- Преподавателю
- Математика
- Элективный курс на тему Решение уравнений и неравенств, содержащих знак модуля
Элективный курс на тему Решение уравнений и неравенств, содержащих знак модуля
Раздел | Математика |
Класс | - |
Тип | Другие методич. материалы |
Автор | Спиридонова Н.Н. |
Дата | 10.09.2015 |
Формат | doc |
Изображения | Есть |
МОУ «Средняя общеобразовательная школа №2 с углубленным изучением отдельных предметов п.г.т. Камские Поляны Нижнекамского района Республики Татарстан»
Утверждено
Председатель комиссии
__________________________
«_____»_______________ 2008г.
Программа элективного курса
«Решение уравнений и неравенств, содержащих знак модуля»
для учащихся 9 класса по математике
рассчитана на17часов
Программу составил
учитель математики первой квалификационной категории Спиридонова Н.Н.
Камские Поляны 2008
Пояснительная записка
Данный курс предназначен для учащихся 9 классов для их предпрофильной подготовки. Он непосредственно связан с основным курсом математики. Данная программа ориентирована на учащихся 9-х классов, которые в 10 классе выберут профиль, связанный с математикой. Она рассчитана на обучающихся, которые в 5-6-х классах занимались по учебнику Н.Я. Виленкина, а в 7-9 классах - по учебнику под редакцией С.А.Теляковского.
Этот курс строится по программе повышенного уровня изучения данного предмета и помогает учащимся в подготовке к ЕГЭ, где предъявляются более высокие требования к математической подготовке школьников.
Выбор темы обусловлен тем, что решение уравнений и неравенств, содержащих знак модуля, - лишь вскользь вспоминается на уроках в неспециализированных классах, а в программе упоминается на уровне определения модуля и решения простейших уравнений. Тем не менее, эта тема является благодатной с точки зрения освоения графических приемов решения поставленных задач как равноправных с аналитическими методами, и она обладает при этом хорошей наглядностью. Кроме того, данная тема развивает математическую культуру, логическое и альтернативное мышление - учащимся приходит столкнуться с задачами, для решения которых необходимо рассматривать несколько возможных вариантов. При решении уравнений и неравенств с модулями приходится рассматривать случаи, когда выражения, стоящие под знаком модуля, положительны (или равны нулю) и когда они отрицательны. Только после проработки всех возможных вариантов и их исследования, находится нужное решение.
Курс «Решение уравнений и неравенств, содержащих знак модуля» представляется особенно актуальным, т.к. вооружает учащихся знаниями по теме «Модуль», необходимыми для дальнейшего изучения математики. Содержание курса предполагает самостоятельную подготовку учащихся: работу с различными источниками информации (справочные пособия, учебная литература, интернет, и др.) Содержание каждой темы курса включает в себя самостоятельную (индивидуальную, групповую, коллективную) работу учащихся, что позволяет формировать навыки коллективной работы, работы в группах разного уровня, развивать коммуникативные способности.
Цели курса:
1.Формирование и развитие у учащихся оценки своего потенциала с точки зрения образовательной перспективы; уточнение готовности и способности осваивать математику на повышенном уровне;
2.Развитие интеллектуальных и практических умений в области решения уравнений, неравенств, построения графиков, содержащих модуль;
3.Выработка умения самостоятельно приобретать и применять знания в нестандартных ситуациях;
4.Развитие творческих способностей;
5.Совершенствование коммуникативных навыков, которые способствуют развитию умений работать в группе, аргументировать и отстаивать свою точку зрения и уметь слушать другого.
Задачи курса
1.Расширение представлений учащихся о методах решения уравнений и неравенств, содержащих знак модуля, а так же построении графиков функции, содержащих знак модуля.
Требования к уровню освоения дисциплины
В результате изучения курса учащиеся приобретают следующие умения:
1.Решать уравнения, содержащие один, два, три модуля;
2.Решать неравенства, содержащие модуль;
3.Строить графики функций, содержащих модуль;
4.Интерпретировать результаты своей деятельности;
5.Делать выводы;
6.Обсуждать результаты.
Перечисленные умения формируются на основе знаний о модуле (определения, свойств модуля), о влиянии модуля на расположение графиков функций на координатной плоскости, влиянии модуля при решении уравнений и неравенств.
