Реферат по математике на тему Аттрактор Лоренца

Реферат

По дисциплине: Математика

" Аттрактор Лоренца "

Аттрактор Лоренца

решение системы при r=0,3

решение системы при r=1,8

решение системы при r=3,7

решение системы при r=10

решение системы при r=16

решение системы при r=24,06

решение системы при r=28 ― собственно, это и есть аттрактор Лоренца

решение системы при r=100 ― виден режим автоколебаний в системе

Аттрактор Лоренца (от англ. to attract - притягивать) ― компактное инвариантное множество в трехмерном фазовом пространстве гладкого потока, которое имеет определённую сложную топологическую структуру и является асимптотически устойчивым, оно устойчиво по Ляпунову и все траектории из некоторой окрестности стремятся к при (отсюда название).

Аттрактор Лоренца был найден в численных экспериментах Лоренца, исследовавшего поведение траекторий нелинейной системы:

при следующих значениях параметров: σ=10, r=28, b=8/3. Эта система вначале была введена как первое нетривиальное галёркинское приближение для задачи о конвекции морской воды в плоском слое, чем и мотивировался выбор значений σ, r и b, но она возникает также и в других физических вопросах и моделях:

• конвекция в замкнутой петле;

• вращение водяного колеса;

• модель одномодового лазера;

• диссипативный гармонический осциллятор с инерционной нелинейностью.

Исходная гидродинамическая система уравнений:

где - скорость течения, - температура жидкости, - температура верхней границы (на нижней поддерживается ), - плотность, - давление, - сила тяжести, - соответственно коэффициент теплового расширения, коэффициент температуропроводности и кинематической вязкости.

В задаче о конвекции модель возникает при разложении скорости течения и температуры в двумерные ряды Фурье и последующей их «обрезки» с точностью до первых-вторых гармоник. Кроме того, приведённая полная система уравнений гидродинамики записывается в приближении Буссинеска. Обрезка рядов в определённой мере оправдана, так как Сольцмен в своих работах продемонстрировал отсутствие каких-либо интересных особенностей в поведении большинства гармоник.

Применимость и соответствие реальности

Обозначим физический смысл переменных и параметров в системе уравнений применительно к упомянутым задачам.

• Конвекция в плоском слое. Здесь x отвечает за скорость вращения водяных валов, y и z - за распределение температуры по горизонтали и вертикали, r - нормированное число Рэлея, σ - число Прандтля (отношение коэффициента кинематической вязкости к коэффициенту температуропроводности), b содержит информацию о геометрии конвективной ячейки.

• Конвекция в замкнутой петле. Здесь x - скорость течения, y - отклонение температуры от средней в точке, отстоящей от нижней точки петли на 90°, z - то же, но в нижней точке. Подведение тепла производится в нижней точке.

• Вращение водяного колеса. Рассматривается задача о колесе, на ободе которого укреплены корзины с отверстиями в дне. Сверху на колесо симметрично относительно оси вращения льётся сплошной поток воды. Задача равнозначна предыдущей, перевернутой «вверх ногами», с заменой температуры на плотность распределения массы воды в корзинах по ободу.

• Одномодовый лазер. Здесь x - амплитуда волн в резонаторе лазера, y - поляризация, z - инверсия населённостей энергетических уровней, b и σ - отношения коэффициентов релаксации инверсии и поля к коэффициенту релаксации поляризации, r - интенсивность накачки.

Стоит указать, что применительно к задаче о конвекции модель Лоренца является очень грубым приближением, весьма далёким от реальности. Более-менее адекватное соответствие существует в области регулярных режимов, где устойчивые решения качественно отображают экспериментально наблюдаемую картину равномерно вращающихся конвективных валов (Ячейки Бенара). Хаотический режим, присущий модели, не описывает турбулентной конвекции в силу существенной обрезки исходных тригонометрических рядов.

Интересным является существенно большая точность модели при некоторой её модификации, применяемая в частности для описания конвекции в слое, подвергаемом вибрации в вертикальном направлении либо переменному тепловому воздействию. Такие изменения внешних условий приводят к модулированию коэффициентов в уравнениях. При этом высокочастотные Фурье-компоненты температуры и скорости существенно подавляются, улучшая соответствие модели Лоренца и реальной системы.

Примечательно везение Лоренца при выборе значения параметра , так как система приходит к странному аттрактору только при значениях, больших 24,74, при меньших поведение оказывается совершенно иным.

Поведение решения системы

Рассмотрим изменения в поведении решения системы Лоренца при различных значениях параметра r. На иллюстрациях к статье приведены результаты численного моделирования для точек с начальными координатами (10,10,10) и (-10,-10,10). Моделирование производилось с помощью приведённой ниже программы, написанной на языке Фортран, построение графиков по полученным таблицам - из-за слабых графических возможностей Фортрана с помощью Compaq Array Viewer.

• r<1 - аттрактором является начало координат, других устойчивых точек нет.

• 1<r<13,927 - траектории спирально приближаются (это соответствует наличию затухающих колебаний) к двум точкам, положение которых определяется формулами:

Эти точки определяют состояния стационарного режима конвекции, когда в слое формируется структура из вращающихся валов жидкости.

• r≈13,927 - если траектория выходит из начала координат, то, совершив полный оборот вокруг одной из устойчивых точек, она вернется обратно в начальную точку - возникают две гомоклинические петли. Понятие гомоклинической траектории означает, что она выходит и приходит в одно и то же положение равновесия.

• r>13,927 - в зависимости от направления траектория приходит в одну из двух устойчивых точек. Гомоклинические петли перерождаются в неустойчивые предельные циклы, также возникает семейство сложно устроенных траекторий, не являющееся аттрактором, а скорее наоборот, отталкивающее от себя траектории. Иногда по аналогии эта структура называется «странным репеллером» (англ. to repel - отталкивать).

• r≈24,06 - траектории теперь ведут не к устойчивым точкам, а асимптотически приближаются к неустойчивым предельным циклам - возникает собственно аттрактор Лоренца. Однако обе устойчивые точки сохраняются вплоть до значений r≈24,74.

При больших значениях параметра траектория претерпевает серьезные изменения. Шильников и Каплан показали, что при очень больших r система переходит в режим автоколебаний, при этом, если уменьшать параметр, будет наблюдаться переход к хаосу через последовательность удвоений периода колебаний.

Значимость модели

Модель Лоренца является реальным физическим примером динамических систем с хаотическим поведением, в отличие от различных искусственно сконструированных отображений («зуб пилы», «тент», преобразование пекаря, отображение Фейгенбаума и др.).

Программы, моделирующие поведение системы Лоренца

Borland C

#include

#include

void main()

{

double x = 3.051522, y = 1.582542, z = 15.62388, x1, y1, z1;

double dt = 0.0001;

int a = 5, b = 15, c = 1;

int gd=DETECT, gm;

initgraph(&gd, &gm, "C:\\BORLANDC\\BGI");

do {

x1 = x + a*(-x+y)*dt;

y1 = y + (b*x-y-z*x)*dt;

z1 = z + (-c*z+x*y)*dt;

x = x1; y = y1; z = z1;

putpixel((int)(19.3*(y - x*0.292893) + 320),

(int)(-11*(z + x*0.292893) + 392), 9);

} while (!kbhit());

closegraph();

}

Mathematica

data = Table[

With[{N = 1000, dt = 0.01, a = 5, b = 1 + j, c = 1},

NestList[Module[{x, y, z, x1, y1, z1},

{x, y, z} = #;

x1 = x + a (-x + y) dt;

y1 = y + (b x - y - z x) dt;

z1 = z + (-c z + x y) dt;

{x1, y1, z1}] &,

{3.051522, 1.582542, 15.62388}, N

]

],

{j, 0, 5}];

Graphics3D@MapIndexed[{Hue[0.1 First[#2]], Point[#1]} &, data]

Borland Pascal

Program Lorenz;

Uses CRT, Graph;

Const

dt = 0.0001;

a = 5;

b = 15;

c = 1;

Var

gd, gm: Integer;

x1, y1, z1, x, y, z: Real;

Begin

gd:=Detect;

InitGraph(gd, gm, 'c:\bp\bgi');

x := 3.051522;

y := 1.582542;

z := 15.62388;

While not KeyPressed Do Begin

x1 := x + a*(-x+y)*dt;

y1 := y + (b*x-y-z*x)*dt;

z1 := z + (-c*z+x*y)*dt;

x := x1;

y := y1;

z := z1;

PutPixel(Round(19.3*(y - x*0.292893) + 320),

Round(-11*(z + x*0.292893) + 392), 9);

End;

CloseGraph;

ReadKey;

End.

FORTRAN

program LorenzSystem

real,parameter::sigma=10

real,parameter::r=28

real,parameter::b=2.666666

real,parameter::dt=.01

integer,parameter::n=1000

real x,y,z

open(1,file='result.txt',form='formatted',status='replace',action='write')

x=10.;y=10.;z=10.

do i=1,n,1

x1=x+sigma*(y-x)*dt

y1=y+(r*x-x*z-y)*dt

z1=z+(x*y-b*z)*dt

x=x1

y=y1

z=z1

write(1,*)x,y,z

enddo

print *,'Done'

close(1)

end program LorenzSystem

QBASIC/FreeBASIC(«fbc -lang qb»)

DIM x, y, z, dt, x1, y1, z1 AS SINGLE

DIM a, b, c AS INTEGER

x = 3.051522: y = 1.582542: z = 15.62388: dt = 0.0001

a = 5: b = 15: c = 1

SCREEN 12

PRINT "Press Esc to quit"

WHILE INKEY$ <> CHR$(27)

x1 = x + a * (-x + y) * dt

y1 = y + (b * x - y - z * x) * dt

z1 = z + (-c * z + x * y) * dt

x = x1

y = y1

z = z1

PSET ((19.3 * (y - x * .292893) + 300), (-11 * (z + x * .292893) + 360)), 9

WEND

END

JavaScript и HTML5

var cnv = document.getElementById("cnv");

var cx = cnv.getContext('2d');

var x = 3.051522, y = 1.582542, z = 15.62388, x1, y1, z1;

var dt = 0.0001;

var a = 5, b = 15, c = 1;

var h = parseInt(cnv.getAttribute("height"));

var w = parseInt(cnv.getAttribute("width"));

var id = cx.createImageData(w, h);

var rd = Math.round;

var idx = 0;

i=1000000; while (i--) {

x1 = x + a*(-x+y)*dt;

y1 = y + (b*x-y-z*x)*dt;

z1 = z + (-c*z+x*y)*dt;

x = x1; y = y1; z = z1;

idx=4*(rd(19.3*(y - x*0.292893) + 320) + rd(-11*(z + x*0.292893) + 392)*w);

id.data[idx+3] = 255;

}

cx.putImageData(id, 0, 0);

IDL

PRO Lorenz

n=1000000 & r=dblarr(n,3) & r[0,*]=[3.051522,1.582542,15.62388] & a=5. & b=15. & c=1.

FOR i=0.,n-2. DO r[i+1,*]=r[i,*] + [ a*(r[i,1]-r[i,0]), b*r[i,0]-r[i,1]-r[i,2]*r[i,0], r[i,0]*r[i,1]-c*r[i,2] ]*0.0001

plot,19.3*(r[*,1]-r[*,0]*0.292893)+320.,-11*(r[*,2]+r[*,0]*0.292893)+392.

END

Литература

• Кузнецов С. П., Лекция 3. Система Лоренца; Лекция 4. Динамика системы Лоренца. // Динамический хаос (курс лекций). - М.: Физматлит, 2001.

• Saltzman B. Finite amplitude free convection as an initial value problem. // Journal of the atmospheric science, № 7, 1962 - p. 329-341.

• Лоренц Э. Детерминированное непериодическое движение // Странные аттракторы. - М., 1981. - С. 88-116.