Кто был изображен на портрете?

Решение:

14. Погремушки

Многие средневековые русские актёры (скоморохи) веселящие народ в ту пору, во время своих выступлений использовали погремушки, изготовленные из бычьего пузыря и находящихся внутри него плодов одного растения.
Плоды, какого растения использовались при изготовлении этих погремушек?

Решение:

15. Сколько страниц в книге?

При издании книги потребовалось 2 775 цифр того, чтобы пронумеровать ее страницы. Сколько страниц в книге?

Решение:

16. Находчивый таможенник

Служащему таможни, где производился контроль отправляемых за границу товаров, показались подозрительными пластмассовые кегельные шары одной из фирм. Они весили столько же, сколько деревянные того же размера. Шары не были массивными, но стенки были повсюду одинаково тверды. Служащий подумал, что внутри каждого шара имеется полость, где можно спрятать контрабандные товары. И, действительно, при помощи очень простого опыта без применения особой аппаратуры таможенник установил, что в одном из 12 шаров спрятана контрабанда. Когда шар вскрыли, там оказалось брильянтовое украшение. Как удалось обнаружить этот шар?

Решение:

17. Приготовление краски

Для того чтобы получить краску оранжевого цвета, необходимо смешать краски желтого цвета (6 частей) и красного цвета (2 части). Сколько грамм краски оранжевого цвета можно получить (максимально), имея в наличии 3 грамма желтой и 3 грамма красной краски?

Решение:

18. Ключи и замки

Имеется три ключа от трех чемоданов с различными замками. Каждый ключ подходит только к одному чемодану. Достаточно ли трех проб, чтобы подобрать ключи к каждому из них?

Решение:

19. Стеклянные шары

Имеются: два одинаковых стеклянных шара и один 100 этажный дом. Известно что: шары начинают разбиваться при ударе о землю, падая с определенного этажа. Как определить минимальное количество сбрасываний этих шаров с различных этажей, за которые можно гарантированно найти этот самый этаж?

Решение:

20. Остывший кофе

Вы собрались попить кофе с молоком, и успели налить в стакан только кофе. Но вас просят отлучиться на несколько минут. Что надо сделать, чтобы при вашем возвращении кофе был горячее: налить в него молоко сразу перед уходом или после, когда вы вернетесь, и почему?

Решение:

21. Землекопы

Пять землекопов за 5 часов выкапывают 5 м канавы. Сколько потребуется землекопов, для того чтобы выкопать 100 м канавы за 100 часов?

Решение:

22. Деревенский дурачок

Люди, приезжавшие в одну деревушку, часто удивлялись местному дурачку. Когда ему предлагали выбор между блестящей 50-центовой монетой и мятой пятидолларовой купюрой, он всегда выбирал монету, хотя она стоит вдесятеро меньше купюры. Почему он никогда не выбирал купюру?

Решение:

23. Кольцо вокруг Земли

Образно представьте себе нашу планету, плотно стянутую кольцом по всему ее экватору. После увеличения длины окружности кольца на 10 метров, между кольцом и поверхностью земли образовался зазор определенной величины. Как Вы считаете, сможет ли человек пройти, или хотя бы протиснуться в этот зазор?
Решение:

24. Коробки с конфетами

Пете и Коле купили по коробке конфет. В каждой коробке находится 12 конфет. Петя из своей коробки съел несколько конфет, а Коля из своей коробки съел столько конфет, сколько осталось в коробке у Пети. Сколько конфет осталось на двоих у Пети и Коли?

Решение:

25. Школьный инспектор

Инспектор, проверявший некую школу, заметил, что, когда бы он ни задал классу вопрос, в ответ тянули руки все ученики. Более того, хотя школьный учитель каждый раз выбирал другого ученика, ответ всегда был правильным. Как это получалось?

Решение:

26. О лифте

Человек живет на 17-м этаже. На свой этаж он поднимается на лифте только в дождливую погоду или тогда, когда кто-нибудь из соседей с ним едет в лифте. Если погода хорошая и он один в лифте, то он едет до 9-го этажа, а дальше до 17-го этажа идет пешком по лестнице... Почему?

Решение:

27. Флаг на воздушном шаре

Воздушный шар уносится непрерывным ветром в южном направлении. В какую сторону развиваются при этом флаги на его гондоле?

Решение:

28. Два шнура

У Вас есть два шнура (фитиля). Каждый шнур, подожженный с конца, полностью сгорает дотла ровно за один час, но при этом горит с неравномерной скоростью. Как при помощи этих шнуров и зажигалки отмерить время в 45 минут?

Решение:

29. Форма яйца

Считается, что есть веская причина, по которой у птичьих яиц один конец тупее другого. Что это за причина?

Решение:

30. Переправа

Имеется круглое глубокое озеро диаметром 200 метров и два дерева, одно из которых растет на берегу у самой воды, другое - по центру озера на небольшом островке. Человеку, который не умеет плавать, нужно перебраться на островок при помощи веревки, длина которой чуть больше 200 метров. Как ему это сделать?