Содержание курса
Тема 1: Понятие модуль. Решение уравнений, содержащих знак модуля (4 часа)
Понятие модуля, его геометрическая интерпретация. Решение уравнений со знаком модуля алгебраическим способом. Метод интервалов.
Основная цель - ознакомить учащихся со способами решения уравнений со знаком модуля, выработать умение решать уравнения, содержащие один, два, три модуля.
Данная тема является наиболее важной в указанном курсе. Формы занятий: установочная лекция, практические занятия, в завершении - практикум решения уравнений.
Практические занятия следует проводить, используя как коллективную форму обучения, так и индивидуальную. На практических занятиях надо рассматривать решения уравнений, начиная с простых и заканчивая уравнениями, содержащими несколько модулей, используя метод интервалов.
Самостоятельная работа позволит учителю проверить степень усвоения данной темы.
Занятия 1-4
1) Геометрический смысл модуля и его применение к решению уравнений.
Модуль числа а есть расстояние от нуля до точки а.
а, если а≥0
|а|=
-а, если а<0
Модуль разности двух чисел равен расстоянию между точками числовой (координатной) прямой, соответствующими этим числам. Так, |а-b| есть расстояние между точками а и b числовой прямой; |а|=|а-0| - расстояние между точками а и 0; |а+b|=|а-(-b)| - расстояние между точками а и -b числовой прямой.
Решить уравнение |х-b|=а - значит, найти все точки х числовой оси, расстояние от каждой из которых до числа b равно а. Понятно, что
если а>0, то x-b=±a;
если а=0, то x=b;
если а<0, то решений нет.
Пример1. Решить уравнение |х-10|=5
Решение:
Так как 5>0, то х-10=5 или х-10=-5.
и
Ответ: 5; 15.
Пример2. Решить уравнение |х+15|=8
Решение:
Решить уравнение |х-b|=а - значит, найти все точки х числовой оси, расстояние от каждой из которых до числа -15 равно 8. Понятно, что х = -23 и х = -7.
х
-23 -15 -7
Ответ: -23; -7.
Пример3. Решить уравнение |3-х|=4
Решение:
Значит, найти все точки х числовой оси, расстояние от каждой из которых до числа 3 равно 4. Понятно, что х = -1 и х = 7.
Ответ: -1; 7.
2) Решение уравнений алгебраическим способом.
Рассмотрим уравнения в общем виде |f(x)|=g(x).
Оно равносильно совокупности двух систем:
f(x)=g(x),
g(x) ≥ 0;
f(x)=-g(x),
g(x) ≥ 0;
Пример1. Решить уравнение |x2-4x-12|=6-x.
Это уравнение равносильно совокупности (объединению) двух систем:
x2-4x-12=6-x, или x2-4x-12=x-6,
6-х ≥0; 6-х ≥0;
x2-3x-18=0, x2-5x-6=0,
х≤6; х≤6.
Д=9-4*(-18)=81 если a+c=b,то х1=-1, х2=6.
х1=(3-9):2=-3, х2=6.
х1=-3, х2=6, х1=-1, х2=6,
х≤6. х≤6.
Из корней уравнений удовлетворяют только корни -3;-1и 6.
Ответ:-3;-1;6.
Рассмотрим уравнение вида |f(x)|=|g(x)|.
Оно равносильно совокупности (объединению) двух уравнений
f(x)=g(x),
f(x)=-g(x).
Пример2. Решить уравнение | x2-5x+7|=|2х-5|.
x2-5x+7=2х-5, x2-7x+12=0, х1=3, х2=4,
x2-5x+7=5-2х; x2-3x+2=0; х3=1, х4=2
Ответ:1;2;3;4.
Примечание: уравнение вида |f(x)|=|g(x)| можно решать с помощью равносильных преобразований. Так как обе части уравнения неотрицательны в силу определения модуля, то лучше всего обе части уравнения возвести в квадрат, то есть уравнение вида |f(x)|=|g(x)|эквивалентно уравнению вида f2(x)=g2(x),тогда f2(x)-g2(x)=0.
Пример3. |2х-5|=|7-3х|.
Решение. Возведя обе части уравнения в квадрат, получаем эквивалентное уравнение (2х-5)2=(7-3х)2, откуда 5х2-22х+24=0. Корни квадратного уравнения
х1=2, х2=2,4. Ответ:2;2,4.
