Материал по алгебре на тему Решение уравнений высших степеней (10 класс)

Раздел Математика
Класс 10 класс
Тип Другие методич. материалы
Автор
Дата
Формат docx
Изображения Есть
For-Teacher.ru - все для учителя
Поделитесь с коллегами:

СОДЕРЖАНИЕ

1.Введение

2. История

Глава 1. Решение уравнений высших степеней методом разложения на множители.

  1. Разложение на множители методом группировки.

  2. Теорема Безу, теорема Виета и следствия из них, схема Горнера.

Глава 2. Уравнения высших степеней, решение которых приводится

к решению квадратных уравнений.

2.1. Биквадратные уравнения.

2.2. Уравнения, содержащие взаимно обратные выражения.

2.3. Уравнения четвертой степени, решение которых приводится к решению

квадратных уравнений путем выделения полного квадрата.

2.4. Возвратные уравнения.

2.5. Уравнения вида Материал по алгебре на тему Решение уравнений высших степеней (10 класс) .

2.6. Уравнения вида Материал по алгебре на тему Решение уравнений высших степеней (10 класс) .

Глава 3. Решение уравнений высших степеней методом введения новой переменной.

Глава 4. Нестандартные способы решения уравнений высших степеней.

Литература.





Цели и задачи:

Цель работы:

рассмотреть различные способы решения алгебраических уравнений;

проанализировать существующие способы решения уравнений высших

степеней.

Задачи работы:

изучить алгоритм решения алгебраических уравнений высших степеней, используя:

  • Общий способ,

  • Формулу Кардано,

  • Схему Горнера;

рассмотреть различные способы и методы решения уравнений высших степеней:

  • Разложение на множители. Способ группировки;

  • Замена переменной;

  • Метод деления на многочлен, содержащий переменную;

  • Метод выделения полного квадрата.



  • показать некоторые нетрадиционные способы решений уравнений



Глава 1. Решение уравнений высших степеней

методом разложения на множители.

Один из способов решения уравнения Материал по алгебре на тему Решение уравнений высших степеней (10 класс) состоит в разложении многочлена Материал по алгебре на тему Решение уравнений высших степеней (10 класс) на множители, что позволяет свести решение исходного уравнения к решению нескольких уравнений более низких степеней.

  1. Разложение на множители методом группировки.

Решение уравнений высших степеней является трудной задачей, и нельзя указать универсального способа нахождения корней. Рассмотрим некоторые из них на примерах.

Пример 1. Решите уравнение (х +1)(хМатериал по алгебре на тему Решение уравнений высших степеней (10 класс)+2) + (х +2)(хМатериал по алгебре на тему Решение уравнений высших степеней (10 класс)+1) = 2

Решение. Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые.

Материал по алгебре на тему Решение уравнений высших степеней (10 класс);

Материал по алгебре на тему Решение уравнений высших степеней (10 класс);

Материал по алгебре на тему Решение уравнений высших степеней (10 класс);

Материал по алгебре на тему Решение уравнений высших степеней (10 класс);

Материал по алгебре на тему Решение уравнений высших степеней (10 класс);

Материал по алгебре на тему Решение уравнений высших степеней (10 класс);

Материал по алгебре на тему Решение уравнений высших степеней (10 класс); или Материал по алгебре на тему Решение уравнений высших степеней (10 класс) ;

х = -1. D = 1 - 16 = -15, D < 0, значит квадратное уравнение

действительных корней не имеет.

Ответ: х = -1.

Пример 2. Решите уравнение Материал по алгебре на тему Решение уравнений высших степеней (10 класс)

Методом группировки левую часть уравнения разложим на множители.

Материал по алгебре на тему Решение уравнений высших степеней (10 класс);

Материал по алгебре на тему Решение уравнений высших степеней (10 класс);

Материал по алгебре на тему Решение уравнений высших степеней (10 класс);

Материал по алгебре на тему Решение уравнений высших степеней (10 класс); или Материал по алгебре на тему Решение уравнений высших степеней (10 класс) ;

х₁ = 2; х₂ = -2. Материал по алгебре на тему Решение уравнений высших степеней (10 класс)

Ответ: х₁ = 2; х₂ = -2; Материал по алгебре на тему Решение уравнений высших степеней (10 класс) .

Пример 3. Решите уравнение Материал по алгебре на тему Решение уравнений высших степеней (10 класс)

Методом группировки левую часть уравнения разложим на множители.

Материал по алгебре на тему Решение уравнений высших степеней (10 класс);

Материал по алгебре на тему Решение уравнений высших степеней (10 класс);

Материал по алгебре на тему Решение уравнений высших степеней (10 класс);

Материал по алгебре на тему Решение уравнений высших степеней (10 класс);

2х - 1 = 0; х - 1 = 0; х + 1 = 0;

х₁ = 0,5. х₂ = 1. х ₃ = -1.

Ответ: х₁ = 0,5; х₂ = 1; х ₃ = -1.

Пример 4. Решите уравнение Материал по алгебре на тему Решение уравнений высших степеней (10 класс)

Методом группировки левую часть уравнения разложим на множители.

Материал по алгебре на тему Решение уравнений высших степеней (10 класс);

Материал по алгебре на тему Решение уравнений высших степеней (10 класс);

Материал по алгебре на тему Решение уравнений высших степеней (10 класс);

Материал по алгебре на тему Решение уравнений высших степеней (10 класс); или Материал по алгебре на тему Решение уравнений высших степеней (10 класс) ;

х₁ = Материал по алгебре на тему Решение уравнений высших степеней (10 класс) ; Сумма коэффициентов квадратного уравнения равна нулю,

х₂ = -Материал по алгебре на тему Решение уравнений высших степеней (10 класс). следовательно, корни уравнения х₃ = 1; х₄ = 3.

Ответ: х₁ = Материал по алгебре на тему Решение уравнений высших степеней (10 класс) ; х₂ = -Материал по алгебре на тему Решение уравнений высших степеней (10 класс); х₃ = 1; х₄ = 3.

Пример 5. Решите уравнение Материал по алгебре на тему Решение уравнений высших степеней (10 класс)

Так как х = 1 не является корнем, поэтому домножим обе части уравнения на (х - 1)Материал по алгебре на тему Решение уравнений высших степеней (10 класс). Получаем:

Материал по алгебре на тему Решение уравнений высших степеней (10 класс);

Тогда Материал по алгебре на тему Решение уравнений высших степеней (10 класс) ;

Материал по алгебре на тему Решение уравнений высших степеней (10 класс);

Материал по алгебре на тему Решение уравнений высших степеней (10 класс);

Материал по алгебре на тему Решение уравнений высших степеней (10 класс);

Материал по алгебре на тему Решение уравнений высших степеней (10 класс); x = 0; х = 1 - не является корнем. Ответ: х = 0.

Пример 6. Решите уравнение

Материал по алгебре на тему Решение уравнений высших степеней (10 класс)

Так как х = 1 не является корнем, поэтому домножим обе части уравнения на (х - 1)Материал по алгебре на тему Решение уравнений высших степеней (10 класс). Получаем:

(х - 1)Материал по алгебре на тему Решение уравнений высших степеней (10 класс)Материал по алгебре на тему Решение уравнений высших степеней (10 класс) ∙ (х - 1)Материал по алгебре на тему Решение уравнений высших степеней (10 класс);

Материал по алгебре на тему Решение уравнений высших степеней (10 класс);

Материал по алгебре на тему Решение уравнений высших степеней (10 класс);

Материал по алгебре на тему Решение уравнений высших степеней (10 класс);

Материал по алгебре на тему Решение уравнений высших степеней (10 класс);

Материал по алгебре на тему Решение уравнений высших степеней (10 класс);

Х₁ = 0; или Материал по алгебре на тему Решение уравнений высших степеней (10 класс)

х ₂ = -1; х₃ = 1 - не является корнем.

Ответ: Х₁ = 0; х ₂ = -1.

