Задачи для обобщающего повторения 11 класс

Задачи для обобщающего повторения

Задача 1.

Корни уравнения являются длинами сторон некоторого треугольника, а корни уравнения

- длинами высот того же треугольника. Найти и площадь треугольника.

Решение:

Пусть - стороны треугольника, - длины высот треугольника, - площадь треугольника.

Аналогично:

.

- корни кубического уравнения. Это уравнение можно представить в виде

Раскроем скобки и перегруппируем:

Из первого уравнения имеем:

Из второго уравнения:

.

или

1. но что не может быть.

2. 

.

В третьем уравнении:

- возникает противоречие не подходит.

Все уравнения совместимы

Ответ:

Задача 2.

B прямоугольном треугольнике ABC точка D - середина гипотенузы АВ, а медианы треугольника пересекаются в точке Е. Треугольник ABC расположен на координатной плоскости так, что точка А лежит на оси , точка D симметрична точке С относительно оси , а точки С, D и Е лежат на графике функции Найти уравнение прямой CD и площадь треугольника AB C.

Решение:

Так как C и D симметричны , то они имеют координаты Точка т.к. это точка пересечения медиан и или Точки C, D и E лежат на графике

Для точки Е:

Для точки C:

1. 2)

Так как АВС прямоугольный, то AD = DC. Из условия симметрии точек D и C следует, что AC = AD, т.е. ADC равносторонний.

Площадь АВС в два раза больше площади ADC.сторона ADC: AC = AD= = DC = .

Ответ:

Задача 3.

Найти все решения

удовлетворяющие условию

Решение:

Обозначим и перепишем второе уравнение:

Тогда

Рассмотрим первое уравнение:

Возникло противоречие. Т.е.

2. Решим уравнение

при

Рассмотрим

Рассмотрим системы:

(1)

или

(2)

Решаем первую (1) систему. Предварительно рассмотрим:

Тогда должны выполнятся условия:

Видно, что система не имеет решения, т.к. из свойства логарифма следует, что

Решаем систему (2).

Должны выполняться условия:

Это равносильно:

а) Если

Проверим, подставив в уравнение:

что неверно.

б) Проверим, подставив во второе уравнение:

верно.

Ответ:

Задача 4.

Вокруг равнобедренного остроугольного треугольника FKT с основанием KT описана окружность. Точка M - середина дуги FT, не содержащей точки K. Известно, что расстояния от точки M до прямых KT и FT, равны соответственно и Найдите радиус окружности и площадь треугольника FKT.

Рещение:

1. Точка М равноудалена от концов хорды FT, следовательно, она находится на серединном перпендикуляре MA и FA = AT. FB так же серединный перпендикуляр KT. Тогда точка О пересечения прямых FB и MA есть центр описанной окружности.

2. OM = R OA = R - 1; OF = R. Обозначим OFA = - вписанный угол, а LOT = 2как центральный, опирающийся на ту же дугу.

3. Опустим перпендикуляр OH на прямую MP. OMH = OFA (OF = OM = R, OFA = MOH = , оба треугольника прямоугольные). MH = R - 1.

С другой стороны MH = так как HP = OB = Тогда R - 1 = =

Из OFA:

4. Площадь треугольника можно найти несколькими способами.

Способ I:

Так как FK = FT, то воспользуемся формулой

Способ II: OFA TFB.

Способ III:

Ответ: