О некоторых способах вычисления расстояния между скрещивающимися прямыми

Задача №16 ЕГЭ 2015г.

О некоторых способах вычисления расстояния между скрещивающимися прямыми.

Задача. Ребро куба равно 1. Найдите расстояние между скрещивающимися диагоналями двух соседних граней куба.

I способ. Сделаем чертеж (рис. 3).

Искомое расстояние найдено по формуле

l=.

=**1=,

B=C=, =60˚,

Тогда l=.

II способ. Введем прямоугольную систему координат (рис. 4).

Уравнение плоскости, проходящей через точки D(0;0;0), В(1;1;0), (1,0,1), имеет вид x-y-z=0. Далее по формуле

P=

Найдем расстояние от точки С(0;1;0) до плоскости (BD):

P==.

III способ. Пусть КР-общий перпендикуляр прямых В и С (рис. 5).

Найдем координаты точек Р и К. Из того, что точка К лежит на прямой С (параллельной прямой ), следует, что К(k;1;k). Аналогично устанавливаем, что Р(1;р;1-р). Так как вектор (1-k;p-1;1-p-k) перпендикулярен векторам *=0 и *=0. Имеем систему уравнений

Из которой находим k=p=. Таким образом (), тогда

||==.