Пример 7. Решите уравнение Материал по алгебре на тему Решение уравнений высших степеней (10 класс)

Решение. Используя формулы сокращенного умножения

Материал по алгебре на тему Решение уравнений высших степеней (10 класс), представив левую часть уравнения в виде произведения, а правую часть перенести влево. Получим: Материал по алгебре на тему Решение уравнений высших степеней (10 класс)

Данное уравнение равносильно совокупности двух уравнений:

  1. Материал по алгебре на тему Решение уравнений высших степеней (10 класс)2) Материал по алгебре на тему Решение уравнений высших степеней (10 класс)

Ответ: Материал по алгебре на тему Решение уравнений высших степеней (10 класс)

  1. . Теорема Безу, теорема Виета и следствия из них, схема Горнера.

Для изучения уравнений высших степеней

Материал по алгебре на тему Решение уравнений высших степеней (10 класс)(1)

первостепенное значение имеет теорема Безу и ее следствия.

Теорема Безу:

Остаток от деления многочлена относительно x на двучлен х - а равен значению этого многочлена при х , равном а.

Следствие:

1)Для того чтобы многочлен f(x) делился на х - а необходимо и достаточно, чтобы f(a) = 0.

2) Для того чтобы многочлен f(x) делился на х + а необходимо и достаточно, чтобы f(-a)=0.

3) Таким образом, если число Материал по алгебре на тему Решение уравнений высших степеней (10 класс) - корень уравнения, то левую часть уравнения (1) можно записать в виде: Материал по алгебре на тему Решение уравнений высших степеней (10 класс) , где многочлен степени n-1.

Как же найти корень Материал по алгебре на тему Решение уравнений высших степеней (10 класс) ? Вспомним теорема Виета.

Теорема Виета:

Корни уравнения Материал по алгебре на тему Решение уравнений высших степеней (10 класс) , Материал по алгебре на тему Решение уравнений высших степеней (10 класс)

с его коэффициентами связаны следующими соотношениями:

Материал по алгебре на тему Решение уравнений высших степеней (10 класс)

  1. Таким образом, для того чтобы несократимая дробь Материал по алгебре на тему Решение уравнений высших степеней (10 класс) была корнем уравнения с целыми коэффициентами Материал по алгебре на тему Решение уравнений высших степеней (10 класс) ,

Необходимо и достаточно, чтобы p было делителем свободного члена

Материал по алгебре на тему Решение уравнений высших степеней (10 класс), а q - делителем коэффициента Материал по алгебре на тему Решение уравнений высших степеней (10 класс) .

  1. Если уравнение Материал по алгебре на тему Решение уравнений высших степеней (10 класс) имеет целые коэффициенты и коэффициент при Материал по алгебре на тему Решение уравнений высших степеней (10 класс) равен 1, то рациональными корнями могут быть только целыми числами.

  2. Целые корни уравнения с целыми коэффициентами Материал по алгебре на тему Решение уравнений высших степеней (10 класс)

являются делителями свободного члена. (Это свойство позволяет легко найти корни уравнения с целыми коэффициентами.)

  1. Число 1 является корнем уравнения Материал по алгебре на тему Решение уравнений высших степеней (10 класс) с целыми коэффициентами, если сумма всех коэффициентов равна нулю.

  2. Число -1 является корнем уравнения Материал по алгебре на тему Решение уравнений высших степеней (10 класс) с целыми коэффициентами, если суммы коэффициентов при слагаемых с четными показателями степени равна сумме коэффициентов слагаемых с нечетными показателями степени.

Пример 1. Решите уравнение Материал по алгебре на тему Решение уравнений высших степеней (10 класс) .

Решение. Так как уравнение имеет целые коэффициенты и коэффициент при Материал по алгебре на тему Решение уравнений высших степеней (10 класс) равен 1 , то целыми корнями могут быть только делители свободного члена, то есть 1, 2, 3, 6, -1, -2, -3, -6.

Число 1 является ли корнем уравнения, так как сумму коэффициентов: 1 - 6 +11 - 6 = 0. Тогда на основании теоремы Безу многочлен, стоящий в левой части уравнения делится на двучлен х - 1. Используя схему Горнера разделим левую часть на х - 1:


1

-6

11

-6

1

1

-5

6

0

Материал по алгебре на тему Решение уравнений высших степеней (10 класс)

Квадратный трехчлен легко разложит на множители, используя теорему Виета: Материал по алгебре на тему Решение уравнений высших степеней (10 класс) корни Материал по алгебре на тему Решение уравнений высших степеней (10 класс)

Таким образом, левую часть уравнения мы разложили на множители:

Материал по алгебре на тему Решение уравнений высших степеней (10 класс)

Ответ: Материал по алгебре на тему Решение уравнений высших степеней (10 класс)

Пример 2. Решите уравнение Материал по алгебре на тему Решение уравнений высших степеней (10 класс) .

Решение. Делителями числа 18 будут числа 1, 2, 3, 6, 9, а делителями числа 3 - числа 1 и 3. Среди чисел ±1, ±2, ±3, ±6, ±9, ±Материал по алгебре на тему Решение уравнений высших степеней (10 класс)

Число 1 не является корнем уравнения, так как сумма 3 - 4 + 5 - 18 ≠ 0.

Число -1 не является корнем уравнения , так как сумма 3 + 5 ≠ -4 - 18.

По схеме Горнера найдем среди этих чисел корень уравнения.


3

-4

5

-18

2

3

2

9

0

Используя следствие из теоремы Безу, запишем уравнение в виде:Материал по алгебре на тему Решение уравнений высших степеней (10 класс).

Уравнение Материал по алгебре на тему Решение уравнений высших степеней (10 класс) корней не имеет, так как D = 4 - 108 = -104, D<0.

Ответ : х = 2

Пример 3. Решите уравнение Материал по алгебре на тему Решение уравнений высших степеней (10 класс) .

Решение . Делителями числа 3 будут числа 1, 3, а делителями числа 8 - числа 1 ,2, 4, 8. Среди чисел ±1, ±Материал по алгебре на тему Решение уравнений высших степеней (10 класс)Материал по алгебре на тему Решение уравнений высших степеней (10 класс).

Число 1 не является корнем уравнения, так как сумма 8 - 13 + 6 - 1 + 3 ≠ 0.

Число -1 не является корнем уравнения , так как сумма 8 - 13 + 3 ≠ 6 - 1.

По схеме Горнера найдем среди этих чисел корень уравнения.


8

6

-13

-1

3

Материал по алгебре на тему Решение уравнений высших степеней (10 класс)

8

-4+6=2

-1-13=-14

7-1=6

-3+3=0



Число -0,5 является корнем уравнения, используя следствие из теоремы Безу исходное уравнение можно записать в виде: Материал по алгебре на тему Решение уравнений высших степеней (10 класс)

Найдем корни уравнения Материал по алгебре на тему Решение уравнений высших степеней (10 класс) ,

среди чисел ±1, ±2, ±3,±6, Материал по алгебре на тему Решение уравнений высших степеней (10 класс)

Число 1 не является корнем уравнения, так как сумма 8 - 14 + 6 +2 ≠ 0.

Число -1 не является корнем уравнения , так как сумма 8 - 14 ≠ 6 + 2.

По схеме Горнера найдем среди этих чисел корень уравнения.


8

2

-14

6

Материал по алгебре на тему Решение уравнений высших степеней (10 класс)

8

6+2=8

6-14=-8

-6+6=0

Число Материал по алгебре на тему Решение уравнений высших степеней (10 класс) является корнем уравнения, используя следствие из теоремы Безу исходное уравнение можно записать в виде:

Материал по алгебре на тему Решение уравнений высших степеней (10 класс)Данное уравнение равносильно совокупности уравнений: 1) Материал по алгебре на тему Решение уравнений высших степеней (10 класс) 2) Материал по алгебре на тему Решение уравнений высших степеней (10 класс) 3) Материал по алгебре на тему Решение уравнений высших степеней (10 класс)

Ответ : Материал по алгебре на тему Решение уравнений высших степеней (10 класс)

Пример 4. Решите уравнение Материал по алгебре на тему Решение уравнений высших степеней (10 класс)

Решение. Среди делителей числа 3 - ±1, ±3 будем искать корни уравнения. Число 1 не является корнем уравнения, так как сумма

1+ 4 +6 + 3 ≠ 0. Число -1 является корнем уравнения , так как сумма

6 + 1 = 4 + 3. По схеме Горнера найдем частное от деления левой части уравнения на двучлен х + 1.


