Урок по алгебре «Формулы сложения» (9 класс)

Урок № 34

Тема урока: «Формулы сложения»

Цель урока: познакомиться с формулами суммы и разности двух углов, научитесь применять эти формулы в тождественных преобразованиях тригонометрических выражений, развить познавательный интерес, продолжить формирование математической культуры.

ХОД УРОКА:

1.Организационный момент.

Приветствие учащихся. Постановка цели урока.

2. Объяснение нового материала

Определение: Формулами сложения называются формулы, позволяющие выразить тригонометрические функции суммы и разности двух углов через тригонометрические функции этих же углов.

Вначале дадим вывод формулы косинуса разности двух углов через тригонометрические функции тех же углов. Для этой цели, как обычно, рассматриваем окружность с центром, расположенным в начале прямоугольной системы координат и радиусом R = OA

Начальный радиус OA повернем вокруг точки О на углы α и β. В результате получим соответствующие радиусы ОВ и ОС. Из курса геометрии вам известно, что если точка В имеет координаты x_t и у., а точка С - координаты х₂ и у₂, то векторы и также имеют соответственно те же координаты, т.е. (x_t;у,) и (х₂; у.,).

Теперь найдем скалярное произведение векторов ОВ и ОС. Из курса геометрии известно, что скалярное произведение этих двух векторов определяется равенством

(1)

По определению косинуса и синуса углов α и β мы имеем:

ИЛИ

Подставив эти значения в равенство (1), имеем:

Итак,

Левую часть равенства (2) запишем в следующем виде, используя теорему о скалярном произведении двух векторов:

Угол между векторами и есть угол ВОС или угол, равный α - β (рис.2). Но в общем виде угол ВОС между векторами и может быть равным 2π - (α - β) или от них может отличаться на кратное число полного угла

Поэтому во всех случаях мы имеем, что cos∟BOC = cos (α - β).

Используя последнее равенство и учитывая, что

ОВ = ОС = R, из равенства (3) можно записать:

или

(4)

В равенствах (2) и (4) равны их левые части, а значит, должны быть равными и их правые части:

Отсюда имеем:

Формулу (5) называют формулой косинуса разности двух углов.

Определение: Косинус разности двух углов равен сумме произведения косинусов этих углов и произведения синусов этих углов.

Определение: Косинус суммы двух углов равен произведению косинусов этих углов минус произведение синусов этих углов.

Определение: Синус суммы двух углов равен произведению синуса первого угла на косинус второго плюс произведение косинуса первого угла на синус второго.

Определение: Синус разности двух углов равен произведению синуса первого угла на косинус второго минус произведение косинуса первого угла на синус второго.

3. Первичное закрепление:

Решить №343, 347

4. Рефлексия.

Постановка Д/з №