Решение:

31. Поездки в трамваях

Вдоль улицы, на которой я проживаю, курсируют трамваи красного и синего цвета, относящиеся к одному и тому же маршруту. Количество тех и других трамваев одинаковое. Красные трамваи, равно как и синие, ходят с одинаковым интервалом времени, составляющим десять минут. В течение дня я совершаю по несколько поездок, причем в самое разное время. Казалось бы, количество поездок в трамваях красного и синего цвета должно быть приблизительно одинаковым с возможным небольшим отклонением. Однако, в силу некоторых обстоятельств, фактическое количество поездок в трамваях красного цвета составляет, чуть ли не 90% от количества всех поездок. Как можно объяснить такое явление?

Решение:

32. Может ли такое быть?

Одного человека спросили:
- Сколько вам лет?
- Порядочно, - ответил он.
- Я старше некоторых своих родственников почти шестьсот раз. Может ли такое быть?

Решение:

33. Кофе с сахаром

Чашка кофе с кубиком сахара стоит 1 доллар 10 центов. Известно, что кофе дороже кубика сахара на 1 доллар. Сколько стоит само кофе, и сколько стоит кубик сахара?

Решение:

34. Насколько длинный... кубический метр!?

Если один кубический метр разделить на составляющие его кубические миллиметры и соединить их между собой гранями в одну прямую линию, то каковой длины окажется эта линия?

Решение:

35. Полуночный дождь

Если в 12 часов ночи идет дождь, то можно ли ожидать, что через 72 часа будет солнечная погода?

Решение:

36. На аэростате

Аэростат свободно и неподвижно держится в воздухе. Из гондолы его вылез человек и начал по тросу взбираться вверх. Куда подвинется при этом аэростат: вверх или вниз?

Решение:

37. Защита авторского права

Как защищают свои издания от пиратов, которые хотели бы их скопировать, некоторые издатели словарей и атласов?

Решение:

38. Мешки с золотом

Имеется 10 мешков с монетами (количество монет в каждом мешке одинаковое). В девяти мешках монеты золотые, а в одном - фальшивые. Вес настоящей золотой монеты 5 грамм, а вес фальшивой - 4 грамма. Как за одно взвешивание на весах (весы взвешивают с точностью до грамма) определить, в каком из мешков монеты фальшивые?

Решение:

39. Изготовление гири

Довольно часто, при изготовлении гири в основной металл намеренно вкрапляют кусочек свинца или меди. Для чего это делается?

Решение:

40. С каемкой или без?

Почему блюдце всегда имеет кольцевидную каемку с нижней стороны?

Решение:

41. Безбрежное море

Мы часто произносим: "безбрежное море". А существует ли в действительности "безбрежное море", то есть море, у которого нет берегов?

Решение:

42. Мост через ручей

Двое соседей-дачников собрались построить мост через ручей, разделяющий их дачные участки. Расстояние от ручья до домика каждого дачника разное, причем домик одного дачника располагается чуть ниже по течению относительно домика другого. Как построить мост через ручей, чтобы он отстоял на одинаковом расстоянии от обоих домиков?

Решение:

43. Что быстрее?

Если шар, гладкий куб и цилиндр будут одновременно пущены вниз по наклонной плоскости, что первым очутится внизу?

Решение:

44. Два числа

Назовите два числа, у которых количество цифр равно количеству букв, составляющих название каждого из этих чисел.

Решение:

45. Лестничные ступеньки

Лена живет на четвертом этаже, при этом, поднимаясь к себе домой, она проходит по лестнице 60 ступенек. Юля живет в этом же подъезде на втором этаже. Сколько ступенек проходит Юля, поднимаясь к себе домой на второй этаж?

Решение:

46. Сколько мне лет?

Когда моему отцу был 31 год, мне было 8 лет, а теперь отец старше меня вдвое. Сколько мне лет теперь?

Решение:

47. Шум леса

Как вы думаете, одинаково ли шумят хвойные и лиственные леса?

Решение:

48. Два человека

Идут рядом два человека, один из них - отец сына другого. Как такое может быть?

Решение:

49. Тиканье часов

Положите свои карманные часы на стол, отойдите от них на несколько шагов и прислушайтесь к их тиканью. Если в комнате достаточно тихо, то вы услышите, что ваши часы идут словно с перерывами: то тикают короткое время, то на несколько секунд замолкают, то снова начинают идти и т.д. Чем можно объяснить такой неравномерный ход часов?

Решение:

50. Зеленая земля

Гренландия - огромный остров, покрытый снегом и льдом. Почему человек, открывший этот остров, назвал его Гренландией, т.е. "Зеленой землей"?

Решение:

51. Потерянные гайки

Меняя колесо своей машины, человек уронил все четыре гайки его крепления в решетку канализационного стока, откуда достать их было невозможно. Он уже решил, что застрял здесь, но проходивший мимо мальчик подсказал ему очень дельную мысль, которая позволила ему поехать дальше. В чем состояла его идея?

Решение:

52. Огурец в бутылке

Всем известно, что есть способ поместить в бутылку модель корабля. Но как сделать, чтобы в бутылке оказался целый спелый огурец, не повредив бутылку?

Решение:

53. Загадочное число

Трехзначное число состоит из возрастающих (слева направо) цифр. Если это число прочитать, то все слова будут начинаться на одну и туже букву. Что это за число?

Решение:

54. Как повалить бетонную стену?

Предположим Вам надо повалить бетонную стену длиной в 20 метров, высотой в 3 метра и весом в 3 тонны. Как вы выполните эту задачу, если в вашем распоряжении нет абсолютно никаких инструментов?