1

4

6

3

-1

1

-1 + 4 =3

-3 +6 = 3

-3 + 3 = 0



Число -1 является корнем уравнения, используя следствие из теоремы Безу исходное уравнение можно записать в виде:

Материал по алгебре на тему Решение уравнений высших степеней (10 класс)

Данное уравнение равносильно совокупности уравнений:

  1. Материал по алгебре на тему Решение уравнений высших степеней (10 класс)и 2) Материал по алгебре на тему Решение уравнений высших степеней (10 класс)

Ответ: х₁ = -1.

Пример 5. Решите уравнение Материал по алгебре на тему Решение уравнений высших степеней (10 класс) .

Решение. Среди чисел ±1, ±2, ±5, ±Материал по алгебре на тему Решение уравнений высших степеней (10 класс) найдем корень уравнения .

Число 1 является корнем уравнения, так как сумма

2 - 1 - 9 + 13 - 5 = 0. По схеме Горнера найдем частное от деления левой части уравнения на двучлен х - 1.


2

-1

-9

13

-5

1

2

1

-8

5

0

Число 1 является корнем уравнения, используя следствие из теоремы Безу исходное уравнение можно записать в виде:

Материал по алгебре на тему Решение уравнений высших степеней (10 класс).

Найдем корни уравнения Материал по алгебре на тему Решение уравнений высших степеней (10 класс) среди чисел ±1, ±5, Материал по алгебре на тему Решение уравнений высших степеней (10 класс)

Число 1 является корнем уравнения, так как сумма

2 + 1 - 8 + 5 = 0. По схеме Горнера найдем частное от деления левой части уравнения на двучлен х - 1.


2

1

-8

5

1

2

3

-5

0

Число 1 является корнем уравнения, используя следствие из теоремы Безу исходное уравнение можно записать в виде: Материал по алгебре на тему Решение уравнений высших степеней (10 класс) . Данное уравнение равносильно совокупности уравнений:

  1. Материал по алгебре на тему Решение уравнений высших степеней (10 класс)2)Материал по алгебре на тему Решение уравнений высших степеней (10 класс)так как сумма коэффициентов равна

нулю.

Ответ: Материал по алгебре на тему Решение уравнений высших степеней (10 класс)

Пример 6. Решите уравнения Материал по алгебре на тему Решение уравнений высших степеней (10 класс) .

Решение. Корни уравнения будем искать среди делителей числа -120.

Число 1 не является корнем уравнения, так как сумма

1 - 4 - 19 + 106 - 120 ≠ 0. Число -1 является корнем уравнения , так как сумма 1 - 19 - 120 ≠ - 4 + 106.

По схеме Горнера найдем корни уравнения.


1

-4

-19

106

-120

2

1

-2

-4-19=-23

-46+106=60

120-120=0

Число 2 является корнем уравнения, используя следствие из теоремы Безу исходное уравнение можно записать в виде:

Материал по алгебре на тему Решение уравнений высших степеней (10 класс)

Найдем корни уравнения Материал по алгебре на тему Решение уравнений высших степеней (10 класс) среди делителей числа 60.

По схеме Горнера найдем корни уравнения.


1

-2

-23

60

4

1

2

8-23=-15

-60+60=0

Число 4 является корнем уравнения, используя следствие из теоремы Безу исходное уравнение можно записать в виде:

Материал по алгебре на тему Решение уравнений высших степеней (10 класс)

Данное уравнение равносильно совокупности уравнений:

  1. Материал по алгебре на тему Решение уравнений высших степеней (10 класс)2) Материал по алгебре на тему Решение уравнений высших степеней (10 класс) 3) Материал по алгебре на тему Решение уравнений высших степеней (10 класс)

Ответ: Материал по алгебре на тему Решение уравнений высших степеней (10 класс)



Глава 2. Уравнения высших степеней, решение которых приводится к решению квадратных уравнений.

Рассмотрим частные случаи, в которых решение уравнений высших степеней приводится к решению квадратных уравнений.

2.1 Биквадратные уравнения;

2.2. Сравнения, содержащие взаимно обратные выражения;









2.3. Уравнения четвертой степени, решение которых приводится к решению квадратных уравнений путем выделения полного квадрата.

Уравнения четвертой степени, решение которых приводится к решению квадратных уравнений путем выделения полного квадрата, рассмотрим на следующих примерах.

Пример 1. Решить уравнение Материал по алгебре на тему Решение уравнений высших степеней (10 класс)

Решение. В левой части уравнения выделим полный квадрат; получим

Материал по алгебре на тему Решение уравнений высших степеней (10 класс)или Материал по алгебре на тему Решение уравнений высших степеней (10 класс)

Материал по алгебре на тему Решение уравнений высших степеней (10 класс)

Обозначим Материал по алгебре на тему Решение уравнений высших степеней (10 класс) ; тогда уравнение примет вид Материал по алгебре на тему Решение уравнений высших степеней (10 класс) , так как сумма коэффициентов равна нулю, то Материал по алгебре на тему Решение уравнений высших степеней (10 класс) и Материал по алгебре на тему Решение уравнений высших степеней (10 класс) Так как Материал по алгебре на тему Решение уравнений высших степеней (10 класс) , то

Материал по алгебре на тему Решение уравнений высших степеней (10 класс)или Материал по алгебре на тему Решение уравнений высших степеней (10 класс)

D=bМатериал по алгебре на тему Решение уравнений высших степеней (10 класс) - 4ac; D=9 + 4 = 13. D=bМатериал по алгебре на тему Решение уравнений высших степеней (10 класс) - 4ac; D= 9 + 12 = 21.

Материал по алгебре на тему Решение уравнений высших степеней (10 класс)Материал по алгебре на тему Решение уравнений высших степеней (10 класс)

Ответ: Материал по алгебре на тему Решение уравнений высших степеней (10 класс) ; Материал по алгебре на тему Решение уравнений высших степеней (10 класс) .

Пример 2. Решите уравнение Материал по алгебре на тему Решение уравнений высших степеней (10 класс) .

Решение. В левой части уравнения выделим полный квадрат; получим

Материал по алгебре на тему Решение уравнений высших степеней (10 класс)или Материал по алгебре на тему Решение уравнений высших степеней (10 класс)

Материал по алгебре на тему Решение уравнений высших степеней (10 класс)

Раскладывая левую часть уравнения на множители, как разность квадратов, получаем Материал по алгебре на тему Решение уравнений высших степеней (10 класс)

Произведение двух действительных чисел равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы одно из них равно нулю. Из последнего уравнения получаем два уравнения:

1) Материал по алгебре на тему Решение уравнений высших степеней (10 класс)

D=bМатериал по алгебре на тему Решение уравнений высших степеней (10 класс) - 4ac;

D=1 - 4 = -3 - уравнение действительных корней не имеет,

и уравнение

2) Материал по алгебре на тему Решение уравнений высших степеней (10 класс)

D=bМатериал по алгебре на тему Решение уравнений высших степеней (10 класс) - 4ac; D=9 + 4 = 13 - два действительных корня,

Материал по алгебре на тему Решение уравнений высших степеней (10 класс); Материал по алгебре на тему Решение уравнений высших степеней (10 класс)

Ответ: Материал по алгебре на тему Решение уравнений высших степеней (10 класс) ; Материал по алгебре на тему Решение уравнений высших степеней (10 класс)

2.4. Возвратные уравнения.

