- Преподавателю
- Математика
- Материал по алгебре на тему Решение уравнений высших степеней (10 класс)
Материал по алгебре на тему Решение уравнений высших степеней (10 класс)
Раздел | Математика |
Класс | 10 класс |
Тип | Другие методич. материалы |
Автор | Андрейченко А.В. |
Дата | 01.09.2015 |
Формат | docx |
Изображения | Есть |
СОДЕРЖАНИЕ
1.Введение
2. История
Глава 1. Решение уравнений высших степеней методом разложения на множители.
-
Разложение на множители методом группировки.
-
Теорема Безу, теорема Виета и следствия из них, схема Горнера.
Глава 2. Уравнения высших степеней, решение которых приводится
к решению квадратных уравнений.
2.1. Биквадратные уравнения.
2.2. Уравнения, содержащие взаимно обратные выражения.
2.3. Уравнения четвертой степени, решение которых приводится к решению
квадратных уравнений путем выделения полного квадрата.
2.4. Возвратные уравнения.
2.5. Уравнения вида .
2.6. Уравнения вида .
Глава 3. Решение уравнений высших степеней методом введения новой переменной.
Глава 4. Нестандартные способы решения уравнений высших степеней.
Литература.
Цели и задачи:
Цель работы:
рассмотреть различные способы решения алгебраических уравнений;
проанализировать существующие способы решения уравнений высших
степеней.
Задачи работы:
изучить алгоритм решения алгебраических уравнений высших степеней, используя:
-
Общий способ,
-
Формулу Кардано,
-
Схему Горнера;
рассмотреть различные способы и методы решения уравнений высших степеней:
-
Разложение на множители. Способ группировки;
-
Замена переменной;
-
Метод деления на многочлен, содержащий переменную;
-
Метод выделения полного квадрата.
-
показать некоторые нетрадиционные способы решений уравнений
Глава 1. Решение уравнений высших степеней
методом разложения на множители.
Один из способов решения уравнения состоит в разложении многочлена на множители, что позволяет свести решение исходного уравнения к решению нескольких уравнений более низких степеней.
-
Разложение на множители методом группировки.
Решение уравнений высших степеней является трудной задачей, и нельзя указать универсального способа нахождения корней. Рассмотрим некоторые из них на примерах.
Пример 1. Решите уравнение (х +1)(х+2) + (х +2)(х+1) = 2
Решение. Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые.
;
;
;
;
;
;
; или ;
х = -1. D = 1 - 16 = -15, D < 0, значит квадратное уравнение
действительных корней не имеет.
Ответ: х = -1.
Пример 2. Решите уравнение
Методом группировки левую часть уравнения разложим на множители.
;
;
;
; или ;
х₁ = 2; х₂ = -2.
Ответ: х₁ = 2; х₂ = -2; .
Пример 3. Решите уравнение
Методом группировки левую часть уравнения разложим на множители.
;
;
;
;
2х - 1 = 0; х - 1 = 0; х + 1 = 0;
х₁ = 0,5. х₂ = 1. х ₃ = -1.
Ответ: х₁ = 0,5; х₂ = 1; х ₃ = -1.
Пример 4. Решите уравнение
Методом группировки левую часть уравнения разложим на множители.
;
;
;
; или ;
х₁ = ; Сумма коэффициентов квадратного уравнения равна нулю,
х₂ = -. следовательно, корни уравнения х₃ = 1; х₄ = 3.
Ответ: х₁ = ; х₂ = -; х₃ = 1; х₄ = 3.
Пример 5. Решите уравнение
Так как х = 1 не является корнем, поэтому домножим обе части уравнения на (х - 1). Получаем:
;
Тогда ;
;
;
;
; x = 0; х = 1 - не является корнем. Ответ: х = 0.
Пример 6. Решите уравнение
Так как х = 1 не является корнем, поэтому домножим обе части уравнения на (х - 1). Получаем:
(х - 1)∙ ∙ (х - 1);
;
;
;
;
;
Х₁ = 0; или
х ₂ = -1; х₃ = 1 - не является корнем.
Ответ: Х₁ = 0; х ₂ = -1.
