Разработка урока на тему Логарифмы

Тема «Решение логарифмических уравнений»

Цели урока:

• отработка навыков решения логарифмических уравнений с помощью формул перехода к новому основанию логарифма; формирование умений решать задачи повышенной сложности;

• развитие логического мышления, умений самостоятельно работать, навыков взаимоконтроля и самоконтроля, умений говорить и слушать;

• воспитание трудолюбия, аккуратности.

Тип урока: урок комплексного применения знаний, умений и навыков.

Ход урока.

1. Организационный момент (1 мин.).

Цель: формирование мотива, желания работать на уроке.

2. Актуализация знаний (12 мин.).

Цель: повторение необходимых теоретических сведений по теме, проверка умений решать логарифмические уравнения базового уровня.

Работа проходит в динамических парах - группе из 4-х человек, сидящих за соседними столами. Каждый учащийся получает карточку с общим заданием, выполняет задания, ответы обсуждаются и одним учащимся из группы проверяется правильность ответов с помощью компьютера.

Ответы по карточкам, содержащих теоретические сведения, даются в устной форме.

Активное участие каждого учащегося будет учитываться при выставлении отметки за работу на уроке (если группа набирает 4 или 5 баллов, каждый участник группы может при необходимости воспользоваться 1 баллом при выставлении окончательной отметки за самостоятельную работу).

Карточки для устного опроса.

КАРТОЧКА 1

1. Дайте определение логарифма числа.

2. Вычислите lg 0,01

3. Представьте в виде логарифма 2³ = 8

КАРТОЧКА 2

1. Прочитайте основное логарифмическое тождество.

2. Вычислите + 2

3. Вычислите

КАРТОЧКА 3

1. Прочитайте теорему о логарифме произведения.

2. Вычислите log₁₂4 + log₁₂3

КАРТОЧКА 4

1. Прочитайте теорему о логарифме частного.

2. Вычислите lg 130 - lg 13

КАРТОЧКА 5

1. Прочитайте теорему о логарифме степени.

2. Преобразуйте выражение: 2·log₂ 3

КАРТОЧКА 6

1. Какая функция называется логарифмической?

2. Найдите область определения функции:

а) у = log₂ (х + 1); б) у = log₂ (1 - х)

КАРТОЧКА 7

1. При каком условии логарифмическая функция возрастает?

2. Сравните: log₅ и log₅

3. Какие из перечисленных функций являются возрастающими:

у = log_π х; у = log х; у = logх

КАРТОЧКА 8

1. При каком условии логарифмическая функция убывает?

2. Сравните: log│-2│ и log│-4│

3. Какие из перечисленных функций являются убывающими:

у = logх; у = log х; у = logх

Тестовые задания для работы в группах.

I гр. Тест

1. Напишите равенство, содержащее логарифмы, используя числа 2, 3 и 8. Выберите правильный ответ из пяти возможных.

2 = log₃8 3 = log₂8 2 = log₈3

3 = log₈2 8 = log₂3

2. Выразите х из условия 5^х = 27. Выберите правильный ответ из двух возможных.

х = log₂₇5 х = log₅27

3. Упростите выражение log₉4. Выберите ответ из четырёх вариантов.

log₂3 log₃2

4. Упростите выражение 179

5. Упростите выражение log_0,5 0,25

II гр. Тест

1. Упростите выражение log_а (а^d · а^3с)

2. Вычислите log₁₀ 3

3. Упростите выражение log₃ 30 - log₃ 10

4. Найти приближенное значение выражения log₁₀6, зная, что log₁₀2 ≈ 0,3, log₁₀3 ≈ 0,5