Решение:

55. Взвешивание под водой

На обыкновенных чашечных весах лежат: на одной чашке - булыжник, весящий ровно 2 кг, на другой - железная гиря, весящая так же 2 кг. Весы осторожно опустили под воду. Остались ли чашки в равновесии?

Решение:

56. Вес груза

Человек прыгает со стула. В руках он держит весы, на чашке которых лежит груз 10 кг. На каком делении будет стоять стрелка весов во время падения?

Решение:

57. Два кирпича

На гладкую доску положили 2 кирпича - один плашмя, а другой на ребро. Кирпичи весят одинаково. Какой кирпич соскользнет первым, если наклонять доску?

Решение:

58. Отчего журчит ручей?

Все мы неоднократно слышали журчание ручья. Как Вы считаете, отчего он журчит?

Решение:

59. Пострадавшие в ДТП

В больницу Сент-Джеймс направляли всех пострадавших в результате несчастных случаев в городе. Больше всего было водителей и пассажиров, пострадавших в ДТП. Чтобы уменьшить их число, городские власти сделали обязатель-ным пользование ремнями безопасности. Водители и пас-сажиры стали пристегиваться этими ремнями, но число ДТП оста-лось неизменным, а число пострадавших в них людей, ко-торые поступали в больницу, даже увеличилось. Почему?

Решение:

Задачи на нахождение логических ошибок,

задачи с подвохом

1. Студентке на экзамене в медицинском ВУЗе дали человеческую кость. Экзаменатор спрашивает: "Сколько таких костей у тебя?" Студентка ответила, что пять. Экзаменатор сказал: "Неправильно, - бедренных костей у тебя только две" Но самое интересное, что студентка была права. Почему?

Решение:

2. Как-то раз Ли С. Захвост отправился поохотиться. Протопав целый день по сугробам, замерзший и уставший, он добрался до лесной сторожки лишь за полночь. Здесь его ждали печь, масляная лампа и любимая трубка; но, к несчастью, у Захвоста была всего одна-единственная спичка. Какой из упомянутых предметов Ли должен зажечь первым?

Решение:

3. И было записано, что в Дариабаре у слепого нищего человека был брат, который умер. И было также записано: у человека, который умер не было брата. Какие отношения между слепым нищим и тем человеком, который умер?

Решение:

4. Как бросить теннисный мяч, чтобы он, пролетев короткое расстояние, остановился и начал двигаться в обратном направлении? При этом мяч не должен стукаться о препятствия, его нельзя привязывать к чему-либо и ударять чем-либо

Решение:

5. Шел Кондрат в Ленинград,а навстречу 12 ребят, у каждого - по 3 лукошка, в каждом лукошке-кошка, у каждой кошки - 12 котят, у каждого котенка в зубах по 4 мышонка. И задумался старый Кондрат: сколько мышат и котят ребята несут в Ленинград?

Решение:

6. Учитель и кружки

Учитель рисует на листке бумаги несколько кружков и спрашивает одного ученика: «Сколько здесь кружков?». «Семь» - отвечает ученик. «Правильно. Так сколько здесь кружков?» - опять спрашивает учитель другого ученика. «Пять» - отвечает тот. «Правильно» - снова говорит учитель. Так сколько же кружков он нарисовал на листке?

• Решение:

7. Самая высокая гора

Какая гора была самой высокой на Земле до открытия Эвереста?

• Решение:

8. Про солдат и автоматы

По улице прогуливались двое солдат и толька они зашли за угол, увидели на земле 3 автомата. Каждый из них получил по одному автомату. Причем все 3 автомата нашли нового хозяина.

Вопрос: Как такое возможно?

• Решение:

9. 3 лягушки

Три лягушки сидели на берегу пруда. Одна из них решила прыгнуть в пруд. Сколько лягушек осталось на берегу?

Решение:

10. Объем воды

Предположим, у вас есть прямоугольное сито с размерами 9 см в ширину, 7 см в высоту, 14 см в длину. Какой объем воды в него можно уместить?

• Решение:

11. Задача про овец

У фермера было 17 овец, и все, кроме девяти, умерли. Сколько овец осталось у фермера?

• Решение:

12. Водяной столб

Где вода стоит столбом?

• Решение:

13. Одно слово

Составьте одно слово из приведенного ниже набора букв:

Л О С О Н Д О О В

• Решение:

14. Дни рождения

Сколько Дней рождения у среднестатистического человека?

• Решение:

15. Буквы

Изначально это слово состоит из 10 букв, но оно вполне записывается тремя буквами. Ранее записывали пятью буквами, а теперь - шестью. О чем речь?

• Решение:

16. Шампанское с подвохом

Как выпить из бутылки шампанского глоток шампанского, не открывая и не разбивая бутылку?

• Решение:

17. Свисток и пуговица

У пуговицы 4 дырочки, а у свистка одна дырочка. Во сколько раз громче свистит пуговица?

• Решение:

18. Без головы

Когда человек находится дома без головы?

• Решение:

19. Парадокс с часами

Как можно объяснить, что в исправных часах за одну секунду минутная стрелка прошла 6 минут?

• Решение:

20. Прогулка

Человек прошел от Дублина до Корка по главным дорогам, не миновав ни одного паба. Как это могло случиться, ведь пабы в Ирландии встречаются на каждом шагу?