Пример 7. Решите уравнение
Решение. Используя формулы сокращенного умножения
, представив левую часть уравнения в виде произведения, а правую часть перенести влево. Получим:
Данное уравнение равносильно совокупности двух уравнений:
-
2)
Ответ:
-
. Теорема Безу, теорема Виета и следствия из них, схема Горнера.
Для изучения уравнений высших степеней
(1)
первостепенное значение имеет теорема Безу и ее следствия.
Теорема Безу:
Остаток от деления многочлена относительно x на двучлен х - а равен значению этого многочлена при х , равном а.
Следствие:
1)Для того чтобы многочлен f(x) делился на х - а необходимо и достаточно, чтобы f(a) = 0.
2) Для того чтобы многочлен f(x) делился на х + а необходимо и достаточно, чтобы f(-a)=0.
3) Таким образом, если число - корень уравнения, то левую часть уравнения (1) можно записать в виде: , где многочлен степени n-1.
Как же найти корень ? Вспомним теорема Виета.
Теорема Виета:
Корни уравнения ,
с его коэффициентами связаны следующими соотношениями:
-
Таким образом, для того чтобы несократимая дробь была корнем уравнения с целыми коэффициентами ,
Необходимо и достаточно, чтобы p было делителем свободного члена
, а q - делителем коэффициента .
-
Если уравнение имеет целые коэффициенты и коэффициент при равен 1, то рациональными корнями могут быть только целыми числами.
-
Целые корни уравнения с целыми коэффициентами
являются делителями свободного члена. (Это свойство позволяет легко найти корни уравнения с целыми коэффициентами.)
-
Число 1 является корнем уравнения с целыми коэффициентами, если сумма всех коэффициентов равна нулю.
-
Число -1 является корнем уравнения с целыми коэффициентами, если суммы коэффициентов при слагаемых с четными показателями степени равна сумме коэффициентов слагаемых с нечетными показателями степени.
Пример 1. Решите уравнение .
Решение. Так как уравнение имеет целые коэффициенты и коэффициент при равен 1 , то целыми корнями могут быть только делители свободного члена, то есть 1, 2, 3, 6, -1, -2, -3, -6.
Число 1 является ли корнем уравнения, так как сумму коэффициентов: 1 - 6 +11 - 6 = 0. Тогда на основании теоремы Безу многочлен, стоящий в левой части уравнения делится на двучлен х - 1. Используя схему Горнера разделим левую часть на х - 1:
1
-6
11
-6
1
1
-5
6
0
Квадратный трехчлен легко разложит на множители, используя теорему Виета: корни
Таким образом, левую часть уравнения мы разложили на множители:
Ответ:
Пример 2. Решите уравнение .
Решение. Делителями числа 18 будут числа 1, 2, 3, 6, 9, а делителями числа 3 - числа 1 и 3. Среди чисел ±1, ±2, ±3, ±6, ±9, ±
Число 1 не является корнем уравнения, так как сумма 3 - 4 + 5 - 18 ≠ 0.
Число -1 не является корнем уравнения , так как сумма 3 + 5 ≠ -4 - 18.
По схеме Горнера найдем среди этих чисел корень уравнения.
3
-4
5
-18
2
3
2
9
0
Используя следствие из теоремы Безу, запишем уравнение в виде:.
Уравнение корней не имеет, так как D = 4 - 108 = -104, D<0.
Ответ : х = 2
Пример 3. Решите уравнение .
Решение . Делителями числа 3 будут числа 1, 3, а делителями числа 8 - числа 1 ,2, 4, 8. Среди чисел ±1, ±.
Число 1 не является корнем уравнения, так как сумма 8 - 13 + 6 - 1 + 3 ≠ 0.
Число -1 не является корнем уравнения , так как сумма 8 - 13 + 3 ≠ 6 - 1.
По схеме Горнера найдем среди этих чисел корень уравнения.
8
6
-13
-1
3
8
-4+6=2
-1-13=-14
7-1=6
-3+3=0
Число -0,5 является корнем уравнения, используя следствие из теоремы Безу исходное уравнение можно записать в виде:
Найдем корни уравнения ,
среди чисел ±1, ±2, ±3,±6,
Число 1 не является корнем уравнения, так как сумма 8 - 14 + 6 +2 ≠ 0.
