- Преподавателю
- Математика
- Материалы для подготовки к выпускным экзаменам учащихся 9-х классов, обучающихся по заочной форме обучения
Материалы для подготовки к выпускным экзаменам учащихся 9-х классов, обучающихся по заочной форме обучения
Раздел | Математика |
Класс | - |
Тип | Конспекты |
Автор | Черемисина О.Н. |
Дата | 17.04.2015 |
Формат | doc |
Изображения | Есть |
Материалы
для подготовки к выпускным экзаменам
учащихся 9-х классов,
обучающихся по заочной форме обучения
Подготовила учитель математики О. Н. Черемисина
Готовимся к экзаменам
Формулы сокращенного умножения
(a + b)2 = a2 + 2ab = b2 (a − b)2 = a2 − 2ab = b2
a2 − b2 = (a - b)(a + b)
Распределительный закон умножения относительно сложения
a(b + c) = ab + ac
Упростите выражение:
1) 4с(с - 2) - (с - 4 )2
Решение: 4с(с - 2) - (с - 4 )2 = 4с2 - 8с - (с2 - 8с + 16) =
= 4с2- 8с - с2+ 8с - 16 = 3с2 - 16
Ответ. 3с2 - 16
2) 3(у - 1)2 + 6у
Решение: 3(у - 1)2 + 6у = 3(у2 - 2у + 1) + 6у = 3у2- 6у + 3 +6у = 3у2 + 3
Ответ. 3у2 + 3
3) (а - 3)(а - 7) - 2а(3а - 5)
Решение: (а - 3)(а - 7) - 2а(3а - 5) = а2- 7а - 3а + 21 - 6а2+ 10а =
= − 5а2 + 21 = 21 - 5а2
Ответ. 21 - 5а2
4) (у - 4)(у + 4) - (у - 3)2 = у2 - 16 - (у2 - 6у + 9) = у2 - 16 - у2 + 6у − 9 =
= 6у - 25
Ответ. 6у - 25
Решите самостоятельно:
-
3а(а + 2) - (а + 3)2
-
(а - 4)2 - 2а(3а - 4)
-
(х - 2)(х + 4) - 2х(1 + х)
-
(а - 2)(а + 2) - (а + 1)2
-
а(а + 5b) - (a +b)(a - b)
-
2c(3c + 4) - 3с(2с + 1)
-
(2b - 3)(3b +2) - 3b(2b +3).
Готовимся к экзаменам
Образец:
1) Упростить выражение:
Решение: =
2) Упростить выражение:
Решение:
3) Упростить выражение:
Решение:
4) Упростить выражение:
Решение:
5) Упростить выражение:
Решение:
Решите самостоятельно:
1)
2)
3)
4)
5)
Готовимся к экзаменам
Определение степени
где n - натур. число, m - целое
Свойства степени
1) an∙am = an+m 2) an: am = an-m 3) (an)m = an∙m 4) (a ∙ b)n = an∙ bn
5)
Образец:
Представьте выражение в виде степени и найдите его значение при заданном значении переменной:
1) , а = 6.
Решение: . При а = 6 .
Ответ. ; .
2) , а = .
Решение: . При а = .
Ответ. ; .
3) , х = 0,1.
Решение: . При х = 0,1 х3 = (0,1)3 = 0,001. Ответ. х3; 0,01.
Вычислите значение выражения:
1) (27 ∙ 3-4)2
Решение: (27 ∙ 3-4)2 = (33 ∙ 3-4)2 = (33-4)2 = (3-1)2 = 3-1∙2 = 3-2 = . Ответ.
2)
Решение: . Ответ.
Сравните:
1) (1,3 ∙ 10-2) ∙ (3 ∙ 10-1) и 0,004
Решение: (1,3 ∙ 10-2) ∙ (3 ∙ 10-1) = (1,3 ∙ 3) ∙ (10-2 ∙ 10-1) = 3,9 ∙ 10-2-1 = 3,9 ∙ 10-3 = 3,9 ∙ 0,001 = 0,0039
0,039 < 0,004. Ответ. (1,3 ∙ 10-2) ∙ (3 ∙ 10-1) < 0,004.