5. Найти приближенное значение log₁₀ 0,2

III гр. Тест

1. Выбрать правильные ответы, решив уравнения

3 = 1 -11 и 3

log₆ (х² + 8х + 3) = 2 7

2^х-1 = 64 6

log₂ (х + 5) = 5 -1

log₈ 2^х-3 = 1 27

2. Выбрать правильные ответы, решив уравнения

3 log₈ х - 11 = -8 -1

0,1^2х = 100 2

lg²х - lgх² - 8 = 0 0,01 и 10000

lg (х + 5) = 0,3 8

3 · 11^х + 37 = 400 10^0,3 - 5

5. Решить уравнение lgх = -1

III гр. Тест

3. Выбрать правильные ответы, решив уравнения

4 = 1 3

log₃ (х + 5) = 4 7

2^х-2 = 32 -1

log₉ 3^х-1 = 1 76

log₂ (х² + 4х + 7) = 2 -1 и -3

4. Выбрать правильные ответы, решив уравнения

2 · 13^х + 3 = 341 7

lg (х + 4) = 0,1 0,001 и 10000

0,01^х = 100 -1

2 log₇х - 11 = - 9 10^0,1 - 4

lg² х - lgх - 12 = 0 2

5. Решить уравнение lgх = -1

3. Фронтальная работа учителя с классом (14 мин.).

Цель: повторение способов решения логарифмических уравнений с помощью логарифмических формул.

№1. Решить уравнение: 1+2log _х+2 5=log ₅ (x+2)

№2. №524(г)

Дополнительные задания.

№3. Решить уравнение: 2log ₂ (-x) =1 + log ₂ (x+4)

№4. Решить уравнение: log ₂ (2x - 1) - 2 = log ₂ (x +2) - log ₂ (x + 1)

Индивидуальные задания.

№1. Решить уравнение: 7log ₅ (x² - 8x + 16) - 26 = log ₅ ׀x - 4׀

№2. Найти произведение всех корней уравнения:

4. Дифференцированная самостоятельная работа (по уровням) (13 мин.).

Логарифмы открыты в ХVI в. в связи с быстрым развитием астрономии, требовавшей сложных и точных вычислений. Вам предлагается выполнить самостоятельную работу, ответы которой послужат ключом к расшифровке фамилии изобретателя логарифмов. Самостоятельная работа дифференцированная, 3^х-уровневая. Каждый из вас, оценив свои возможности, выбирает соответствующий уровень: I уровень - задание 1⁰ - отметка 3, 2 задания - отметка 4; II уровень - отметка 4; III уровень - отметка 5. Работу выполняете на отдельных листах в течении 13 минут. По окончании работы запишите получившиеся ответы в тетради, а листы с решениями сдадите для проверки.

Текст самостоятельной работы

1 уровень

Решите уравнения:

1⁰. lg²х - 3 lgх + 2 = 0

2. log₃х + 2 log_х3 = 3

Помни: 1) ОДЗ! 2) log _а х = 3) анализ корней!

Внимание: задание 1⁰ - отметка 3; 2 задания - отметка 4.

2 уровень

Решите уравнения:

1. log₂х - 2 log_х2 = -1

2. 3 + 2 log_х+1 3 = 2 log₃ (х + 1)

Внимание: 2 задания - отметка 4

3 уровень

Решите уравнения:

1. log_х3 + log₃ х = log3 + log₃ + 0,5

2. log_3х+7 (5х + 3) = 2 - log_5х+3 (3х + 7)

Внимание: 2 задания - отметка 5

V. Проверка самостоятельной работы (2 мин.)

Решения заданий самостоятельной работы проверяются с помощью проектора, учащиеся проставляют себе отметки в тетрадях. Окончательная отметка будет выставлена учителем после проверки решений.

Лист самоконтроля (через проектор)

1 уровень

1⁰. lg² х - 3 lgх + 2 = 0, ОДЗ: х > 0

lg х = t, t² - 3t + 2 = 0, t₁ = 2, t₂ = 1,

lg х = 2, lg х = 1,

х = 100, х = 10.