Число -1 не является корнем уравнения , так как сумма 8 - 14 ≠ 6 + 2.
По схеме Горнера найдем среди этих чисел корень уравнения.
8
2
-14
6
8
6+2=8
6-14=-8
-6+6=0
Число является корнем уравнения, используя следствие из теоремы Безу исходное уравнение можно записать в виде:
Данное уравнение равносильно совокупности уравнений: 1) 2) 3)
Ответ :
Пример 4. Решите уравнение
Решение. Среди делителей числа 3 - ±1, ±3 будем искать корни уравнения. Число 1 не является корнем уравнения, так как сумма
1+ 4 +6 + 3 ≠ 0. Число -1 является корнем уравнения , так как сумма
6 + 1 = 4 + 3. По схеме Горнера найдем частное от деления левой части уравнения на двучлен х + 1.
1
4
6
3
-1
1
-1 + 4 =3
-3 +6 = 3
-3 + 3 = 0
Число -1 является корнем уравнения, используя следствие из теоремы Безу исходное уравнение можно записать в виде:
Данное уравнение равносильно совокупности уравнений:
-
и 2)
Ответ: х₁ = -1.
Пример 5. Решите уравнение .
Решение. Среди чисел ±1, ±2, ±5, ± найдем корень уравнения .
Число 1 является корнем уравнения, так как сумма
2 - 1 - 9 + 13 - 5 = 0. По схеме Горнера найдем частное от деления левой части уравнения на двучлен х - 1.
2
-1
-9
13
-5
1
2
1
-8
5
0
Число 1 является корнем уравнения, используя следствие из теоремы Безу исходное уравнение можно записать в виде:
.
Найдем корни уравнения среди чисел ±1, ±5,
Число 1 является корнем уравнения, так как сумма
2 + 1 - 8 + 5 = 0. По схеме Горнера найдем частное от деления левой части уравнения на двучлен х - 1.
2
1
-8
5
1
2
3
-5
0
Число 1 является корнем уравнения, используя следствие из теоремы Безу исходное уравнение можно записать в виде: . Данное уравнение равносильно совокупности уравнений:
-
2)так как сумма коэффициентов равна
нулю.
Ответ:
Пример 6. Решите уравнения .
Решение. Корни уравнения будем искать среди делителей числа -120.
Число 1 не является корнем уравнения, так как сумма
1 - 4 - 19 + 106 - 120 ≠ 0. Число -1 является корнем уравнения , так как сумма 1 - 19 - 120 ≠ - 4 + 106.
По схеме Горнера найдем корни уравнения.
1
-4
-19
106
-120
2
1
-2
-4-19=-23
-46+106=60
120-120=0
Число 2 является корнем уравнения, используя следствие из теоремы Безу исходное уравнение можно записать в виде:
Найдем корни уравнения среди делителей числа 60.
По схеме Горнера найдем корни уравнения.
1
-2
-23
60
4
1
2
8-23=-15
-60+60=0
Число 4 является корнем уравнения, используя следствие из теоремы Безу исходное уравнение можно записать в виде:
Данное уравнение равносильно совокупности уравнений:
-
2) 3)
Ответ:
Глава 2. Уравнения высших степеней, решение которых приводится к решению квадратных уравнений.
Рассмотрим частные случаи, в которых решение уравнений высших степеней приводится к решению квадратных уравнений.
2.1 Биквадратные уравнения;
2.2. Сравнения, содержащие взаимно обратные выражения;
2.3. Уравнения четвертой степени, решение которых приводится к решению квадратных уравнений путем выделения полного квадрата.
Уравнения четвертой степени, решение которых приводится к решению квадратных уравнений путем выделения полного квадрата, рассмотрим на следующих примерах.
Пример 1. Решить уравнение
Решение. В левой части уравнения выделим полный квадрат; получим
или
Обозначим ; тогда уравнение примет вид , так как сумма коэффициентов равна нулю, то и Так как , то
или
D=b - 4ac; D=9 + 4 = 13. D=b - 4ac; D= 9 + 12 = 21.
Ответ: ; .
Пример 2. Решите уравнение .