Целое алгебраическое уравнение

Материал по алгебре на тему Решение уравнений высших степеней (10 класс)

называется возвратным, если совпадают коэффициенты при слагаемых, сумма степеней которых равна степени многочлена, т.е. Материал по алгебре на тему Решение уравнений высших степеней (10 класс) Материал по алгебре на тему Решение уравнений высших степеней (10 класс)….

Алгебраическое уравнение четвертой степени вида Материал по алгебре на тему Решение уравнений высших степеней (10 класс) ,

е ≠ 0, называется возвратным, если коэффициенты связаны равенствами Материал по алгебре на тему Решение уравнений высших степеней (10 класс) Материал по алгебре на тему Решение уравнений высших степеней (10 класс) - некоторое число.

Легко показать, что если Материал по алгебре на тему Решение уравнений высших степеней (10 класс) - корень возвратного уравнения, то и Материал по алгебре на тему Решение уравнений высших степеней (10 класс) - также корень этого уравнения.

Для решения этих уравнений используют метод замены переменной

Материал по алгебре на тему Решение уравнений высших степеней (10 класс)или Материал по алгебре на тему Решение уравнений высших степеней (10 класс) .

Пример 1. Решите уравнение Материал по алгебре на тему Решение уравнений высших степеней (10 класс)

Решение. Разделив обе части уравнения на хМатериал по алгебре на тему Решение уравнений высших степеней (10 класс)≠ 0, получим

Материал по алгебре на тему Решение уравнений высших степеней (10 класс), или Материал по алгебре на тему Решение уравнений высших степеней (10 класс)

Обозначим Материал по алгебре на тему Решение уравнений высших степеней (10 класс) , тогда Материал по алгебре на тему Решение уравнений высших степеней (10 класс) или Материал по алгебре на тему Решение уравнений высших степеней (10 класс) , тогда уравнение примет вид Материал по алгебре на тему Решение уравнений высших степеней (10 класс) , или Материал по алгебре на тему Решение уравнений высших степеней (10 класс)

D=bМатериал по алгебре на тему Решение уравнений высших степеней (10 класс) - 4ac; D=9 + 160 = 169 - два действительных корня

Материал по алгебре на тему Решение уравнений высших степеней (10 класс), Материал по алгебре на тему Решение уравнений высших степеней (10 класс) .

Так как Материал по алгебре на тему Решение уравнений высших степеней (10 класс) , получим два уравнения.

1) Материал по алгебре на тему Решение уравнений высших степеней (10 класс)

Умножим уравнение на 2х , получим квадратные уравнения

Материал по алгебре на тему Решение уравнений высших степеней (10 класс)

D=bМатериал по алгебре на тему Решение уравнений высших степеней (10 класс) - 4ac; D = (-5)Материал по алгебре на тему Решение уравнений высших степеней (10 класс) - 16 = 9 - два действительных корня.

Материал по алгебре на тему Решение уравнений высших степеней (10 класс); Материал по алгебре на тему Решение уравнений высших степеней (10 класс) .

2) Материал по алгебре на тему Решение уравнений высших степеней (10 класс)

Умножим уравнение на х , получим уравнение

Материал по алгебре на тему Решение уравнений высших степеней (10 класс)

k = b : 2 , k=2

D₁ = kМатериал по алгебре на тему Решение уравнений высших степеней (10 класс) - ac; D₁ = 2Материал по алгебре на тему Решение уравнений высших степеней (10 класс) - 1 = 3 - два действительных корня

Материал по алгебре на тему Решение уравнений высших степеней (10 класс), Материал по алгебре на тему Решение уравнений высших степеней (10 класс) .

Ответ: Материал по алгебре на тему Решение уравнений высших степеней (10 класс) , х₂ = 0,5, Материал по алгебре на тему Решение уравнений высших степеней (10 класс) , Материал по алгебре на тему Решение уравнений высших степеней (10 класс) .

Пример 2. Решите уравнение Материал по алгебре на тему Решение уравнений высших степеней (10 класс)

Решение. Сгруппируем слагаемые:Материал по алгебре на тему Решение уравнений высших степеней (10 класс)

Сделаем подстановку Материал по алгебре на тему Решение уравнений высших степеней (10 класс) , тогда Материал по алгебре на тему Решение уравнений высших степеней (10 класс) . Отсюда Материал по алгебре на тему Решение уравнений высших степеней (10 класс) .

В результате приходим к уравнению:

Материал по алгебре на тему Решение уравнений высших степеней (10 класс)

Исходное уравнение равносильно совокупности уравнений.

  1. Материал по алгебре на тему Решение уравнений высших степеней (10 класс)и 2) Материал по алгебре на тему Решение уравнений высших степеней (10 класс)

Ответ: Материал по алгебре на тему Решение уравнений высших степеней (10 класс)

Пример 3. Решите уравнение Материал по алгебре на тему Решение уравнений высших степеней (10 класс)

Решение. Обозначим Материал по алгебре на тему Решение уравнений высших степеней (10 класс) , тогда Материал по алгебре на тему Решение уравнений высших степеней (10 класс) , тогда Материал по алгебре на тему Решение уравнений высших степеней (10 класс) . Запишем исходное уравнение в новых обозначениях

Материал по алгебре на тему Решение уравнений высших степеней (10 класс)- по теореме Виета.

Так как Материал по алгебре на тему Решение уравнений высших степеней (10 класс) , то получим 2 уравнения:

  1. Материал по алгебре на тему Решение уравнений высших степеней (10 класс)2) Материал по алгебре на тему Решение уравнений высших степеней (10 класс)

Ответ: Материал по алгебре на тему Решение уравнений высших степеней (10 класс)

Пример 4. Решите уравнение Материал по алгебре на тему Решение уравнений высших степеней (10 класс)

Решение. Обозначим Материал по алгебре на тему Решение уравнений высших степеней (10 класс) , тогда Материал по алгебре на тему Решение уравнений высших степеней (10 класс) , тогда Материал по алгебре на тему Решение уравнений высших степеней (10 класс) . Запишем исходное уравнение в новых обозначениях

Материал по алгебре на тему Решение уравнений высших степеней (10 класс)- по теореме Виета.

Так как Материал по алгебре на тему Решение уравнений высших степеней (10 класс) , то получим 2 уравнения:

  1. Материал по алгебре на тему Решение уравнений высших степеней (10 класс)2) Материал по алгебре на тему Решение уравнений высших степеней (10 класс)

Ответ: Материал по алгебре на тему Решение уравнений высших степеней (10 класс)

2.5. Решение уравнений вида Материал по алгебре на тему Решение уравнений высших степеней (10 класс)

Решение уравнений вида Материал по алгебре на тему Решение уравнений высших степеней (10 класс) (Материал по алгебре на тему Решение уравнений высших степеней (10 класс) Материал по алгебре на тему Решение уравнений высших степеней (10 класс) ) приводится к решению квадратного уравнения делением на хМатериал по алгебре на тему Решение уравнений высших степеней (10 класс) (как возвратного), если

Материал по алгебре на тему Решение уравнений высших степеней (10 класс). Поэтому такое уравнение иногда называют возвратным.

Пример. Решите уравнение Материал по алгебре на тему Решение уравнений высших степеней (10 класс) .

Решение. Так как условие Материал по алгебре на тему Решение уравнений высших степеней (10 класс) выполняется, т.е. Материал по алгебре на тему Решение уравнений высших степеней (10 класс) или 25 = 25,

то обе части уравнения делим на хМатериал по алгебре на тему Решение уравнений высших степеней (10 класс); получим

Материал по алгебре на тему Решение уравнений высших степеней (10 класс), или Материал по алгебре на тему Решение уравнений высших степеней (10 класс)

Обозначим Материал по алгебре на тему Решение уравнений высших степеней (10 класс) ; тогда Материал по алгебре на тему Решение уравнений высших степеней (10 класс) , тогда уравнение примет вид

Материал по алгебре на тему Решение уравнений высших степеней (10 класс)или Материал по алгебре на тему Решение уравнений высших степеней (10 класс)

D=bМатериал по алгебре на тему Решение уравнений высших степеней (10 класс) - 4ac; D = (-21)Материал по алгебре на тему Решение уравнений высших степеней (10 класс) - 432 = 441- 432 = 9 - два действительных корня.