Решите самостоятельно:
Представьте выражение в виде степени и найдите его значение при заданном значении переменной:
1) , а = ; 2) , х = ; 3) , а = 0,1.
Вычислите значение выражения:
1) 16 ∙ (2-3)2 ; 2) ; 3) (108)2 ∙ 100-6.
Сравните:
1) (2,1 ∙ 10-1) ∙ (4 ∙ 10-2) и 0,008; 2) (2 ∙ 10-2)2 и 0,004; 3) и 0,012.
Готовимся к экзаменам
Уравнения, сводящиеся к линейным
-
Раскройте скобки по распределительному закону а(b + c) = ac + bc
-
Перенесите все члены уравнения, содержащие неизвестное число в левую часть, без неизвестного − в правую. При переносе члена уравнения через = измените его знак на противоположный, т. е. «+» на «−», «−» на «+».
-
Приведите в каждой части уравнения подобные члены, получите линейное уравнение ах = b.
-
Разделите обе части полученного уравнения на уравнение на а. Получите .
-
Запишите ответ.
Замечание: Если уравнение содержит дробные выражения, первым шагом умножьте его на общий знаменатель этих дробей.
Пример 1: Решите уравнение: 2 - 3(х + 2) = 5 - 2х.
Решение. 2 - 3х - 6 = 5 - 2х,
− 3х + 2х = 5 - 2 + 6,
− х = 9, │: (− 1)
х = − 9.
Ответ. х = − 9.
Пример 2: Решите уравнение: 5(2 + 1,5х) - 0,5х = 24
Решение: 10 + 7,5х - 0,5х = 24,
7,5х - 0,5х = 24 - 10,
7х = 14, │: 7
х = 2.
Ответ. х = 2.
Пример 3: Решите уравнение:
Решение: , │∙ 15
,
5(х + 9) - 3х = 15,
5х + 45 - 3х = 15,
5х - 3х = 15 - 45,
2х = − 30, │: 2
х = − 15.
Ответ. х = − 15.
Решите самостоятельно уравнения:
-
3 - 5(х + 1) = 6 - 4х. 5) .
-
4х - 5,5 = 5х - (2х - 1,5). 6)
-
0,4х = 0,4 - 2(х + 2).
-
Готовимся к экзаменам
Неполное квадратное уравнение
х2 = d
d >0,
d = 0, x = 0
d <0, корней нет
Решение квадратных уравнений
Уравнение aх2 + bx + c = 0, где а≠0 называется квадратным
Формула корней:
D = b2 - 4ac - дискриминант квадратного уравнения
Если D > 0 уравнение имеет 2 корня, если D = 0 уравнение имеет один корень , если D<0 уравнение не имеет корней
Примеры:
-
10х2 + 5х = 0; 2. 25 - 100х2 = 0;
х(10х + 5) = 0; - 100х2 = - 25; │: (- 25)
х = 0 или 10х + 5 = 0; х2 = 0,25
10х = − 5; │:10 х1,2 = ± 0,5
х = − 0,5. Ответ. х1,2 = ± 0,5
Ответ. х1 = 0, х2 = − 0,5.
-
2х2 + 3х - 5 = 0
а = 2, b = 3, с = - 5.
Ответ. х1 = 1, х = − 2,5.
Решите самостоятельно:
1) 3х2 − 12х = 0; 5) − х2 + 7х - 10 = 0; 9) х(х + 2) = 3;
2) 2х2 + х = 0; 6) 5х2 − 7х + 2 = 0; 10) 3х2 + 9 = 12х − х2.
3) 3х2 − 75 = 0; 7) 9х2 − 6х + 5 = 0;
4) 2х2 − 14 = 0; 8) 6х2 + х - 1 = 0
Готовимся к экзаменам
Задача. В первый день велосипедист проехал 52% маршрута, в второй день в два раза меньше, а в третий день - оставшиеся 44 км. Какова протяженность маршрута?
Решение. Переведем процент в десятичную дробь 52% = 0,52. Дробь от числа находим умножением числа на эту дробь.
Пусть х км - протяженность маршрута тогда в первый день велосипедист проехал 0,52х км, во второй - (0,52х : 2 = 0,26х) км. Протяженность всего маршрута (0,52х + 0,26х + 44) км.
Уравнение: 0,52х + 0,26х + 44 = х,
0,52х + 0,26х − х = 44,
−0,22х = − 44, |: (−0,22)
х = 200.
Значит протяженность маршрута 200 км. Ответ. 200 км.
Задача. У причала находилось 6 лодок, часть из которых была двухместными, а часть трехместными. Всего в эти лодки может поместиться 14 человек. Сколько двухместных и сколько трехместных лодок было у причала?
Решение. Пусть двухместных лодок у причала было х штук, а трех местных - у штук. Всего лодок (х + у) шт. По условию задачи это 6 шт. Уравнение: х + у = 6.
(2х) чел. поместится в двухместные лодки, а (3у) чел. поместится в трехместные лодки. Во все лодки поместится (2х + 3у) чел. По условию задачи это 14 чел. Уравнение: 2х + 3у = 14.
Система уравнений:
Решим систему уравнений способом подстановки:
-
х + у = 6, х = 6 - у.
-
2(6 - у) + 3у = 14,
12 - 2у + 3у = 14,
- 2у + 3у = 14 - 12,
у = 2.
-
х = 6 - 2 = 4.
Значит двух местных лодок у причала 4шт., а трехместных - 2 шт. Ответ. 4 шт., 2 шт.
Задача. Пешеход дошел от станции до почты и вернулся обратно, затратив на весь путь 1 час. К почте он шел со скоростью 6 км/ч, а обратно - со скоростью 4 км/ч. Чему равно расстояние от станции до почты?
Решение.
Направление движения
Скорость
Время
Расстояние
От станции до почты
6 км/ч
х км
От почты до станции
4 км/ч
х км
По условию задачи на весь путь пешеход затратил 1 час.
Уравнение: , | · 12
2x + 3x = 12,
5x = 12, | : 5
x = 2,4.
Значит расстояние от станции до почты 2,4 км. Ответ. 2,4 км.
Задача. Из города А в город В, расстояние между которыми 120 км, выехали одновременно два велосипедиста. Скорость первого на 3 км/ч больше скорости второго, поэтому он прибыл в город В на 2 часа раньше. Определите скорости велосипедистов.
Решение.
Участники движения
Скорость
Время
Расстояние
1 велосипедист
( х + 3) км/ч
120 км
2 велосипедист
х км/ч
120 км
По условию задачи время движения 1 велосипедиста на 2 часа меньше.
Уравнение: | · x(x + 3) ≠ 0
120(х + 3) - 120x = 2 x(x + 3),
120х + 360 - 120х = 2х2 + 6х,
2х2 + 6х - 360 = 0, | : 2
х2 + 3х - 180 = 0,
- 15 не удовлетворяет условию задачи, т. к. скорость движения - число положительное. Значит скорость второго велосипедиста 12 км/ч, а скорость первого велосипедиста 12 + 3 = 15 км/ч.
Ответ. 15 км/ч, 12 км/ч.
Решите самостоятельно:
Задача 1. Утром было продано 28% товара, днем - в два раза больше, а вечером - оставшиеся 32 кг. Сколько всего килограммов товара было продано?
Задача 2. На турбазе имеются палатки и домики: всего их 25. В каждом домике живут 4 человека, а в каждой палатке 2 человека. Сколько на турбазе палаток и сколько домиков, если на турбазе отдыхают 70 человек?
Задача 3. Велосипедист доехал от озера до деревни и вернулся обратно, затратив на весь путь 1 час. От озера до деревни он ехал со скоростью 15 км/ч, а обратно со скоростью 10 км/ч. Чему равно расстояние от озера до деревни?
Задача 4. Из пунктов А и В одновременно навстречу друг другу вышли 2 пешехода. Скорость первого на 1 км/ч больше скорости второго, поэтому он прибыл в пункт В на 1 час раньше, чем второй в пункт А. Найдите скорости пешеходов, если расстояние между пунктами А и В равно 20 км.