• Решение:

21. Взломщики

Банда взломщиков собирается ограбить дом. Сообщники сообщили им, что заходить в помещение можно только при выключенном свете, если свет горит, то заходить в дом нельзя. Весь вечер свет в квартире то потухнет, то погаснет. Когда же взломщикам можно ограбить дом?

• Решение:

22. Посуда

Из какой посуды не едят?

• Решение:

23. Трое сыновей

У матери Андреаса трое сыновей-близняшек. Она их очень любит и старается, чтобы всё всем доставалось поровну. Поэтому даже тарелочки для каши у каждого своя. Тарелочки подписаны именами детей - Пим, Пам, и...
Как подписана третья тарелочка?

• Решение:

24. Тракторы

Сколько тракторов можно собрать, если имеется 102 маленьких колеса, 114 больших и 132 руля?

• Решение:

25. Пословица

Для начала прочитайте пословицу:

ЛУЧШЕ СИНИЦА В

В РУКАХ, ЧЕМ ЖУРАВЛЬ

В НЕБЕ

Что в ней необычного?

Решение:

Задачи на свойства чисел и операций с ними

Задачи с процентами

При наличии в задачах процентов определите:

1. Что принимается за 100%?

2. Что надо найти?

3. Составьте пропорцию и решить.

4. Решить задачу. Округлить до нужного значения.

Пример 1. Тетрадь стоила 40 руб. Цена повысилась на 15%. Какое число тетрадей можно купить на 500 рублей?

1. Определим цену тетради после повышения: 100% - это цена до повышения, найти цену после повышения.

1 способ. 2 способ

40 руб. -------------------- 100% 40 руб. -------------------- 100%

х руб.--------------------- 15% х руб.--------------------- 115%

2. Определим сколько тетрадей можно купить на 500 рублей

Так как количество тетрадей - число натуральное, а в остатке деления - 40, то тетрадей можно купить 10 и останется 40 рублей.

Ответ: 10

Пример 2. 500 детей надо вывезти в оздоровительный лагерь. Сколько нужно заказать автобусов, если в автобусе должны быть 40 детей и 15% взрослых?

1. Всего в автобус помещается 46 человек. Смотри предыдущую задачу.

2. Определим сколько нужно автобусов?

Так как в остатке 40, то автобусов нужно 11.

Ответ: 11

Решите самостоятельно.

1. Железнодорожный билет для взрослого стоит 540 рублей. Детский билет составляет 60% от взрослого. Сколько рублей надо заплатить за групп, состоящую из 20 школьников и 4 взрослых?

Решение:

2. Клиент положил в банк 15000 рублей под 7% годовых. Какая сумма на счету будет через год?

Решение:

3. Клиент взял в банке кредит 18000 рублей на год под 12% годовых. Он вносит ежемесячно одинаковую сумму. Какова сумма ежемесячного взноса?

Решение:

2. Задачи на выбор оптимального решения РАЗОБРАТЬ
   В этих задачах предлагаются варианты А, Б, В, из которых надо выбрать наиболее экономный.
   
   Пример 1. Для перевозки 4 т груза на 50 км можно воспользоваться одной из трех компаний, использующих один вид автомобиля. Сколько рублей будет стоить наиболее дешевый вариант перевозки?

Компания-перевозчик

Стоимость перевозки одним авто (руб. на 10 км)

Грузоподьемность автомобилей (т)

А

130

2,6

Б

80

1,6

В

170

3,4

Для решения выполним расчет по каждому варианту, определив сколько раз по 10 км укладывается в 50 км (50 :10 = 5) и сколько надо автомобиле по каждому варианту:

А. 4: 2,6 - 2 автом. 130 ·5 · 2 = 1300

Б. 4: 1,6 - 3 автом. 80 · 5 ·3 = 1200

В 4 : 3,4 - 2 автом. 170 · 5 ·2 = 1700

Ответ: 1200

Пример 2. Интернет - провайдер предлагает три тарифных плана. Сколько стоит самый дешевый ежемесячный платеж, если трафик составляет 550 Мб?

Тарифный план

Абонентская плата

Плата за трафик

План «0»

нет

0,9 за 1 Мб

План «100»

152руб. за 100Мб

0,6 за 1 Мб сверх 100Мб

План «500»

404 руб. за 500Мб

0,4 за 1 Мб сверх 500Мб

Для решения выполним расчет по каждому варианту, определив на сколько Мб трафик превышает план:

План «0» 550 · 0,9 = 495

План «100» 152 +450 · 0,6 = 422

План «500» 404 +50 · 0,4 = 424

Ответ: 422

Пример 3. Интернет - провайдер предлагает три тарифных плана. Сколько стоит самый дешевый ежемесячный платеж, если трафик составляет 700 Мб?

Тарифный план

Абонентская плата

Плата за трафик

План «0»

нет

0,9 за 1 Мб

План «100»

152руб. за 100Мб

0,6 за 1 Мб сверх 100Мб

План «500»

404 руб. за 500Мб

0,4 за 1 Мб сверх 500Мб

Для решения выполним расчет по каждому варианту, определив на сколько Мб трафик превышает план:

План «0» 700 · 0,9 = 630

План «100» 152 +600 · 0,6 = 512

План «500» 404 +200 · 0,4 = 484

Ответ: 484

3. Прикладные задачи физического содержания

Для решения задач такого вида надо уметь подставить вместо величин в формуле значения, данные в задаче и найти неизвестное, т. е. решить уравнение.
Пример1. Камнеметательная машина выстреливает камни под определенным углом к горизонту. Траектория полета описывается формулой у = ах² + bx, где а = - 1/22500 1/м, b = 1/15. На каком наибольшем расстоянии (в метрах) от стены высотой 24 м нужно расположить машину, чтобы камни перелетали через нее?
Для решения задачи нужно установить что есть что: у - высота, х - расстояние до стены. Теперь подставим в формулу значения всех величин:
Далее надо решить неравенство:
- х² + 1500х - 22500·24 > 0
Сложность решения заключается в нахождении дискриминанта.
х² - 1500х + 22500·24 = 0
D = 1500² - 4· 22500 · 24
Чтобы вычислить D, надо разложить слагаемые на удобные множители:
D = 15² · 100² - 4· 15² · 100 · 24 = 15² · 100 (100 - 96) = 15² · 100 · 4
= 300


х ₁ = 600, х₂ = 900
Набольшее - 900. Ответ: 900

Задачи о времени
Задачи, связанные со временем

1. После предыдущего совмещения стрелки часов наложились ровно через 65 минут. Спешат или отстают наши часы?

РЕШЕНИЕ:

2. Через сколько минут стрелки часов (нормальных) после совмещения наложаться снова?

РЕШЕНИЕ:

3. Ровно в 10 часов наши часы вдруг пошли в полтора раза быстрее и шли так, пока не дошли ровно до 11 часов, после чего пошли в полтора раза медленнее, пока не дошли до 12 часов. Сколько в этот момент показывали обычные часы?

РЕШЕНИЕ:

4. Во сколько раз число, показывающее, во сколько раз скорость секундной стрелки больше скорости минутной, больше числа, показывающего, во сколько раз скорость минутной стрелки больше скорости часовой стрелки?

РЕШЕНИЕ:

5. Миша с Машей назначили встречу, но у Миши часы спешат на 5 минут, хотя он считает, что они отстают на 5 минут. А у Маши, наоборот, часы отстают на 5 минут, а она думает, что они спешат на 5 минут. Кто придет на свидание раньше и на сколько?

РЕШЕНИЕ:

6. Зависит ли вес песочных часов от того, течет в них песок, или нет?

РЕШЕНИЕ:

7. Изменится ли точность карманных часов, если их подвесить на цепочке так, чтобы они свободно качались? Почему часы начинают качаться и почему нарушается точность хода? Правильно ли будут идти песочные часы в лифте, опускающемся с постоянной скоростью?

РЕШЕНИЕ:

8. Если бы сейчас было на два часа позже, то до полуночи оставалось бы в два раза меньше времени, чем если бы сейчас было на час позже. Сколько сейчас времени?

РЕШЕНИЕ:

9. На одном берегу реки начинается концерт через 17 минут. Четверо музыкантов находятся на другой стороне реки возле моста, который они должны пересечь, чтобы попасть на концерт. Вы должны им в этом помочь. Ночь, и у них есть всего один фонарик на всех. Через мост одновременно может идти не более двух человек в одном направлении. При этом они используют фонарик. Каждый член квартета может передвигаться со своей скоростью. Если по мосту идут двое из них, то они передвигаются со скоростью того, кто из них движется медленнее. Итак, они пересекают мост за: Боно - 1 минута, Эдж - 2 минуты, Адам - 5 минут, Лэрри - 10 минут. Успеют ли они на концерт?

РЕШЕНИЕ:

10. Человек приехал на станцию на час раньше обычного и не стал ждать посланную за ним машину, а пошел ей навстречу, встретил, сел и приехал на 20 минут раньше обычного. Сколько минут он шел пешком?

РЕШЕНИЕ:

11. Некоторая работа была начата в пятом часу, а закончена в восьмом часу, причем показания часов в начале и в конце работы переводятся друг в друга, если поменять местами часовую и минутную стрелки. Определить продолжительность работы и показать, что в начале и в конце работы стрелки были одинаково отклонены от вертикального направления.

РЕШЕНИЕ:

12. Сколько раз в сутки минутная стрелка обгоняет часовую?

РЕШЕНИЕ:

13. А секундная?

РЕШЕНИЕ:

14. Два будильника одинаковой модели, один из которых идет правильно, а другой спешит, тикают в унисон каждые три минуты. На сколько убегает за час спешащий будильник?

РЕШЕНИЕ:

15. На вопрос: "Который час?" был дан ответ: "Половина времени, прошедшего после полуночи, равна 3/4 времени, оставшегося до полудня". Сколько же было времени? (Постарайтесь без "икса"...)

РЕШЕНИЕ:

16. Часы пробили полночь. Сколько раз и в какие моменты времени до следующей полуночи часовая и минутная стрелки будут совмещены?

РЕШЕНИЕ:

17. В Америке такую дату, как 4 июля 1998 года, часто сокращенно записывают так - 7/4/98. В европейских странах обычно первым пишут число, затем месяц, и та же дата выглядит следующим образом: 4/7/98. Если не знать, по какой системе записано число, то сколько дат в году можно истолковать неправильно?

РЕШЕНИЕ:

18. В 1971 году Смит сказал: "Мне было n лет, когда шел n² год". В каком году родился Смит?

РЕШЕНИЕ:

19. Как проще всего отмерить 15 минут, необходимые для варки яиц, имея под рукой семи- и одиннадцатиминутные песочные часы?