Материал по алгебре на тему Решение уравнений высших степеней (10 класс), Материал по алгебре на тему Решение уравнений высших степеней (10 класс) .

Так как Материал по алгебре на тему Решение уравнений высших степеней (10 класс) получим два уравнения:

  1. Материал по алгебре на тему Решение уравнений высших степеней (10 класс)по теореме Виета 2) Материал по алгебре на тему Решение уравнений высших степеней (10 класс)

Ответ: Материал по алгебре на тему Решение уравнений высших степеней (10 класс) ; Материал по алгебре на тему Решение уравнений высших степеней (10 класс) ; Материал по алгебре на тему Решение уравнений высших степеней (10 класс) ; Материал по алгебре на тему Решение уравнений высших степеней (10 класс)

2.6. Решение уравнения вида Материал по алгебре на тему Решение уравнений высших степеней (10 класс) .

Уравнения вида Материал по алгебре на тему Решение уравнений высших степеней (10 класс) приводится к биквадратному уравнению заменой

Материал по алгебре на тему Решение уравнений высших степеней (10 класс)заменим Материал по алгебре на тему Решение уравнений высших степеней (10 класс)

Вычитая, получим Материал по алгебре на тему Решение уравнений высших степеней (10 класс) или Материал по алгебре на тему Решение уравнений высших степеней (10 класс) , тогда Материал по алгебре на тему Решение уравнений высших степеней (10 класс)

Или Материал по алгебре на тему Решение уравнений высших степеней (10 класс)

Относительно t уравнение примет вид: Материал по алгебре на тему Решение уравнений высших степеней (10 класс)

или, после упрощений, Материал по алгебре на тему Решение уравнений высших степеней (10 класс) .

Заметим, что решение будет аналогичным, если степень двучленов будет и другой. В работе рассмотрены примеры с показателем степени 3; 4; 5.

Пример 1. Решите уравнение (7 - хМатериал по алгебре на тему Решение уравнений высших степеней (10 класс))Материал по алгебре на тему Решение уравнений высших степеней (10 класс) + (9 - хМатериал по алгебре на тему Решение уравнений высших степеней (10 класс))Материал по алгебре на тему Решение уравнений высших степеней (10 класс) = 16.

Решение. Введем новую переменную у = 8 - хМатериал по алгебре на тему Решение уравнений высших степеней (10 класс).

После замены выражения хМатериал по алгебре на тему Решение уравнений высших степеней (10 класс) на 8 - у , исходное уравнение приводим к виду

(у - 1)Материал по алгебре на тему Решение уравнений высших степеней (10 класс) + (у + 1)Материал по алгебре на тему Решение уравнений высших степеней (10 класс) = 16.

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые.

Материал по алгебре на тему Решение уравнений высших степеней (10 класс);

Материал по алгебре на тему Решение уравнений высших степеней (10 класс);

Материал по алгебре на тему Решение уравнений высших степеней (10 класс);

Пусть Материал по алгебре на тему Решение уравнений высших степеней (10 класс) , тогда получим квадратное уравнение Материал по алгебре на тему Решение уравнений высших степеней (10 класс) .

Сумма коэффициентов этого квадратного уравнения равна нулю,

значит t₁ = 1; t₂ = -7.

Материал по алгебре на тему Решение уравнений высших степеней (10 класс)= 1; или Материал по алгебре на тему Решение уравнений высших степеней (10 класс) = -7 - данное уравнение корней не имеет.

y₁ = 1; y₂ = -1.

Так как у = 8 - хМатериал по алгебре на тему Решение уравнений высших степеней (10 класс), то 8 - хМатериал по алгебре на тему Решение уравнений высших степеней (10 класс)= 1; или 8 - хМатериал по алгебре на тему Решение уравнений высших степеней (10 класс)= -1;

хМатериал по алгебре на тему Решение уравнений высших степеней (10 класс) = 7; хМатериал по алгебре на тему Решение уравнений высших степеней (10 класс)= 9;

х₁ = Материал по алгебре на тему Решение уравнений высших степеней (10 класс) ; х₂ = - Материал по алгебре на тему Решение уравнений высших степеней (10 класс) . х₃ = 3; х₄ = -3.

Ответ: х₁ = Материал по алгебре на тему Решение уравнений высших степеней (10 класс) ; х₂ = - Материал по алгебре на тему Решение уравнений высших степеней (10 класс) ; х₃ = 3; х₄ = -3.

Пример 2. Решите уравнение (х +3)Материал по алгебре на тему Решение уравнений высших степеней (10 класс) - (х +1) Материал по алгебре на тему Решение уравнений высших степеней (10 класс) = 56 .

Решение. Введем новую переменную у = х +2.

После замены переменной х на выражение у - 2 , исходное уравнение приводим к виду (у +1)Материал по алгебре на тему Решение уравнений высших степеней (10 класс) - (у - 1) Материал по алгебре на тему Решение уравнений высших степеней (10 класс) = 56. Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые.

Материал по алгебре на тему Решение уравнений высших степеней (10 класс);

2 ∙ (Материал по алгебре на тему Решение уравнений высших степеней (10 класс);

2 ∙ (3Материал по алгебре на тему Решение уравнений высших степеней (10 класс);

Материал по алгебре на тему Решение уравнений высших степеней (10 класс);

Материал по алгебре на тему Решение уравнений высших степеней (10 класс);

Материал по алгебре на тему Решение уравнений высших степеней (10 класс); y₁ = 3; y₂ = -3.

Так как у = х +2 , то х +2 =3; или х +2 = -3;

х₁ = 1 ; х₂ = -5. Ответ: х₁ = 1 ; х₂ = -5.

Пример 3. Решите уравнение Материал по алгебре на тему Решение уравнений высших степеней (10 класс)

Решение. Введем новую переменную у = х + 1. После замены переменной х на выражение у - 1 , исходное уравнение приводим к виду

(у - 2)Материал по алгебре на тему Решение уравнений высших степеней (10 класс) + (у + 2) Материал по алгебре на тему Решение уравнений высших степеней (10 класс) = 242 ∙ у Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые.

Материал по алгебре на тему Решение уравнений высших степеней (10 класс);

Материал по алгебре на тему Решение уравнений высших степеней (10 класс);

Материал по алгебре на тему Решение уравнений высших степеней (10 класс);

Материал по алгебре на тему Решение уравнений высших степеней (10 класс);

у = 0; или Материал по алгебре на тему Решение уравнений высших степеней (10 класс) - это биквадратное уравнение.

Пусть t = Материал по алгебре на тему Решение уравнений высших степеней (10 класс) , тогда получим квадратное уравнение

Материал по алгебре на тему Решение уравнений высших степеней (10 класс), сумма коэффициентов этого уравнения

равна нулю, следовательно Материал по алгебре на тему Решение уравнений высших степеней (10 класс) ; Материал по алгебре на тему Решение уравнений высших степеней (10 класс) .

Так как t = Материал по алгебре на тему Решение уравнений высших степеней (10 класс) , то Материал по алгебре на тему Решение уравнений высших степеней (10 класс) = 1; или Материал по алгебре на тему Решение уравнений высших степеней (10 класс) = - 41

y₁ = 1; y₂ = -1. Уравнение корней не имеет.

Так как у = х + 1, то х + 1 = 1; х + 1 = -1; х + 1 = 0;

х₁ = 0. х₂ = -2. х₃ = -1.

Ответ: х₁ = 0; х₂ = -2; х₃ = -1.

2.7. Решение уравнения вида Материал по алгебре на тему Решение уравнений высших степеней (10 класс) .

Уравнение вида Материал по алгебре на тему Решение уравнений высших степеней (10 класс) приводится к решению квадратного уравнения, если a + b = c + d или a + c = b + d или

a + d = b + c.