Аналогично можно решить уравнение
Пример4. |х2-4|=|х2-14|.
Решение. Эквивалентное уравнение (х2-4)2=(х2-14)2
(х2-4)2-(х2-14)2=0,
(х2-4- х2+14)( х2-4+х2-14)=0,
10(2х2-18)=0,
х2-9=0,
Ответ: ±3
Пример5. х2-5|х|+4=0
Применим другой подход к решению задачи.
Так как х2=|х|2 , то |х|2-5|х|+4=0.
Пусть |х|=t, где t≥0 согласно определению модуля, тогда
t2-5t+4=0. Откуда t1=1, t2=4 - оба удовлетворяющие условию t≥0. Значит,
|х|=1, |х|=4,
х=±1. х=±4.
Ответ: ±1;±4.
3)Применение метода интервалов к решению уравнений, содержащих знак модуля
Пример1.Решить уравнение |х-1|+|х-2|=1.
Решим методом интервалов.
а) Для этого нужно найти значения х, при которых выражения, стоящие под знаком модуля, обращаются в нуль, - это числа 1и 2.Они разбивают множество действительных чисел на три промежутка:(-∞;1),[1,2) и [2;+∞).
б) Определим знаки подмодульных выражений на каждом числовом промежутке. Для этого из каждого промежутка берем любое число и находим знак в модуле.
в) Если подмодульное выражение отрицательного знака, то, раскрывая модуль (заменяя его подмодульным выражением), ставим перед выражением знак минус, если подмодульне выражение положительного знака, то, открывая модуль, знак не меняем.
х-1
- + +
х
1 2
х-2
- - +
х
1 2
1) х<1
-x+1-x+2=1;
-2x+3=1;
x=1, решений нет ,так как х<1
2) 1≤х<2
х-1-х+2=1;
0*х=0.
х - любое число, значит решением уравнения является промежуток [1;2).
3) х≥2
х-1+х-2=1;
2х=4;
х=2 - является решением.
Решением данного уравнения является промежуток [1;2]. Ответ: [1;2].
Пример2. Решить уравнение |х|+|х-1|+|х-2|=6.
х=0, х=1, х=2.
Эти числа 0;1;2 разбивают множество действительных чисел на четыре промежутка.
х
- + + +
х
0 1 2
х-1
- - + + х
х-2 0 1 2
- - - +
х
0 1 2
1) х<0
-x-x+1-x +2=6;
-3x=3;
x=-1, корень уравнения
2) 0≤х<1
х-х+1-х+2=6;
-х=3,
х=-3, -3 не принадлежит промежутку [0;1), решений нет.
3) -1≤х<2
х+х-1-х+2=6
х=5, 5 не принадлежит промежутку [-1;2), решений нет.
4) х≥2
х+х-1+х-2=6,
3х=9,
х=3 - является решением, так как х≥2.
Решением данного уравнения являются -1 и 3.
Ответ: -1 и 3.
Задания для самостоятельного решения
1.Решить уравнение, используя геометрический смысл модуля:
а) |х-5|=1; в) |2х-5|=3; д) |9-4х|= -1;
б) |х+2|=7; г) |5х+1|=4; е) 4|х-1|=6.
2. Решить уравнения:
а) |х2-4х|=2х-2; в) |х2+6х+8|=|2х-1|;
б) |х2-7х+12|=х2+8х-3; г) |2х2+5х-3|=|2х-1|;
3. Решите уравнение:
а) |х+4|+|х-3|=7; в) |х|+|х-1|+|х-2|=6; д) |х+3|+|5-2х|=2-3х;
б) |х+4|-|х-3|=1; г) |х|+|х-1|+|х-2|=2; е) |х2-6|х|+4|=1.
4.Найти корни уравнения:
а) |х2-4|=5; в) |х2-16|=0; д) |х2-2х|=1;
б) |х2-8|=1; г) |х2-2х|=3; е) |х2+3х|=2;
5.Решить уравнение
а) |х-8|+|х+7|=16, б) |х+6|+|х-5|=11, в) |х+9|+|х-3|=13
г) |-21х+7|+|21х+9|=16, д) |15х-3|+|14х-9|=6+х, е) |х+9|+|х-2|=0.
Тема 2: Построение графиков функций, содержащих знак модуля(4 часа)
Понятие графика функций, содержащих модуль. Виды графиков функций: у = |f(х)|, у = (f|х|), у = | (f|х|)|, |у| = f(x), их свойства.