Решение. В левой части уравнения выделим полный квадрат; получим
или
Раскладывая левую часть уравнения на множители, как разность квадратов, получаем
Произведение двух действительных чисел равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы одно из них равно нулю. Из последнего уравнения получаем два уравнения:
1)
D=b - 4ac;
D=1 - 4 = -3 - уравнение действительных корней не имеет,
и уравнение
2)
D=b - 4ac; D=9 + 4 = 13 - два действительных корня,
;
Ответ: ;
2.4. Возвратные уравнения.
Целое алгебраическое уравнение
называется возвратным, если совпадают коэффициенты при слагаемых, сумма степеней которых равна степени многочлена, т.е. ….
Алгебраическое уравнение четвертой степени вида ,
е ≠ 0, называется возвратным, если коэффициенты связаны равенствами - некоторое число.
Легко показать, что если - корень возвратного уравнения, то и - также корень этого уравнения.
Для решения этих уравнений используют метод замены переменной
или .
Пример 1. Решите уравнение
Решение. Разделив обе части уравнения на х≠ 0, получим
, или
Обозначим , тогда или , тогда уравнение примет вид , или
D=b - 4ac; D=9 + 160 = 169 - два действительных корня
, .
Так как , получим два уравнения.
1)
Умножим уравнение на 2х , получим квадратные уравнения
D=b - 4ac; D = (-5) - 16 = 9 - два действительных корня.
; .
2)
Умножим уравнение на х , получим уравнение
k = b : 2 , k=2
D₁ = k - ac; D₁ = 2 - 1 = 3 - два действительных корня
, .
Ответ: , х₂ = 0,5, , .
Пример 2. Решите уравнение
Решение. Сгруппируем слагаемые:
Сделаем подстановку , тогда . Отсюда .
В результате приходим к уравнению:
Исходное уравнение равносильно совокупности уравнений.
-
и 2)
Ответ:
Пример 3. Решите уравнение
Решение. Обозначим , тогда , тогда . Запишем исходное уравнение в новых обозначениях
- по теореме Виета.
Так как , то получим 2 уравнения:
-
2)
Ответ:
Пример 4. Решите уравнение
Решение. Обозначим , тогда , тогда . Запишем исходное уравнение в новых обозначениях
- по теореме Виета.
Так как , то получим 2 уравнения:
-
2)
Ответ:
2.5. Решение уравнений вида
Решение уравнений вида ( ) приводится к решению квадратного уравнения делением на х (как возвратного), если
. Поэтому такое уравнение иногда называют возвратным.
Пример. Решите уравнение .
Решение. Так как условие выполняется, т.е. или 25 = 25,
то обе части уравнения делим на х; получим
, или
Обозначим ; тогда , тогда уравнение примет вид
или
D=b - 4ac; D = (-21) - 432 = 441- 432 = 9 - два действительных корня.
, .
Так как получим два уравнения:
-
по теореме Виета 2)
Ответ: ; ; ;
2.6. Решение уравнения вида .
Уравнения вида приводится к биквадратному уравнению заменой
заменим
Вычитая, получим или , тогда
Или
Относительно t уравнение примет вид:
или, после упрощений, .
Заметим, что решение будет аналогичным, если степень двучленов будет и другой. В работе рассмотрены примеры с показателем степени 3; 4; 5.
Пример 1. Решите уравнение (7 - х) + (9 - х) = 16.
Решение. Введем новую переменную у = 8 - х.
После замены выражения х на 8 - у , исходное уравнение приводим к виду
(у - 1) + (у + 1) = 16.
Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые.
;
;
;
Пусть , тогда получим квадратное уравнение .
Сумма коэффициентов этого квадратного уравнения равна нулю,
значит t₁ = 1; t₂ = -7.
= 1; или = -7 - данное уравнение корней не имеет.
y₁ = 1; y₂ = -1.
Так как у = 8 - х, то 8 - х= 1; или 8 - х= -1;
х = 7; х= 9;
х₁ = ; х₂ = - . х₃ = 3; х₄ = -3.
Ответ: х₁ = ; х₂ = - ; х₃ = 3; х₄ = -3.
Пример 2. Решите уравнение (х +3) - (х +1) = 56 .
Решение. Введем новую переменную у = х +2.
После замены переменной х на выражение у - 2 , исходное уравнение приводим к виду (у +1) - (у - 1) = 56. Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые.