Пример 1. Решите уравнение Материал по алгебре на тему Решение уравнений высших степеней (10 класс) .

Решение. Раскроем скобки, группируя их следующим образом, получим

Материал по алгебре на тему Решение уравнений высших степеней (10 класс)

Сделаем замену у = Материал по алгебре на тему Решение уравнений высших степеней (10 класс) . Тогда получаем:

Материал по алгебре на тему Решение уравнений высших степеней (10 класс)

Исходное уравнение равносильно совокупности уравнений:

Материал по алгебре на тему Решение уравнений высших степеней (10 класс)=41 и Материал по алгебре на тему Решение уравнений высших степеней (10 класс) = - 41

Материал по алгебре на тему Решение уравнений высших степеней (10 класс)Материал по алгебре на тему Решение уравнений высших степеней (10 класс)

По теореме Виета: D=25 - 184 = -159, D < 0

Материал по алгебре на тему Решение уравнений высших степеней (10 класс)уравнение действительных корней не имеет.

Ответ : х₁ =-9; х₂ = 4.

Пример 2. Решите уравнение Материал по алгебре на тему Решение уравнений высших степеней (10 класс)

Решение. С группируем скобки следующим образом: Материал по алгебре на тему Решение уравнений высших степеней (10 класс)

раскроем скобки и приведем подобные слагаемые

Материал по алгебре на тему Решение уравнений высших степеней (10 класс)

Сделаем замену Материал по алгебре на тему Решение уравнений высших степеней (10 класс) . Тогда получим:

Материал по алгебре на тему Решение уравнений высших степеней (10 класс)

Материал по алгебре на тему Решение уравнений высших степеней (10 класс)или Материал по алгебре на тему Решение уравнений высших степеней (10 класс)

Исходное уравнение равносильно совокупности уравнений:

  1. Материал по алгебре на тему Решение уравнений высших степеней (10 класс)2) Материал по алгебре на тему Решение уравнений высших степеней (10 класс)

Ответ: Материал по алгебре на тему Решение уравнений высших степеней (10 класс)

Пример 3. Решите уравнение Материал по алгебре на тему Решение уравнений высших степеней (10 класс)

Решение. Сгруппируем множители следующим образом: Материал по алгебре на тему Решение уравнений высших степеней (10 класс)

Обозначим Материал по алгебре на тему Решение уравнений высших степеней (10 класс) . Тогда получим :

Материал по алгебре на тему Решение уравнений высших степеней (10 класс)

Материал по алгебре на тему Решение уравнений высших степеней (10 класс)

Исходное уравнение равносильно совокупности уравнений.

  1. Материал по алгебре на тему Решение уравнений высших степеней (10 класс)и 2)Материал по алгебре на тему Решение уравнений высших степеней (10 класс)

Ответ: Материал по алгебре на тему Решение уравнений высших степеней (10 класс)

Пример 4. Решите уравнение Материал по алгебре на тему Решение уравнений высших степеней (10 класс)

Решение. Так как 2 + 1 =-3 + 6, то можно сгруппировать множители левой части уравнения так: Материал по алгебре на тему Решение уравнений высших степеней (10 класс) ,

или Материал по алгебре на тему Решение уравнений высших степеней (10 класс)

ОбозначимМатериал по алгебре на тему Решение уравнений высших степеней (10 класс), тогда относительно Материал по алгебре на тему Решение уравнений высших степеней (10 класс) получим:

Материал по алгебре на тему Решение уравнений высших степеней (10 класс)По теореме Виета.

Исходное уравнение равносильно совокупности уравнений.

  1. Материал по алгебре на тему Решение уравнений высших степеней (10 класс)По теореме Виета. 2) Материал по алгебре на тему Решение уравнений высших степеней (10 класс)

Ответ: Материал по алгебре на тему Решение уравнений высших степеней (10 класс) Материал по алгебре на тему Решение уравнений высших степеней (10 класс)









Глава 3. Решение уравнений методом замены неизвестного.

Решение многих уравнений заключается в сведении их к уравнениям видов рассмотренных в главе 2, способом введения вспомогательной неизвестной.

Пример 1. Решите уравнение Материал по алгебре на тему Решение уравнений высших степеней (10 класс)

Решение. Введем новую переменную Материал по алгебре на тему Решение уравнений высших степеней (10 класс) , получим:

Материал по алгебре на тему Решение уравнений высших степеней (10 класс)или разделив на Материал по алгебре на тему Решение уравнений высших степеней (10 класс) , Материал по алгебре на тему Решение уравнений высших степеней (10 класс)

Решением данного уравнения является число -1, так как сумма коэффициентов слагаемых с четными показателями степеней равна сумме коэффициентов слагаемых с нечетными показателями степеней. (2+1=3)

Используя схему Горнера , получим:

хМатериал по алгебре на тему Решение уравнений высших степеней (10 класс)

2

0

1

3

-1

2

-2

3

0

Левую часть уравнения можно разложить на множители:

Материал по алгебре на тему Решение уравнений высших степеней (10 класс)

Произведение двух действительных чисел равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы одно из них равно нулю. Из последнего уравнения получаем два уравнения:

Материал по алгебре на тему Решение уравнений высших степеней (10 класс)данное уравнение действительных корней не имеет.

у + 2 = 0,

у = -2.

Ответ: у = - 2.

Пример2. Решите уравнение Материал по алгебре на тему Решение уравнений высших степеней (10 класс)

Введем новую переменную Материал по алгебре на тему Решение уравнений высших степеней (10 класс) , тогда уравнение примет вид: Материал по алгебре на тему Решение уравнений высших степеней (10 класс) Пусть Материал по алгебре на тему Решение уравнений высших степеней (10 класс) , получим уравнение: Материал по алгебре на тему Решение уравнений высших степеней (10 класс)

Сумма коэффициентов квадратного уравнения равна нулю, значит

t₁ = 1, t₂ =32. Таким образом: Материал по алгебре на тему Решение уравнений высших степеней (10 класс) или Материал по алгебре на тему Решение уравнений высших степеней (10 класс)

Так как Материал по алгебре на тему Решение уравнений высших степеней (10 класс) , получим два уравнения: Материал по алгебре на тему Решение уравнений высших степеней (10 класс) или Материал по алгебре на тему Решение уравнений высших степеней (10 класс)

Ответ: х₁ = 1; х₂ =4.

Пример 3. Решите уравнение Материал по алгебре на тему Решение уравнений высших степеней (10 класс)

Решение. Введем новую переменную Материал по алгебре на тему Решение уравнений высших степеней (10 класс) , тогда уравнение примет вид:

Материал по алгебре на тему Решение уравнений высших степеней (10 класс)

По теореме Виета: Материал по алгебре на тему Решение уравнений высших степеней (10 класс) Материал по алгебре на тему Решение уравнений высших степеней (10 класс)

Так как Материал по алгебре на тему Решение уравнений высших степеней (10 класс) , то получим два уравнения:

  1. Материал по алгебре на тему Решение уравнений высших степеней (10 класс)2)Материал по алгебре на тему Решение уравнений высших степеней (10 класс)

Ответ: х₁ =-3; х₂ = -2; х₃ =1; х₄ =2.









Глава 4. Нестандартные способы решения уравнений высших

степеней.

Пример 1. Найдите действительные корни уравнения

Материал по алгебре на тему Решение уравнений высших степеней (10 класс)

Решение. Поскольку в левой части уравнения стоит выражение все слагаемые, которого неотрицательные, а по условию их сумма равна нулю, то это возможно лишь при условии, что каждое слагаемое равно нулю: Материал по алгебре на тему Решение уравнений высших степеней (10 класс) или

Материал по алгебре на тему Решение уравнений высших степеней (10 класс)

Ответ: х = 1,8.

Пример 2. Решите уравнение Материал по алгебре на тему Решение уравнений высших степеней (10 класс) .