РЕШЕНИЕ:

20. Некий грек родился 7 января 40 г. до н. э., а умер 7 января 40 г. н. э. Сколько лет он прожил? (См. 35)

РЕШЕНИЕ:

21. Известно, что бикфордов шнур горит неравномерно, но сгорает ровно за 1 минуту. Можно ли при помощи двух таких шнуров отмерить ровно 45 секунд? Как? Просьба соблюдать технику безопасности.

РЕШЕНИЕ:

22. Между какими цифрами находится секундная стрелка в момент первого совмещения часовой стрелки с минутной после полудня?

РЕШЕНИЕ:

23. Муха в полдень села на секундную стрелку часов и поехала, придерживаясь следующих правил: если она обгоняет какую-то стрелку или ее обгоняет какая-то стрелка (кроме секундной у часов есть часовая и минутная стрелки), то муха переползает на эту стрелку. Сколько кругов проедет муха в течение часа?

РЕШЕНИЕ:

24. Каждая цифра на циферблате заключена в кружок, кружки расположены по кругу и касаются друг друга. К минутной стрелке на пружинке приделан колесик радиусом, равным радиусу кружков с цифрами так, что он катится по этим кружкам. Вопрос очевиден: сколько оборотов вокруг своей оси сделает колесик за час?

РЕШЕНИЕ:

25. Более опытная машинистка могла бы перепечатать рукопись за два часа, менее опытная - за три часа. За сколько часов они перепечатают, работая вместе? .

РЕШЕНИЕ

26. Два парома отчаливают одновременно и встречаются на расстоянии 720 метров от берега. Прибыв к месту назначения каждый паром стоит 10 минут и отправляется обратно. Паромы вновь встречаются в 400 метрах от другого берега. Чему равна ширина реки?

РЕШЕНИЕ:

27. Сколько раз в сутки показания часов обладают тем свойством, что, меняя местами минутную и часовую стрелки, мы придем к имеющему смысл показанию часов?

РЕШЕНИЕ:

28. Сколько раз в сутки часовая и минутная стрелки образуют прямой угол?

РЕШЕНИЕ:

29. Часы бьют каждый час и отбивают столько ударов, сколько показывает часовая стрелка. Сколько ударов отобьют часы в течение 12 часов? (Постарайтесь не прибавлять 1+2+3...)

РЕШЕНИЕ

30. На вопрос: "Который час?" был дан ответ: "Половина времени, прошедшего после полуночи, равна 3/4 времени, оставшегося до полудня". Сколько же было времени? (Постарайтесь без "икса"...)

РЕШЕНИЕ:

31. Оцените изящество чудной задачи - сколько времени на этих часах?

РЕШЕНИЕ:

32. Как проще всего отмерить 15 минут, необходимые для варки яиц, имея под рукой семи- и одиннадцатиминутные песочные часы?

РЕШЕНИЕ:

33. В окне магазина я увидел оригинальный настольный календарь. Дату указывали цифры на передних гранях двух кубиков. На каждой грани кубиков стоит по одной цифре от 0 до 9. Переставляя кубики, можно изобразить на календаре любую дату от 01, 02, 03... до 31. Какие цифры скрыты на невидимых гранях кубиков?

РЕШЕНИЕ:

34. Революция произошла 25 октября по старому стилю, а отмечалась 7 ноября по новому стилю, то есть на две недели позже. А Новый год по новому стилю, наоборот, отмечается на две недели раньше, чем Старый Новый год. Почему?

РЕШЕНИЕ:

35. Некий грек родился в 40 году до нашей эры и умер в 40 году новой эры. Сколько лет он прожил?

РЕШЕНИЕ:

36. Декабрь происходит от латинского названия десяти - декада, декалитр. Но это же двенадцатый месяц. В чем дело?

РЕШЕНИЕ:

37. Моему знакомому было N лет когда шел N² год. В каком году он родился? Это старая задача, но вдруг я обнаружил, что моей дочери тоже будет N лет в N² году, когда она родилась?

РЕШЕНИЕ:

38. В банку попал 1 микроб, и через 35 минут банка была наполнена микробами, причем известно, что количество микробов ежеминутно удваивалось. За сколько минут банка была наполнена микробами на половину?

РЕШЕНИЕ:

39. Надо поджарить с обеих сторон три котлеты на маленькой сковороде. Поджаривание каждой стороны котлеты длится 30 сек, причем на сковороде умещается рядом только две котлеты. За какое минимальное время можно справиться с этой аппетитной работой?

РЕШЕНИЕ:

40. Будильник отстает на 4 минуты в час. Три с половиной часа тому назад он был поставлен точно. Сейчас на часах, показывающих точное время, 12 часов. Через сколько минут (точного времени) на будильнике тоже будет 12 часов?

РЕШЕНИЕ:

41. В мастерскую «Тайм» принесли 4 часов: стенные, настольные, будильник и ручные. Стенные часы по сравнению с сигналом точного времени отстают на 2 мин в час. Настольные часы по сравнению со стенными идут вперед на 2 мин в час. Будильник по сравнению с настольными отстает на 2 мин в час. Ручные по сравнению с будильником идут вперед на 2 мин в час. В 12 часов все часы были поставлены по сигналу точного времени. Который час покажут ручные часы в 19 часов в момент сигнала точного времени?