;
2 ∙ (;
2 ∙ (3;
;
;
; y₁ = 3; y₂ = -3.
Так как у = х +2 , то х +2 =3; или х +2 = -3;
х₁ = 1 ; х₂ = -5. Ответ: х₁ = 1 ; х₂ = -5.
Пример 3. Решите уравнение
Решение. Введем новую переменную у = х + 1. После замены переменной х на выражение у - 1 , исходное уравнение приводим к виду
(у - 2) + (у + 2) = 242 ∙ у Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые.
;
;
;
;
у = 0; или - это биквадратное уравнение.
Пусть t = , тогда получим квадратное уравнение
, сумма коэффициентов этого уравнения
равна нулю, следовательно ; .
Так как t = , то = 1; или = - 41
y₁ = 1; y₂ = -1. Уравнение корней не имеет.
Так как у = х + 1, то х + 1 = 1; х + 1 = -1; х + 1 = 0;
х₁ = 0. х₂ = -2. х₃ = -1.
Ответ: х₁ = 0; х₂ = -2; х₃ = -1.
2.7. Решение уравнения вида .
Уравнение вида приводится к решению квадратного уравнения, если a + b = c + d или a + c = b + d или
a + d = b + c.
Пример 1. Решите уравнение .
Решение. Раскроем скобки, группируя их следующим образом, получим
Сделаем замену у = . Тогда получаем:
Исходное уравнение равносильно совокупности уравнений:
=41 и = - 41
По теореме Виета: D=25 - 184 = -159, D < 0
уравнение действительных корней не имеет.
Ответ : х₁ =-9; х₂ = 4.
Пример 2. Решите уравнение
Решение. С группируем скобки следующим образом:
раскроем скобки и приведем подобные слагаемые
Сделаем замену . Тогда получим:
или
Исходное уравнение равносильно совокупности уравнений:
-
2)
Ответ:
Пример 3. Решите уравнение
Решение. Сгруппируем множители следующим образом:
Обозначим . Тогда получим :
Исходное уравнение равносильно совокупности уравнений.
-
и 2)
Ответ:
Пример 4. Решите уравнение
Решение. Так как 2 + 1 =-3 + 6, то можно сгруппировать множители левой части уравнения так: ,
или
Обозначим, тогда относительно получим:
По теореме Виета.
Исходное уравнение равносильно совокупности уравнений.
-
По теореме Виета. 2)
Ответ:
Глава 3. Решение уравнений методом замены неизвестного.
Решение многих уравнений заключается в сведении их к уравнениям видов рассмотренных в главе 2, способом введения вспомогательной неизвестной.
Пример 1. Решите уравнение
Решение. Введем новую переменную , получим:
или разделив на ,
Решением данного уравнения является число -1, так как сумма коэффициентов слагаемых с четными показателями степеней равна сумме коэффициентов слагаемых с нечетными показателями степеней. (2+1=3)
Используя схему Горнера , получим:
х
2
0
1
3
-1
2
-2
3
0
Левую часть уравнения можно разложить на множители:
Произведение двух действительных чисел равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы одно из них равно нулю. Из последнего уравнения получаем два уравнения:
данное уравнение действительных корней не имеет.
у + 2 = 0,
у = -2.
Ответ: у = - 2.
Пример2. Решите уравнение
Введем новую переменную , тогда уравнение примет вид: Пусть , получим уравнение:
Сумма коэффициентов квадратного уравнения равна нулю, значит
t₁ = 1, t₂ =32. Таким образом: или
Так как , получим два уравнения: или
Ответ: х₁ = 1; х₂ =4.
Пример 3. Решите уравнение
Решение. Введем новую переменную , тогда уравнение примет вид:
По теореме Виета:
Так как , то получим два уравнения:
-
2)
Ответ: х₁ =-3; х₂ = -2; х₃ =1; х₄ =2.
Глава 4. Нестандартные способы решения уравнений высших
степеней.
Пример 1. Найдите действительные корни уравнения
Решение. Поскольку в левой части уравнения стоит выражение все слагаемые, которого неотрицательные, а по условию их сумма равна нулю, то это возможно лишь при условии, что каждое слагаемое равно нулю: или
Ответ: х = 1,8.