Основная цель - ознакомить учащихся с основными приемами построения графиков функций, содержащих модуль, их свойствами. Привлечь внимание к эстетической стороне данного вида деятельности. Предусмотреть возможность творчества учащихся.
Построение графиков функций различных видов и исследование их свойств. Рациональные способы их построения.
Тема изучается в форме лекции и практических занятий. Из содержания лекции учащиеся на базовом уровне повторяют графики элементарных функций, а затем рассматривают влияние модуля на расположение графиков на координатной плоскости. Обращается внимание на необходимость этих графиков, их симметричность, красоту.
На практических занятиях рекомендуется работа в парах. Каждая пара получает набор карточек с функциями. Работая над построением графиков, каждая пара продумывает рациональные способы построения графиков, свойства каждого типа функции, делает выводы.
Завершающим этапом планируется практическая работа. Цель работы - построение графиков функций различных видов.
Занятие5-8
Рассмотрим график функции
х, если х≥0,
|х|=
-х, если х<0. y
1
х
0 1
Правило 1. Для построения графика функции у = |f(х)| для всех х из области определения надо ту часть графика функции у = f(х), которая расположена ниже оси абсцисс (f(х)<0), отразить симметрично этой оси.
Таким образом, график функции у = |f(х)| расположен только в верхней полуплоскости.
Правило 2. Для построения графика функции у = f(|х|) достаточно построить график функции у = f(х) для всех х≥0 из области определения и отразить полученную часть симметрично оси ординат.
Целесообразно предлагать учащимся строить график функций у = |f(х)|, у = f(|х|) двумя способами:
1.на основании определения модуля;
2.на основании правил 1 и 2.
Пример1. у = |2х-1|.
\
Пример 2.
Решение: используя правило 2, построим график функции у=f(x) для всех х≥0 из области определения, т.е. , а затем отобразим его симметрично относительно оси ординат.
Правило 3. Для того чтобы построить график функции у = | (f|х|)|, надо сначала построить график функции у=f(x) при х≥0, затем при х<0 построить изображение, симметричное ему относительно оси Оу, затем на интервалах, где (f|х|)<0, построить изображение, симметричное графику f (|х|) относительно оси Ох.
Пример 3. у= |2-|х||.
Решение:
а) Строим график функции у= |2-х|, где х≥0.
Правило 4. Для построения графиков зависимости (а не функции) достаточно построить график функции у =f(х), для тех х из области определения, при которых f(x)≥0, и отразить полученную часть графика симметрично оси абсцисс.
Таким образом график зависимости |у|= f(х ) состоит из графиков двух функций: у =f(х) и у =-f(х), где f(x)≥0.
Пример4. |у|= х+4.
Решение: Согласно правилу 3 построим график функции у=х+4, где х+4≥0, т.е. х≥-4 и отразим полученную часть графика относительно оси ординат.
Задания для самостоятельного решения
1.Постройте графики функций:
1). у= |4-х|; 2). у= |3+2х-5х|; 3). у= |х-2х-3|; 4). у= |х-5х+6|;
5). у= |х-9|; 6). у= |х+2х-8|; 7). у= |х+3х-13,75|;
8). у= |3-0,5х|; 9). у= |х-4|+3; 10). у= |0,5х-3|-2; 11). у= |х-4х-5|;
12). у=-2- |3-х|; 13). у= -|х-4|; 14). у=2 |х|+ х ; 15). у=4 |х|- х-3;
16). у= |х-9|-1;
2.Найти координаты середины отрезка, концами которого являются точки пересечения линии у=2│х│+1 и параболы у=4х+2х-1.
2. .Найти координаты середины отрезка, концами которого являются точки пересечения линии у=1-│х│ и параболы у=2х+х-1.
Тема 3: Графическая интерпретация решения уравнений, содержащих переменную под знаком модуля (3 часа)
Решение уравнений со знаком модуля графическим способом.
Основная цель-ознакомить учащихся с графическим способом решения уравнений, сформировать умение интерпретировать с помощью графиков ответы на вопросы о количестве корней, приближенные значения корней. Тема изучается путем проведения практических занятий, решения конкретных уравнений графическим способом.
Занятие9-11 Пример1.Решить уравнение|х|=5 графическим способом.
