Урок по математике для 11 класса «Логарифмы»

Урок систематизации и обобщения знаний

по теме «Логарифмы»

Образовательные цели:

• обобщить и систематизировать знания учащихся по данной теме

• повторить свойства логарифма и логарифмической функции;

• повторить способы решения логарифмических уравнений и неравенств;

• закрепить навыки и умения применения знаний по теме к решению упражнений.

Развивающие цели:

• развивать познавательный интерес, навыки коллективной работы;

• применить сформированные знания, умения и навыки в новых ситуациях;

• сформировать навыки взаимоконтроля и самоконтроля.

Воспитательные цели:

• воспитать трудолюбие, аккуратность ведения записей, умение объективно оценивать результаты своей и коллективной работы;

• прививать желание иметь качественные, глубокие знания, доводить дело до конца.

Тип урока: урок систематизации знаний.

План урока

1. Сообщение темы, целей урока.

2. Проверка знаний фактического материала (теории и практики).

3. Применение знаний в различных конкретных ситуациях.

4. Самостоятельная работа (проверочный тест).

5. Проверка, анализ, оценка самостоятельно выполненных заданий.

6. Сообщение домашнего задания.

7. Итог урока.

Ход урока ( 2 часа )

1. Сообщение темы, целей урока, умений, которые должны быть сформированы у учащихся, (слайд 1, 2, 3).

2. Проверка знаний фактического материала (теории). Показ слайдов демонстрационной презентации с четкими формулировками:

• слайд 5 - определение логарифма: обратить внимание на то, какие значения может принимать число в и основание а; основное логарифмическое тождество;

• слайд 6 - свойства логарифмов;

• слайд 7 - свойства монотонности;

• слайд 8 - десятичные, натуральные логарифмы;

• слайд 9, 10 - логарифмирование алгебраических, потенцирование логарифмических выражений

3. Применение знаний в различных конкретных ситуациях.

1) Устная фронтальная работа (актуализация базовых знаний).(слайд 11 - 14)

За каждый правильный ответ ученик начисляет себе 1 балл. Критерии оценки: «5» - 22-23 балла; «4» - 18-21 балл; «3» - 10 - 17баллов.

• При каких значениях х имеет смысл функция:

1) у = log₃х² ; 2) у = log₅ (- х); 3) у = log_1/2 (3 - х); 4) у = lg (4 - х²); 5) у = lg |x|.

• Совпадают ли графики функций:

1) у = х и у = ; 2) y = x² + 1 и y =

• Решить уравнение:

1) log₅ х² = 0;

2) log₃ 3^х = 4;

3) log₃ х - 1 = 0;

4) log₂ (2х - 1) = 3;

5) log₃ (2х - 3) - 1 = 0;

6) log₅(2х - х²) = 0;

7) log_0,7 (2х + 1) = log_0,7 (х -1)

• Задание с ключом.

Этот прием, пришедший к нам из программирования, состоит в следующем: я буду произносить некоторые утверждения и, если вы согласны со мной, то в тетради ставите «1», если нет - «0». В результате у вас должно получиться число.

1. Если lg x = lg y, то x = y.

2. 

3. 

4. Если , то х = у.

5. Если 3² = 9, то

6. Область определения функции промежуток (0; 3,5).

7. lg7 < 3lg2.

8. Если , то x > c при 0 < a < 1.

9. Выражение справедливо для любого х.

Ключ: 101000100.

• Прологарифмировать алгебраическое выражение

1. ; 2. 3.

• Найти х:

1. lg x = lg a + 2lg b - lg c

2. lg x = lh d + 3lg c - 4lg b

3. lg x = lg 5 - lg 2 + lg 6

4. lg x = 2lg 3 + 3lg 5 - 5lg 3

• Какие из следующих графиков не могут быть графиком функции ? (Слайд 10)

• На одном из рисунков изображен эскиз графика функции Укажите номер этого рисунка.

2) Выполнение заданий на доске и в тетрадях.

Рассмотрим различные примеры применения знаний, полученных на предыдущих уроках при решении уравнений, неравенств, систем.

Напомним основные методы решения логарифмических уравнений: (слайд 15)

• Функционально-графический метод;

• Метод потенцирования;

• Метод введения новой переменной;

• Метод логарифмирования.

Помни про О.Д.З. (слайд 16)

№1. Решите уравнение. (слайд 17)

lg(1 - x²) = lg 2x О.Д.З. (0;1) метод потенцирования. Ответ: х =

метод логарифмирования. Ответ: х =1; х = 2.

№2 Найдите область определения функции (слайд 17)

х = ± 1, х = -2

Ответ: (-2;-1]; [1; + ∞)

№ 3. Решите систему уравнений (слайд 17)

log₃x = a, 5^y = b b > 0

a = 4 - b, 10 = 2b² - 8b, b² - 4b - 5 = 0 b = 5, b = -1(пост. кор.)

a = -1,

1) log₃x = -1, 5^y = 5 х = 1/3, у = 1.

Данная система предлагалась на вступительных экзаменах в 2004 году в МГУ на факультет вычислительной математики и кибернетики.

№ 4. Найдите наименьшее значение функции y = lg (x² + 5x + 7,25) + 2 на отрезке [-3; 0] (слайд 17)

Решение:

Функция, непрерывная на отрезке, принимает наименьшее значение в критических точках принадлежащих данному отрезку или на концах этого отрезка.

Вычислим производную данной функции

у¹ = (lg (x² + 5x + 7,25) + 2)¹ =

Найдем критические точки, решив уравнение у¹ = 0

, 2х +5 = 0, х = - 2,5 - 2,5 [-3; 0]

Вычисляя значения функции в критической точке и на концах данного отрезка, получим

y(-3) = lg (9 - 15 + 7,25) + 2 = 2 + lg1,25

y(0) = 2 + lg7,25 ,

y(-2,5) = lg (6,25 - 12,5 + 7,25) + 2 = 2

следовательно, наименьшее значение функции y = lg (x² + 5x + 7,25) + 2 на отрезке [-3; 0] равно 2

Ответ: 2

4. Самостоятельная работа (проверочный тест). Критерии оценки: «5» - 9-10 баллов; «4» - 7- 8 баллов; «3» - 5- 6 баллов.

Проверочный тест.

1. Вычислите . 1) 28 2) 13 3) 75 4) 30

2. Вычислите 1) 0 2) 1 3) 4 4) 8

3. Вычислите . 1) 7 2) - 2 3) - 1 4) 1

4. Вычислите . 1) 45 2) 49 3) 47 4) 49 -

5. Найдите значение выражения . 1) 3,5 2) ln 32 3) ln 124 4) 32

6. Укажите значение выражения . 1) 2) 10 3) 100 4)

7. Решите уравнение 1) ± 7 2) 3) 4) Ø

8. Решите неравенство . 1) (1; 1,25) 2) (1; + ∞) 3) (1,25; + ∞) 4) (- ∞; 1,25)

9. Найдите область определения функции .

1) (0; 9); (9; + ∞) 2) 9 3) (0; + ∞) 4) (1; + ∞)

10. Укажите область значений функции

1) (0; + ∞) 2) (- ∞ 7) 3) (7; + ∞) 4) (- ∞ + ∞)

Ответы к тесту: (слайд 18)

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

3 1 3 3 1 4 4 3 1 4

5. Проверка, анализ, оценка самостоятельно выполненных заданий.

6. Сообщение домашнего задания.

1. Решить уравнение log₄ (x + 12) log_x2 = 1

2. Найдите наименьшее значение функции у = 7е^3+2х - 10,4 на отрезке [0; 1,5]

7. Итог урока.