Пример 2. Решите уравнение .
Рассмотрим два способа решения данного уравнения . Решение. 1 способ. Заметим, что х = 1 не является корнем данного уравнение, поэтому разделим левую и правую части уравнения на выражение (х - 1), получим
, так как
Далее заменим и уравнение примет вид . Сумма коэффициентов данного уравнения равна нулю ( 1 - 5 + 4 = 0), значит корни уравнения ;
Так как , то получим два уравнения:
-
2)
D < 0 - данное уравнение х = 2.
корней не имеет. Ответ: х = 2.
2 способ. Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые. Получим уравнение четвертой степени:
1. Используя схему Горнера, находим, среди делителей свободного члена
±1; ≠2; ± 4, целые корни уравнения.
Заметим, что сумма коэффициентов не равна нулю, то х=1 не является корнем уравнения. (1 - 5 + 9 - 8 + 4 ≠ 0)
Число -1 так же не является корнем, так как сумма коэффициентов слагаемых с четными показателями степени не равна сумме коэффициентов слагаемых с не четными показателями степени.
(1+ 9 +4≠ - 5 - 8). Составим таблицу:
-
х
1
- 5
9
- 8
4
2
1
- 3
3
- 2
0
Из таблицы видно, что х = 2 корень уравнения, и уравнение можно записать в виде: .
Решим уравнение
Используя схему Горнера, находим, среди делителей свободного члена
±1; ≠2, целые корни уравнения.
Заметим, что сумма коэффициентов не равна нулю, то х=1 не является корнем уравнения. (1 - 3 + 3 - 2 ≠ 0)
Число -1 так же не является корнем, так как сумма коэффициентов слагаемых с четными показателями степени не равна сумме коэффициентов слагаемых с не четными показателями степени.
(1+ 3 ≠ - 3 - 2). Составим таблицу:
х
1
-3
3
-2
2
1
- 1
1
0
Из таблицы видно, что х = 2 корень уравнения, и уравнение можно записать в виде: .
Таким образом, левую часть уравнения
можно разложить на множители следующим образом: Произведение двух действительных чисел равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы одно из них равно нулю. Из последнего уравнения получаем два уравнения:
-
2)
данное уравнение
действительных корней не имеет.
Ответ: х = 2.
Я привела два способа решения уравнения ,
чтобы показать, насколько первый способ проще и необходимость поиска рациональных способов решения.
Пример 3. Решим уравнение .
Решение. Заметим, что х = 1 не является корнем данного уравнение, поэтому умножим левую и правую части уравнения на выражение (х - 1), получим,
Так как х≠1, то уравнение имеет один корень х = 0.
Ответ: х = 0.
Пример 4. Решите уравнение .
Решение. Запишем уравнение в виде
или
откуда
Решим два уравнения:
1) 2)
D= 6 - 4(3 + )= - 6 - 4 D = 6 - 4 (3 - )= - 6 + 4
D < 0, действительных корней нет.
.
Ответ: .
Пример 5. Решите уравнение
Решение. Заметим, что х = -1 не является корнем данного уравнение, поэтому умножим левую и правую части уравнения на выражение (х +1), получим:
или
Пусть , ,
Сумма чисел равна 4, а произведение 3 - это числа 1 и 3. Проверим:
х₁ = 1, получим и
х ₂= 3, получим и
Ответ: х₁ = 1, х ₂= 3.
2 способ: Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые, получим:
Сумма коэффициентов многочлена стоящего в левой части уравнения равна нулю (1 - 7 + 19 - 25 +12 = 0), значит х =1 корень уравнения.
По теореме Безу многочлен делится на х - 1. Выполним деление и получим:
: (х - 1) =.
Найдем корни уравнения =0 среди делителей свободного члена, ±1; ±2; ±3; ±4; ±6; ±12.
Сумма коэффициентов 1 - 6 + 13 - 12 ≠ 0, значит, число 1 не является корнем уравнения.