РЕШЕНИЕ:

42. Ровно в полдень на минутной стрелке башенных часов повисла сбежавшая из зоопарка горилла, любящая кататься. Под ее тяжестью при нахождении минутной стрелки в правой половине циферблата часы стали идти в три раза быстрее, а при нахождении стрелки в левой половине, при подъеме гориллы, в три раза медленнее. Через сколько времени (по нормальным часам) часы с гориллой покажут шесть часов?

РЕШЕНИЕ:

43. Когда начался фильм, оставшаяся часть суток была вдвое меньше прошедшей части, а когда кончился, то втрое. Сколько часов шел фильм?

РЕШЕНИЕ:

44. Разделить круглый циферблат часов двумя прямыми линиями на три части так, чтобы, сложив числа, в каждой части получить одинаковые суммы.

РЕШЕНИЕ:

45. Можно ли круглый циферблат разделить на 6 частей так, чтобы в каждой части находились два числа, причем суммы этих двух чисел в каждой из шести частей были бы равны между собой? А на 4 части с таким же условием?

РЕШЕНИЕ:

46. Часы Толяна спешат на десять минут в сутки, а у Танюшки отстают на двадцать минут. Вчера в полдень Толян и Танюшка сверили часы. На сколько минут опоздает на свидание, назначенное на 18 часов сегодняшнего дня, Танюшка, если:
    а) за основу брать показания правильных часов
    б) за основу брать показания часов Толяна.

РЕШЕНИЕ:

Задачи со спичками

8 + 3 − 4 = 0

Нужно переложить одну спичку так, чтобы получилось верное равенство:

Три квадрата

Переложить в фигуре, показанной на рисунке, пять спичек так, чтобы получилось три квадрата:

Треугольники из спичек

Для составления одного равностороннего треугольника необходимо употребить 3 спички (если их не ломать), а для составления шести равносторонних треугольников, равных между собой, достаточно 12 спичек. Сделайте это.

После того, как вы решите эту задачу, переложите 4 спички с одного места на другое так, чтобы образовалось 3 равносторонних треугольника, из которых только два были бы равны между собой.

Из девяти спичек

Из 9 спичек составить 6 квадратов.

Флюгер

Флюгер составлен из десяти спичек. Переложить четыре спички так, чтобы получился дом.

Две рюмки

Две рюмки составлены из десяти спичек:

Переложить шесть спичек так, чтобы получился дом.

Греческий храм

Этот храм построен из одиннадцати спичек:

Требуется переложить четыре спички так, чтобы получилось пятнадцать квадратов.

Снять две спички

Фигура, изображённая на рисунке, составлена из восьми спичек, наложенных друг на друга. Снять 2 спички так, чтобы осталось 3 квадрата.

Одна седьмая

Из семи спичек выложено число ¹/₇:

Превратите эту дробь в число ¹/₃, не прибавляя и не убавляя спичек.

Квадрат из 6 спичек

Положить шесть спичек так, чтобы образовался квадрат.

Четыре треугольника из спичек

Из шести спичек составить четыре равных равносторонних треугольника.

Решётка из спичек

В изображённой на рисунке фигуре снять восемь спичек так, чтобы: 1) осталось только два квадрата; 2) осталось четыре равных квадрата.

Спираль из спичек

Из 35 спичек выложена фигура, напоминающая «спираль»:

Переложите 4 спички так, чтобы образовалось 3 квадрата.

Три равных квадрата из шести спичек

Из шести спичек, две из которых разломаны пополам, требуется составить 3 равных квадрата.

Спичечные весы

Весы составлены из девяти спичек и не находятся в состоянии равновесия:

Требуется переложить в них пять спичек так, чтобы весы оказались в равновесии.

Дом из спичек

Из спичек построен дом:

Переложить две спички так, чтобы дом повернулся другой стороной.

Из девяти спичек - сто

Приложить к четырём спичкам пять спичек так, чтобы получилось сто:

Нужно найти два решения.

6 - 4 = 9

Переложите одну спичку так, чтобы получилось верное равенство:

Существует два решения этой задачи. Постарайтесь найти оба.

Из четырёх квадратов - семь

Из 12 спичек выложено 4 одинаковых квадрата:

Требуется, переложив 2 спички, образовать 7 квадратов.

Бокал из спичек

В «бокал», составленный из спичек, помещена вишня:

Необходимо, передвинув ровно две спички, переместить бокал так, чтобы вишня оказалась снаружи.

Из 12 спичек

Из 12 спичек можно составить фигуру креста, площадь которого равна 5 «спичечным» квадратам:

Сложите из тех же 12 спичек одну связную фигуру так, чтобы её площадь равнялась 4 «спичечным» квадратам.

Четыре квадрата

Из спичек сложена фигура, изображённая на рисунке. Как переложить две спички так, чтобы получилось ровно четыре одинаковых квадрата с длиной стороны, равной длине спички?

Топор из спичек

Переложив четыре спички, превратить топор в три равных треугольника:

Спичечный рак

Спичечный рак ползёт вверх. Переложить три спички так, чтобы он пополз вниз.