Ответ: 10; 100

2. log₃ х + 2 log_х 3 = 3, ОДЗ: х > 0, х ≠ 1

log₃ х + = 3, log₃ х = t, t ≠ 0,

t + - 3 = 0, t² - 3t + 2 = 0, t₁ = 1, t₂ = 2,

log₃х = 1, log₃х = 2,

х = 3 х = 9.

Ответ: 3; 9

2 уровень

1. log₂х - 2log_х 2 = -1, ОДЗ: х > 0, х ≠ 1

log₂х - + 1 = 0, log₂х = t, t ≠ 0,

t - + 1 = 0, t² + t - 2 = 0, t₁=1, t₂= - 2,

log₂х = 1, log₂х = -2,

х = 2, х = .

Ответ: ; 2

2. 3 + 2 log_х+13 = 2 log₃ (х + 1), ОДЗ:

3 + - 2 log₃ (х + 1) = 0, log₃ (х + 1) = t, t ≠ 0,

3 + - 2t = 0, 2t² - 3t - 2 = 0, t₁ = 2, t₂ = -,

log₃ (х + 1) = 2, log₃ (х + 1) = -,

х + 1 = 9, х + 1 = ,

х = 8, х = - 1 = .

Ответ: 8;

3 уровень

1. log_х 3 + log₃ х = log3 + log₃+ 0,5 ОДЗ: х > 0, х ≠ 1

+ log₃ х - - log₃ х + 0,5 = 0,

log₃ х - + = 0, log₃ х = t,

t - + = 0, t₁ = -1, t₂ = 2,

log₃ х = -1, log₃ х = 2,

х = , х = 9.

Ответ: ; 9

2. log_3х+7 (5х + 3) = 2 - log_5х+3 (3х + 7)

ОДЗ:

log_3х+7 (5х + 3) = 2 - , log_3х+7 (5х + 3) =t,

t = 2 - , t = 1

log_3х+7 (5х + 3) = 1, 3х + 7 = 5х + 3, х = 2 - входит в ОДЗ.

Ответ: 2

100

10

3

9

2

8

А

Н

Д

Р

О

Е

М

П

10

2

2

9

Н

Е

П

Е

Р

VI. Исторический экскурс (1мин.)

На экране портрет Н. Джона. Ученик озвучивает краткое сообщение.

НЕПЕР, ДЖОН (Napier, John) (1550-1617), шотландский математик и теолог. Родился в 1550 в Мерчистон-Касле близ Эдинбурга. Сведения о его жизненном пути очень скудны. По-видимому, учился в Эдинбургском университете, но никакой научной степени не получил. В 1593 опубликовал Простое изъяснение всего Откровения Иоанна Богослова (A Plaine Discovery of the Whole Revelation of St. John), первое толкование Священного Писания на шотландском языке.

В области математики Непер известен главным образом как изобретатель системы логарифмов, основанной на установлении соответствия между арифметической и геометрической числовыми прогрессиями. В Описании удивительной таблицы логарифмов (Mirifici logarithmorum canonis descriptio, 1614) он опубликовал первую таблицу логарифмов (ему же принадлежит и сам термин «логарифм»), но не указал, каким способом она вычислена. Объяснение было дано в другом его сочинении, Построение удивительной таблицы логарифмов (Mirifici logarithmorum canonis constructio), вышедшем в 1619, уже после смерти Непера. Таблицы логарифмов, насущно необходимые астрономам, нашли немедленное применение. В 1617 Непер опубликовал еще одну свою работу, Рабдологию (Rabdologia - «счет на палочках»), в которой изложил способ перемножения чисел с помощью особых брусков, получивших впоследствии название «костей Непера». Непер участвовал также в разработке различного рода боевых устройств (зажигательных стекол, артиллерийских орудий и т.д.). Умер Непер в Мерчистон-Касле 4 апреля 1617.

VII. Итог урока (1 мин.)

VIII. Задание на дом (1 мин.)