Так же число -1 так же не является корнем, так как сумма коэффициентов слагаемых с четными показателями степени не равна сумме коэффициентов слагаемых с не четными показателями степени (1 + 13 ≠ -6 - 12)
Составим таблицу и проверим по схеме Горнера:
1
-6
13
-12
2
1
-4
5
-2
3
1
-3
4
0
Число 3 является корнем уравнения, значит, многочлен делится на х - 3. Запишем многочлен в виде :
= (х - 3)( .
Учитывая предыдущие рассуждения, запишем уравнение в виде
Произведение действительных чисел равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы одно из них равно нулю. Из последнего уравнения получаем три уравнения: х - 1 = 0, или х - 3 = 0, или ,
х₁ =1. х₂ = 3. D = 9 - 16 = -7
D < 0 , корней нет.
Ответ: х₁ =1, х₂ = 3.
Пример 6. Решите уравнение
Решение. Разделим обе части уравнения на 4, получим:
;
;
;
;
.
Произведение действительных чисел равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы одно из них равно нулю. Из последнего уравнения получаем два уравнения:
-
2)
Произведение действительных чисел равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы одно из них равно нулю. Из последнего уравнения получаем два уравнения:
или
Ответ: ; ; ; .
Пример 7. Решите уравнение
Решение. Используя, равенство преобразуем уравнение.
Раскроем скобки и преобразуем выражение:
Произведение действительных чисел равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы одно из них равно нулю. Из последнего уравнения получаем два уравнения:
-
,
D=1 - 4= -3, D < 0, действительных корней нет.
Ответ:
Пример 8. Решите уравнение
Решение. Сумма коэффициентов не равна нулю 1 - 1 + 1 - 1+1 ≠0, число 1 не является корнем уравнения. Число -1 так же не является корнем, так как сумма коэффициентов слагаемых с четными показателями степени не равна сумме коэффициентов слагаемых с не четными показателями степени
(1 + 1 + 1 ≠ - 1 - 1)
Умножим обе части уравнения на (х + 1), получим:
Уравнение , является следствием исходного уравнения , имеет единственный корень х = -1, который не является корнем исходного, значит, уравнение корней не имеет.
Ответ: корней нет.
Пример 9. Решите уравнение
Решение. Перепишем уравнение в виде
Поскольку для любого х имеем и , то данное уравнение равносильно уравнению Решением этого уравнения х =-1, а следовательно и решение исходного.
Ответ: х = -1
2 способ. Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые.
Число -1 является корнем, так как сумма коэффициентов слагаемых с четными показателями степени равна сумме коэффициентов слагаемых с не четными показателями степени (2 + 2 - 9 + 7 = 4 - 8 + 6)
По теореме Безу многочлен, стоящий в левой части уравнения делится на
(х + 1). Выполним деление по схеме Горнера:
2
4
2
-8
-9
6
7
-1
2
2
0
-8
-1
7
0
=0
Рассмотрим уравнение
Так как сумма коэффициентов уравнения не равна нулю, то число 1 не является корнем уравнения, число -1 является корнем, так как сумма коэффициентов слагаемых с четными показателями степени равна сумме коэффициентов слагаемых с не четными показателями степени
(2 - 1 = 2 - 8 + 7). Выполним деление по схеме Горнера:
2
2
0
-8
-1
7
-1
2
0
0
-8
7
0
=0,
Рассмотрим уравнение .
Среди чисел ±7 , ±1, нет корней уравнения , значит корнем уравнения является только число -1.
Ответ: х = -1.
Литература
-
Э.Н. Балаян «750 лучших олимпиадных и занимательных задач
по математике» Ростов-на-Дону «Феникс», 2014
-
«Сборник задач по математике для поступающих в ВУЗы» под редакцией М.И.Сканави, М. «Высшая школа», 1982.
-
Довбыш Р.И., Потемкина Л.Л., Трегуб Н.Л., Лиманский В.В., Оридорога Л.Л., Кулеско Н.А. «Сборник материалов математических олимпиад: 906 самых интересных задач и примеров с решениями» , Донецк: ООО ПКФ «БАО», 2002.
-
А.М. Назаренко, Л.Д. Назаренко «Тысяча и один пример. Равенства и неравенства», Сумы «Слобожанщина», 1994.
-
Ф.П. Яремчук, П.А. Рудченко «Алгебра и элементарные функции» , Х. «Полиграфкнига», 1975.