Рассмотрим два способа решения данного уравнения . Решение. 1 способ. Заметим, что х = 1 не является корнем данного уравнение, поэтому разделим левую и правую части уравнения на выражение (х - 1)Материал по алгебре на тему Решение уравнений высших степеней (10 класс), получим

Материал по алгебре на тему Решение уравнений высших степеней (10 класс), так как Материал по алгебре на тему Решение уравнений высших степеней (10 класс)

Далее заменим Материал по алгебре на тему Решение уравнений высших степеней (10 класс) и уравнение примет вид Материал по алгебре на тему Решение уравнений высших степеней (10 класс) . Сумма коэффициентов данного уравнения равна нулю ( 1 - 5 + 4 = 0), значит корни уравнения Материал по алгебре на тему Решение уравнений высших степеней (10 класс) ; Материал по алгебре на тему Решение уравнений высших степеней (10 класс)

Так как Материал по алгебре на тему Решение уравнений высших степеней (10 класс) , то получим два уравнения:

  1. Материал по алгебре на тему Решение уравнений высших степеней (10 класс)2)Материал по алгебре на тему Решение уравнений высших степеней (10 класс)

D < 0 - данное уравнение х = 2.

корней не имеет. Ответ: х = 2.

2 способ. Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые. Получим уравнение четвертой степени: Материал по алгебре на тему Решение уравнений высших степеней (10 класс)

1. Используя схему Горнера, находим, среди делителей свободного члена

±1; ≠2; ± 4, целые корни уравнения.

Заметим, что сумма коэффициентов не равна нулю, то хМатериал по алгебре на тему Решение уравнений высших степеней (10 класс)=1 не является корнем уравнения. (1 - 5 + 9 - 8 + 4 ≠ 0)

Число -1 так же не является корнем, так как сумма коэффициентов слагаемых с четными показателями степени не равна сумме коэффициентов слагаемых с не четными показателями степени.

(1+ 9 +4≠ - 5 - 8). Составим таблицу:



хМатериал по алгебре на тему Решение уравнений высших степеней (10 класс)

1

- 5

9

- 8

4

2

1

- 3

3

- 2

0



Из таблицы видно, что х = 2 корень уравнения, и уравнение можно записать в виде: Материал по алгебре на тему Решение уравнений высших степеней (10 класс) .

Решим уравнение Материал по алгебре на тему Решение уравнений высших степеней (10 класс)

Используя схему Горнера, находим, среди делителей свободного члена

±1; ≠2, целые корни уравнения.

Заметим, что сумма коэффициентов не равна нулю, то хМатериал по алгебре на тему Решение уравнений высших степеней (10 класс)=1 не является корнем уравнения. (1 - 3 + 3 - 2 ≠ 0)

Число -1 так же не является корнем, так как сумма коэффициентов слагаемых с четными показателями степени не равна сумме коэффициентов слагаемых с не четными показателями степени.

(1+ 3 ≠ - 3 - 2). Составим таблицу:

хМатериал по алгебре на тему Решение уравнений высших степеней (10 класс)

1

-3

3

-2

2

1

- 1

1

0



Из таблицы видно, что х = 2 корень уравнения, и уравнение можно записать в виде: Материал по алгебре на тему Решение уравнений высших степеней (10 класс) .

Таким образом, левую часть уравнения Материал по алгебре на тему Решение уравнений высших степеней (10 класс)

можно разложить на множители следующим образом: Материал по алгебре на тему Решение уравнений высших степеней (10 класс) Произведение двух действительных чисел равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы одно из них равно нулю. Из последнего уравнения получаем два уравнения:

  1. Материал по алгебре на тему Решение уравнений высших степеней (10 класс)2) Материал по алгебре на тему Решение уравнений высших степеней (10 класс)

данное уравнение

действительных корней не имеет.

Ответ: х = 2.

Я привела два способа решения уравнения Материал по алгебре на тему Решение уравнений высших степеней (10 класс) ,

чтобы показать, насколько первый способ проще и необходимость поиска рациональных способов решения.

Пример 3. Решим уравнение Материал по алгебре на тему Решение уравнений высших степеней (10 класс) .

Решение. Заметим, что х = 1 не является корнем данного уравнение, поэтому умножим левую и правую части уравнения на выражение (х - 1)Материал по алгебре на тему Решение уравнений высших степеней (10 класс), получимМатериал по алгебре на тему Решение уравнений высших степеней (10 класс),

Материал по алгебре на тему Решение уравнений высших степеней (10 класс)

Так как х≠1, то уравнение имеет один корень х = 0.

Ответ: х = 0.

Пример 4. Решите уравнение Материал по алгебре на тему Решение уравнений высших степеней (10 класс) .

Решение. Запишем уравнение в виде Материал по алгебре на тему Решение уравнений высших степеней (10 класс)

или Материал по алгебре на тему Решение уравнений высших степеней (10 класс)

откуда Материал по алгебре на тему Решение уравнений высших степеней (10 класс)

Решим два уравнения:

1)Материал по алгебре на тему Решение уравнений высших степеней (10 класс) 2) Материал по алгебре на тему Решение уравнений высших степеней (10 класс)

D= 6 - 4(3 + Материал по алгебре на тему Решение уравнений высших степеней (10 класс) )= - 6 - 4Материал по алгебре на тему Решение уравнений высших степеней (10 класс) D = 6 - 4 (3 - Материал по алгебре на тему Решение уравнений высших степеней (10 класс) )= - 6 + 4Материал по алгебре на тему Решение уравнений высших степеней (10 класс)

D < 0, действительных корней нет. Материал по алгебре на тему Решение уравнений высших степеней (10 класс)

Материал по алгебре на тему Решение уравнений высших степеней (10 класс).

Ответ: Материал по алгебре на тему Решение уравнений высших степеней (10 класс) Материал по алгебре на тему Решение уравнений высших степеней (10 класс).

Пример 5. Решите уравнение Материал по алгебре на тему Решение уравнений высших степеней (10 класс)

Решение. Заметим, что х = -1 не является корнем данного уравнение, поэтому умножим левую и правую части уравнения на выражение (х +1)Материал по алгебре на тему Решение уравнений высших степеней (10 класс), получим:

Материал по алгебре на тему Решение уравнений высших степеней (10 класс)или Материал по алгебре на тему Решение уравнений высших степеней (10 класс)

Пусть Материал по алгебре на тему Решение уравнений высших степеней (10 класс) Материал по алгебре на тему Решение уравнений высших степеней (10 класс) , Материал по алгебре на тему Решение уравнений высших степеней (10 класс) , Материал по алгебре на тему Решение уравнений высших степеней (10 класс)

Сумма чисел равна 4, а произведение 3 - это числа 1 и 3. Проверим:

х₁ = 1, получим Материал по алгебре на тему Решение уравнений высших степеней (10 класс) и Материал по алгебре на тему Решение уравнений высших степеней (10 класс)

х ₂= 3, получим Материал по алгебре на тему Решение уравнений высших степеней (10 класс) и Материал по алгебре на тему Решение уравнений высших степеней (10 класс)

Ответ: х₁ = 1, х ₂= 3.

2 способ: Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые, получим:

Материал по алгебре на тему Решение уравнений высших степеней (10 класс)

Сумма коэффициентов многочлена стоящего в левой части уравнения равна нулю (1 - 7 + 19 - 25 +12 = 0), значит х =1 корень уравнения.

По теореме Безу многочлен Материал по алгебре на тему Решение уравнений высших степеней (10 класс) делится на х - 1. Выполним деление и получим:

Материал по алгебре на тему Решение уравнений высших степеней (10 класс): (х - 1) =Материал по алгебре на тему Решение уравнений высших степеней (10 класс).

Найдем корни уравнения Материал по алгебре на тему Решение уравнений высших степеней (10 класс) =0 среди делителей свободного члена, ±1; ±2; ±3; ±4; ±6; ±12.

Сумма коэффициентов 1 - 6 + 13 - 12 ≠ 0, значит, число 1 не является корнем уравнения.

