Разработка факультативного занятия для 11 класса Доказательство неравенств с помощью производной

ПРИМЕНЕНИЕ

производной к

доказательству

неравенств

Факультативное занятие по математике для 11 класса

Симоненко Н.М.

учитель математики

Харьковской общеобразовательной школы І-ІІІ ступеней №59

Тема. Применение производной к доказательству неравенств.

Цель: рассмотреть связь между убыванием, возрастанием функций и доказательством неравенств; развивать: логическое мышление; стойкий интерес к математике; умение обобщать и делать выводы; навыки самостоятельной

работы с научной литературой.

Ожидаемые результаты: учащиеся знают как с помощью производной исследовать функцию на возрастание и убывание и умеют применять эти знания к доказательству неравенств.

Структура занятия: І. Теоретические основы.

ІІ. Коллективное решение упражнений на

доказательство неравенств.

III. Самостоятельное решение упражнений.

IV. Математическая викторина.

V. Домашнее задание.

І.Теоретические основы.

Одно из простейших применений производной к доказательству неравенств связано с возрастанием и убыванием функции на промежутке и знаком ее производной.

С помощью теоремы Лагранжа доказана теорема:

Теорема 1. Если функция на некотором интервале имеет производную всюду на , то на монотонно возрастает; если же всюду на , то на монотонно убывает.

Очевидным следствием (и обобщением) этой теоремы является следующая:

Теорема 2. Если на промежутке выполняется неравенство , функция и непрерывны в точке и , то на выполняется неравенство .

Для выяснения истинности неравенств иногда удобно воспользоваться следующим утверждением, которое непосредственно вытекает из теоремы 1:

Теорема 3: Пусть функция непрерывна на и пусть имеется такая точка с из , что на и на . Тогда при любом х из справедливо неравенство причем равенство имеет место лишь при .

ІІ. Коллективное решение упражнений на доказательство неравенств.

Предлагаю несколько упражнений на доказательство неравенств с использованием теорем указанных выше. Умение доказывать неравенства - это искусство, которое требует четкости логического мышления, научной строгости доказанного, утонченности выводов, уникальности дальнейшего применения. Доказательство неравенств не подлежит алгоритмизации. Каждое неравенство имеет свою специфику доказательства. В этой работе будет рассмотрена только небольшая часть неравенств, для доказательства которых

применяется производная. Приведенные задачи одиннадцатиклассники

могут решать при изучении темы " Применение производной".

Задача 1. Пусть .Докажите истинность неравенства . (1)

Решение: Рассмотрим на функцию . Найдем ее производную: . Видим, что при . Следовательно, на убывает так, что при . Но Следовательно неравенство (1) верно.

Задача 2. Доказать неравенство: при (3)

Решение: Воспользуемся теоремой 2. и , верно неравенство : на промежутке и выполнимо условие где , в данном случае равно 0. Следовательно неравенство (3) верно.

Задача 3. Доказать неравенство: (4).

Решение: , ;

Неравенство при любых верно. Значит неравенство (4) верно.

Задача 4. Выясним, что больше при : или .

Решение: Предстоит сравнить с числом 1 дробь .

Рассмотрим на вспомогательную функцию .

Выясним, будет ли она монотонна на отрезке . Для этого найдем ее производную (по правилу дифференцирования дроби):

при .

В силу теоремы 1 функция вырастает на отрезке . Поэтому, при т.е.

при .

При решении задачи (6) встретился полезный методический прием, если нужно доказать неравенство, в котором участвует несколько букв, то часто целесообразно одну из букв (в данном примере это была буква ) считать переменной, чтобы подчеркнуть это обстоятельство, мы ее заменяли буквой , а значение остальных букв (в данном случае значение буквы ) считать фиксированными. Иногда приходится при решении одной задачи применить указанный прием несколько раз.

ІІІ.Самостоятельное решение упражнений.

Задача 1. Проверить, справедливо ли при любых положительных неравенство: (6).

Решение: Пусть Рассмотрим функцию

.

При имеем .

Отсюда видно (теорема 1), что убывает на Поэтому при имеем т.е. мы получили неравенство:

(7).

Теперь рассмотрим другую вспомогательную функцию . При имеем:

Следовательно, убывает на , т.е. при значит, (8),

Из неравенств (7) и (8) следует неравенство (6).

Задача 2. Проверьте, справедливо ли для всех действительных х следующее неравенство:

Решение: Выясним, где функция возрастает, а где убывает. Для этого найдем производную:

Видно, что на и на . Следовательно, в силу теоремы 3 т.е. неравенство (9) справедливо, причем равенство имеет место лишь при .

ІV. Математическая викторина. Учитель задаёт вопросы. Ученики

письменно отвечают.

1. Направленный отрезок. Вектор.

2. Что больше: (cos1800)² или (сos1800)³? (cos1800)²

3. Отношение прилежащего катета к гипотенузе. Косинус.

4. Самая большая хорда в круге. Диаметр.

5. Решите неравенство: х² < 2. (- < х < )

6. График обратной пропорциональности. Гипербола.

7. Часть окружности. Дуга.

8. Точка пересечения диаметров окружности. Центр.

9. Наглядное изображение функциональной зависимости. График.

10.Подкоренное выражение в формуле корней квадратного

уравнения.

Дискриминант

11. Правило, схема выполнения действий. Алгоритм.
12. Третья степень числа. Куб.

14. Независимая переменная. Аргумент.

15. Решите неравенство: х² >3 х<- или х>

16. Сотая часть числа. Процент.

17. Другое название двучлена. Бином.

19. Точка пересечения осей координат. Начало координат.

V. Домашнее задание. Доказать неравенства.

Задача 1. Доказать, что если , то (1).

Решение: Пусть Тогда

Чтобы найти, при каких значениях функция положительная, исследуем ее производную . Так как при то

Следовательно, функция возрастает при . Учитывая, что и непрерывна, получаем , при .

Поэтому возрастает на рассматриваемом интервале. Поскольку непрерывна и то при . Неравенство (1) верно.

Задача 2. Пусть и положительные числа, Тогда очевидно, что , . Можно ли гарантировать, что неравенство (2)

верно а) при ; б) при ?

Решение: а) Рассмотрим функцию . Имеем:

Отсюда видно, что при функция возрастает. В частности, она возрастает на интервале Поэтому при неравенство (2) справедливо.

б) на интервале , т.е. убывает. Поэтому при любых и , для которых , неравенство (2) неверно, а верно неравенство противоположного смысла:

Рис.5

Рис.2 (а)

+

-

50

Е'

E

+

-

1

E'

E