.Выполним построение графиков левой и правой частей уравнения.
У=|х|,
У=5.
Опуская перпендикуляры на ось абсцисс, убеждаемся, что корнями уравнения являются х=-5 и х=5.
Ответ:-5;5.
Пример 2.Решить графически уравнение|х-3|=|х+5|;
Выполним построение графиков левой и правой частей уравнения
У=|х-3|,
У=|х+5|.
Ответ:-1
Задания для самостоятельного решения
1.Решить графически уравнения:
1.|х+3|=|х-5|; 2│|х-1|-1│=2; 3│|х-1|-2│=3;
4.│|х|+1│=4; 5.│|х|+2│=6; 6.|х-2х|=|х+4|;
Тема 4: Решение неравенств с модулем(4 часа).
Неравенства с модулем. Способы их решения.
Основная цель- сформировать умение решать неравенства, содержащие знак абсолютной величины, используя оба метода: алгебраический и геометрический.
Тема излагается путём проведения практических занятий, решения конкретных неравенств, а затем делаются выводы. В завершении - практикум решения различных видов неравенств.
Занятие12-15
1.Неравенства с модулем вида вида| f(х)|<b, где f(х)-некоторая функция, а b-положительное число(b>0), можно решить с помощью равносильных преобразований. Неравенство с модулем вида вида| f(х)|<b равносильно системе
f(х)<b,
f(х)>-b.
Пример1.Решить неравенство|х-7|<2.
Решение: неравенство|х-7|<2 равносильно системе.
х-7<2,
х-7>-2.Ее решением является промежуток(5;9).
Ответ: (5;9).
2.Неравенства с модулем вида вида ,| f(х)|≥b, где f(х)-некоторая функция, а b-положительное число(b>0) ), можно решить с помощью равносильных преобразований. Неравенство с модулем вида вида| f(х)|≥b равносильно совокупности неравенств:. f(х)≥ b или f(х)≤-b.
Пример 2. .Решить неравенство|х+7|≥3.
Решение.
1способ
Неравенство|х+7|≥3 равносильно совокупности неравенств:
х+7≥3 или х+7≤-3.Решением является объединение промежутков
(-∞;-10] Ụ[-4;+∞).
Ответ: (-∞;-10] Ụ[-4;+∞).
2способ
Исходя из геометрического смысла модуля, требуются найти числа, находящиеся на расстоянии, большем или равном (не меньшим) 3, от точки с координатой(-7).
Получаем два промежутка (-∞;-10] и[-4;+∞).
Ответ: (-∞;-10] Ụ[-4;+∞).
3способ
Методом интервалов. Найдём нули выражения, стоящего под знаком модуля: х+7=0, х=-7
1) Если х<-7, то выражение под знаком модуля принимает отрицательные значения, и по определению модуля имеем систему
х<-7, х<-7,
-х-7≥3; х≤-10.
Решением системы будет промежуток (-∞;-10]
2) Если х≥-7, то выражение под знаком модуля принимает неотрицательные значения, и по определению модуля имеем систему
х≥-7, х≥-7,
х+7≥3; х≥-10.
Решением системы будет промежуток [-4;+∞).
Объединяем решения в пунктах 1)и 2). Получаем объединение промежутков
(-∞;-10] и[-4;+∞).
Ответ: (-∞;-10] Ụ[-4;+∞).
3.Неравенства с модулем вида | f(х)|<g(x), | f(х)|≥g(x) , где, f(х) и g(x)-некоторые функции (вместо знака<может быть ≤), если g(x) <0 решений не имеет. Поэтому неравенство | f(х)|<g(x) равносильно системе неравенств:
f(x )<g(x),
g(x) ≥ 0.
4.Неравенства с модулем вида | f(х)|≥g(x) , где, f(х) и g(x)-некоторые функции.
Если g(x)<0,то решением неравенство| f(х)|≥g(x) являются все х изО.Д.З. неравенства, для которых g(x)<0, являются решением рассматриваемого неравенства.. А если g(x) ≥ 0,
то неравенство | f(х)|≥g(x) равносильно неравенству
f ²(x)>g²(x).
Задания для самостоятельного решения
1.Решить неравенство
1)|х+2|+|х-3|>5+х;
2) |х+1|+|х-2|≤2х-1;
2. Найти О.Д.З. функции
3. Решить неравенство
|х+2х|<3.