Так же число -1 так же не является корнем, так как сумма коэффициентов слагаемых с четными показателями степени не равна сумме коэффициентов слагаемых с не четными показателями степени (1 + 13 ≠ -6 - 12)

Составим таблицу и проверим по схеме Горнера:

Материал по алгебре на тему Решение уравнений высших степеней (10 класс)

1

-6

13

-12

2

1

-4

5

-2

3

1

-3

4

0

Число 3 является корнем уравнения, значит, многочлен Материал по алгебре на тему Решение уравнений высших степеней (10 класс) делится на х - 3. Запишем многочлен в виде :

Материал по алгебре на тему Решение уравнений высших степеней (10 класс)= (х - 3)(Материал по алгебре на тему Решение уравнений высших степеней (10 класс) .

Учитывая предыдущие рассуждения, запишем уравнение Материал по алгебре на тему Решение уравнений высших степеней (10 класс) в виде Материал по алгебре на тему Решение уравнений высших степеней (10 класс) Материал по алгебре на тему Решение уравнений высших степеней (10 класс)

Произведение действительных чисел равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы одно из них равно нулю. Из последнего уравнения получаем три уравнения: х - 1 = 0, или х - 3 = 0, или Материал по алгебре на тему Решение уравнений высших степеней (10 класс) ,

х₁ =1. х₂ = 3. D = 9 - 16 = -7

D < 0 , корней нет.

Ответ: х₁ =1, х₂ = 3.

Пример 6. Решите уравнение Материал по алгебре на тему Решение уравнений высших степеней (10 класс)

Решение. Разделим обе части уравнения на 4Материал по алгебре на тему Решение уравнений высших степеней (10 класс), получим:

Материал по алгебре на тему Решение уравнений высших степеней (10 класс);

Материал по алгебре на тему Решение уравнений высших степеней (10 класс);

Материал по алгебре на тему Решение уравнений высших степеней (10 класс);

Материал по алгебре на тему Решение уравнений высших степеней (10 класс);

Материал по алгебре на тему Решение уравнений высших степеней (10 класс).

Произведение действительных чисел равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы одно из них равно нулю. Из последнего уравнения получаем два уравнения:

  1. Материал по алгебре на тему Решение уравнений высших степеней (10 класс)2) Материал по алгебре на тему Решение уравнений высших степеней (10 класс)

Материал по алгебре на тему Решение уравнений высших степеней (10 класс)

Произведение действительных чисел равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы одно из них равно нулю. Из последнего уравнения получаем два уравнения:

Материал по алгебре на тему Решение уравнений высших степеней (10 класс)или Материал по алгебре на тему Решение уравнений высших степеней (10 класс)

Ответ: Материал по алгебре на тему Решение уравнений высших степеней (10 класс) ; Материал по алгебре на тему Решение уравнений высших степеней (10 класс) ; Материал по алгебре на тему Решение уравнений высших степеней (10 класс) ; Материал по алгебре на тему Решение уравнений высших степеней (10 класс) .

Пример 7. Решите уравнение Материал по алгебре на тему Решение уравнений высших степеней (10 класс)

Решение. Используя, равенство Материал по алгебре на тему Решение уравнений высших степеней (10 класс) преобразуем уравнениеМатериал по алгебре на тему Решение уравнений высших степеней (10 класс).

Раскроем скобки и преобразуем выражение:

Материал по алгебре на тему Решение уравнений высших степеней (10 класс)

Произведение действительных чисел равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы одно из них равно нулю. Из последнего уравнения получаем два уравнения:

  1. Материал по алгебре на тему Решение уравнений высших степеней (10 класс),

D=1 - 4= -3, D < 0, действительных корней нет.

  1. Материал по алгебре на тему Решение уравнений высших степеней (10 класс)

Материал по алгебре на тему Решение уравнений высших степеней (10 класс)

Ответ: Материал по алгебре на тему Решение уравнений высших степеней (10 класс)

Пример 8. Решите уравнениеМатериал по алгебре на тему Решение уравнений высших степеней (10 класс)

Решение. Сумма коэффициентов не равна нулю 1 - 1 + 1 - 1+1 ≠0, число 1 не является корнем уравнения. Число -1 так же не является корнем, так как сумма коэффициентов слагаемых с четными показателями степени не равна сумме коэффициентов слагаемых с не четными показателями степени

(1 + 1 + 1 ≠ - 1 - 1)

Умножим обе части уравнения на (х + 1), получим:

Материал по алгебре на тему Решение уравнений высших степеней (10 класс)

Уравнение Материал по алгебре на тему Решение уравнений высших степеней (10 класс) , является следствием исходного уравнения Материал по алгебре на тему Решение уравнений высших степеней (10 класс) , имеет единственный корень х = -1, который не является корнем исходного, значит, уравнение корней не имеет.

Ответ: корней нет.

Пример 9. Решите уравнениеМатериал по алгебре на тему Решение уравнений высших степеней (10 класс)

Решение. Перепишем уравнение в виде

Материал по алгебре на тему Решение уравнений высших степеней (10 класс)Поскольку для любого х имеемМатериал по алгебре на тему Решение уравнений высших степеней (10 класс) и Материал по алгебре на тему Решение уравнений высших степеней (10 класс) , то данное уравнение равносильно уравнению Материал по алгебре на тему Решение уравнений высших степеней (10 класс) Решением этого уравнения х =-1, а следовательно и решение исходного.

Ответ: х = -1

2 способ. Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые.

Материал по алгебре на тему Решение уравнений высших степеней (10 класс)

Число -1 является корнем, так как сумма коэффициентов слагаемых с четными показателями степени равна сумме коэффициентов слагаемых с не четными показателями степени (2 + 2 - 9 + 7 = 4 - 8 + 6)

По теореме Безу многочлен, стоящий в левой части уравнения делится на

(х + 1). Выполним деление по схеме Горнера:


2

4

2

-8

-9

6

7

-1

2

2

0

-8

-1

7

0

Материал по алгебре на тему Решение уравнений высших степеней (10 класс)=0

Рассмотрим уравнение Материал по алгебре на тему Решение уравнений высших степеней (10 класс)

Так как сумма коэффициентов уравнения не равна нулю, то число 1 не является корнем уравнения, число -1 является корнем, так как сумма коэффициентов слагаемых с четными показателями степени равна сумме коэффициентов слагаемых с не четными показателями степени

(2 - 1 = 2 - 8 + 7). Выполним деление по схеме Горнера:


2

2

0

-8

-1

7

-1

2

0

0

-8

7

0

Материал по алгебре на тему Решение уравнений высших степеней (10 класс)Материал по алгебре на тему Решение уравнений высших степеней (10 класс)=0,

Рассмотрим уравнение Материал по алгебре на тему Решение уравнений высших степеней (10 класс) .

Среди чисел ±7 , ±1, Материал по алгебре на тему Решение уравнений высших степеней (10 класс) нет корней уравнения , значит корнем уравнения является только число -1.

Ответ: х = -1.







Литература

  1. Э.Н. Балаян «750 лучших олимпиадных и занимательных задач

по математике» Ростов-на-Дону «Феникс», 2014

  1. «Сборник задач по математике для поступающих в ВУЗы» под редакцией М.И.Сканави, М. «Высшая школа», 1982.

  2. Довбыш Р.И., Потемкина Л.Л., Трегуб Н.Л., Лиманский В.В., Оридорога Л.Л., Кулеско Н.А. «Сборник материалов математических олимпиад: 906 самых интересных задач и примеров с решениями» , Донецк: ООО ПКФ «БАО», 2002.

  3. А.М. Назаренко, Л.Д. Назаренко «Тысяча и один пример. Равенства и неравенства», Сумы «Слобожанщина», 1994.

  4. Ф.П. Яремчук, П.А. Рудченко «Алгебра и элементарные функции» , Х. «Полиграфкнига», 1975.

© 2010-2022