Математические ребусы

решение

решение

решение

решение

решение

решение

решение

решение

Задача Эйнштейна

На одной улице стоят 5 домов. В разных домах живут люди разных национальностей. Каждый пьет свой напиток, имеет любимый вид отдыха и содержит своё домашнее животное.
Известно, что:
1. Британец живёт в красном доме.
2. У шведа есть собака.
3. Датчанин пьёт чай.
4. Зелёный дом стоит слева от белого, вплотную к нему.
5. Хозяин зелёного дома пьёт кофе.
6. У того, кто читает романы, есть птички.
7. Хозяин жёлтого дома любит гулять.
8. Хозяин среднего дома пьёт молоко.
9. Норвежец живёт в первом доме.
10. Человек, который смотрит телевизор, живёт рядом с хозяином котов.
11. Тот, кто держит лошадей, живёт рядом с тем, кто любит гулять.
12. Тот, кто слушает музыку, пьёт квас.
13. Немец решает задачи.
14. Норвежец живёт рядом с синим домом.
15. У того, кто смотрит телевизор, есть сосед, который пьёт воду.
Кто держит рыбок?

РЕШЕНИЕ:

Задача 1.

На школьной викторине участникам предложили 20 вопросов. За правильный ответ ученику ставилось 12 очков, а за неправильный списывали 10 очков. Сколько правильных ответов дал один из учеников, если он ответил на все вопросы и набрал 86 очков?

РЕШЕНИЕ:

Задача 2.

Разместите на трех грузовиках 7 полных бочек, 7 бочек, наполненных наполовину, и 7 пустых бочек так, чтобы на всех грузовиках был одинаковый по массе груз.

РЕШЕНИЕ:

Задача 3.

На столе лежат карандаши. Двое играющих берут по очереди 1, 2 или 3 карандаша. Проигрывает тот, кто берёт последний карандаш. Как должен играть начинающий, чтобы выиграть, если на столе 8 карандашей? Сможет ли первый выиграть при правильной игре второго, если на столе 9, 10, 15 карандашей?

РЕШЕНИЕ:

Задача 4.

В нашем классе 33 человека, и каждый дружит ровно с 5 одноклассниками. Может ли такое быть?

РЕШЕНИЕ:

Задача 5.

8 подружек решили обменяться фотографиями так, чтобы у каждой из них оказались фотографии других подруг. Сколько фотографий для этого потребуется?

РЕШЕНИЕ:

Задача 6.

Нина живёт на 4 этаже, а Таня - на 2-м. Нина поднимается на 60 ступенек. На сколько ступенек поднимается Таня?

РЕШЕНИЕ:

Олимпиада по математике 7 класс.

Школьный тур.

1. В арифметических примерах некоторые цифры заменены пустыми прямоугольниками. Впишите в эти прямоугольники недостающие цифры так, чтобы равенство было верным.

2. По контракту работнику причитается 48 долларов за каждый отработанный день, а за каждый неотработанный день с него взыскивается 12 долларов. Через 30 дней работник узнал, что ему ничего не причитается. Сколько дней работал работник в течении этих 30 дней?

3. Какое двузначное простое число при умножении на 9 даёт в произведении трёхзначное число, состоящее из одинаковых цифр?

4. Попробуйте найти семь различных способов деления данной фигуры на четыре равные части.

5. На свой день рождения фрекен Бок испекла огромный торт. Известно, что Малыш и торт весили столько же, сколько Карлсон и фрекен Бок. После того как торт съели, Карлсон весил столько же , сколько фрекен Бок и Малыш. Докажите, что кусок торта, который съел Карлсон, весит столько же, сколько весила фрекен Бок до своего дня рождения.

Составила: Хатунцева В.Р.

РЕШЕНИЕ

Школьная олимпиада по математике

8 класс

1. Найти хотя бы одно натуральное число n, при котором число 2+ 3 будет

составным.

2. Доказать, что четырёхугольник с вершинами в серединах сторон данного

четырёхугольника - параллелограмм.

3. Арбуз весил 12 кг и содержал 99% воды. Когда он немного усох, то стал

Содержать 98% воды. Сколько теперь весит арбуз?

4. Три брата - Александр, Борис и Сергей преподают различные предметы в школах Архангельска, Северодвинска и Котласа. Александр работает не в Архангельске, а Борис не в Северодвинске. Архангелогородец преподаёт не математику. Тот, кто работает в Северодвинске, преподаёт химию. Борис преподаёт физику. Какую дисциплину преподаёт Сергей и в каком городе?

5. Решить числовой ребус: **5

2**5

+13*0

4*77*.

Составила: Хатунцева В.Р.

РЕШЕНИЕ:

Олимпиада по математике 9 класс.

Школьный тур.

1. Найти самое малое четырёхзначное число, которое при делении на 6 даёт остаток 5.

2. На рисунке изображён график функции у=ах² +вх +с.

Указать знаки коэффициентов а, в, с.

3. Найдите площадь прямоугольника ABCD , если S_AMD =33см² , СК=ВК.

4. Доказать, что если a² +b²+c²+ ab+bc+ca<0 , то a²+b²<c².

5. Клиент банка забыл четырёхзначный шифр своего сейфа и помнил лишь, что этот шифр - простое число, а произведение его цифр равно 243. За какое наименьшее число попыток он наверняка сможет открыть свой сейф?

Составила: Хатунцева В.Р..

РЕШЕНИЕ:

72

72

72

72

72

72

72

72

72

72

72

72

72

72

72

72

72

72

72

72

72

72

72

72

72

72

72

72

72

72

72

72

72

72

72

72

72

72

72

72

72

72

72

72

72

72

72

72

72

72

72

72

72

72

72

72

72

72

72

72

72

72

72

72