5..Решить неравенство
|2х+1|-|5х-2|<5
6.Решить неравенство
|2х-1|<|4х+1│.
Тема 5: Зашита проектов: пишем графиками функций (2 часа)
Занятие16-17
Защита проектов, заслушивание рефератов.
Рекомендуемая литература для учителя
1.Концепция модернизации Российского образования на период до 2010года.-М.,2002.
2.Приказ МО РФ от 18.07.2002 № 2783 «Об утверждении концепции профильного обучения на старшей ступени общего образования».
3.Примерные программы по основной школе.-М.,Дрофа,2000. 4.Примерные программы по полной средней школе.-М.,Дрофа,2000
5.Проект Федерального компонента государственного образовательного стандарта общего образования.-М.,2002
6.Назаренко А.М., Назаренко Л.Д. Тысяча и один пример. Равенства и неравенства.Пособие для абитуриентов. - Сумы: издательство Слобожанщина, 2004.
7.ЗиновьеваЛ.А.,ЗиновьевА.И.Уравнения, содержащие неизвестные под знаком модуля. Научно - методический Журнал Математика в школе № 5. - М.: издательство Школа- Пресс, 1999.
8.Ильина С.Д.Графические решения уравнений содержащих знак модуля. Научно - методический Журнал Математика в школе № 8. - М.: издательство Школа- Пресс, 2001.
9.Смоляков А.Н. Уравнения и неравенства, содержащие знак модуля. Научно - методический Журнал Математика в школе № 9. - М.: издательство Школа- Пресс, 2003.
10.Чаплыгин В.Ф.Сравнение и классификация в упражнениях с модулями. Научно - методический Журнал Математика в школе № 9. - М.: издательство Школа- Пресс, 2003.
Рекомендуемая литература для учащихся
1.Гайдуков И.И. Абсолютная величина. - М.: издательство Просвещение, 2005.
2.Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г. Алгебра. Дополнительные главы к школьному учебнику 9 класса. Учебное пособие для учащихся школ и классов с углубленным изучением математики. - М.: издательство Просвещение, 2004.
3.Кадыров Ф.К. Задачи повышенной сложности (с решениями) для подготовки учащихся 7-11 классов к олимпиадам по математике. - Казань: издательство ИПКРО РТ, 2006.
4.Петраков И.С. Математические кружки в 8-10 классах - М.: издательство Просвещение, 1987.
5.Жохов В.И.,Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г. Дидактические материалы по алгебре 8 класс. - М.: издательство Просвещение, 2008.
6.ЕршоваА.И., ГолобородькоВ.В. Алгебра. Геометрия 9.Самостоятельные и контрольные работы.- Илекса Москва,2008
7.Комин Г.С. Сборник заданий письменного экзамена по математике в девятых классах общеобразовательных школах РФ, в классах с углубленным изучением математики и в профильных классах различных специальностей. - Санкт-Петербург: издательство Респекс, 1996.
8.Лысенко Ф.Ф.Алгебра 9класс подготовка к итоговой аттестации-2009.Учебно- методическое пособие.- издательство «Легион» Ростов-на-Дону,2009.
Учебно-тематический план
№
п/п
Тема
Кол-во
часов
Форма
проведения
Сроки
Методы
Обрудование
Виды самостоят.
работы
Форма
контроля
1
Понятие модуль. Решение уравнений содержащих знак модуля.
4
Лекция-1
Практ.зан.-2
Практикум-1
Частично-поисковый
Проектор
Сам.составл.уравн.с модулем
Сам. работа.
2
Построения графиков функций, содержащих знак модуля.
4
Лекция-2
Практ.зан.-2
Исследователь
ский
Проектор
Составлениепамятки для построения графиков
Практ. работа.
3
Графическая интерпретация решения уравнений, содержащих переменную под знаком модуля.
3
Практ.зан.-3
Частично-поисковый
Проектор
Обучающая
Сам. Работа.
4
Решение неравенств с модулем.
4
Практ.зан.-2
Практикум-1
Частично-поисковый
Проектор
Сам.составл.неравенств с модулем
Сам. Работа.
5
Зашита проектов: пишем графиками функций, содержащих знак модуля
2
Конференция
Рефераты
Проекты
Оценивание проектов учащихся
Оценивание проектов
учащихся
Итого
17