Исследовательская работа по математике Приемы устного счета и их применение

Исследовательская работа

по математике

на тему:

Приемы устного счета и их применение

Выполнила: ученица 7 класса

Буракова Ксения

Руководитель: учитель математики

Нюренберг Е.Н.

Белорецк

2014

План

1. Введение

2. Приемы устного счета и их применение:

а) Умножение и деление на 10

б) Умножение и деление на 4

в) Умножение и деление на 5

г) Умножение и деление на 25

д) Умножение и деление на 125

е) Умножение на 1,5

ж)Умножение на 9 и на 11

з) Возведение в квадрат числа, оканчивающегося цифрой 5

и) Умножение двузначных чисел от 10 до 20

к) Умножение двузначных чисел, близких к 100

3. Выводы

4. Список литературы

Введение

В настоящее время у многих учеников счет без калькулятора вызывает затруднения. Широкая доступность различных технических средств (компьютеры, калькуляторы, мобильные телефоны) привела к тому, что все большее количество учащихся средних и старших классов не могут быстро произвести вычисления письменно, а тем более в уме. При этом умение считать без калькулятора бывает необходимо не только на уроках математики, при сдаче экзаменов в форме ЕГЭ, но и в повседневной жизни. Поэтому необходимо выяснить, существуют ли какие-либо приемы, облегчающие устный счет.

Цель работы - изучить некоторые приемы быстрого устного счета и научить применять их на практике.

Для достижения цели были поставлены следующие задачи:

• Изучение теоретического материала по данной теме.

• Выделение и обобщение различных приемов быстрого устного счета.

• Обоснование приемов устного счета с помощью законов алгебры.

• Определение наглядного метода демонстрации приемов устного счета

• Создание медиаресурса в форме презентации, наглядно демонстрирующей применение приемов устного счета на примерах.

Был изучен материал, как входящий в школьную программу, так и дополнительный по данной теме. На основании этого были сформулированы приемы быстрого умножения, деления и возведения в квадрат различных чисел. Все эти методы подробно описаны в работе.

Также была поставлена цель - научить учащихся применять рассмотренные приемы устного счета на практике. Для этого создан медиаресурс в форме презентации Microsoft Powerpoint, наглядно демонстрирующий описанный в работе материал на примерах.

Приемы устного счета и их применение

В ходе анализа и обобщения теоретического материала по теме были выделены и изучены следующие приемы устного счета:

1. Умножение и деление на 10

Чтобы умножить число на 10, необходимо дописать в конце числа ноль, либо перенести запятую на один знак вправо, если число не целое. Например:

12·10=120

14,5·10 = 145

Чтобы разделить число на 10 необходимо в исходном числе отделить запятой последнюю цифру, либо перенести запятую на один знак влево, если число не целое. Например:

240:10=24

568:10=56,8

55,84:10 = 5,584

2.Умножение и деление на 4

Чтобы умножить или разделить на 4,его дважды удваивают. Например:

213·4=(213·2)·2=213·2=852

Чтобы разделить на 4,его дважды делят на 2. Например:

124:4=(124:2)=62:2=31.

3.Умножение и деление на 5.

Чтобы умножить число на 5 нужно умножить это число на 10/2, т.е. умножить на 10 и разделить на 2. Например:

138·5=(138 ·10): 2=1380:2=690

Чтобы разделить на 5,нужно умножить его на 0,2, т.е. в удвоенном исходном числе отделить запятой последнюю цифру. Например:

345:5=345 · 0,2=69;

71: 5=71 · 0,2=14,2

4.Умножение и деление на 25

Чтобы умножить число на 25, нужно его умножить на 100/4,т.е. умножить на 100 и разделить на 4. Например:

348 ·25=34800:6=8700

Чтобы разделить число на 25, нужно умножить число на 4 и разделить на 100. Например:

348:25=(348· 4):100=(348·2· 2):100=1392:100=13,92

5.Умножение и деление на 125

Чтобы умножить число на 125, нужно умножить число на 1000 и разделить на 8. Например:

348·125=(348·1000):8=(348·1000):4:2=348000:4:2=43500

Чтобы разделить число на 125, нужно умножить его на 8 и разделить на 1000. Например:

43500:125 = (43500·8):1000 = (43500·2·2·2):1000 = 348000:1000=348

6. Умножение на 1,5

Чтобы умножить число на 1,5 нужно к исходному числу прибавить его половину. Например:

24 · 1,5=24+12=36;

129 ·1,5=129+64,5= 193,5

7. Умножение на 9 и на 11

Чтобы умножить число на 9, к нему приписывают ноль (т.е. умножают на 10) и отнимают исходное число. Например:

241·9=2490-241=2169

Чтобы умножить число на 11,к нему приписывают ноль (т.е. умножают на 10) и прибавляют исходное число. Например:

241·11=2410+241=2651

8. Возведение в квадрат числа, оканчивающегося цифрой 5

Чтобы возвести в квадрат число, оканчивающееся цифрой 5 (например, 65), умножают число его десятков (6) на число десятков, увеличенное на 1 (на 6+1=7), и к полученному числу приписывают 25 (6 · 7=42) Ответ: 4225. Например:

95² =9025

125² =15625.

Обоснование алгоритма возведения таких чисел в квадрат можно дать с помощью алгебры.

Число, оканчивающееся 5, записывается в виде 10п+5,где п-число десятков. Тогда

(10п+5) ² =(10п)²+2·10п·5+5²=100п²+100п+25=100п(п+1)+25

/ \ЧИСЛО ДЕСЯТКОВ+1

ЧИСЛО ДЕСЯТКОВ

9. Умножение двухзначных чисел от 10 до 20

Чтобы перемножить два двузначных числа от 10 до 20, надо к первому числу прибавить цифру единиц второго числа, полученное число умножить на 10 и к результату прибавить произведение единиц. Например:

12·17=(12+7)·10+2·7=190+14=204

Обоснование использованного алгоритма умножения дадим с помощью алгебры. Любое двузначное число от 10 до 20 можно записать в виде (10+a), где a - цифра единиц числа.

(10+a) ·(10+b) = 10·10+a·10+b·10+a·b = (10+a+b) ·10+a·b = ((10+a) +b) ·10+a·b

10.Умножение двузначных чисел, близких к 100.

Если нужно перемножить два двузначных числа, близких к 100 (например, 92 и 97), то:

1) найдите число, которое в сумме с данным числом дает 100, и запишите его под соответственным числом:

92 и 97

+ +

8 3;

2) вычтите из одного множителя число, которое недостает до 100 во втором множителе (92-3=89);

3) к результату припишите произведение чисел, дополняющих данные числа до 100 (8924). Если произведение представляет собой трехзначное число, то приписываются две последние цифры произведения, а третья цифра прибавляется к разности.

Примеры :

1. 86 · 98; 86-2=84; 14 · 2=28 Ответ: 8428

+ +

14 2

2) 88 ·91; 88-9=79; 12 ·9= 108

+ +

12. 9

Ответ: 8008 (к 79 приписали две последние цифры числа 108, а 1 добавили к разряду сотен).

Обоснование использованного алгоритма умножения дадим с помощью алгебры. Пусть нужно перемножить числа х и у, близкие к 100.Запишем эти числа так:

х=100-а, где а - недостаток числа х до 100;

у=100- b, где b- недостаток числа у до 100.

Тогда xy= (100-а) (100-b)= (100-а)100- (100-а)b=(100-а)100-100b+аb=(100-а- -b)100+аb= (х-b)100+аb

Разность одного произведение чисел, дополняющих множители до 100

множителя и числа, дополняющего

второй множитель до 100

Выводы

Приведенные выше методы быстрого умножения, деления и возведения в квадрат помогают значительно облегчить вычисления, выполняемые письменно или устно. По аналогии с рассмотренными приемами можно также вывести другие алгоритмы ускоренного и упрощенного счета.

Список литературы

• Гайштут А.Г. Приемы интенсификации обучения математике в 4-5 классах. - Киев, 1980.

• Ткачева М.В. Домашняя математика: Кн. Для учащихся 7 кл. сред.шк. - М., 1993.

• Зубарева И.И., Мордкович А.Г.Математика. 5 кл. - М., 2004.